主要内容二重积分定义.ppt

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1、主主 要要 内内 容容二二 重重 积积 分分二重积分的定义二重积分的定义二重积分的几何意义二重积分的几何意义当被积函数大于零时，二重积分是柱体的体积当被积函数大于零时，二重积分是柱体的体积当被积函数小于零时，二重积分是柱体的体积的负值当被积函数小于零时，二重积分是柱体的体积的负值二重积分的性质二重积分的性质性质性质 当当 k 为常数时，为常数时，性质性质性质性质对区域具有可加性对区域具有可加性性质性质若若 为为D的面积，的面积，性质性质若在若在D上上特殊地特殊地则有则有性质性质性质性质二重积分的计算二重积分的计算X型型（）直角坐标系下（）直角坐标系下Y型型（）极坐标系下（）极坐标系下D:D:D

2、:注意：注意：当被积函数为当被积函数为积分区域是圆或积分区域是圆或圆的一部分时，在极坐标系下化为二次积分，圆的一部分时，在极坐标系下化为二次积分，常可简化计算。常可简化计算。二重积分的应用二重积分的应用(1)(1)体积体积设设S曲面的方程为：曲面的方程为：曲面曲面S的面积为的面积为(2)(2)曲面积曲面积(3)(3)重心重心当薄片是均匀的，重心称为当薄片是均匀的，重心称为形心形心.薄片对薄片对 z z 轴上单位质点的引力轴上单位质点的引力G 为引力常数为引力常数(4)(4)引力引力思考与练习思考与练习1.1.2.改变下列二次积分的积分次序：改变下列二次积分的积分次序：1.1.解解D 是是 Y型

3、。型。将将 D 向向 y 轴投影。轴投影。求交点：求交点：于是，于是，D 是是 X型。型。将将 D 向向 x 轴投影。轴投影。得得求交点：求交点：在极坐标系中，闭区域在极坐标系中，闭区域D 可表示为可表示为于是，于是，在极坐标系中，在极坐标系中，D 可表示为可表示为2.改变下列二次积分的积分次序：改变下列二次积分的积分次序：解解(1)积分区域为积分区域为将将 D 向向 y 轴投影。轴投影。积分区域为积分区域为将将 D 向向 x 轴投影轴投影,3.3.4.4.5.5.6.6.7.3.3.解解 D 是是 X型。型。将将 D 向向 x 轴投影。轴投影。解解先去掉绝对值符号，先去掉绝对值符号，4.4.

4、5.5.解解积分区域为积分区域为将将 D 向向 y 轴投影。轴投影。解解6.6.在极坐标系中，闭区域在极坐标系中，闭区域D 可表示为可表示为 证证7.积分区域为积分区域为将将 D 向向 y 轴投影。轴投影。8.8.10.10.9.9.8.8.解解 所求立体可以看成是一个所求立体可以看成是一个曲顶柱体，它的曲顶为曲顶柱体，它的曲顶为底为底为于是，于是，9.9.解解 平面方程平面方程所求面积所求面积所求面积所求面积10.10.解解所求表面分成所求表面分成和和，如图。，如图。第一块（第一块（）在半球面）在半球面第一块（第一块（）在锥面）在锥面记为记为 A。记为记为 A。由由由由因此，曲面因此，曲面和和在在 xoy 面上面上的投影区域均为圆域：的投影区域均为圆域：A的曲面方程为的曲面方程为Dxy 极坐标系下表示：极坐标系下表示：AA的曲面方程为的曲面方程为AAAA 的曲面方程为的曲面方程为所求面积所求面积 A=A+A