临界与极值问题.ppt

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1、一物体平衡的临界与极值问题一物体平衡的临界与极值问题 1动态平衡问题：动态平衡问题：2临界问题：临界问题：3极值问题：平衡物体的极值，一般指在力的变化极值问题：平衡物体的极值，一般指在力的变化过程中的最大值和最小值问题过程中的最大值和最小值问题临界问题是指临界问题是指：某种物理现象转化为另一种：某种物理现象转化为另一种物物 理现象的转折状态称为临界状态。临理现象的转折状态称为临界状态。临界状态可理解为界状态可理解为“恰好出现恰好出现”或或“恰恰不出恰恰不出现现”，至于是，至于是“出现出现”还是还是“不出现不出现”，需，需视具体问题而定。视具体问题而定。平衡问题的临界状态平衡问题的临界状态是指物

2、体的所处的平是指物体的所处的平衡状态将要被破坏而尚未被破坏的状态。这衡状态将要被破坏而尚未被破坏的状态。这类问题称为临界问题。极值问题则是在满足类问题称为临界问题。极值问题则是在满足一定的条件下，某物理量出现极大值或极小一定的条件下，某物理量出现极大值或极小值的情况。临界问题往往是和极值问题联系值的情况。临界问题往往是和极值问题联系在一起的在一起的 例例1跨过定滑轮的轻绳两端，分别系着物体A和物体B，物体A放在倾角为的斜面上，如图所示已知物体A的质量为m，物体A与斜面的动摩擦因数为(tan)，滑轮的摩擦不计，要使物体A静止在斜面上，求物体B的质量的取值范围(按最大静摩擦力等于滑动摩擦力处理)【

3、解析】先选物体B为研究对象，它受到重力mBg和拉力FT的作用，根据平衡条件有：FTmBg 再选物体A为研究对象，它受到重力mg、斜面支持力FN、轻绳拉力FT和斜面的摩擦力作用，假设物体A处于将要上滑的临界状态，则物体A受的静摩擦力最大，且方向沿斜面向下，这时A的受力情况如图所示，根据平衡条件有：FNmgcos0FTFfmmgsin0由摩擦力公式知：FfmFN 联立四式解得mBm(sin cos)再假设物体A处于将要下滑的临界状态，则物体A受的静摩擦力最大，且方向沿斜面向上，根据平衡条件有：FNmgcos 0 FTFfmmgsin 0 由摩擦力公式知：FfmFN 联立四式解得mBm(sin co

4、s)综上所述，物体B的质量的取值范围是：m(sin cos)mBm(sin cos).例例3、某某公公园园要要在在儿儿童童乐乐园园中中建建一一座座滑滑梯梯，已已知知斜斜面面与与物物体体间间滑滑动动摩摩擦擦因因数数=0.75，那那么么倾倾角角至至少少要要多多少少度度儿儿童童在在斜斜面面上上才才可可以以由由静静止止开开始滑下？始滑下？此题答案：此题答案：要要多多少少度度？倾角倾角至少要至少要37【分析分析】这是一个斜面问题。当这是一个斜面问题。当增大时，重力沿斜面的分力增大。增大时，重力沿斜面的分力增大。当此分力增大到等于最大静摩擦力时，物体处于动与不动的临界状当此分力增大到等于最大静摩擦力时，物

5、体处于动与不动的临界状态。此时态。此时最小。最小。【解答解答】依题意，依题意，mgsin=mgcos tg=arctg说明：说明：tg=是一重要临界条件是一重要临界条件。其意义是：其意义是：tg时，重力沿斜面向下的分力大于滑动摩擦力；时，重力沿斜面向下的分力大于滑动摩擦力；1.将物体静止置于斜面上，将物体静止置于斜面上，如如tg，则物体保持静止；，则物体保持静止；如如tg，则物体不能保持静止，而加速下滑。，则物体不能保持静止，而加速下滑。2.将物体以一沿斜面向下的初速度置于斜面上，将物体以一沿斜面向下的初速度置于斜面上，如如tg，则物体做加速运动。，则物体做加速运动。因此，这一临界条件是判断物

