最新平面及其方程 (3)PPT课件.ppt

《最新平面及其方程 (3)PPT课件.ppt》由会员分享，可在线阅读，更多相关《最新平面及其方程 (3)PPT课件.ppt（77页珍藏版）》请在淘文阁 - 分享文档赚钱的网站上搜索。

1、平面及其方程平面及其方程(3)如果一非零向量垂直如果一非零向量垂直于一平面，这向量就叫做于一平面，这向量就叫做该平面的该平面的法线向量法线向量法线向量的法线向量的特征特征：垂直于平面内的任一向量垂直于平面内的任一向量已知已知设平面上的任一点为设平面上的任一点为必有必有(一一)、平面的点法式方程、平面的点法式方程例例3求过点求过点且平行于且平行于z 轴的平面方程轴的平面方程解一解一用点法式用点法式设所求平面的法向量为设所求平面的法向量为则则由点法式得，所求平面的方程为由点法式得，所求平面的方程为即即解二解二 用一般式用一般式因平面平行于因平面平行于 z 轴，故可设平面方程为轴，故可设平面方程为在

2、平面上在平面上解得解得所求平面方程为所求平面方程为即即一般地一般地过不共线的三点过不共线的三点的平面的法向量的平面的法向量平面方程为平面方程为三点式方程三点式方程解解:(详见详见p42）这就是点到平面距离公式这就是点到平面距离公式由以上几例可见，求平面方程的基本思路和由以上几例可见，求平面方程的基本思路和基本步骤：基本步骤：两定两定定点，定向定点，定向定义定义（通常取锐角）（通常取锐角）两平面法向量之间的夹角称为两平面的两平面法向量之间的夹角称为两平面的夹角夹角.(三三)、两平面的夹角、两平面的夹角(了解了解)按照两向量夹角余弦公式有按照两向量夹角余弦公式有两平面夹角余弦公式两平面夹角余弦公式

3、两平面位置特征：两平面位置特征：/五、直线及其方程五、直线及其方程定义定义空间直线可看成两平面的交线空间直线可看成两平面的交线空间直线的一般方程（不唯一）空间直线的一般方程（不唯一）（一）、空间直线的一般方程（一）、空间直线的一般方程方向向量的定义：方向向量的定义：如果一非零向量平行于如果一非零向量平行于一条已知直线，这个向量称一条已知直线，这个向量称为这条直线的为这条直线的方向向量方向向量/(二二)、空间直线的对称式方程与参数、空间直线的对称式方程与参数方程方程直线的对称式方程或直线的对称式方程或点向式方程点向式方程令令直线的一组直线的一组方向数方向数（有无穷）（有无穷）方向向量的余弦称为方

4、向向量的余弦称为直线的直线的方向余弦方向余弦.直线的参数方程直线的参数方程令令直线的一组直线的一组方向向量方向向量注意注意：一直线的方向向量有无穷个，任意：一直线的方向向量有无穷个，任意两个对应分量成比例，且两个对应分量成比例，且m,n,p不同时为不同时为0若其中若其中m=0,规定分子也为规定分子也为0，即两平面交线：，即两平面交线：例例1求经过求经过两点的直线方程两点的直线方程解解因为直线过因为直线过两点两点因此可取因此可取作为直线的方向向量作为直线的方向向量由点向式即得所求直线的方程为由点向式即得所求直线的方程为直线的两点式方程直线的两点式方程例例2 2 用对称式方程及参数方程表示直线用对

5、称式方程及参数方程表示直线解一解一用点向式用点向式在直线上任取一点在直线上任取一点取取解得解得点坐标点坐标因所求直线与两平面的法向量都垂直因所求直线与两平面的法向量都垂直取取对称式方程对称式方程参数方程参数方程解二解二用两点式用两点式已求出一点已求出一点再求出一点再求出一点令令得得解得解得点坐标点坐标所求直线方程为所求直线方程为参数方程参数方程解三解三由由两式相加得两式相加得代入方程组得代入方程组得即即称为称为投影方程投影方程实际上这就是所求直线的参数方程实际上这就是所求直线的参数方程对称式方程对称式方程解解所以交点为所以交点为取取所求直线方程所求直线方程由以上几例可见，求直线方程的思路、步骤

6、由以上几例可见，求直线方程的思路、步骤：两定两定定点、定向定点、定向六、曲面及其方程六、曲面及其方程水桶的表面、台灯的罩子面等水桶的表面、台灯的罩子面等曲面在空间解析几何中被看成是点的几何轨迹曲面在空间解析几何中被看成是点的几何轨迹曲面方程的定义：曲面方程的定义：曲面的实例：曲面的实例：（一）、曲面方程的概念（一）、曲面方程的概念(二）以下给出几例常见的曲面二）以下给出几例常见的曲面.解解根据题意有根据题意有所求方程为所求方程为特殊地：球心在原点时方程为特殊地：球心在原点时方程为1.球面球面以上例子表明研究空间曲面有以上例子表明研究空间曲面有两个基本问题两个基本问题：（2 2）已知坐标间的关系

