最新定态薛定谔方程解的算例PPT课件.ppt

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1、定态薛定谔方程解的算例定态薛定谔方程解的算例1、一维简谐振子势、一维简谐振子势势能势能势能函数是一条抛物线哈密顿方程为：哈密顿方程为：谐振子势能为V(x)、质量为m的粒子例题例题1：设想一个质量为设想一个质量为m=1g的小球悬挂在一个小轻弹的小球悬挂在一个小轻弹簧下做振幅为簧下做振幅为A=1mm的简谐振动。弹簧系数为的简谐振动。弹簧系数为k=0.1N/m。按量子理论计算：。按量子理论计算：1）此弹簧谐振子的能级间隔有多大？）此弹簧谐振子的能级间隔有多大？2）与它现有的振动能量对应的量子数是多少？）与它现有的振动能量对应的量子数是多少？例题例题2 2：HCL气体能强烈吸收波长为气体能强烈吸收波长

2、为3.465um的的红红外外辐辐射。射。这这是是HCL分子振子吸收入射光子能量的分子振子吸收入射光子能量的结结果。果。求：求：1）振子的振）振子的振动频动频率；率；2）绝对绝对零度零度时时一摩一摩尔尔HCL气体的气体的总总振振动动能量。能量。2、一维无限深势阱、一维无限深势阱如图，如图，中，势能为中，势能为0 0；、中，势能为中，势能为不分区的哈密顿方程不分区的哈密顿方程I I区中区中IIIIIIE:动能0通解为通解为目的：目的：了解势井中量子状态的特点，了解势井中量子状态的特点，分立能级、零度能等分立能级、零度能等。为无限深势阱中势能是常量，粒子不受力做自由运动令令II、III区中区中哈密顿

3、方程为哈密顿方程为：其形式上的通解其形式上的通解：依据波函数的边界条件依据波函数的边界条件表明：势阱外的波函数为表明：势阱外的波函数为0 0由于由于就有上式就有上式该齐次方程非该齐次方程非零解的条件：零解的条件：势井中波函数势井中波函数，在阱壁上为，在阱壁上为0，所以边界条件为：所以边界条件为：即有即有因而有因而有即即而而势井中粒子的势井中粒子的能量本征值能量本征值1 1）势阱内粒子能量是量子化的，是势阱中波函数的共同点势阱内粒子能量是量子化的，是势阱中波函数的共同点 结论：结论：进一步确定进一步确定本征函数本征函数2 2）不存在不存在n=0n=0的波函数，零点能不为零的波函数，零点能不为零:

4、为什么？为什么？这是由粒子的波动性所决定的，由不确定原理：这是由粒子的波动性所决定的，由不确定原理：势阱中的位置不确定量为势阱中的位置不确定量为xaxa不可能有不可能有对波函数对波函数归一化：归一化：当当时，依据边界条件，有时，依据边界条件，有归一化条件就是粒子在整个空间内出现的总概率为1偶宇称偶宇称奇宇称粒子的能量本征粒子的能量本征函数与坐标关系函数与坐标关系偶函数奇函数偶宇称奇宇称概率密度图形概率密度图形由上述概率密度与坐标的关系我们可以看到：由上述概率密度与坐标的关系我们可以看到：1）这里由粒子的波动性给出的这里由粒子的波动性给出的概率密度的周期性分布概率密度的周期性分布与与经经典粒子分

5、布典粒子分布完全不同，按经典理论，粒子在阱内来来回回完全不同，按经典理论，粒子在阱内来来回回自由运动，在各处的概率密度应该是相等的，而且与粒子自由运动，在各处的概率密度应该是相等的，而且与粒子的能量无关。的能量无关。2）与经典粒子不同的第二点。由与经典粒子不同的第二点。由量子粒子的量子粒子的最小能量为最小能量为：这这符合符合不确定关系，因为量子粒子在有限空间内运动，其速度不确定关系，因为量子粒子在有限空间内运动，其速度不可能为零，而经典粒子可能处于静止的能量为零的最低能态不可能为零，而经典粒子可能处于静止的能量为零的最低能态3）由粒子的能量公式，可得到势阱中粒子的动量由粒子的能量公式，可得到势

