矩阵的标准型及分解.ppt

《矩阵的标准型及分解.ppt》由会员分享，可在线阅读，更多相关《矩阵的标准型及分解.ppt（97页珍藏版）》请在淘文阁 - 分享文档赚钱的网站上搜索。

1、数学系数学系 李继根（李继根（）矩阵的标准型及分解 Still waters run deep.流静水深流静水深,人静心深人静心深 Where there is life,there is hope。有生命必有希望。有生命必有希望 标准型的理论源自矩阵的相似性，因为相标准型的理论源自矩阵的相似性，因为相似矩阵有许多似矩阵有许多相似不变量相似不变量：特征多项式、特征：特征多项式、特征值（包括代数重数和几何重数）、行列式、迹值（包括代数重数和几何重数）、行列式、迹及秩等，并且特征向量也可以借助于可逆的相及秩等，并且特征向量也可以借助于可逆的相似变换矩阵互相求出。这自然导出了寻找相似似变换矩阵互相求

2、出。这自然导出了寻找相似矩阵集合中的矩阵集合中的“代表矩阵代表矩阵”的问题。的问题。“代表矩代表矩阵阵”当然越简单越好。对于当然越简单越好。对于可对角化矩阵可对角化矩阵，“代表矩阵代表矩阵”就是特征值组成的对角矩阵。特别就是特征值组成的对角矩阵。特别地，对于地，对于正规矩阵正规矩阵，可逆的相似变换矩阵特殊，可逆的相似变换矩阵特殊化为酉矩阵或正交矩阵。但是令人非常遗憾的化为酉矩阵或正交矩阵。但是令人非常遗憾的是：是：一般矩阵未必与对角矩阵相似！一般矩阵未必与对角矩阵相似！3.2、矩阵的、矩阵的Jordan标准型标准型由于一般矩阵与对角矩阵不相似，因此我由于一般矩阵与对角矩阵不相似，因此我们们“退

3、而求其次退而求其次”，寻找，寻找“几乎对角的几乎对角的”矩阵。这就引出了矩阵在相似下的各种标矩阵。这就引出了矩阵在相似下的各种标准型问题，其中准型问题，其中Jordan标准型是标准型是最接近对最接近对角的矩阵角的矩阵，只在第只在第1条对角线上取条对角线上取1或或0。弄清楚了矩阵相似的本质，理论上、计算弄清楚了矩阵相似的本质，理论上、计算上以及应用上的许多问题就容易处理了，上以及应用上的许多问题就容易处理了，当然花费也大了。当然花费也大了。一、一、Jordan标准型的概念标准型的概念定理定理定理定理 1 1 1 1 设设 是复数域是复数域 上的线性空间上的线性空间 上的上的线性变换线性变换 。令

4、。令 在在 的一组基下的矩阵表示为的一组基下的矩阵表示为 ，如果，如果 的的特征多项式特征多项式可分解因式为可分解因式为则则 可分解成不变子空间的直和可分解成不变子空间的直和这里这里适当选取每个子空间适当选取每个子空间 的基（称为的基（称为JordanJordan基基基基），），则每个子空间的则每个子空间的Jordan基合并起来即为基合并起来即为 的的JordanJordan基基基基，并且，并且 在该在该Jordan基下的矩阵为块对角阵基下的矩阵为块对角阵称称 为为 的的的的JordanJordan标准型标准型标准型标准型。并称方阵。并称方阵为为 阶阶阶阶Jordan Jordan 块。块。块

5、。块。定理定理定理定理 2 2 2 2 设设 。如果。如果 的特征多项式可的特征多项式可分解因式为分解因式为则则 可经过可经过相似变换相似变换化成唯一的化成唯一的 Jordan标准型标准型 (不计不计Jordan块的排列次序块的排列次序)，即存在可逆矩阵，即存在可逆矩阵(称为称为JordanJordan变换矩阵变换矩阵变换矩阵变换矩阵)使使或者或者 有有JordanJordan分解分解分解分解二、二、Jordan标准型的一种简易求法标准型的一种简易求法把把 的同一个特征值的若干个的同一个特征值的若干个Jordan块块排列在一起，排列在一起，就得到就得到Jordan标准型标准型其中其中 是是 阶

