第5章特征值与特征向量胡建华.ppt

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1、第5章特征值与特征向量胡建华 Still waters run deep.流静水深流静水深,人静心深人静心深 Where there is life,there is hope。有生命必有希望。有生命必有希望把把(1)改写为改写为定义定义设设 ,如果存在数如果存在数 和和非零非零非零非零向量向量 满足满足则则称称数数 为为A的的特特征征值值,称称非非零零向向量量 为为A的的对对应应于于(或或属属于于)特特征征值值 的的特征向量特征向量.由由(2)得得 是是A的特征值的特征值 是是A的属于特征值的属于特征值 的特征向量的特征向量是齐次方程组是齐次方程组 的非零解的非零解一、特征值与特征向量的概念

2、一、特征值与特征向量的概念一、特征值与特征向量的概念一、特征值与特征向量的概念2 由代数基本定理，由代数基本定理，n次代数方程在复数域上恰有次代数方程在复数域上恰有 n 个根个根(重根重根按重数计算按重数计算)。因此，。因此，n 阶方阵在复数域上恰有阶方阵在复数域上恰有 n 个特征值个特征值.约约约约定定定定关于特征值、特征向量的讨论在复数域上进行关于特征值、特征向量的讨论在复数域上进行.记记称称 为为 A 的的特征多项式特征多项式，称，称 为为 A 的的特征方特征方程程.由前面的分析，特征方程的根即为由前面的分析，特征方程的根即为A的特征值的特征值.3解特征方程解特征方程例例1 1求矩阵求矩

3、阵 的特征值与特征向量的特征值与特征向量.解解 求特征多项式求特征多项式得特征值为得特征值为4解方程组解方程组 ，得基础解系：，得基础解系：则属于特征值则属于特征值 的所有的特征向量为的所有的特征向量为解方程组解方程组 ，得基础解系：，得基础解系：则属于特征值则属于特征值 的所有的特征向量为的所有的特征向量为5例例2 2求矩阵求矩阵 的特征值的特征值.得得 A 的的 n 个特征值为个特征值为问问 对角矩阵对角矩阵,下三角矩阵的特征值等于什么？下三角矩阵的特征值等于什么？解解 由由6例例3 3求矩阵求矩阵 的特征值和特征向量的特征值和特征向量.解解7A 的特征值为的特征值为对于对于 ，解方程组，

4、解方程组同解方程组为同解方程组为 ，令，令 ，得基础解系，得基础解系因此，对应于特征值因此，对应于特征值 的所有特征向量为的所有特征向量为8对于特征值对于特征值 ，解方程组，解方程组同解方程组为同解方程组为 ，令，令得基础解系得基础解系因此，对应于特征值因此，对应于特征值 的所有特征向量为的所有特征向量为9回答问题回答问题回答问题回答问题(测试对特征值与特征向量概念的理解测试对特征值与特征向量概念的理解测试对特征值与特征向量概念的理解测试对特征值与特征向量概念的理解)：(1)向量向量 满足满足 ,是是 A 的特征向量吗？的特征向量吗？(2)实矩阵的特征值与特征向量一定是实的吗实矩阵的特征值与特

5、征向量一定是实的吗?(4)矩阵矩阵 A 是可逆矩阵的充要条件是是可逆矩阵的充要条件是 A 的所有特征值的所有特征值_.(5)设设 ，A 必有一个特征值为必有一个特征值为_.(3)设设 ，A 有一个特征值为有一个特征值为_.设设 可逆可逆,A 的特征值一定不等于的特征值一定不等于_.(6)A 的特征值与的特征值与 的特征值有什么关系？的特征值有什么关系？(7)一个特征值对应于几个特征向量一个特征值对应于几个特征向量?其中线性无关的特征其中线性无关的特征 向量有几个？向量有几个？10例例4 4 证明：一个特征向量只能对应一个特征值证明：一个特征向量只能对应一个特征值.证证 假设假设 是是 A 的一

