中考数学创新性、开放性研讨讲座.ppt

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1、 中考数学 创新型、开放型问题 探究讲座探究讲座 例例1.比较下面的两列算式结果的大小：比较下面的两列算式结果的大小：(在横线上填在横线上填“”、“(2)(3)(4)=结论：对于任意两个实数结论：对于任意两个实数a和和b，一定有，一定有 a2+b22ab证明：证明：(a-b)20，即即a2-2ab+b20，a2+b22ab例例2.如图：已知如图：已知ABC为为 O的内接三角形，的内接三角形，O1过过C点与点与AC交点交点E，与，与 O交交于点于点D，连结，连结AD并延长与并延长与 O1交于点交于点F与与BC的延长的延长线交于点线交于点G，连结，连结EF,要使要使EFCG，ABC应满足应满足什么

2、条件？请补充上你认什么条件？请补充上你认为缺少的条件后，证明为缺少的条件后，证明EFGC(要求补充的条件要求补充的条件要明确，但不能要明确，但不能 多余多余)分析：要使分析：要使EFGC，需知，需知FEC=ACB，但，但从图中可知从图中可知FEC=FDC，FDC=B，所，所以以FEC=B，故当，故当B=ACB时，可得证时，可得证EFGC要使要使EFGC，ABC应应满足满足AB=AC或或ABC=ACB证明：连结证明：连结DC，则，则FDC=FEC，FDC=B，FEC=B，B=ACB，FEC=ACB，EFGC例例3.如图：已知如图：已知 O1与与 O2相交于相交于A.B两点，经过两点，经过A点点的

3、直线分别交的直线分别交 O1.O2于于C.D两点两点(D.C不与不与B重合重合).连结连结BD，过，过C点作点作BD的平行线交的平行线交 O1于点于点E，连结，连结BE(1)求证：求证：BE是是 O2的切线的切线(2)如图如图2，若两圆圆心在公，若两圆圆心在公共弦共弦AB的同侧，其他条件不的同侧，其他条件不变，判断变，判断BE与与 O2的位置关的位置关系系(不要求证明不要求证明)(3)若点若点C为劣弧为劣弧AB的中点，其他条件不变，连结的中点，其他条件不变，连结AB.AE，AB与与CE交于点交于点F，如图，如图3 写出图中所有的写出图中所有的相似三角形相似三角形(不另外连线，不要求证明不另外连

4、线，不要求证明)要证要证BE是是 O2的切线，需知的切线，需知EBO2=90，不妨过，不妨过B点作点作 O2的直径的直径BF交交 O2于于F点，点，则则BAF=90，即，即F+ABF=90，F=ADB，EBO2=EBA+ABF，要，要知知EBO2=90，需知，需知ABE=ADB，但，但ABE=ACE，由，由ECBD，得，得ACE=ADB，故，故ABE=ADB得证，从而知得证，从而知EBO2=90，因此，因此BE是是 O2的切线的切线证明：作直径证明：作直径BF交交 O2于于F，连，连结结AB、AF，则，则BAF=90，即即F+ABF=90。F=ADB，ABF+ADB=90。ECBD，ACE=A

5、DB，又又ACE=ABE，ABE=ADB，故，故ABF+ABE=90，即，即EBO2=90，EBBO2，EB是是 O2的切线的切线(2)分析：猜想分析：猜想EB与与 O2的关系的关系是相切的是相切的仍作仍作 O2的直径的直径BF，则，则FAB=90，同时，同时FAD+FBD=180，BAC+FBD=90。现只。现只需要得知需要得知FBE=90即可。由即可。由CEBD可知，可知，CEB+DBE=180，又，又，CEB=BAC，BAC+EBD=180，EBD-FBD=90，即，即FBE=90，故，故EB与与 O2是相是相切的切的证明：作证明：作 O2的直径的直径BF交交 O2于于F，则，则FAB=

