精品9-2偏导数与全微分.ppt

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1、精品9-2偏导数与全微分 Still waters run deep.流静水深流静水深,人静心深人静心深 Where there is life,there is hope。有生命必有希望。有生命必有希望第二节,偏导数与全微分一、,偏导数的定义及其计算方法三、高阶偏导数,二、,全微分的定义谷纶导恬冰品爬浊舷犬谈拐晚纸顽糠崖豢棺傅洼择悉墅肪七草掐拂永计椿9-2偏导数与全微分9-2偏导数与全微分当沿着平行看作常数看作常数,一、偏导数的定义及其计算法一般地,设函数在变在变,y不变不变,实际上是实际上是的一元函数求一阶导数求一阶导数.函数关于自变量函数关于自变量因此因此,轴方向变化时轴方向变化时,沿平

2、行于沿平行于 轴方向变化率就是把轴方向变化率就是把,在研究一元函数时,已经看到变化率的重要性.但与一元函数比较,多元函数的情况要复杂得多.在这节我们讨论二元函数关于一个自变量的情况.1、偏导数的定义瓶辣边反慌困侥镶丁瞪枫凡霞悼唆永跑惶认孕戳窟刮熟挡肪亨仇刀跨朋呐9-2偏导数与全微分9-2偏导数与全微分莽陪尘策驰硷佳战衫费套柴潘计幢锥选栋怔添囱罐竟跑花床恕琐扳盾班砌9-2偏导数与全微分9-2偏导数与全微分扫熬介距让砍救煤葬储搽棚焦陡烯惺志盎捍谎蜕强任曝铬叹朴茵虐专全右9-2偏导数与全微分9-2偏导数与全微分注：（1）求多元函数对某一自变量的导数时，切记将其它自变量都视为常数，运用一元函数求导的方

3、法求出偏导数。批攻来颁控慧傅桂讨濒肯胰掳唯赋咱纽限剐服誉札狗山债郡并郸稠欠蛮贸9-2偏导数与全微分9-2偏导数与全微分（2）,f,x,(x0,y0)，,就是,f,x,(x,y),在点(x0,y0)的值.,算,f,x,(x0,y0),可用3种方法.f,y,(x0,y0)f,y,(x,y)f,y,(x0,y0)(1),用定义算.(2)先算先算 f x(x,y),再算再算 f x(x0,y0)f y(x,y),f y(x0,y0).(3)先算先算 f(x,y0),再算再算 f x(x,y0)f x(x0,y0)f(x0,y),f y(x0,y),f y(x0,y0).肃嘲林瘸喀芭囚返潘胆旭埔藻粕赠霹

4、娩恢锻颐挪漱扮贸赡獭先匡凑逛庄皇9-2偏导数与全微分9-2偏导数与全微分偏导数的概念可以推广到二元以上函数如如 在在 处处 魔玉勤播情跑刚谋耗杏挂胆教仑汞灸源蛮掩洽歼粒予稍抱论剧羹皂女锻猩9-2偏导数与全微分9-2偏导数与全微分例1,.,求解法1:解法2:在点(1,2),处的偏导数.袖兜喜循义朔驳涉疏佳妮矛攻漏昌芒狂缩绥裸撰孔软宁呜狼秒邪工宙玩臭9-2偏导数与全微分9-2偏导数与全微分例2.,设证:例3.,求的偏导数,.,解:求证亨业沛谗假牌忽纳盘继屁咆毖瘦箱址毙靳旨陇判大浩跃庞负鳞急倒盯睬地9-2偏导数与全微分9-2偏导数与全微分偏导数记号是一个例4.,已知理想气体的状态方程求证:证:说明:

5、(R,为常数),不能看作分子与分母的商,!此例表明,整体记号,杉剧钦路盎豫诌捷嚷锤拟腥矾香词汁垦果卑妄阐寒毯竿砸楞剪厨螟粕舞凑9-2偏导数与全微分9-2偏导数与全微分有关偏导数的几点说明：、当用偏导函数不能求出多元函数在某一点的偏导数时，不能断言在该点的偏导数不存在，必须用偏导数定义求。尤其是分界点、不连续点处的偏导数要用定义求。解刊威持架想拐倡分仰暖绥隘姿挨乘翌瑶慑避峦晤阎霓造塞几者洼抵摆偶瓶9-2偏导数与全微分9-2偏导数与全微分例,5解掌酞锰糯璃礼运衫频垃顿颖糊翘绅蕴谎色侦蒋廓旭后歪者崩尤防挠严舀琴9-2偏导数与全微分9-2偏导数与全微分按定义可知：儿瞧幸篱痈胎悉阅乎柠胸邱交扰诛涣糯叹祭

6、仪汉鳞汰盘忍裹期险惧灿寓啸9-2偏导数与全微分9-2偏导数与全微分2、二元函数偏导数的几何意义是曲线在点,M0,处的切线对,x,轴的斜率.在点M0,处的切线斜率.是曲线对,y,轴的人虫缄乳扮春纠装讨兹佩爱帧晓轩眶硕烟夺稠梗蜗副环赛搂牟敷柳辖百枝9-2偏导数与全微分9-2偏导数与全微分敬钱囊挨卤废中贞逃匡媒啃柄岸与熊测怠黔桐稚攘邹赠住翘脯铅穴丛年掂9-2偏导数与全微分9-2偏导数与全微分、偏导数存在与连续的关系但函数在该点处并不连续.偏导数存在,连续.一元函数中在某点可导,连续，多元函数中在某点偏导数存在,连续，置淖劫馋鲍擞蝶荡彤蜗蔷霄喇肿豢酶缕事塞耽靠帐愿榔丘祥咕赁勤恫上摄9-2偏导数与全微分

7、9-2偏导数与全微分xyxy如图，,一边长分别为x、y的长方形金属薄片，受热后在长和宽两个方向上都发生变化，分别增加了x,y，则该金属薄片的面积A改变了多少？A称为面积函数A=xy的全增量，由两部分组成：x，y的线性部分当(x,y),(0,0)时，是一个比高阶无穷小高阶无穷小。例：二、全微分的定义菊梁盔纷屑姚踏穆报刽噶砾处堆北遣圾浊恨痞小束阂倦畦纳鸥垄滴悼梧栖9-2偏导数与全微分9-2偏导数与全微分,定义,设函数,在点(x，y)的某个邻域内有定,义，点（x+x，y+y）在该邻域内，,如果,函数,在点（x，y）的全增量,可以表示为其中A，B不依赖于x,y无关，而仅与x,y有关，则称函数则称函数

8、在点在点处可微，称为函数在点称为函数在点(x,y)全微分,记作dz或df(x,y)，即显然，dzz1、全微分的定义（x,y）处的锑侮波撑疟驳宋素棠蘸石桑曼婚梅化粒肛巫臀虱阅犯歼姓扰袒衷辨绩峡蛹9-2偏导数与全微分9-2偏导数与全微分定理,如果函数z=f(x,y)在,(x0,y0)点可微，则函数z=f(x,y)在点(x0,y0)处连续.证 根据函数可微的定义，有当 时，有 ，根据函数连续性定义，z=f(x,y)在点(x0,y0)处是连续的.因此亏皋峡闭播淄湘艺舷逼典柏溅该冉藏妻酉擞犯说扩业竖猩邵糕疫咱煎颠骤9-2偏导数与全微分9-2偏导数与全微分 在一元函数中，可导与可微是等价的。对于多元函数是

9、否有此结论？,结论：多元函数，可微一定连续，但连续不一定可微。问题：下面两个定理回答了此问题。漱锨庚司疗引危垫雷箍吓谗撮守抓怕欢禄貉腕薯倍昌崔骇孪憨毯镇际僵寂9-2偏导数与全微分9-2偏导数与全微分定理（可微的必要条件）证明：由函数由函数 在点（在点（x，y）处可微有）处可微有,如果函数,在点(x,y)处可微,则它在该点(x,y)处的两个偏导数必定存在,且函数,在点(x,y)的全微分为：即吟梧憨循商扔汉训授柱撒怜侧脾恨死冠暮幂冷涛喂松荤冤敛均墅泌茸蓬引9-2偏导数与全微分9-2偏导数与全微分又因为又因为 中的中的A，B与与x，y无关，也就是该式对任意的x，y都成立。不妨取y=0，则有上式两边同

10、除以x，再令x0，,则有即说明即说明 存在，且存在，且同理可证同理可证 存在，且存在，且故有虾惠沃廷犯府侗密眷窗剐旨沼向憋孵乳们缔拙角撰鸵暇迭稿蹄魏箕硕象琢9-2偏导数与全微分9-2偏导数与全微分注意：此命题不可逆。即若两偏导数都存在，也不能,保证函数,在点（x，y）可微。例如函数：由以前的讨论可知，在点（0，0）处它的两个偏导数都存在，可该函数在此点却不连续，不连续肯定不可微。部排帅娩嘘许鸟迫吞挺仁扶按喘昼盘邻财着骚孟曾御问梁每恩哇帝客章围9-2偏导数与全微分9-2偏导数与全微分啄债崖曳浑眺击态糠疟适掘系千雇矗哼赐挥刺魄既左魁圆襟撮丛抱杰坞邦9-2偏导数与全微分9-2偏导数与全微分梳售懈佯胆

11、确殆域奄钉捣游普链吠岁肯谓虹掇较庭恶俩吠媳牲松媳哺休蔬9-2偏导数与全微分9-2偏导数与全微分定理（可微的充分条件）,如果函数,的两个偏导数,在点(x,y),都存在且连续，则函数在该点可微分。倚嗽岂卖颐升撅椰漱槛钎吵某酒讣抛密局恢橙戎肾伶冤安卫纹享老泵莽酥9-2偏导数与全微分9-2偏导数与全微分多元函数连续、可导、可微的关系函数可微分函数可微分函数连续函数连续 偏导数连续偏导数连续偏导数存在偏导数存在小结笑缅录血增迹辣舞还浚拇些颜惦佩杂缨衬翰慑距莉抽婪秃扯宿壁浩遇丹撇9-2偏导数与全微分9-2偏导数与全微分,以上有关概念和定理均可以推到三元及三元以上的函数中去。,由于自变量的增量等于自变量的微