6、阱中粒子的动量:相应地，粒子的德布罗意波长为：相应地，粒子的德布罗意波长为：该波长也量子化了，它只能是势阱长度两倍的整数分之一。该波长也量子化了，它只能是势阱长度两倍的整数分之一。这就类似于两端固定的弦中产生的驻波的情况。这就类似于两端固定的弦中产生的驻波的情况。无限深势阱中粒子的每一个能量本征态对应于德布罗意波的无限深势阱中粒子的每一个能量本征态对应于德布罗意波的一个特定波长的驻波一个特定波长的驻波!例题例题 在原子核在原子核 内的内的质子质子和和中子中子可粗略的看可粗略的看成是处于无限深势阱中而不能逸出，它们在核中成是处于无限深势阱中而不能逸出，它们在核中的运动也可以认为是自由的。按一维无

7、限深势阱的运动也可以认为是自由的。按一维无限深势阱估算，质子从第一激发态（估算，质子从第一激发态（n=2n=2）到第二激发态）到第二激发态（n=1n=1）转变时，放出的能量是多少）转变时，放出的能量是多少MeV?MeV?例题例题 根据叠加原理，几个波函数的叠加仍是一个波函数。根据叠加原理，几个波函数的叠加仍是一个波函数。假设在无限深势阱中粒子的一个叠加态是有基态和假设在无限深势阱中粒子的一个叠加态是有基态和第一激发态叠加而成，前者的幅是第一激发态叠加而成，前者的幅是1/2 1/2，后者的幅，后者的幅是是 （这就意味着基态的基本概率是这就意味着基态的基本概率是1/41/4，第一，第一激发态的基本

8、概率是激发态的基本概率是3/43/4）。）。试求这一叠加态的概率分布。试求这一叠加态的概率分布。3、阶跃势阶跃势定义：势能在空间某一位置由一个值突然变定义：势能在空间某一位置由一个值突然变为另一个值的势场。为另一个值的势场。粒子在阶跃势场中的运动粒子在阶跃势场中的运动在量子力学中，只需要求解薛定谔方程：在量子力学中，只需要求解薛定谔方程：a)对x0区域，V(x)=0X0 x0区域要使区域要使 满足满足“有限有限”的要求，的要求，必须要求必须要求C=0C=0。要使波函数连续，在要使波函数连续，在x=0 x=0的位置必须要满足：的位置必须要满足：b)x0区域区域V(x)=V0 薛定谔可以写为薛定谔

9、可以写为：其通解为：其通解为：如果这两个区域波函数满足物理条件，那么它一定是单值、如果这两个区域波函数满足物理条件，那么它一定是单值、有限和连续，否则就不满足波函数的标准条件。有限和连续，否则就不满足波函数的标准条件。把两个区域中的通解代入上两式，可以得到：把两个区域中的通解代入上两式，可以得到：于是于是另外，势能在全区域有限，且波函数和能量另外，势能在全区域有限，且波函数和能量E 也有限，从而波也有限，从而波函数的二阶导数也将有限。因此，要求其一阶导数连续：函数的二阶导数也将有限。因此，要求其一阶导数连续：物理意义：物理意义：X0，它们的概率密度为：它们的概率密度为：在此区域随在此区域随x

10、x的增大而随指数快速衰减，但在的增大而随指数快速衰减，但在x=0 x=0的附近不为零的附近不为零。表明，在表明，在X0的区域有一定的几率能够发现或找到粒子！的区域有一定的几率能够发现或找到粒子！由上式可知，出现这种几率只在由上式可知，出现这种几率只在x=0 x=0的很小的区域内，即的很小的区域内，即它常称为：透入距离范围内才有显著的值，超过此范围将快速趋于零范围内才有显著的值，超过此范围将快速趋于零在经典物理中，如果粒子的总能量小于势阱的高度，在经典物理中，如果粒子的总能量小于势阱的高度，粒子由于无法越过这一能量差而只能在势阱之内运动，粒子由于无法越过这一能量差而只能在势阱之内运动，要想越过这

11、个势能区是完全不可能的！要想越过这个势能区是完全不可能的！但按照量子力学理论给出，其势能大于总能量的区域但按照量子力学理论给出，其势能大于总能量的区域内，即势阱之外，波函数并不等于零。内，即势阱之外，波函数并不等于零。说明粒子仍有一定的概率密度，虽然这个概率密度是说明粒子仍有一定的概率密度，虽然这个概率密度是以指数规律随进入该区域的深度而快速减小的，但它以指数规律随进入该区域的深度而快速减小的，但它可以穿透势阱壁进入势阱之外的区域。可以穿透势阱壁进入势阱之外的区域。如何理解量子力学给出的这一结果？为什么粒子的动如何理解量子力学给出的这一结果？为什么粒子的动能可能有负值？能可能有负值？在在区（区

12、（EV0）可以看做粒子进入该区域的典型深度，在该处发现粒子的概率可以看做粒子进入该区域的典型深度，在该处发现粒子的概率已降为已降为1/e1/e。该距离我们可以认为是在此区域内发现粒子的位置。该距离我们可以认为是在此区域内发现粒子的位置不确定度。即不确定度。即这要归之于这要归之于不确定关系不确定关系！根据不确定关系，粒子在这段距离内的动量不确定度为：根据不确定关系，粒子在这段距离内的动量不确定度为：粒子进入的速度可以认为是粒子进入的速度可以认为是于是粒子进入的时间不确定度为：于是粒子进入的时间不确定度为：由此，按能量时间不确定关系式，粒子能量的不确定度为由此，按能量时间不确定关系式，粒子能量的不

13、确定度为此时，粒子的总能量将是此时，粒子的总能量将是粒子在到达区域内，其动能的不确定度大于其名义上的粒子在到达区域内，其动能的不确定度大于其名义上的负动能负动能值。值。因此，该因此，该负动能负动能只不过是被不确定关系只不过是被不确定关系“掩盖掩盖”了，它只是一了，它只是一种观察不到的种观察不到的“虚虚”动能。这和实验上能观察到的能量守恒并动能。这和实验上能观察到的能量守恒并不矛盾。不矛盾。4、方势垒、方势垒方势垒如图所示，哈密顿方程为方势垒如图所示，哈密顿方程为通解通解通解通解方程同区，但这里无反射波，故 如果粒子是从势垒的左边入射，如果粒子是从势垒的左边入射，通解通解 中中表示从左侧入射的波

14、表示从左侧入射的波(粒子粒子)表示碰撞器壁后被反射回去的波表示碰撞器壁后被反射回去的波(粒子粒子)由于在势垒右侧原来没有粒子，所以由于在势垒右侧原来没有粒子，所以 B B3 3=0=0于是于是表示表示贯穿势垒后贯穿势垒后而透射过来的波而透射过来的波(粒子粒子)可以计算出粒子流量，用可以计算出粒子流量，用几率流密度几率流密度表示表示粒子从粒子从I I区经过区经过势垒势垒进入进入IIIIII区，称作区，称作势垒贯穿势垒贯穿或或隧道效应。隧道效应。可以利用下述边界条件和波函数的条件确定：可以利用下述边界条件和波函数的条件确定：一阶微商连续一阶微商连续粒子从粒子从I区经过区经过势垒势垒进入进入III区

15、的穿透率区的穿透率还还可用如下方法计算可用如下方法计算入射粒子的概率入射粒子的概率(几率几率)幅幅反射粒子的概率幅反射粒子的概率幅贯穿势垒的粒子的几率幅贯穿势垒的粒子的几率幅所以透射率和反射率可按下面的方法求出：所以透射率和反射率可按下面的方法求出：通常只需计算向右运动的粒子。如果势垒的高度通常只需计算向右运动的粒子。如果势垒的高度V0比入射粒比入射粒子能量子能量E大得多，或势垒较宽时，即大得多，或势垒较宽时，即物理意义：物理意义：1）能量能量E小于势垒高度的粒小于势垒高度的粒子确实有一定的几率穿越势子确实有一定的几率穿越势垒。透射系数垒。透射系数T与势垒宽度与势垒宽度a、(V0 E)和粒子质