6、90且且FAD+FBD=180，BAD+FBD=90。但。但BAD=CEB，故，故CEB+FBD=90。CEDB，CEB+EBD=180，EBD-FBD=90，即，即FBE=90，EB是是 O2的切线的切线 证明证明ECDB，ACE=ADB，又，又ACE=ABE，ACE=ADB=ABE。C是劣弧是劣弧AB的中点，的中点，BAC=BEC=AEC，AFCABDEACEFB(3)若点若点C为劣弧为劣弧AB的中点，其他条件不变，的中点，其他条件不变，连结连结AB.AE，AB与与CE交于点交于点F，如图，如图3 写出写出图中所有的相似三角形图中所有的相似三角形(不另外连线，不要求不另外连线，不要求证明）

7、证明）例例4.如图直径为如图直径为13的的 O1经过原点经过原点O，并且与，并且与x轴、轴、y轴分别交于轴分别交于A、B两点，线段两点，线段OA、OB(OAOB)的长分别的长分别 是方程是方程x2+kx+60=0的两的两个根个根(1)求线段求线段OA、OB的长的长(2)已知点已知点C在劣弧在劣弧OA上，连结上，连结BC交交OA于于D，当，当OC2=CDCB时，时，求求C点的坐标点的坐标(3)在在 O1上是否存在点上是否存在点P，使使SPOD=SABD？若存在，求出点若存在，求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由的坐标；若不存在，请说明理由(1)解：解：OA、OB是方是方程程x2+kx+60=0

8、的两个根，的两个根，OA+OB=-k，OAOB=60OBOA，AB是是 O1的直径的直径OA2+OB2=132，又，又OA2+OB2=(OA+OB)2-2OAOB，132=(-k)2-260 解解 之得：之得：k=17 OA+OB0，k9，所以假设错误，故这所以假设错误，故这样的点样的点P是不存在的是不存在的 分析：假设这样的点分析：假设这样的点P是存在的，是存在的，不妨设不妨设P(m，n)，则，则P到到x轴的距轴的距离可表示为离可表示为|n|，从已知中得知，从已知中得知P到到x轴的最大距离为轴的最大距离为9，所以，所以|n|9。又又SPOD=1/2OD|n|SABD=1/2ADOB,OD|n

9、|=ADOB=(OA-OD)OB,即即OD|n|=(12-OD)5若能求出若能求出OD的长，就可得知的长，就可得知|n|。从而知从而知P点是否在点是否在 O1上由上由(2)知知OCDBCO，则，则从中可求出从中可求出OD的长的长在在 O1上不存在这样的上不存在这样的P点，点，使使SPOD=SABD。理由：假设在理由：假设在 O1上存在点上存在点P，使，使SPOD=SABD，不妨设，不妨设P(m，n)，则，则P到到x轴的距离轴的距离|n|9。由。由OCDBCO，得，得将将OB=5，代入计算得代入计算得OD=10/3SABD=SPOD=65/3，即，即|n|=139，P点不在点不在 O1上上故在故

10、在 O1上不存在上不存在这样的点这样的点P。第一类：找规律问题第一类：找规律问题 这类问题要求大家通过观察这类问题要求大家通过观察,分析分析,比较比较,概括概括,总结出题设反映的总结出题设反映的某种规律某种规律,进而利用这个规律解决相进而利用这个规律解决相关问题关问题例例1 1：观察下列算式：观察下列算式：2 21 1=2 2=2 22 2=4 2=4 23 3=8 =8 2 24 4=16 2=16 25 5=32 2=32 26 6=64=64 2 27 7=128 2=128 28 8=256=256通过观察，用你所发现的规律写出通过观察，用你所发现的规律写出8 89 9的末位数的末位数

11、字是字是。第一列第一列第二列第二列第三列第三列第四列第四列第一行第一行2 21 1=2=22 22 2=4=42 23 3=8=82 24 4=16=16第二行第二行2 25 5=32=322 26 6=64=642 27 7=128=1282 28 8=256=256第三行第三行8例例1 1：观察下列算式：观察下列算式：2 21 1=2 2=2 22 2=4 2=4 23 3=8 =8 2 24 4=16 2=16 25 5=32 2=32 26 6=64=64 2 27 7=128 2=128 28 8=256=256通过观察，用你所发现的规律写出通过观察，用你所发现的规律写出8 89 9