6、的阶的Jordan子矩阵，子矩阵，有有 个个阶数为阶数为 的的Jordan块块，即，即其中其中 是是 阶的矩阵。阶的矩阵。根据根据 的结构，将的结构，将Jordan变换矩阵变换矩阵 列分块为列分块为由由 ，可知，可知进一步，根据进一步，根据 的结构，将的结构，将 列分块为列分块为其中其中 是是 阶矩阵。阶矩阵。由由 ，可知，可知最后，根据最后，根据 的结构，设的结构，设由由 ，可知，可知解这个方程组，可得到解这个方程组，可得到JordanJordan链链链链这个名称也可以这样理解：这个名称也可以这样理解：其中，其中，是矩阵是矩阵 关于特征关于特征值值 的一个特征向量，的一个特征向量，则称为则称

7、为 的的广义特征向量广义特征向量广义特征向量广义特征向量,称称 为为 的的 级级根向量根向量根向量根向量。当所有的当所有的 时，可知时，可知 ，此时矩阵没，此时矩阵没有广义特征向量，有广义特征向量，的各列是的各列是 的线性无关的特的线性无关的特征向量，因此征向量，因此JordanJordan块块块块 都是一阶的，此时都是一阶的，此时JordanJordan标准型标准型标准型标准型为为 即矩阵即矩阵 是是可对角化矩阵可对角化矩阵可对角化矩阵可对角化矩阵。显然正规矩阵是一类最显然正规矩阵是一类最显然正规矩阵是一类最显然正规矩阵是一类最特殊的可对角化矩阵。特殊的可对角化矩阵。特殊的可对角化矩阵。特殊

8、的可对角化矩阵。例例 3 3 求矩阵求矩阵 的的 Jordan标准型标准型 和相应的和相应的Jordan变换矩阵变换矩阵 ，其中，其中解：解：特征值为特征值为 ，所以设，所以设因为特征值因为特征值 为单根，所以为单根，所以并从并从 解得对应的特征向量为解得对应的特征向量为对于二重特征值对于二重特征值 ，由，由只解得唯一的特征向量为只解得唯一的特征向量为因此因此 中只有一个中只有一个Jordan块，即块，即求解求解 ，可得所需的广义特征向量，可得所需的广义特征向量对重根有几个特征向量，就有几个约旦块综合上述，可得综合上述，可得例例 4 4 用用 Jordan标准型理论求解标准型理论求解线性微分方

9、程组线性微分方程组解：解：方程组的矩阵形式为方程组的矩阵形式为这里这里其中其中由上例，存在可逆线性变换由上例，存在可逆线性变换 使得使得所以原方程组变为所以原方程组变为即即解得解得最后，由可逆线性变换最后，由可逆线性变换 得原方程组的解得原方程组的解例例 5 5 现代控制理论中，现代控制理论中，线性定常系统线性定常系统线性定常系统线性定常系统(Linear time invariant,LTI)的的状态空间描述状态空间描述状态空间描述状态空间描述为为这里矩阵这里矩阵 表示了系统内部状态变量之间的联系，表示了系统内部状态变量之间的联系，称为称为系统矩阵系统矩阵系统矩阵系统矩阵；矩阵；矩阵 称为称

10、为输入矩阵输入矩阵输入矩阵输入矩阵或或控制矩阵控制矩阵控制矩阵控制矩阵；矩阵矩阵 称为称为输出矩阵输出矩阵输出矩阵输出矩阵或或观测矩阵观测矩阵观测矩阵观测矩阵；矩阵；矩阵 称为称为直直直直接观测矩阵接观测矩阵接观测矩阵接观测矩阵。做可逆线性变换做可逆线性变换 ，则，则 显然，最简单的显然，最简单的 就是就是 的的Jordan标准型。此时标准型。此时虽然没有实现状态变量间的虽然没有实现状态变量间的完全解耦完全解耦完全解耦完全解耦，但也达到了可，但也达到了可能达到的能达到的最简耦合形式最简耦合形式最简耦合形式最简耦合形式。因此线性变换就是状态空间。因此线性变换就是状态空间的基底变换，的基底变换，其

11、目的在于寻找描述同一系统的运动行其目的在于寻找描述同一系统的运动行为的尽可能简单的状态空间描述为的尽可能简单的状态空间描述。求下列求下列状态方程状态方程状态方程状态方程的约当标准型：的约当标准型：这里矩阵这里矩阵 是特征多项式是特征多项式 的的友矩阵友矩阵友矩阵友矩阵。解：解：的特征值为的特征值为 ，故设，故设因为特征值因为特征值 为单根，所以为单根，所以并从并从 解得对应的特征向量为解得对应的特征向量为只解得唯一的特征向量为只解得唯一的特征向量为对于二重特征值对于二重特征值 ，由，由因此因此 中只有一个中只有一个Jordan块，即块，即求解求解 ，可得所需的广义特征向量，可得所需的广义特征向

12、量综合上述，可得综合上述，可得因此经过可逆线性变换因此经过可逆线性变换 后，系统矩阵后，系统矩阵 和和控制矩阵控制矩阵 分别为分别为 例例 6 6 求矩阵求矩阵 的的 Jordan标准型标准型 和相应的和相应的Jordan变换矩阵变换矩阵 ，其中，其中因为特征值因为特征值 为单根，所以为单根，所以解：解：的特征值为的特征值为 ，则，则 并从并从 解得对应的特征向量为解得对应的特征向量为对于三重特征值对于三重特征值 ，由，由 解得两个特征向量为解得两个特征向量为因此因此 中有两个中有两个Jordan块，即块，即求解求解 ，无解无解！求解求解 ，可得所需的广义特征向量，可得所需的广义特征向量综合上

13、述，可得综合上述，可得综合上述，可得综合上述，可得要特别当心的是，要特别当心的是，如果选取三重特征值如果选取三重特征值 的特征向量为的特征向量为求解求解 ，无解无解！求解求解 ，也无解也无解！这说明，在选取特征值这说明，在选取特征值 的的 个特征向量个特征向量前述求法显然存在有待深化。前述求法显然存在有待深化。这说明，在选取特征值这说明，在选取特征值 的的 个特征向量个特征向量三、三、Jordan标准型的一般方法标准型的一般方法有非零解的最小正整数有非零解的最小正整数。根据前面的分析，这个最小正整数也就是相应于特征根据前面的分析，这个最小正整数也就是相应于特征值值 的的最大最大JordanJo

14、rdan块的阶数块的阶数。设设 为复方阵为复方阵 的代数重数为的代数重数为 的特征值，的特征值，为为使得等式使得等式成立的成立的最小正整数最小正整数(称为特征值称为特征值 的的指标指标指标指标)，即使得，即使得（3）计算）计算 。按此计算出的按此计算出的 就是就是 阶阶Jordan块块 的个的个数。不计顺序，就唯一确定了相应的数。不计顺序，就唯一确定了相应的Jordan标准型。标准型。规定规定 。（。（1）计算）计算（2）计算）计算 直至出现直至出现 则则则可得最长的则可得最长的Jordan链链取取 满足满足至于相应的子矩阵至于相应的子矩阵 的构造，我们通过一个例子来的构造，我们通过一个例子来

15、说明。假定说明。假定这里这里对于另外两条长为对于另外两条长为 2 的的Jordan链，可这样选取：链，可这样选取：例例 7 7 求矩阵求矩阵 的的 Jordan标准型标准型 和相应的和相应的Jordan变换矩阵变换矩阵 ，其中，其中因为特征值因为特征值 为单根，所以为单根，所以解：解：的特征值为的特征值为 ，则，则 并从并从 解得对应的特征向量为解得对应的特征向量为对于三重特征值对于三重特征值 ，计算得，计算得从而得最长的从而得最长的Jordan链链解解 得非零向量得非零向量显然显然 线性无关。线性无关。解解 得非零向量得非零向量令令可以验证成立等式可以验证成立等式3.3、Cayley-Ham

16、ilton定理及其应用定理及其应用Jordan标准型的计算复杂，而特征多项式标准型的计算复杂，而特征多项式与之关系密切。由于与之关系密切。由于Cayley和和Hamilton发现发现矩阵的特征多项式是矩阵的零化多项矩阵的特征多项式是矩阵的零化多项式式（相当于零因子式），因此（相当于零因子式），因此类比类比多项式多项式的带余除法理论的带余除法理论，以适当的零化多项式为，以适当的零化多项式为商，将矩阵多项式转化为相应的余式，从商，将矩阵多项式转化为相应的余式，从而降低多项式的次数，就成了另一种思路。而降低多项式的次数，就成了另一种思路。一、一、Cayley-Hamilton定理定理定理定理定理定理

17、1 1 1 1 （Cayley-Hamilton定理定理）阶方阵阶方阵 是其特征多项式是其特征多项式 的的“根根”，即，即定义定义定义定义2 2 2 2 是关于是关于 的多项式。如果的多项式。如果 ，则称则称 是矩阵是矩阵 的的零化多项式零化多项式零化多项式零化多项式。显然矩阵显然矩阵 的特征多项式的特征多项式 是矩是矩阵阵 的一个的一个零化多项式零化多项式零化多项式零化多项式。例例 3 3 求矩阵求矩阵 的的矩阵多项式矩阵多项式矩阵多项式矩阵多项式 ，其中，其中解：解：矩阵矩阵 的特征多项式为的特征多项式为令令则则可知可知因此因此二、最小多项式（二、最小多项式（minimal polynom

18、ial)定义定义定义定义4 4 4 4在矩阵在矩阵 的所有零化多项式中，的所有零化多项式中，次数最低次数最低的的首一首一多项式称为多项式称为 的的最小多项式最小多项式最小多项式最小多项式，记为，记为 。例如矩阵例如矩阵的最小多项式的最小多项式 ，因为，因为定理定理定理定理5 5 5 5 矩阵矩阵 的最小多项式的最小多项式 整除整除 的任的任一零化多项式。特别地，一零化多项式。特别地，整除整除 的特征多项式的特征多项式 。定理定理5 5说明可以从矩阵的特征多项式中寻找矩阵的说明可以从矩阵的特征多项式中寻找矩阵的最小多项式。最小多项式。证明：证明：证明：证明：若若 为为 的任意零化多项式，则有的任

19、意零化多项式，则有因此因此由于由于所以所以由于由于 的次数小于的次数小于 的次数，所以的次数，所以定理定理定理定理6 6 6 6 矩阵矩阵 的最小多项式的最小多项式 的的根根必定是必定是 的的特征值特征值；反之，；反之，的特征值也必定是的特征值也必定是 的最小多的最小多项式项式 的根。的根。特征值与相似关系紧密，相似矩阵的特征多项式特征值与相似关系紧密，相似矩阵的特征多项式相同，那么相似矩阵的最小多项式呢？答案是也相同，那么相似矩阵的最小多项式呢？答案是也相同。所以求矩阵的最小多项式就转化为求其相同。所以求矩阵的最小多项式就转化为求其Jordan标准型的最小多项式。标准型的最小多项式。但遗憾的

20、是具有相但遗憾的是具有相同最小多项式的矩阵未必是相似的同最小多项式的矩阵未必是相似的(为什么？为什么？)。证明：证明：证明：证明：根据定理根据定理5 5，前半部分显然成立。，前半部分显然成立。若若 有特征对有特征对 ，则，则因此因此 那么那么 的最小多项式为的最小多项式为定理定理定理定理7 7 7 7 矩阵矩阵 的最小多项式的最小多项式 是矩阵是矩阵 的第的第 个不变因子个不变因子 ，也就是说，如果有，也就是说，如果有 这里这里 为为 的的Jordan标准型标准型 中包含中包含 的的 最大最大Jordan块的阶数，即指标块的阶数，即指标。例例 8 8 求矩阵求矩阵 的的 最小多项式最小多项式

21、，其中，其中并求矩阵并求矩阵 的的矩阵多项式矩阵多项式矩阵多项式矩阵多项式解：解：对矩阵对矩阵 进行初等变换，可得进行初等变换，可得因此因此 的最小多项式为的最小多项式为由于由于因此因此定理定理定理定理9 9 9 9 矩阵矩阵 可对角化的可对角化的充要条件充要条件是是 的最小多的最小多项式没有重根。项式没有重根。例例 10 10 证明幂等矩阵一定相似于对角矩阵证明幂等矩阵一定相似于对角矩阵。证明：证明：证明：证明：由于由于 ，因此，因此 是是 的零化多项式。由于的零化多项式。由于 没有重根，没有重根，因此因此 也没有重根。根据定理也没有重根。根据定理 9 9，结论成，结论成立。立。3.4 Sm