16、量有关和粒子质量有关2）随着势垒宽度随着势垒宽度a的增加，的增加，透射率透射率T按指数衰减。按指数衰减。若把上式简单看做主要是由指数部分若把上式简单看做主要是由指数部分决定的，于是决定的，于是如果在势垒内部距表面距离为如果在势垒内部距表面距离为d处，几率衰减为表面的处，几率衰减为表面的1/e，则则d被定义为粒子在势垒中的穿透深度：被定义为粒子在势垒中的穿透深度：例：试求入射电子能量为例：试求入射电子能量为1ev，势垒高度为，势垒高度为2ev，宽度为，宽度为的的几率。如果粒子是质子，求透射系数。几率。如果粒子是质子，求透射系数。解：由势垒宽度解：由势垒宽度电子：电子：质子：质子：其质量是电子的其

17、质量是电子的1840倍，质子的质量约为倍，质子的质量约为940MeV例，一粒子质量为例，一粒子质量为1kg1kg，势垒的厚度，势垒的厚度a=10cma=10cm，V V0 0-E=1eV-E=1eV，穿，穿透几率约为：透几率约为：几乎不能穿透！几乎不能穿透！这说明对宏观物体来说，即便是总能量比势垒仅少这说明对宏观物体来说，即便是总能量比势垒仅少1eV1eV，其量子效应也是极其不明显的。其量子效应也是极其不明显的。对质量轻的电子而言，隧道效应就变得十分明显了。对质量轻的电子而言，隧道效应就变得十分明显了。l经典经典l量子量子聊斋志异中，蒲松龄讲述的故事，说一个崂山道士能够穿墙聊斋志异中，蒲松龄讲

18、述的故事，说一个崂山道士能够穿墙而过。虽是虚妄之谈，但从量子力学的观点来看，它还是有一定而过。虽是虚妄之谈，但从量子力学的观点来看，它还是有一定道理的，只不过是概率道理的，只不过是概率“小小”了些而已。了些而已。利用量子隧道效应，可解释放射性原子核的利用量子隧道效应，可解释放射性原子核的粒子衰变粒子衰变现象现象如果一核半径为如果一核半径为R，粒子在核内由于核力的作用，其势能粒子在核内由于核力的作用，其势能很低。在核边界有一个因库仑力而产生的势垒。例如：很低。在核边界有一个因库仑力而产生的势垒。例如：核，其库仑势垒可达核，其库仑势垒可达3535Mev，而这种核在，而这种核在粒子衰变过粒子衰变过程

19、中放出的程中放出的粒子的能量粒子的能量 不过不过4.24.2Mev。理论计算表明这。理论计算表明这些些粒子就是通过隧道效应穿透库仑势垒而跑出来的。粒子就是通过隧道效应穿透库仑势垒而跑出来的。粒子衰变解释粒子衰变解释热核反应热核反应所释放的核能是两个带正电的核，如所释放的核能是两个带正电的核，如 和和 ，聚合时产生的。这两个带正电的核靠近时，聚合时产生的。这两个带正电的核靠近时受到库仑斥力作用很难结合在一起。这个斥力作用受到库仑斥力作用很难结合在一起。这个斥力作用就相当于一个高势垒，它们就是通过隧道效应而聚就相当于一个高势垒，它们就是通过隧道效应而聚会到一起的。会到一起的。这些核的能量越大，它们

20、要穿过的势垒厚度就越小，这些核的能量越大，它们要穿过的势垒厚度就越小，聚合的概率就越大。这就是为什么聚合的概率就越大。这就是为什么热核聚变反应热核聚变反应需需要高达要高达 的高温的原因。的高温的原因。热核聚变解释热核聚变解释黑洞黑洞的边界是一种物质（包括光），只能进不能出的的边界是一种物质（包括光），只能进不能出的“单向单向壁壁”。该单向壁对黑洞内的物质来说就是一个绝高的势垒。该单向壁对黑洞内的物质来说就是一个绝高的势垒。理论物理学家霍金理论物理学家霍金(S.W.Hawking)认为认为黑洞并不是绝对黑的。黑洞并不是绝对黑的。黑洞内部的物质黑洞内部的物质能能通过量子力学隧道效应而逸出。通过量子