12、的末的末位数位数字是字是。第二类第二类:探求条件问题探求条件问题 这种问题是指所给问题结论明确这种问题是指所给问题结论明确,而而寻求使结论成立的条件寻求使结论成立的条件.大致有三种类型大致有三种类型 (1)(1)条件未知需探求条件未知需探求 (2)(2)条件不足条件不足需补充条件需补充条件 (3)(3)条件多余或有错条件多余或有错,需排需排除条件或修正错误条件除条件或修正错误条件例例2:2:已知已知:如图如图,AB,AB、AC AC 分别是分别是OO 的直径和弦，的直径和弦，D D为劣弧为劣弧 AC AC上一点，上一点，DEABDEAB于点于点H H，交，交OO于点于点E E，交，交ACAC于

13、点于点F F，P P为为EDED的延长线上一点，的延长线上一点，（1 1）当）当PCFPCF满足什满足什么条件时，么条件时，PCPC与与OO相切，为什么？相切，为什么？2 2）当点）当点D D在劣弧在劣弧ACAC的的什么位置时，才能使什么位置时，才能使ADAD2 2=DE DF.=DE DF.为什么为什么?分析：要知分析：要知PCPC与与00相切，需知相切，需知PCOCPCOC，即，即PCO=90PCO=90，CAB+AFHCAB+AFH=90=90，而，而CAB=OCACAB=OCA，AFH=PFCAFH=PFC，PFC+OCAPFC+OCA=90=90，当当PFC=PCFPFC=PCF时，

14、时，PCO=90.PCO=90.解解:(1):(1)当当PC=PF(PC=PF(或或PCF=PFC,PCF=PFC,或或PCFPCF为等边三角形为等边三角形)时时,PC,PC与与 OO相切相切.连结连结OC,OC,则则OCA=FAH.OCA=FAH.PC=PF PCF=PFC=AFHPC=PF PCF=PFC=AFHDE AB DE AB OCA+PCF=FAH+AFH=90OCA+PCF=FAH+AFH=900 0即即OC PC,PCOC PC,PC与与OO相切相切.（2 2）当点）当点D D在劣弧在劣弧ACAC的什么位的什么位置时，才能使置时，才能使ADAD2 2=DE DF.=DE DF

15、.为什么为什么?分析分析:要使要使ADAD2 2=DE=DE DFDF需知需知ADFEDAADFEDA证以上两三角形相证以上两三角形相似似,除公共角外除公共角外,还还需证需证DAC=DEADAC=DEA故应知故应知AD=CDAD=CD 解：（解：（2 2）当点）当点D D是是ACAC的中点时，的中点时，AD AD2 2=DE DF.=DE DF.连结连结AE.AE.AD=CD DAF=DEA AD=CD DAF=DEA 又又ADF=EDA DAFDEAADF=EDA DAFDEA即即ADAD2 2=DE DF=DE DF 第三类第三类:探求结论问题探求结论问题 这类问题是指题目中的结这类问题是

16、指题目中的结论不确定论不确定,不惟一不惟一,或结论需要或结论需要通过类比通过类比,引申引申,推广或由已知推广或由已知特殊结论特殊结论,归纳出一般结论归纳出一般结论例3：已知，O1经过O2的圆心O2，且与O2相交于A、B两点，点C为AO2B上的一动点（不运动至A、B）连结AC，并延长交O2于点P，连结BP、BC.(1)先按题意将图1补完整,然后操作,观察.图1供操作观察用,操作时可使用量角器与刻度尺.当点C在AO2B 上运动时,图中有哪些角的大小没有变化;(2)请猜想BCP的形状,并证明你的猜想(图2供证明用)(3)如图3,当PA经过点O2时,AB=4,BP交O1于D,且PB、DB的长是方程x2

17、+kx+10=0的两个根，求O1的半径的半径.例3：已知，O1经过O2的圆心O2，且与O2相交于A、B两点，点C为AO2B上的一动点（不运动至A、B）连结AC，并延长交O2于点P，连结BP、BC.(1)先按题意将图1补完整,然后操作,观察.图1供操作观察用,操作时可使用量角器与刻度尺.当点C在AO2B 上运动时,图中有哪些角的大小没有变化;(2)请猜想BCP的形状,并证明你的猜想(图2供证明用)（2 2）证明：连结）证明：连结O O2 2A A、O O2 2B B，则则BOBO2 2A=ACB A=ACB BO BO2 2A=2PA=2PACB=2PACB=2PACB=P+PBCACB=P+P

18、BCP=PBCP=PBCBCPBCP为等腰三角形为等腰三角形.(3)如图3,当PA经过点O2时,AB=4,BP交O1于D,且PB、DB的长是方程x2+kx+10=0的两个根，求O1的的半径半径.连结连结O O2 2O O1 1并延长交并延长交ABAB于于E E，交，交OO1 1于于F F设设OO1 1、OO2 2的半径的半径分别为分别为r r、R R，OO2 2FABFAB，EB=1/2AB=2EB=1/2AB=2，PDBPDB、POPO2 2A A是是OO1 1的割线，的割线，PDPB=POPDPB=PO2 2PA=2RPA=2R2 2，PBPB、BDBD是方程是方程x x2 2+kx+10

19、=0+kx+10=0的两根，的两根，PBBD=10PBBD=10，EFEOEFEO2 2=AEBE=AEBE，EF=4/3EF=4/3，r=1/2r=1/2（3+4/33+4/3）=13/6=13/6OO1 1的半径为的半径为13/613/6PDPB=PDPB=（PBPBBDBD）PB=PBPB=PB2 2PBBD=PBPBBD=PB2 210PB10PB2 210=2R10=2R2 2，APAP是是OO2 2的直径，的直径，PBA=90PBA=90，PBPB2 2=PA=PA2 2ABAB2 2，PBPB2 2=4R=4R2 21616得得R=R=在在RtORtO2 2EBEB中，中，O O

20、2 2E=E=由相交弦定理得，由相交弦定理得，第四类：存在性问题存在性问题是指在一定件下某数学对象是否存在的问题例例4 4：抛物线：抛物线y=axy=ax2 2+bxbx+c+c（a a0 0）过过P P（1 1，-2 2），），Q Q（-1,21,2），），且与且与X X轴交于轴交于A,BA,B两点两点(A A在在B B的左的左侧侧),),与与Y Y轴交于轴交于C C点，连结点，连结ACAC，BCBC1.1.求求a a与与c c的关系式的关系式2.2.若若(O O为坐标原点为坐标原点),),求抛物线的解析式求抛物线的解析式3.3.是否存在满足条件是否存在满足条件tantanCABCAB穧穧

21、cotcotCBA=1CBA=1的的抛物抛物线线?若存在若存在,请求出抛物线的解析式。若不存请求出抛物线的解析式。若不存在，请说明理由在，请说明理由。OCOBOA411=+解解（1 1）将）将P P（1 1，-2-2），），Q Q（-1-1，2 2）代入解析式得代入解析式得 解方程组得解方程组得a+c=0a+c=0，b=b=2 2 aa，c c的关系式是的关系式是a+c=0a+c=0或或a=a=c c 例例4 4：抛物线：抛物线y=axy=ax2 2+bx+c+bx+c（a a0 0）过）过P P（1 1，-2 2），），Q Q（-1,2-1,2），且与），且与X X轴交于轴交于A,BA,B两

22、点两点(A(A在在B B的左侧的左侧),),与与Y Y轴交于轴交于C C点，连结点，连结ACAC，BCBC1.1.求求a a与与c c的关系式的关系式2.2.若若 3.3.(O(O为坐标原点为坐标原点),),求抛物线的解析式求抛物线的解析式4.4.3.3.是否存在满足条件是否存在满足条件tanCABcotCBA=1tanCABcotCBA=1的的抛物线抛物线?若存在若存在,请求出抛物线的解析式。若不存在，请请求出抛物线的解析式。若不存在，请说明理由说明理由。（2 2）由（）由（1 1）知）知b=b=2 2，所以，所以y=axy=ax2 22x+c2x+c设设A A（x x1 1，0 0）B B

