一元函数积分学(不定积分的概念与性质).ppt

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1、中南大学开放式精品示范课堂高等数学建设组中南大学开放式精品示范课堂高等数学建设组3.1 3.1 不定积不定积分分高等数学高等数学A A3.1.1 3.1.1 原函数与不定积分的概念原函数与不定积分的概念3.1.2 3.1.2 不定积分的性质不定积分的性质3.1.3 3.1.3 基本积分表基本积分表第第3 3章章 一元函一元函数积分数积分学学3.1 3.1 不定积分不定积分3.1.3 基本积分表基本积分表3.1.1 原函数的概念原函数的概念 不不定定积积分分的的概概念念与与性性质质3.1.2 不定积分的性质不定积分的性质求积分习例求积分习例2-143.1.2 不定积分的概念不定积分的概念 思考题

2、思考题-分段函数的不定积分分段函数的不定积分问题问题 原函数的定义原函数的定义原函数的存在性原函数的存在性定义定义不定积分的几何意义不定积分的几何意义 1.问题问题 一、原函数的概念一、原函数的概念 2.原函数的定义原函数的定义 3.原函数的存在性原函数的存在性 定理定理1.问题：问题：(1)原函数是否唯一？原函数是否唯一？(2)若不唯一若不唯一,它们之间有什么联系它们之间有什么联系？若函数若函数f(x)在区间在区间I上连续上连续,则则f(x)在在I上存在上存在原函数原函数F(x).（为任意常数）为任意常数）如如定理定理2.设设F(x)是是f(x)在区间在区间I内的一个原函数内的一个原函数,则

3、则证明证明:注意注意:(1)初等函数在其定义区间上都有原函数初等函数在其定义区间上都有原函数.(2)初等函数的原函数不一定是初等函数初等函数的原函数不一定是初等函数.(3)原函数不唯一原函数不唯一.(4)如果如果f(x)在在I上存在原函数上存在原函数,则称则称f(x)在在I上可积上可积.任任意意常常数数1.定义定义函数函数f(x)在区间在区间I上的原函数全体上的原函数全体,称为称为f(x)在在I上的不定积分上的不定积分.记为记为积积分分号号被被积积函函数数被被积积表表达达式式积积分分变变量量二、不定积分的概念二、不定积分的概念 每一个求导每一个求导公式公式,反过反过来就是一个来就是一个求原函数

4、的求原函数的公式公式,加上加上积分常数积分常数C就成为一个就成为一个求不定积分求不定积分的公式的公式.注意注意:(1)尽管不定积分中各个部分都有其独特的含义，尽管不定积分中各个部分都有其独特的含义，但在使用时须作为一个整体看待但在使用时须作为一个整体看待.(2)积分变量是指积分变量是指d后面的那个量后面的那个量.(3)不定积分与原函数是两个不同的概念，它们不定积分与原函数是两个不同的概念，它们是整体是整体 与个体的关系，原函数是一个函数，不与个体的关系，原函数是一个函数，不定积分是一族函数定积分是一族函数.2.不定积分的几何意义不定积分的几何意义 若若F(x)是是f(x)的一个原函数的一个原函

5、数,则称则称y=F(x)的图形为的图形为f(x)的的一条积分曲线一条积分曲线.如图如图.xoy这些曲线在横坐标这些曲线在横坐标相同处切线平行相同处切线平行.例例1.设曲线通过点（设曲线通过点（1，2），且其上任一点处的），且其上任一点处的切线斜率等于这点横坐标的两倍，求此曲线方程切线斜率等于这点横坐标的两倍，求此曲线方程.解解:设曲线方程为设曲线方程为根据题意知根据题意知由曲线通过点（由曲线通过点（1，2）所求曲线方程为所求曲线方程为是常数是常数);三、基本积分表三、基本积分表特别地特别地,证明证明:故结论正确故结论正确.四、不定积分的性质四、不定积分的性质不定积分的基本性质：不定积分的基本性

6、质：(k为任意常数为任意常数)性质性质(1)(2)说明微分运算与求不定积分的运算说明微分运算与求不定积分的运算是是互逆互逆互逆互逆的的.性质性质(3)可推广到有限多个函数之和的情况可推广到有限多个函数之和的情况.五、求不定积分习例五、求不定积分习例-直接积分直接积分法法例例2.计算计算例例3.计算计算例例4.计算计算例例5.计算计算例例6.计算计算例例7.计算计算例例8.计算计算例例9.计算计算例例10.计算计算例例11.计算计算例例12.计算计算例例13.计算计算例例14.计算计算解解:+C例例2.计算计算例例3.解解:例例4.解解:例例5.解解:例例6.解解:解解:例例7.计算计算解解:例

7、例8.计算计算分式化成最分式化成最简真分式的简真分式的代数和代数和解解:例例9.计算计算分式化成最分式化成最简真分式的简真分式的代数和代数和例例10.解解:假分式假分式化成多项式化成多项式加真分式加真分式例例11.解解:以上几例中的被积函数都需要进行恒等以上几例中的被积函数都需要进行恒等变形，才能使用基本积分表变形，才能使用基本积分表.说明：说明：例例12.解解:例例13.解解:解解:说明说明:被积函数为三角函数时需要进行三被积函数为三角函数时需要进行三角恒等变形，才能使用基本积分表角恒等变形，才能使用基本积分表.例例14.计算计算思考题思考题-分段函数的不定积分的求法分段函数的不定积分的求法1.先求各分段部分在相应区间内的原函数先求各分段部分在相应区间内的原函数2.考察在分界点处函数的连续性考察在分界点处函数的连续性例例15.15.例例16.16.例例15.15.解解:例例16.16.解解: