中值定理与罗比塔法则.ppt

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1、第四节第四节 导数的应用导数的应用(一)目的与要求目的与要求v了解了解Lagrange中值定理及其几何意义中值定理及其几何意义v掌掌握握罗罗必必塔塔(LHospital)法法则则会会用用罗罗必必塔塔法法则则求求未定式极限未定式极限v理理解解函函数数极极值值的的概概念念,掌掌握握求求函函数数的的极极值值(local max or min),用用 导导 数数 判判 断断 函函 数数 的的 增增 减减 性性(increasing or decreasing),凹凹凸凸性性(concave up or concave down),求求函函数数图图形形的的拐拐点点(inflection point)等方

2、法。等方法。v能能描描绘绘函函数数的的图图形形(包包括括水水平平、铅铅直直和和斜斜渐渐近近线线),掌掌握握函函数数的的最最大大值值(max)和和最最小小值值(min)的的求求法法及其简单应用及其简单应用1 1、费马、费马(Fermat)(Fermat)定理定理:一、中值定理一、中值定理2、罗尔(Rolle)定理例如例如,证明证明:故在故在 a a,b b 上取得最大值上取得最大值M M 和最小值和最小值 m m 若若 M M=m,m,则则因此因此若若 M m,M m,则则 M M 和和 m m 至少有一个与端点值不等至少有一个与端点值不等,不妨设不妨设 则至少存在一点则至少存在一点使使则由费马

3、定理得则由费马定理得 几何解释几何解释:注意注意:若罗尔定理的三个条件中有一个不满足若罗尔定理的三个条件中有一个不满足,其其结论可能不成立结论可能不成立.例如例如,又例如又例如,例例1 1证证由介值定理由介值定理即为方程的小于即为方程的小于1的正实根的正实根.矛盾矛盾,3、拉格朗日(Lagrange)中值定理推论推论1推论推论2例例2 2证证例例3 3证证由上式得由上式得二、罗彼塔二、罗彼塔(LHospital)法则法则定义定义例如例如,定理定理定义定义 这种在一定条件下通过分子分母分别求导再这种在一定条件下通过分子分母分别求导再求极限来确定未定式的值的方法称为罗必塔法则求极限来确定未定式的值

4、的方法称为罗必塔法则.例例1 1解解例例2 2解解例例3 3解解例例4 4解解例例5 5解解注意：罗必塔法则是求未定式的一种有效方法，注意：罗必塔法则是求未定式的一种有效方法，但与其它求极限方法结合使用，效果更好但与其它求极限方法结合使用，效果更好.例例6 6解解例例7 7解解关键关键:将其它类型未定式化为罗必塔法则可解决将其它类型未定式化为罗必塔法则可解决的类型的类型 .步骤步骤:例例8 8解解步骤步骤:步骤步骤:例例9 9解解例例1010解解例例1111解解例例1212解解极限不存在极限不存在罗必塔法则失效。罗必塔法则失效。注意：注意：罗必塔法则的使用条件罗必塔法则的使用条件小结：小结：洛必达法则洛必达法则作业(习题二)27(1)(3)(5)(7)(9)(11);28