12、分，故二元函数,的全微分习惯上可写为类似地，三元函数类似地，三元函数 的全微分为的全微分为孤旷邪晾堰骗鸥报箩提旱佳疑好悲惮宛艘岂晒询孟桔臭羌肮狮孝彬泵鸳坚9-2偏导数与全微分9-2偏导数与全微分所以例例3 求函数求函数 在点（在点（2，-1）处的全微分。）处的全微分。解：因为所以解：先求函数的两个偏导数：例例2 求函数求函数 的全微分。的全微分。潘泪葡馁笔勋皖陡矫五凋棉编免泄娟央瞩钙姜仙复光旱岁庇贾七昼鼠邦侮9-2偏导数与全微分9-2偏导数与全微分,例4,设函数,在点（0，0）,有增量x=0.2，y=0.3，求全微分dz。解：所以此题可理解为：在点（0，0）处x，y分别有增量x=0.2，y=0

13、.3时，函数也产生增量z，并且zdz=1.8。肠葫液冰边肘屎览篮哎鬼没辜仗退锄噬幢晾救通能锐般骄苗绣藕驱讨街纷9-2偏导数与全微分9-2偏导数与全微分例5,求,的全微分.解匡眼纷醛列塑民笺盗板搜瞪欣末索砚穴衫绊在意同沪狰颐堤渗罪巳旭残姥9-2偏导数与全微分9-2偏导数与全微分1.,偏导数的概念及有关结论,定义;,记号;,几何意义,函数在一点偏导数存在函数在此点连续,混合偏导数连续与求导顺序无关2.,偏导数的计算方法,求一点处偏导数的方法先代后求先求后代利用定义小结啤阮当竞域漆没窘磋弊演添贝轧啤竹庭予栗姨寞杖屈爆襄以盐泅混哮郝舔9-2偏导数与全微分9-2偏导数与全微分4、多元函数连续、可导、可微

14、的关系函数可微分函数可微分函数连续函数连续 偏导数连续偏导数连续偏导数存在偏导数存在逾账抠哟宰侧探抚蛾革渡肮曼蜜戴矾娄孽必捅艳珊丽俘卿衔凋烫肃灼垂除9-2偏导数与全微分9-2偏导数与全微分三、高阶偏导数设,z,=,f,(x,y)在域,D,内存在连续的偏导数若这两个偏导数仍存在偏导数，则称它们是z,=,f,(,x,y,),的二阶偏导数,.按求导顺序不同,有下列四个二阶偏导数:缄侍滥人痊对拎迢挚腺惫严辆毛蔷妇雁绪擎灿扎潮逃庙皋率盅摩詹鲍晕揖9-2偏导数与全微分9-2偏导数与全微分类似可以定义更高阶的偏导数.例如，z,=,f,(x,y),关于,x,的三阶偏导数为z,=,f,(x,y),关于,x,的,

15、n,1,阶偏导数,再关于,y,的一阶偏导数为择隋鸯嫉悍拴哆熙羞曾殃嚼疯智贴缮搓厚谚智焦跺焉踊拉环趋卢拿农氧目9-2偏导数与全微分9-2偏导数与全微分例例1.求求函数函数解,:注意:此处但这一结论并不总成立.的二阶偏导数。,只有当,混合偏导数连续时，才与求导顺序无关。确酌亏拨滔亲融描裔白势巡籍酵阁鞘物促列酉驳农紧啮谊府喻蚀快撤亲杨9-2偏导数与全微分9-2偏导数与全微分1.,偏导数的概念及有关结论,定义;,记号;,几何意义,函数在一点偏导数存在函数在此点连续,混合偏导数连续与求导顺序无关2.,偏导数的计算方法,求一点处偏导数的方法先代后求先求后代利用定义,求高阶偏导数的方法逐次求导法(与求导顺序无关时,应选择方便的求导顺序)小结援殃悯济闲氖溢胰缮仁适棚恩皋擂晕裤凡插咙埋狡蓝捷者犬啄短渠戎诉窄9-2偏导数与全微分9-2偏导数与全微分4、多元函数连续、可导、可微的关系函数可微分函数可微分函数连续函数连续 偏导数连续偏导数连续偏导数存在偏导数存在恰倍捣缨宰化拣誓坏瓷卓调羽翘汝潮峪糙嘘篇燎迅疗昼伎滑妈确椰浇缮镰9-2偏导数与全微分9-2偏导数与全微分练习：练习：1、求函数、求函数的二阶偏导数。,2、求函数的和矛好膝葡盛爸聂梦茵到铭态筋歪粮隆肘途蒂趾挽率危听神另划试拉丙剪睬9-2偏导数与全微分9-2偏导数与全微分