6、个特征向量，其对应的特征值有两个的一个特征向量，其对应的特征值有两个 和和 .移项移项则则例例5 5 设设 ，证明，证明 A 的特征值只能是的特征值只能是0 0或或1.1.证证 设设 是是 A 的一个特征向量，对应的特征向量为的一个特征向量，对应的特征向量为 .则则由由再再11二、特征值与特征向量的性质二、特征值与特征向量的性质二、特征值与特征向量的性质二、特征值与特征向量的性质性质性质1 1 A 与与 有相同的特征值有相同的特征值.性质性质2 2 设设 n 阶矩阵阶矩阵 A 的的 n 个特征值为个特征值为 ，是一多项式，则是一多项式，则的的 n 个特征值为个特征值为 且对应的特征向量相同且对

7、应的特征向量相同.例如：设例如：设2阶矩阵阶矩阵A的两个特征值为的两个特征值为 ，则，则 的两个的两个特征值为特征值为12性质性质3 3 设设 n 阶可逆矩阵阶可逆矩阵 A 的的 n 个特征值为个特征值为 ，则则 的的 n 个特征值为个特征值为 且对应的特征且对应的特征向量相同向量相同.性质性质4 4 设设 n 阶可逆矩阵阶可逆矩阵 的的 n 个特征值为个特征值为 ，则则13例例6 6 设设3阶矩阵阶矩阵A的三个特征值为的三个特征值为 ,求求解解的三个特征值为的三个特征值为计算得计算得因此因此矩阵矩阵14解解 由例例7 7 已知矩阵已知矩阵 的的3个特征值为个特征值为 ，得得解之解之求求 x，

8、y.15定义定义 设设A，B都是都是 n 阶矩阵，若存在可逆矩阵阶矩阵，若存在可逆矩阵 P，使得，使得则称则称A与与B相似相似，记为，记为AB.特别地，如果矩阵特别地，如果矩阵 A 与对角矩阵相似，则称与对角矩阵相似，则称 A 是是可对角可对角化的化的.5.2 5.2 方阵的对角化方阵的对角化方阵的对角化方阵的对角化 对对 A 进行的矩阵变换进行的矩阵变换 称为相似变换，其中称为相似变换，其中 P 称称为相似变换矩阵为相似变换矩阵.16相似变换的性质相似变换的性质(1)相似关系是一种等价关系相似关系是一种等价关系(满足三条满足三条);(2)设设AB,则则 ；(3)设设AB,则则 ;(4)设设A

9、B，则则 A 与与 B 有相同的特征值有相同的特征值;(5)设设AB，则则 ;(6)设设AB，则则 ;(7)设设AB，则则 与与 相似，其中相似，其中 是一多项式是一多项式;(8)设设AB，且且 A 可逆可逆,则则 与与 相似。相似。17 解解例例1 1 设设 与与 相似，相似，求求 a 与与 b,以及以及 A 的特征值的特征值.由由 ，比较两多项式的系数得，比较两多项式的系数得解得解得A的特征值即为的特征值即为B的特征值，它们是：的特征值，它们是：18 由相似变换的性质知，相似变换保留了原矩阵的很多信息由相似变换的性质知，相似变换保留了原矩阵的很多信息.我们的目标是把一个矩阵用相似变换变为最

10、简单形状，其中特别我们的目标是把一个矩阵用相似变换变为最简单形状，其中特别地变为对角矩阵地变为对角矩阵.下面我们重点讨论下面我们重点讨论矩阵可对角化的条件矩阵可对角化的条件矩阵可对角化的条件矩阵可对角化的条件.19 定理定理定理定理1 1 n 阶矩阵阶矩阵 A 可对角化的充要条件是可对角化的充要条件是 A 有有 n 个线性无个线性无关的特征向量。关的特征向量。证证 先证必要性先证必要性.设设A可对角化，即存在可逆矩阵可对角化，即存在可逆矩阵P使得使得记记 ，则，则于是于是上式说明，上式说明，就是对应于特征值就是对应于特征值 的特征向量的特征向量.由于由于P是可逆矩是可逆矩阵，故阵，故 线性无关

11、线性无关.把上述证明过程倒推即得充分性的证明把上述证明过程倒推即得充分性的证明.20可验证可验证 线性无关，故线性无关，故A可对角化可对角化.见后面注见后面注第第1步步 求特征值求特征值 即求即求 的基础解系的基础解系第第2步步 求线性无关的特征向量，求线性无关的特征向量，例例2 2 讨论矩阵讨论矩阵 是否可对角化是否可对角化.若可以，求若可以，求可逆矩阵可逆矩阵P使使 为对角矩阵为对角矩阵.参见参见5.1例例321第第3步步 把线性无关的特征向量拼成可逆矩阵把线性无关的特征向量拼成可逆矩阵P.第第4步步 写出相似变换及对角矩阵写出相似变换及对角矩阵.注注注注 下面的定理告诉我们，本题中下面的