23、（x x2 2，0 0）则）则x x1 1xx2 2=c/a=c/a，但，但a=a=c c，所以，所以x x1 1xx2 20 0这说明这说明A A，B B在原点两侧（在原点两侧（A A在在B B的左侧）所以的左侧）所以OA=OA=x x1 1，OB=xOB=x2 2，OC=|c|=|a|OC=|c|=|a|，已，已知知 故有故有即即 平方后得平方后得 而（而（x x2 2-x-x1 1）2 2=（x x1 1+x+x2 2）2 24x4x1 1x x2 2把把x x1 1+x+x2 2=2/a=2/a，x x1 1xx2 2=1 1代入上式中，得到关于代入上式中，得到关于a a的方程，的方程

24、，解方程求得解方程求得a a，c c从而求出解析式从而求出解析式（2 2）设）设A A，B B的坐标分别为（的坐标分别为（x x1 1，0 0）,（x x2 2，0 0）,则则x x1 1，x x2 2是方程是方程 ax ax2 22x+c=02x+c=0的两个根的两个根 x x1 1+x+x2 2=2/a=2/a，x x1 1x x2 2=1 1因此因此A A，B B两点分别在原点两侧，因为两点分别在原点两侧，因为A A在在B B的左侧，所以的左侧，所以x x1 10 0，x x2 20 0，故，故OA=OA=x x1 1，OB=xOB=x2 2，OC=|c|=|a|OC=|c|=|a|，由

25、，由 得得 即即 平方后得平方后得 又又 于是得于是得4/a4/a2 2+4=16/a+4=16/a2 2,解之得解之得a=a=，c=c=所以解析式为所以解析式为（x x2 2-x-x1 1）2 2=（x x1 1+x+x2 2）2 2 4x4x1 1x x2 2例例4 4：抛物线：抛物线y=axy=ax2 2+bx+c+bx+c（a a0 0）过）过P P（1 1，-2 2），），Q Q（-1,2-1,2），且与），且与X X轴交于轴交于A,BA,B两点两点,与与Y Y轴交于轴交于C C点，连结点，连结ACAC，BCBC1.1.求求a a与与c c的关系式的关系式2.2.若若 3.3.(O(

26、O为坐标原点为坐标原点),),求抛物线的解析式求抛物线的解析式4.4.3.3.是否存在满足条件是否存在满足条件tanCABcotCBA=1tanCABcotCBA=1的的抛物线抛物线?若存在若存在,请求出抛物线的解析式。若不存在，请请求出抛物线的解析式。若不存在，请说明理由说明理由。（3 3）假设满足条件的解析式存在假设满足条件的解析式存在 由由tanCABcotCBA=1tanCABcotCBA=1得得(OC/OA)(OB/OC)=1(OC/OA)(OB/OC)=1，从而有，从而有OA=OBOA=OB这说明这说明A A，B B一定在原点两侧，所以一定在原点两侧，所以x x1 1=x=x2 2

27、即即x x1 1+x+x2 2=0=0，所以，所以b/a=0b/a=0，因而，因而b=0b=0这与这与b=b=2 2相矛盾，故假设错误，所以不相矛盾，故假设错误，所以不存在这样的抛物线。存在这样的抛物线。创新型、开放型问题创新型、开放型问题 3例例1 1：某种细菌在培养过程中，细菌每：某种细菌在培养过程中，细菌每半小时分裂一次（由一个分裂为两个）半小时分裂一次（由一个分裂为两个），经过两小时，这种细菌由一个可分，经过两小时，这种细菌由一个可分裂繁殖成（裂繁殖成（）A A：8 8个个 B B：1616个个 C C：4 4个个 D D：3232个个 例例1 1：某种细菌在培养过程中，细菌每：某种细

28、菌在培养过程中，细菌每半小时分裂一次（由一个分裂为两个）半小时分裂一次（由一个分裂为两个），经过两小时，这种细菌由一个可分，经过两小时，这种细菌由一个可分裂繁殖成（裂繁殖成（）A A：8 8个个 B B：1616个个 C C：4 4个个 D D：3232个个 分裂分裂次数次数0 01 12 23 34 4细菌细菌个数个数1=21=20 02=22=21 14=24=22 28=28=23 316=216=24 4B例例2 2：如图，已知：如图，已知ABCABC，P P为为ABAB上一点，上一点，连结连结CPCP，要使，要使ACPABCACPABC，只需添，只需添加条件加条件_（只需写一种合适的