6、体在斜面上会如何运动的一个条件。因此，这一临界条件是判断物体在斜面上会如何运动的一个条件。例例4、沙堆的形成测出了沙粒之间的动摩擦因数。研究的过程、沙堆的形成测出了沙粒之间的动摩擦因数。研究的过程如下：研究小组通过观察沙堆的形成过程可以发现，由漏如下：研究小组通过观察沙堆的形成过程可以发现，由漏斗落下的细沙总是在地面上形成一个小圆锥体，继续下落斗落下的细沙总是在地面上形成一个小圆锥体，继续下落时，细沙沿圆锥体表面下滑，当圆锥体的母线与底面夹角时，细沙沿圆锥体表面下滑，当圆锥体的母线与底面夹角达到一定角度时，细沙不再下滑，如图所示。经过反复实达到一定角度时，细沙不再下滑，如图所示。经过反复实验，

7、研究小组得出结论：沙堆的形成与沙粒之间的动摩擦验，研究小组得出结论：沙堆的形成与沙粒之间的动摩擦因数有关。该小组只用一把皮卷尺就测定了沙粒之间的动因数有关。该小组只用一把皮卷尺就测定了沙粒之间的动摩擦因数（假定最大静摩擦力等于滑动摩擦力），则：摩擦因数（假定最大静摩擦力等于滑动摩擦力），则：（1）该小组必须测定的物理量是）该小组必须测定的物理量是_。2）动摩擦因数与这些物理量之间的关系是）动摩擦因数与这些物理量之间的关系是_。例例5、木木箱箱重重为为G，与与地地面面间间的的动动摩摩擦擦因因数数为为，用用斜斜向向上上的的力力F拉拉木木箱箱，使使之之沿沿水水平平地地面面匀匀速速前前进进，如如图图所

8、所示示。问问角角为为何何值值时拉力时拉力F最小？这个最小值为多大？最小？这个最小值为多大？B、DF例例7、如如图图所所示示，物物体体的的质质量量为为2kg，两两根根轻轻绳绳oB和和oC的的一一端端连连接接于于竖竖直直墙墙上上，另另一一端端系系于于物物体体上上，在在物物体体上上另另施施加加一一个个方方向向与与水水平平线线成成60的的拉拉力力F，若若要要使使两两绳绳都都能能伸伸直直，求拉力求拉力F的大小范围。的大小范围。？解析】对小球进行受力分析如图所示，根据物体的平衡条件有，对小球进行受力分析如图所示，根据物体的平衡条件有，当力当力F较小时，较小时，OB张紧，张紧，OC有可能松弛，当力有可能松弛

9、，当力F较大时，较大时，OC张紧，张紧，OB有可能松弛由此有可能松弛由此可知，可知，OC刚要松弛和刚要松弛和OB刚要松弛是此问题的临界条件刚要松弛是此问题的临界条件【例例6】如图所示，用绳如图所示，用绳AC和和BC吊起一吊起一重物，绳与竖直方向夹角分别为重物，绳与竖直方向夹角分别为30和和60，AC绳能承受的最大拉力为绳能承受的最大拉力为150N，而而BC绳能承受的最大的拉力为绳能承受的最大的拉力为100N，求，求物体最大重力不能超过多少？物体最大重力不能超过多少？处理平衡物理中的临界问题和极值问题，首先仍要正确受力分析，搞清临界条件并且要利用好临界条件，列出平衡方程，对于分析极值问题，要善于

10、选择物理方法和数学方法，做到数理的巧妙结合。例例1.1.如图所示，物体如图所示，物体A A靠在竖直墙面上，在力靠在竖直墙面上，在力F F作作用下，用下，A A、B B保持静止保持静止.物体物体A A的受力个数为（的受力个数为（）A.2A.2B.3B.3C.4C.4D.5D.5解析解析整体分析可知整体分析可知A与墙之间无弹力，所以与墙之间无弹力，所以A仅受重力、仅受重力、B对对A的弹力及摩擦力的弹力及摩擦力3个力，应选个力，应选B项项.例2、如图所示，竖直放置的轻弹簧一端固定在地面上，另一端与斜面体P相连，P与斜放在其上的固定档板MN接触且处于静止状态，则斜面体P此刻受到的外力的个数有可能是：A