21、力学隧道效应而逸出。但他估计这种过程很慢。一个质量等于太阳质量的黑洞温度但他估计这种过程很慢。一个质量等于太阳质量的黑洞温度约为约为 ，约需要，约需要 年才能完全年才能完全“蒸发蒸发”消失。消失。不过据信产生于宇宙大爆炸初期有些微型黑洞不过据信产生于宇宙大爆炸初期有些微型黑洞(质量大约是质量大约是太阳的太阳的 倍倍)，经过，经过 年到现在已经蒸发完了。年到现在已经蒸发完了。黑洞的解释黑洞的解释扫描隧穿显微镜工作原理扫描隧穿显微镜工作原理1981年瑞士苏黎世年瑞士苏黎世IBM公司的两位科学家宾宁公司的两位科学家宾宁(G.Bonning)和罗赫尔和罗赫尔(H.Rohrer),研制成了一种扫描隧穿研

22、制成了一种扫描隧穿显微镜显微镜(STM)可以精确观察材料表面结构，因而成了研究可以精确观察材料表面结构，因而成了研究物理表面和其它实验的重要显微工具。由于这一卓越贡献，物理表面和其它实验的重要显微工具。由于这一卓越贡献，他们二人和电子显微镜的发明者鲁斯卡他们二人和电子显微镜的发明者鲁斯卡(E.Ruska)分享了分享了1986年度的诺贝尔物理学奖。年度的诺贝尔物理学奖。19881988年我国科学家设计成了新型的年我国科学家设计成了新型的STMSTM，分辨率可达原子量，分辨率可达原子量级，图像质量到达当时国际水平。为进一步探索微观世界级，图像质量到达当时国际水平。为进一步探索微观世界的奥秘提供了必

23、要的物质基础。的奥秘提供了必要的物质基础。通常，金属或介质中的电子，不能自由逸出表面，因为它通常，金属或介质中的电子，不能自由逸出表面，因为它的能量低于表面外的空间的势能的能量低于表面外的空间的势能(零零)。而现在针尖与待测物之。而现在针尖与待测物之间距离极近，这空隙相当于一个高度有限而宽度很小的势垒。间距离极近，这空隙相当于一个高度有限而宽度很小的势垒。在针尖与平面间加一个小于几伏的电压，在这电压下，针在针尖与平面间加一个小于几伏的电压，在这电压下，针尖中的电子还不能越过尖中的电子还不能越过“空隙空隙”这一势垒进入平面，但有一定这一势垒进入平面，但有一定的概率穿越势垒，形成的概率穿越势垒，形

24、成“隧道电流隧道电流”。隧道电流的大小对势垒宽度隧道电流的大小对势垒宽度(针尖到平面的距离针尖到平面的距离)的变化非的变化非常敏感。当针尖沿平面扫描时，通过隧道电流的变化，便能描常敏感。当针尖沿平面扫描时，通过隧道电流的变化，便能描绘出平面高低变化的轮廓。绘出平面高低变化的轮廓。STMSTM分辨率极高，其横向分辨率达分辨率极高，其横向分辨率达0.1nm,0.1nm,纵向为纵向为0.01nm0.01nm，可分辨出单个原子。，可分辨出单个原子。STM STM技术不仅可用来进行材料的表面分析，直接观察表面缺技术不仅可用来进行材料的表面分析，直接观察表面缺陷，还可利用陷，还可利用STMSTM针尖对原子

25、和分子进行操纵和移动，重新排布针尖对原子和分子进行操纵和移动，重新排布原子和分子。应用到生命科学中，可研究原子和分子。应用到生命科学中，可研究DNADNA分子的构形等。分子的构形等。隧道隧道电流电流反馈传感器反馈传感器参考信号参考信号显示器显示器压电压电控制控制加电压加电压扫描隧道显微镜示意图扫描隧道显微镜示意图ABdEU0U0U0电子云重叠电子云重叠ABU隧道电流隧道电流id探针探针样品样品用隧道效应观察样品表面的微结构用隧道效应观察样品表面的微结构图象处理系统图象处理系统扫描探针扫描探针样品表面电子云样品表面电子云d变变 i变变反映表面情况反映表面情况A-常数常数样品表面平均样品表面平均势