7、式，研究曲面形状）已知坐标间的关系式，研究曲面形状（讨论旋转曲面）（讨论旋转曲面）（讨论柱面、二次曲面）（讨论柱面、二次曲面）（1 1）已知曲面作为点的轨迹时，求曲面方程）已知曲面作为点的轨迹时，求曲面方程2.旋转曲面旋转曲面定义定义 以一条平面以一条平面曲线绕其平面上的曲线绕其平面上的一条直线旋转一周一条直线旋转一周所成的曲面称为旋所成的曲面称为旋转曲面转曲面.这条定直线叫旋转这条定直线叫旋转曲面的曲面的轴轴播放播放旋转过程中的特征：旋转过程中的特征：如图如图将将 代入代入将将 代入代入得方程得方程 平面曲线绕某轴旋转，轴坐标变量不变，平面曲线绕某轴旋转，轴坐标变量不变，而将曲线方程中的另一

8、变量改写成该变量与而将曲线方程中的另一变量改写成该变量与第三个变量的平方和的正负平方根。第三个变量的平方和的正负平方根。例例2 2 将下列各曲线绕对应的轴旋转一周，求将下列各曲线绕对应的轴旋转一周，求生成的旋转曲面的方程生成的旋转曲面的方程旋旋转转双双曲曲面面旋旋转转椭椭球球面面旋转抛物面旋转抛物面播放播放定义：定义：3.柱面柱面观察柱面的形观察柱面的形成过程成过程:平行于定直线并沿定曲线平行于定直线并沿定曲线 移动的直线移动的直线 所形成的曲面称为柱面所形成的曲面称为柱面.这条定曲线这条定曲线 叫叫柱面的柱面的准线准线，动直线动直线 叫柱叫柱面的面的母线母线.柱面举例柱面举例抛物柱面抛物柱面

9、平面平面从柱面方程看柱面的从柱面方程看柱面的特征特征：（其他类推）（其他类推）实实 例例椭圆柱面椭圆柱面 /轴轴双曲柱面双曲柱面 /轴轴抛物柱面抛物柱面 /轴轴曲面方程的概念曲面方程的概念旋转曲面的概念及求法旋转曲面的概念及求法.柱面的概念柱面的概念(母线、准线母线、准线).四、小结四、小结思考题思考题 指出下列方程在平面解析几何中和空指出下列方程在平面解析几何中和空间解析几何中分别表示什么图形？间解析几何中分别表示什么图形？思考题解答思考题解答平面解析几何中平面解析几何中空间解析几何中空间解析几何中斜率为斜率为1的直线的直线方程方程二次曲面的定义：二次曲面的定义：三元二次方程所表示的曲面称之

10、三元二次方程所表示的曲面称之相应地平面被称为相应地平面被称为一次曲面一次曲面讨论二次曲面性状的讨论二次曲面性状的截痕法截痕法：用坐标面和平行于坐标面的平面与曲面用坐标面和平行于坐标面的平面与曲面相截，考察其交线（即截痕）的形状，然后相截，考察其交线（即截痕）的形状，然后加以综合，从而了解曲面的全貌加以综合，从而了解曲面的全貌以下用截痕法讨论几种特殊的二次曲面以下用截痕法讨论几种特殊的二次曲面1.椭球面椭球面 椭球面与椭球面与三个坐标面三个坐标面的交线：的交线：椭圆截面的大小随平面位置的变化而变化椭圆截面的大小随平面位置的变化而变化.椭球面与平面椭球面与平面 的交线为椭圆的交线为椭圆同理与平面同

11、理与平面 和和 的交线也是椭圆的交线也是椭圆.椭球面的几种特殊情况：椭球面的几种特殊情况：旋转椭球面旋转椭球面由椭圆由椭圆 绕绕 轴旋转而成轴旋转而成旋转椭球面与椭球面的旋转椭球面与椭球面的区别区别：方程可写为方程可写为与平面与平面 的交线为圆的交线为圆.球面球面截面上圆的方程截面上圆的方程方程可写为方程可写为2.抛物面抛物面（与与 同号）同号）椭圆抛物面椭圆抛物面用截痕法讨论：用截痕法讨论：（1）用坐标面）用坐标面 与曲面相截与曲面相截截得一点，即坐标原点截得一点，即坐标原点设设原点也叫椭圆抛物面的原点也叫椭圆抛物面的顶点顶点.与平面与平面 的交线为椭圆的交线为椭圆.当当 变动时，这种椭变动

12、时，这种椭圆的圆的中心中心都在都在 轴上轴上.与平面与平面 不相交不相交.（2）用坐标面）用坐标面 与曲面相截与曲面相截截得抛物线截得抛物线与平面与平面 的交线为抛物线的交线为抛物线.它的轴平行于它的轴平行于 轴轴顶点顶点（3）用坐标面）用坐标面 ，与曲面相截与曲面相截均可得抛物线均可得抛物线.同理当同理当 时可类似讨论时可类似讨论.zxyoxyzo椭圆抛物面的图形如下：椭圆抛物面的图形如下：特殊地：当特殊地：当 时，方程变为时，方程变为旋转抛物面旋转抛物面（由（由 面上的抛物线面上的抛物线 绕它的轴绕它的轴旋转而成的）旋转而成的）与平面与平面 的交线为圆的交线为圆.当当 变动时，这种圆变动时，这种圆的的中心中心都在都在 轴上轴上.（与与 同号）同号）双曲抛物面（马鞍面）双曲抛物面（马鞍面）用截痕法讨论：用截痕法讨论：设设图形如下：图形如下：xyzo椭球面、抛物面、椭球面、抛物面、截痕法截痕法.（熟知这几个常见曲面的特性）（熟知这几个常见曲面的特性）小结思考题思考题方程方程表示怎样的曲线？表示怎样的曲线？