最新定积分概念PPT课件.ppt

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1、定积分概念定积分概念abxyoabxyo（四个小矩形）（四个小矩形）（九个小矩形）（九个小矩形）用矩形面积近似取代曲边梯形面积用矩形面积近似取代曲边梯形面积 可以看到可以看到,小矩形越多小矩形越多,小矩形的总面积越接近小矩形的总面积越接近于曲边梯形面积于曲边梯形面积 A 20 定积分的定义定积分的定义定义定义设设 f(x)在在 a,b 上有定义上有定义,在在(a,b)内任意内任意 将将 a,b 分成分成 n 个小区间个小区间:在每个小区间上任取在每个小区间上任取一点一点 ,作和式作和式如果如果则称则称 f(x)在在 a,b 可积可积,A 称为称为 f(x)在在 a,b上的上的 定积分定积分,记

2、为记为 ,a 称为称为积分下限积分下限;b 称为称为积分上限积分上限;f(x)称为称为被积被积函数函数;f(x)dx 称为称为被积表达式被积表达式;x 称为称为积分变量积分变量 说明说明:(1)定积分的几何意义定积分的几何意义:abxyo如果如果 y=f(x)0,x a,b曲边梯形的面积曲边梯形的面积:(2)极限值极限值 A 与区间与区间 a,b 的划分方式无关的划分方式无关,与与 的选取方式无关的选取方式无关 即即(3)在上述定义中认为在上述定义中认为 a b 的情形的情形:规定规定:对于对于 b=a 的情形的情形:规定规定:(面积为零面积为零)定理定理(定积分存在的必要条件定积分存在的必要

3、条件)如果如果 f(x)在在 a,b上可积上可积,则则 f(x)在在 a,b 上有界上有界 说明说明:a,b上的无界函数是不可积的上的无界函数是不可积的 定理定理(定积分存在的充分条件定积分存在的充分条件)如果如果 f(x)在在 a,b上连续或分段连续上连续或分段连续,则则 f(x)在在 a,b上可积上可积 说明说明:连续函数连续函数必是必是可积函数可积函数,不连续的函数也不连续的函数也可能是可能是可积函数可积函数 例例利用定义计算定积分利用定义计算定积分解解 由由 在在 0,a 上连续上连续,将将 0,a 区间区间 n 等分等分,分点分点:取取则有则有0,a上可积上可积.可知可知 f(x)在

4、在说明说明:此例说明用定义此例说明用定义计算定积分是非常困难的计算定积分是非常困难的 定积分可被用来计算定积分可被用来计算“和式和式”的极限的极限若若 f(x)在在 a,b 上连续上连续,则根据定积分的定义有则根据定积分的定义有即当所求极限的即当所求极限的“和式和式”为积分和时为积分和时,可利用可利用(1)转化为定积分的计算转化为定积分的计算 当然当然,(1)也只能解决是也只能解决是“积分和积分和”或或“可化为可化为积分和积分和”的和式极限计算问题的和式极限计算问题 (1)例例计算计算解解例例计算计算解解由于由于据夹逼定理知据夹逼定理知例例计算计算解解记记则则由于由于所以所以解解例例把区间把区间 a,b (a 0)分成分成 n 等分等分,分点为分点为 xi,计算计算 设设所以所以