22、ith标准型标准型由于由于Jordan标准型的计算需要特征值、特标准型的计算需要特征值、特征向量及广义特征向量的信息，因此与征向量及广义特征向量的信息，因此与特特征多项式征多项式关系密切。从函数的眼光看，特关系密切。从函数的眼光看，特征多项式实际上是特殊的征多项式实际上是特殊的函数矩阵函数矩阵（元素（元素是函数的矩阵），这就自然引出对是函数的矩阵），这就自然引出对 矩矩阵的研究，并希望能籍此简化阵的研究，并希望能籍此简化Jordan标准标准型的繁杂计算。型的繁杂计算。一、一、矩阵及其标准型矩阵及其标准型定义定义定义定义1 1 1 1称矩阵称矩阵 为为 矩阵矩阵矩阵矩阵，其中元素，其中元素 为数

23、域为数域 上关于上关于 的多项式。的多项式。定义定义定义定义2 2 2 2 称称 阶阶 矩阵矩阵 是是可逆的可逆的可逆的可逆的，如果有，如果有 并称并称 为为 的的逆矩阵逆矩阵逆矩阵逆矩阵。反之亦然。反之亦然。注意与数字矩阵不同的是满秩矩阵未必是可逆的。注意与数字矩阵不同的是满秩矩阵未必是可逆的。定理定理定理定理3 3 3 3 矩阵矩阵 可逆的可逆的充要条件充要条件是其行列式是其行列式 为为非零的常数非零的常数，即，即定义定义定义定义4 4 4 4 如果矩阵如果矩阵 经过有限次的经过有限次的初等变换初等变换化成化成矩阵矩阵 ，则称矩阵，则称矩阵 与与 等价等价，记为，记为定理定理定理定理5 5

24、 5 5 矩阵矩阵 与与 等价的等价的充要条件充要条件是存在是存在可逆矩阵可逆矩阵 ，使得，使得定理定理定理定理6 6 6 6 任意任意 阶的阶的 矩阵矩阵 都必定有都必定有一个与之一个与之等价等价的的Smith标准型标准型这里这里 ，非零对角元，非零对角元是首一（首项系数为是首一（首项系数为1 1）多项式，并且）多项式，并且例例 7 7 求矩阵求矩阵 的的 Smith标准型标准型，其中，其中解：解：对矩阵对矩阵 进行初等变换，可得进行初等变换，可得即为所求的即为所求的Smith标准型。标准型。3.7 3.7 传递函数矩阵传递函数矩阵一、传递函数阵的引入：一、传递函数阵的引入：一、传递函数阵的

25、引入：一、传递函数阵的引入：2 2）MIMOMIMO系统，多输入对多输出，故引入传递函数阵系统，多输入对多输出，故引入传递函数阵G(s)G(s)，G(s)G(s)是一个矩阵，可以表征多个输入对系统输出的影响；是一个矩阵，可以表征多个输入对系统输出的影响；状态空间表达式：状态空间表达式：二、传递函数阵定义：二、传递函数阵定义：二、传递函数阵定义：二、传递函数阵定义：根据传递函数定义，根据传递函数定义，式式(1)(1)拉氏变换，并令拉氏变换，并令 ，得式，得式(2)(2)：1 1）SISOSISO系统，一输入对一输出，用传递函数系统，一输入对一输出，用传递函数G(s)G(s)描述，描述，G(s)G

26、(s)是一个元素；是一个元素；整理（整理（2 2）式得：）式得：注意矩阵求逆注意矩阵求逆定义定义传递函数阵传递函数阵：说明说明说明说明 ：1 1）dim(G(s)=mrdim(G(s)=mr，其中，其中dim()dim()表示表示的维数。的维数。m m是输出维数，是输出维数，r r是输入维数。是输入维数。2 2）G(s)G(s)的每个元素的含义：的每个元素的含义：表示第表示第i i个输出中，由第个输出中，由第j j个输入变量引起个输入变量引起的输出和第的输出和第j j个输入变量间的传递关系。个输入变量间的传递关系。3 3）同一系统，不同的状态空间表达式对应的）同一系统，不同的状态空间表达式对应