11、.2 B3 B.C4 D、5 例3如图所示，在水平力F作用下，A、B保持静止，若A与B的接触面是水平的，且F0，则关于B的受力个数可能为()A3 B4 C5 D6l【解析】以A为研究对象，根据平衡条件A对B有压力和摩擦力的作用，以B为研究对象，B除受到A施加的压力和摩擦力外，还受到重力和斜面的支持力作用，斜面与B之间可能存在摩擦力，也可能不存在摩擦力，故选B、C.例4如右图所示，斜面小车M静止在光滑水平面上，一边紧贴墙壁若再在斜面上加一物体m，且M、m相对静止，小车后来受力个数为 ()A3 B4C5 D6【解析】对M和m整体，它们必受到重力和地面支持力，因小车静止，由平衡条件知墙面对小车必无作

12、用力，以小车为研究对象如右图所示，它受四个力；重力Mg，地面的支持力FN1，m对它的压力FN2和静摩擦力Ff，由于m静止，可知Ff和FN2的合力必竖直向下，故B项正确【答案】B例5如右图所示，物体M在斜向右下方的推力F作用下，在水平地面上恰好做匀速运动，则 推 力 F和 物 体 M受 到 的 摩 擦 力 的 合 力 方 向 是 ()A竖直向下 B竖直向上C斜向下偏左 D斜向下偏右【解析】物体M受四个力作用，支持力和重力都在竖直方向上，故推力F与摩擦力的合力一定在竖直方向上，由于推力F的方向斜向下，由此可断定力F与摩擦力的合力一定竖直向下【答案】A例例6、光滑斜面上用细线吊着一重物、光滑斜面上用

13、细线吊着一重物G=10N，小，小球处于静止状态球处于静止状态=300，=600，求：细绳的拉，求：细绳的拉力，和斜面的弹力。力，和斜面的弹力。例7、直角劈形木块质量M=2kg，用外力顶靠在竖直墙上，已知木块与墙之间最大静摩擦力和木块对墙的压力成正比，即fm=kFN，比例系数k=0.5，则垂直作用于BC边的外力F应取何值木块保持静止。物体在斜面上受到的正压力及其所受到的摩擦力物体在斜面上受到的正压力及其所受到的摩擦力 m m m mFN1=mgcosm mF FFN2=mgcosm mF FF Fm mFN4=mgcos FsinFN3=mgcos Ff f动动=F FN N=mgcosmgco

14、sf f静静=mgsin=mgsinf f动动=mgcosmgcosf f静静=|F-mgsin|=|F-mgsin|f f动动=（mgcosFmgcosF）f f静静=mgsin=mgsinf f动动=（mgcosFmgcosFsin）f f静静=|mgsin-Fcos=|mgsin-Fcos|例2、如图所示，物体m与斜面体M一起静止在水平面上若将斜面的倾角稍微增大一些，且物体m仍静止在斜面上，则 ()A斜面体对物体的支持力变小B斜面体对物体的摩擦力变大C水平面与斜面体间的摩擦力变大D水平面与斜面体间的摩擦力变小l【解析】应用隔离法对m受力分析，通过正交分解法分解重力，根据力的平衡条件可得A

15、、B正确应用整体法分析M和m这个整体的受力可知，水平面与斜面体之间的摩擦力一直为零【答案】AB例3、如图所示，一个质量为m的物体放在倾角为的粗糙斜面上，保持静止，现用水平力F推物体，当F由零增加稍许稍许，而物体仍保持静止，则（）A.物体受到的静摩擦力增加；B.物体所受合力增加；C.物体和斜面间的最大静摩擦力增加；D.斜面对物体的支持力增加；CD例4、如图所示.质量为m的物体静止在倾角为的斜面上当沿水平方向对物体施加一水平恒力时,物体仍静止不动.下列判断正确的是 ()(A)物体对斜面的正压力肯定比原来的大(B)物体对斜面的静摩擦力肯定比原来的小(C)物体受到的静摩擦力方向可能发生变化(D)上述说