29、（只需写一种合适的条件）。条件）。1=B2=ACBAC2=APAB启示：若启示：若Q Q是是ACAC上一点，连结上一点，连结PQPQ，APQAPQ与与ABCABC相似的条件应是什么相似的条件应是什么？例例3 3：先根据条件要求编写应用题，再：先根据条件要求编写应用题，再解答你所编写的应用题。解答你所编写的应用题。编写要求：编写要求：（1 1）：编写一道行程问题的应用题，）：编写一道行程问题的应用题，使得根据其题意列出的方程为使得根据其题意列出的方程为（2 2）所编写应用题完整，题意清楚。）所编写应用题完整，题意清楚。联系生活实际且其解符合实际。联系生活实际且其解符合实际。分析：题目中要求编分析

30、：题目中要求编“行程问题行程问题”故应故应联想到行程问题中三个量的关系（即路程，联想到行程问题中三个量的关系（即路程，速度，时间）速度，时间）路程路程=速度速度时间或时间时间或时间=路程路程速度、速度速度、速度=路程路程 时间时间因所给方程为因所给方程为那么上述关系式应该用：时间那么上述关系式应该用：时间=路程路程 速度速度 故路程故路程=120=120 方程的含义可理解为以两种方程的含义可理解为以两种不同的速度行走不同的速度行走120120的路程，时间差的路程，时间差1 1。所编方程为：所编方程为：A A，B B两地相距两地相距120120千米，甲乙千米，甲乙两汽车同时从两汽车同时从A A地

31、出发去地出发去B B地，甲地，甲 比乙每小比乙每小时多走时多走1010千米，因而比乙早到达千米，因而比乙早到达1 1小时求甲小时求甲乙两汽车的速度？乙两汽车的速度？解：设乙的速度为解：设乙的速度为x x千米千米/时，根据题意得方时，根据题意得方程：程：解之得：解之得：x=30 x=30经检验经检验x=30 x=30是方程的根是方程的根 这时这时x+10=40 x+10=40答：甲答：甲 乙两车的速度分别为乙两车的速度分别为4040千米千米/时，时，3030千米千米/时时例例4 4 已知关于已知关于x x的一元二次方程的一元二次方程 x x2 2+2x+2-m=0+2x+2-m=0（1 1）若方

32、程有两个不相等的实数根，）若方程有两个不相等的实数根，求实数求实数m m的取值范围？的取值范围？（2 2）请你利用（）请你利用（1 1）所得的结论，任）所得的结论，任取取m m的一个数值代入方程，并用配方法的一个数值代入方程，并用配方法求出方程的两个实数根？求出方程的两个实数根？分析：一元二次方程根与判别式的关系 0 方程有两个不相等的实数根，于是有：22-4(2-m)0,解之得m的取值范围；(2)中要求m任取一个值，故同学们可在m允许的范围内取一个即可，但尽量取的m的值使解方程容易些。而且解方程要求用配方法，这就更体现了m取值的重要性，否则配方法较为困难。解（解（1 1）方程有两个不相等的实

33、数根方程有两个不相等的实数根 0 0，即，即4-44-4（2-m)02-m)0 m1 m1（2 2）不妨取）不妨取 m=2 m=2代入方程中得：代入方程中得：x x2 2+2x=0+2x=0配方得：配方得：x x2 2+2x+1+2x+12 2=1=12 2 即（即（x+1)x+1)2 2=1=1x+1=1 x+1=1 解之得：解之得：x x1 1=0 x=0 x2 2=2=2例例5 5 在一服装厂里有大量形状为等腰在一服装厂里有大量形状为等腰直角三角形的边角布料（如图）现找直角三角形的边角布料（如图）现找出其中一种，测得出其中一种，测得C=90C=90，AC=BC=4AC=BC=4，今要从这