26、垒高度势垒高度(eV)d10操纵原子不是梦 “原子书法”1994年中国科学院科学家年中国科学院科学家“写写”出的出的 平均每个字的面积仅百万分之一平方厘米平均每个字的面积仅百万分之一平方厘米“原子和分子的观察与操纵原子和分子的观察与操纵”-白春礼白春礼 插页彩图插页彩图13硅单晶硅单晶表面直表面直接提走接提走硅原子硅原子形成形成 2 2纳米的纳米的线条线条几个重要的物理实验几个重要的物理实验1、卢瑟福的卢瑟福的粒子散射实验，证实了原子的核式结构粒子散射实验，证实了原子的核式结构2、弗兰克弗兰克赫兹实验，证实原子内部分立能级的存在赫兹实验，证实原子内部分立能级的存在3、黑体辐射，光电效应实验证实

27、了光具有粒子性、黑体辐射，光电效应实验证实了光具有粒子性4、Compton散射实验，证实了光的粒子性散射实验，证实了光的粒子性5、戴维孙、戴维孙革末实验，证实了电子的波动性革末实验，证实了电子的波动性卢瑟福的核式模型卢瑟福的核式模型BohrBohr氢原子模型氢原子模型氢原子的光谱线系，类氢离子的光谱线系氢原子的光谱线系，类氢离子的光谱线系里德伯方程，光谱项及其组合法则里德伯方程，光谱项及其组合法则BohrBohr模型的三个基本假设模型的三个基本假设由由BohrBohr模型获得里德伯常数模型获得里德伯常数量子力学初步部分量子力学初步部分波粒二象性：波粒二象性：deBroglie的物质波的物质波由

28、波粒二象性获得束缚粒子的量子态；不确由波粒二象性获得束缚粒子的量子态；不确定关系；量子态定关系；量子态薛定谔方程的含义、力学量的算符、力学量薛定谔方程的含义、力学量的算符、力学量的平均值。的平均值。哈密顿方程的本征值、本征函数。哈密顿方程的本征值、本征函数。内内容容提提要要1 1、黑体辐射、黑体辐射 普朗克量子假设：谐振子能量为普朗克量子假设：谐振子能量为n=1,2,3,普朗克热辐射公式：普朗克热辐射公式：黑体的光谱辐射出射度黑体的光谱辐射出射度斯特潘斯特潘-波尔兹曼定律：波尔兹曼定律：黑体的总辐射出射度黑体的总辐射出射度其中维恩位移定律：维恩位移定律：光谱辐射出射度最大时光的频率光谱辐射出射

29、度最大时光的频率2、光电效应光电效应光子：光光子：光（电磁波电磁波）是由光子组成的。是由光子组成的。每个光子的能量：每个光子的能量：每个光子的动量：每个光子的动量：光电效应方程：光电效应方程：光电效应的红限频率：光电效应的红限频率：其中其中3.3.康普顿散射康普顿散射散射公式：散射公式：康普顿波长康普顿波长(电子电子)：4.4.粒子的波动性粒子的波动性德布罗意假设：德布罗意假设：粒子的波长粒子的波长5.5.海森伯不确定关系：海森伯不确定关系：它是波粒二象性的反映它是波粒二象性的反映位置和动量不确定关系位置和动量不确定关系能量和时间不确定关系能量和时间不确定关系6.6.薛定谔方程（一维）薛定谔方

30、程（一维）定态薛定谔方程定态薛定谔方程其中其中为定态波函数为定态波函数波函数波函数上述微分方程的线性表明，上述微分方程的线性表明，波函数波函数和和定态波函数定态波函数都服从叠加原理。都服从叠加原理。波函数必须满足的标准物理条件：单值、有限、连续。波函数必须满足的标准物理条件：单值、有限、连续。7.7.一维无限深势阱中的粒子一维无限深势阱中的粒子能量量子化能量量子化概率密度分布不均匀。概率密度分布不均匀。德布罗意波长量子化：德布罗意波长量子化：8.8.势垒穿透势垒穿透微观粒子可以进入其势能（有限的）大于其总能量的区域，微观粒子可以进入其势能（有限的）大于其总能量的区域，这是由不确定关系决定的。这是由不确定关系决定的。在势垒有限的情况下，粒子可以穿过势垒到达另一侧，这种在势垒有限的情况下，粒子可以穿过势垒到达另一侧，这种现象称之为现象称之为隧道效应隧道效应或或隧穿效应隧穿效应。9.9.谐振子谐振子能量量子化能量量子化零点能零点能粒子穿越势垒的粒子穿越势垒的透射概率透射概率结束语结束语谢谢大家聆听！谢谢大家聆听！61