16、法都正确例5、如图所示，物体A在水平外力F的作用下，静止在斜面上，现在使水平外力F增大一些，物体仍静止在斜面上，关于物体A所受斜面支持力及静摩擦力的变化情况，下面几种说法中正确的是(A)支持力和摩擦力都一定增大(B)支持力和摩擦力不一定都增大(C)支持力增大摩擦力一定减小(D)支持力一定增大，摩擦力不一定增大 例6、如图所示，物体M在竖直向上的拉力F的作用下能静止在斜面上，关于M受力的个数，下列说法中正确的是 ()AM一定受两个力作用 BM一定受四个力作用 CM可能受三个力作用 DM不是受两个力作用就是受四个力作用 l【解析】若拉力F大小等于物体的重力，则物体与斜面间没有相互作用力，此时物体受

17、两个力作用；若拉力F大小小于物体的重力，则斜面对物体产生支持力和静摩擦力，此时物体受四个力作用【答案】D例7、如图所示，斜劈ABC放在粗糙的水平地面上，在斜劈上放一重为G的物块，物块静止在斜劈上，今用一竖直向下的力F作用于物块上，下列说法正确的是 （）A斜劈对物块的弹力增大B物块所受的合力不变C物块受到的摩擦力增大D当力F增大到一定程度时，物体会运动ABC（在斜劈上放一重为（在斜劈上放一重为G的物块，物块静止在斜劈上，应有物块与斜劈间的最大静的物块，物块静止在斜劈上，应有物块与斜劈间的最大静摩擦力大于或等于重力沿斜面向下的分力。用一竖直向下的力摩擦力大于或等于重力沿斜面向下的分力。用一竖直向下

18、的力F作用于物块上，物块作用于物块上，物块对斜劈的压力增大，则斜劈对物块的弹力增大，对斜劈的压力增大，则斜劈对物块的弹力增大，A正确；此时物块与斜劈间的最大静正确；此时物块与斜劈间的最大静摩擦力仍大于或等于（摩擦力仍大于或等于（GF）沿斜面向下的分力，物块不可能运动，）沿斜面向下的分力，物块不可能运动，D错误；物块所错误；物块所受的合力不变，受的合力不变，B正确；实际静摩擦力等于（正确；实际静摩擦力等于（GF）沿斜面向下的分力，物块受到的）沿斜面向下的分力，物块受到的摩擦力增大，摩擦力增大，C正确。）正确。）牛顿定律的临界跟极值1.1.如图所示，质量为如图所示，质量为m的小的小球用细绳挂在倾角

19、为球用细绳挂在倾角为37的光的光滑斜面顶端，斜面静止时，滑斜面顶端，斜面静止时，绳与斜面平行，现斜面向左绳与斜面平行，现斜面向左加速运动。加速运动。(1)(1)当当a1=g时，细绳对时，细绳对小球的拉力多大？小球的拉力多大？(2)(2)当当a2=2g呢？呢？TcosTcosNsin=ma Nsin=ma Tsin+Ncos=mgTsin+Ncos=mg解得解得T=mgsin+macosT=mgsin+macos当当a a1 1=g=g时，时，T T1 1=1.4mg=1.4mg；当；当a a2 2=2g=2g时，时，T T2 2=2.2mg=2.2mg错解分析：斜面向左做加速运动时，随错解分析

20、：斜面向左做加速运动时，随着加速度的增大，小球对斜面压力减小，着加速度的增大，小球对斜面压力减小，当加速度等于当加速度等于4g/34g/3时，小球对斜面压力时，小球对斜面压力为零，加速度大于为零，加速度大于4g/34g/3时，小球飘起来时，小球飘起来原方程不再成立。原方程不再成立。正确分析：（正确分析：（1 1）小球恰好对斜面）小球恰好对斜面无压力作用时，加速度为无压力作用时，加速度为a a，由，由 mgcot=mamgcot=ma0 0，得，得a a0 0=4g/3=4g/3（2 2）当当a a1 1=g=g时，时，T T1 1=1.4mg=1.4mg；（3 3）当）当a a2 2=2g=2

21、g时，小球脱离斜面，时，小球脱离斜面，最后得出最后得出，其中，其中是是T T2 2与水平方向的夹角。与水平方向的夹角。令小球处在离开斜面的临界状态（令小球处在离开斜面的临界状态（N刚好为零）时，刚好为零）时，斜面向右的加速度为斜面向右的加速度为a0，此时小球受力分析如下图所示，此时小球受力分析如下图所示mgT所以：所以：mgT由于由于所以小球会离开斜面，受力如下图所以小球会离开斜面，受力如下图2.2.静摩擦力静摩擦力两物体恰好不发两物体恰好不发生相对运动时，两物生相对运动时，两物体间摩擦力为最大静体间摩擦力为最大静摩擦力摩擦力2.2.如图，物体如图，物体A A叠放在物体叠放在物体B B上，上，

22、B B置于光滑水平面上。置于光滑水平面上。A A、B B质量分质量分别为别为mA=6kg，mB=2kg，A A，B B之之间的动摩擦因数间的动摩擦因数=0.2，开始时，开始时F=10N，此后逐渐增加，在增大，此后逐渐增加，在增大到到45N的过程中，则的过程中，则 ABFA.当拉力当拉力F F12N12N时，两物体均保时，两物体均保 持静止状态持静止状态B.两物体开始没有相对运动，当两物体开始没有相对运动，当 拉力超过拉力超过12N12N时，开始相对滑动时，开始相对滑动C.两物体间从受力开始就有相对两物体间从受力开始就有相对 运动运动D.两物体间始终没有相对运动两物体间始终没有相对运动首先以首先

23、以A A，B B整体为研究对象，由牛顿整体为研究对象，由牛顿第二定律有第二定律有 F=(mF=(mA A+m+mB B)a)a 再以再以B B为研究对象，由牛顿第二定律为研究对象，由牛顿第二定律有有 f=mf=mB Ba a 当当f f为最大静摩擦力时，由为最大静摩擦力时，由得得a=6m/sa=6m/s2 2，F=48NF=48N由此可以看出当由此可以看出当F F48N48N时时A A，B B间的摩间的摩擦力都达不到最大静摩擦力，也就是擦力都达不到最大静摩擦力，也就是说，说，A A，B B间不会发生相对运动。所以间不会发生相对运动。所以D D选项正确。选项正确。3.3.两物体分离两物体分离注意

24、两物体分离注意两物体分离的临界条件：加速度、的临界条件：加速度、速度相等，接触但相互速度相等，接触但相互作用的弹力为零作用的弹力为零【分析与解分析与解】FQP0.2s0.2s以后以后F F为恒力，说为恒力，说明在明在t=0.2st=0.2s时刻时刻P P、Q Q分分离，此时离，此时F F最大。因为最大。因为P P、Q Q脱离前，二者一起脱离前，二者一起匀加速运动，它们受到匀加速运动，它们受到的合外力保持不变，因的合外力保持不变，因此，此，t=0t=0时刻时刻F F最小。最小。设开始弹簧被压缩的形变量为设开始弹簧被压缩的形变量为x x1 1，对对P P、Q Q整体整体，由牛顿第二定律有，由牛顿第

25、二定律有 kxkx1 1=(M+m)g=(M+m)g t=0.2st=0.2s时弹簧的形变量为时弹簧的形变量为x x2 2，对对Q Q，由牛顿第二定律有由牛顿第二定律有 kxkx2 2mg=ma mg=ma 假假 设设 法法假设法是对于待求解的问题，在与原题所给假设法是对于待求解的问题，在与原题所给条件不相违的前提下，人为的加上或减去某条件不相违的前提下，人为的加上或减去某些条件，以使原题方便求解。求解物理试题些条件，以使原题方便求解。求解物理试题常用的有假设物理情景，假设物理过程，假常用的有假设物理情景，假设物理过程，假设物理量等，利用假设法处理某些物理问题，设物理量等，利用假设法处理某些物