34、种三角形中剪出一种扇形，今要从这种三角形中剪出一种扇形，做成不同形状的玩具，使扇形的边缘做成不同形状的玩具，使扇形的边缘半径恰好都在半径恰好都在ABCABC的边上，且扇形的的边上，且扇形的弧与弧与 ABC ABC的其他边相切，请设计出的其他边相切，请设计出所有可能符合题意的方案示意图，并所有可能符合题意的方案示意图，并求出扇形的半径（只要画出图形，并求出扇形的半径（只要画出图形，并直接写出扇形半径）。直接写出扇形半径）。CAB分析：扇形要求弧线与三角形的边相切，半径都在三角分析：扇形要求弧线与三角形的边相切，半径都在三角形边上形边上相切的情况有两种（相切的情况有两种（1）与其中一边相切（直角边

35、相切、）与其中一边相切（直角边相切、斜边相切）斜边相切）（2）与其中两边相切（两直角边相切、一直角边和一）与其中两边相切（两直角边相切、一直角边和一斜边相切）斜边相切）并且尽量能使用边角料（即找最大的扇形）并且尽量能使用边角料（即找最大的扇形）（1）与一直角边相切可如图所示）与一直角边相切可如图所示（2）与一斜边相切如图所示）与一斜边相切如图所示（3）与两直角边相切如图所示）与两直角边相切如图所示（4）与一直角边和一斜边相切如图所示）与一直角边和一斜边相切如图所示解：可以设计如下图四种方案：解：可以设计如下图四种方案：r1=4 r2=2 r3=2 r4=4 -4例例6 6：一单杠高：一单杠高2

36、.22.2米米,两立柱之间的距离为两立柱之间的距离为1.61.6米米,将一根绳子的两端栓于立柱与铁杠结将一根绳子的两端栓于立柱与铁杠结合处合处,绳绳 子自然下垂呈抛物线状子自然下垂呈抛物线状.(1)(1)一身高一身高0.70.7米的小孩子站在离立柱米的小孩子站在离立柱0.40.4米处米处,其头部刚好触上绳子其头部刚好触上绳子,求绳子最低点到求绳子最低点到地面的距离地面的距离;(2)(2)为供孩子们打秋千为供孩子们打秋千,把绳子剪断后把绳子剪断后,中间系一块长为中间系一块长为0.40.4米的木板米的木板,除掉系木板用除掉系木板用去的绳子后去的绳子后,两边的绳子正好各为两边的绳子正好各为2 2米米

37、,木板木板与地面平行与地面平行,求这时木板到地面的距离求这时木板到地面的距离(供选供选用数据用数据:):)分析：由于绳子是抛分析：由于绳子是抛物线型，故求绳子最物线型，故求绳子最低点到地面的距离就低点到地面的距离就是求抛物线的最小值是求抛物线的最小值问题，因而必须知抛问题，因而必须知抛物线的解析式，由于物线的解析式，由于抛物线的对称轴是抛物线的对称轴是y y轴，故可设解析式为：轴，故可设解析式为：y=axy=ax2 2+c+c的形式，的形式，而此人所站位置的坐标为（而此人所站位置的坐标为（0.4,0.7),0.4,0.7),绳子系的坐标为（绳子系的坐标为（0.8,2.2)0.8,2.2)，将其

38、代入，将其代入解析式得解析式得a,ca,c分析：求分析：求EF离地离地面的距离，实际面的距离，实际上是求上是求PO的长度，的长度，也就是求也就是求GH的长的长度，而度，而GH=BHBG，BG正好在正好在RtBFG中，可中，可根据勾股定理求根据勾股定理求出。出。解：如图，根据建立的直角坐标系，解：如图，根据建立的直角坐标系，设二次函数解析式为设二次函数解析式为y=ax2+c，C（.，.）（）（.，.）绳子最低点到地面距离为米绳子最低点到地面距离为米（）作（）作，交于，交于，（）（）（）（）0 0在在中，中，.(米米)故木板到地面的距离约为故木板到地面的距离约为.米米绳子最低点到地面距离为米绳子最低点到地面距离为米（）作（）作，交于，交于，（）（）（）（）0 0在在中，中，