27、的G(s)G(s)是相同的。是相同的。例例例例 求由求由 表述系统的表述系统的G(s)G(s)解解解解 ：根据矩阵求逆公式：根据矩阵求逆公式：由传递函数阵公式得：由传递函数阵公式得：求得：求得：求得传递函数阵为：求得传递函数阵为：例例例例2 2 2 2 求如图所示二输入二输出求如图所示二输入二输出系统的传递函数阵。系统的传递函数阵。步骤：步骤：步骤：步骤：1 1、确定、确定G(s)G(s)维数。维数。2 2、确定、确定G(s)G(s)中各元素的值。中各元素的值。解解解解 ：根据根据G(s)G(s)矩阵中每个元素的含义，很容易写出上图的矩阵中每个元素的含义，很容易写出上图的传递函数阵传递函数阵

28、小结小结小结小结 ：第三章第三章 矩阵的标准形与若干分解形矩阵的标准形与若干分解形式式8.舒尔定理及矩阵的QR分解舒尔定理任意n阶复矩阵A，存在酉矩阵U，使得其中T是上三角阵，且其对角线元素为A的特征值。3.8 Schur 定理及矩阵的定理及矩阵的QR分解分解QR分解在矩阵计算中占据相当重要的地位。利分解在矩阵计算中占据相当重要的地位。利用用QR分解，可以解决各种应用中（例如工程力分解，可以解决各种应用中（例如工程力学、流体力学、图像压缩处理、结构分析等）学、流体力学、图像压缩处理、结构分析等）出现的出现的最小二乘问题最小二乘问题、特征值问题特征值问题等矩阵计算等矩阵计算中的核心问题。尤其是基

29、于中的核心问题。尤其是基于QR分解的分解的QR算法，算法，是求解是求解小型稠密矩阵特征值问题小型稠密矩阵特征值问题的最主要的、的最主要的、数值稳定的算法。数值稳定的算法。使用矩阵语言，就是使用矩阵语言，就是QR分解分解：这里，这里，是酉矩阵或正交矩阵，是酉矩阵或正交矩阵，是上三角阵是上三角阵此时线性方程组此时线性方程组变成变成即即三角方程组三角方程组例例 1 1 利用利用Gram-Schmidt方法将下列矩阵进行方法将下列矩阵进行QR分解：分解：解解：所以所以 的的QR分解为：分解为：例例 9 9 （图像压缩）（图像压缩）对于一幅用对于一幅用 像素矩阵像素矩阵 表示的图像，如表示的图像，如果传

30、送所有果传送所有 个数据，显然数据量太大。因个数据，显然数据量太大。因此我们希望传送少一些的数据，并且在接收端此我们希望传送少一些的数据，并且在接收端还能重构原图像。如果我们从矩阵还能重构原图像。如果我们从矩阵 的的SVD中中选择选择 个奇异三元组个奇异三元组 来逼近原图像，来逼近原图像，即用即用 个数值代替像素矩阵个数值代替像素矩阵 。那。那么在接收端，我们可得到么在接收端，我们可得到从而在接收端近似地重构出原图像。此时，图从而在接收端近似地重构出原图像。此时，图像的像的压缩比压缩比为为3.9 矩阵的奇异值分解矩阵的奇异值分解4.奇异值奇异值分解分解则则半正定半正定阵阵的特征的特征值值称称为为 A 的奇异的奇异值值。定理：设定理：设其中其中则则存在正交存在正交阵阵 使得使得其中其中V 是正交阵。令是正交阵。令由前式可知由前式可知其中其中扩扩充成交充成交阵阵把把即求解方程即求解方程的的基础解系，基础解系，再规范正交化即得再规范正交化即得例例5、求、求的谱分解的的奇异奇异值值分解。分解。解：解：标准标准正交化正交化:例例6、求、求的谱分解的的奇异奇异值值分解。分解。解：解：