26、理问题，往往能突破思维障碍，找出新的解题途径，往往能突破思维障碍，找出新的解题途径，化难为易，化繁为简。化难为易，化繁为简。通过本节训练，着重掌握用假设法确定某个力的通过本节训练，着重掌握用假设法确定某个力的三种方法。三种方法。我们在分析物理现象时，常常出现似乎是这又似我们在分析物理现象时，常常出现似乎是这又似乎是那，不能一下子就很直观地判断时，往往用乎是那，不能一下子就很直观地判断时，往往用似设法去分析可迅速得到正确的结果。似设法去分析可迅速得到正确的结果。利用假设法分析受力的三种方法：利用假设法分析受力的三种方法：方法一：首先假定此力不存大，察看物体会发生方法一：首先假定此力不存大，察看物

27、体会发生怎样的运动，然后再确定此力应在什么方向，物怎样的运动，然后再确定此力应在什么方向，物体才会产生题目所给定的运动状态。体才会产生题目所给定的运动状态。方法二：假定此力沿某一方向，用运动规律进行方法二：假定此力沿某一方向，用运动规律进行验算，若算得是正值，说明此力与假定的方向相验算，若算得是正值，说明此力与假定的方向相同，否则相反。同，否则相反。方法三：在力的作用线上定出坐标轴的正方向，方法三：在力的作用线上定出坐标轴的正方向，将此力用正号运算，若求得是正值，说明此力与将此力用正号运算，若求得是正值，说明此力与坐标轴同向，否则相反。坐标轴同向，否则相反。例题精析例题精析例例1、如图如图21

28、02所示，甲、乙两物体质量分别所示，甲、乙两物体质量分别为为m1=2kg,m2=3kg，叠放在水平桌面上。已知甲、乙，叠放在水平桌面上。已知甲、乙间的动摩擦因数为间的动摩擦因数为1=0.6，物体乙与水平面间的动摩，物体乙与水平面间的动摩因数为因数为2=0.5，现用水平拉力，现用水平拉力F作用于物体乙上，使作用于物体乙上，使两物体一起沿水平方向向右做匀速直线运动，如果运两物体一起沿水平方向向右做匀速直线运动，如果运动中动中F突然变为零，则物体甲在水平方向上的受力情突然变为零，则物体甲在水平方向上的受力情况（况（g取取10m/s2）A大小为大小为12N，方向向右，方向向右B大小为大小为12N，方向

29、向左，方向向左C大小为大小为10N，方向向右，方向向右D大小为大小为10N，方向向左，方向向左例例2、如图如图2105所示，倾角为所示，倾角为的斜面和倾角为的斜面和倾角为的斜面具有共同的顶点的斜面具有共同的顶点P，在顶点上安装一个轻质小，在顶点上安装一个轻质小滑轮，重量均为滑轮，重量均为W的两物块的两物块A、B分别放在两斜面上，分别放在两斜面上，由一根跨过滑轮的细线连接着，已知倾角为由一根跨过滑轮的细线连接着，已知倾角为的斜面粗的斜面粗糙，物块与斜面间摩擦因数为糙，物块与斜面间摩擦因数为；倾角为；倾角为的斜面光滑，的斜面光滑，为了使两物块能静止在斜面上，试列出为了使两物块能静止在斜面上，试列出、必须满足必须满足的关系式。的关系式。例例3、如图所示，质量分别为、如图所示，质量分别为的滑动摩擦系数分别为的滑动摩擦系数分别为沿倾角为沿倾角为的斜面下滑，下述三种情况中杆内是否存在的斜面下滑，下述三种情况中杆内是否存在弹力：弹力：(1)若存在弹力，试求出弹力的大小和方向若存在弹力，试求出弹力的大小和方向的物体的物体A、B与斜面间与斜面间，它们以杆相连，共同，它们以杆相连，共同