12、定理告诉我们，本题中 的线性无关性不需的线性无关性不需要验证要验证.22 定理定理定理定理2 2 不同特征值对应的线性无关的特征向量合并后仍是不同特征值对应的线性无关的特征向量合并后仍是线性无关的。线性无关的。即设即设 是矩阵是矩阵A的不同的特征值，又设的不同的特征值，又设 对应的线性无关的特征向量为对应的线性无关的特征向量为对应的线性无关的特征向量为对应的线性无关的特征向量为对应的线性无关的特征向量为对应的线性无关的特征向量为仍是线性无关的。仍是线性无关的。则把这些特征向量合并得到的则把这些特征向量合并得到的 个向量个向量23 推论推论推论推论(可对角化的充分条件可对角化的充分条件)n 阶矩

13、阵阶矩阵 A 如有如有 n 个不同的特个不同的特征值，则它有征值，则它有 n 个线性无关的特征向量，从而个线性无关的特征向量，从而 A 可对角化可对角化.24设设n阶矩阵阶矩阵A的所有不同的特征值为的所有不同的特征值为 ，则，则这里这里 .称称 为特征值为特征值 的的代数重数代数重数.特征值特征值 对应的线性无关的特征向量的最大个数为对应的线性无关的特征向量的最大个数为称称 为特征值为特征值 的的几何重数几何重数.也称也称 是是A的的 重特征值重特征值.考察下列矩阵特征值的代数重数与几何重数是多少？考察下列矩阵特征值的代数重数与几何重数是多少？25问问问问 单重特征值对应的线性无关的单重特征值

14、对应的线性无关的 特征向量有几个特征向量有几个?定理定理定理定理3 3 矩阵矩阵A的任一特征值的任一特征值 的代数重数的代数重数 与几何重数与几何重数 有下面关系：有下面关系：定理定理定理定理4 4 矩阵矩阵A可对角化的充要条件是可对角化的充要条件是A的每个不同特征值的的每个不同特征值的代数重数与几何重数相等代数重数与几何重数相等.例如例如都是不可对角化的矩阵都是不可对角化的矩阵.26例例3 3 矩阵矩阵 是否可角化？是否可角化？解解 由由得得A的特征值为的特征值为只需考察二重特征值只需考察二重特征值 的几何重数是否等于的几何重数是否等于2.易知易知故二重特征值故二重特征值 的几何重数为的几何

15、重数为 A不可对角化不可对角化.27例例4 4 设设 ，问，问 x 为何值时，为何值时，A 可角化？可角化？解解 由由得得A的不同的特征值为的不同的特征值为A可对角化的充要条件是可对角化的充要条件是 ，即，即 .28 例例5 5 设设 A 是是 n 阶的幂等矩阵（即阶的幂等矩阵（即 ），证明），证明 A 必可对必可对角化，并求出相应的对角矩阵角化，并求出相应的对角矩阵.证证 由前面的结果知由前面的结果知 A 的特征值只可能为的特征值只可能为 0 或或 1，且，且特征值特征值 的几何重数为的几何重数为 ，特征值，特征值 的几何的几何重数为重数为 .故故 A 有有个线性无关的特征向量个线性无关的特

16、征向量.从而从而 A 可对角化可对角化.且相应的对角矩阵为且相应的对角矩阵为29应用题举例应用题举例应用题举例应用题举例例例1 1（见（见5.1引例引例1）求解差分方程：求解差分方程：则则解解 记记直接计算直接计算 比较困难比较困难,先把先把 A 对角化对角化.计算得计算得 A 的特征值与特征的特征值与特征向量为向量为30令令 则则且且31得得例如例如注注 它们确实都是正整数它们确实都是正整数!再由再由32例例2 2 求解下面微分程组：求解下面微分程组：解解 记记则微分方程组可写成则微分方程组可写成33令令 则则矩阵矩阵A是可角化的，可求得是可角化的，可求得即即解得解得34由由 ，得，得为任意常数为任意常数.35