矩阵的特征值和特征向量new培训课件.ppt
《矩阵的特征值和特征向量new培训课件.ppt》由会员分享,可在线阅读,更多相关《矩阵的特征值和特征向量new培训课件.ppt(61页珍藏版)》请在淘文阁 - 分享文档赚钱的网站上搜索。
1、矩阵的特征值和特征向量new第四章第四章第四章第四章 矩阵的特征值和特征向量矩阵的特征值和特征向量矩阵的特征值和特征向量矩阵的特征值和特征向量 4.1 4.1 相似矩阵相似矩阵相似矩阵相似矩阵 相似的应用相似的应用 求求A11.设设P 1AP=,P=,=1 41 1 1 0 0 2,A=P P 1 A11=(P P 1)(P P 1)(P P 1)(P P 1)11=1 0 0 211=P 11P 1 A与与 相似相似第四章第四章第四章第四章 矩阵的特征值和特征向量矩阵的特征值和特征向量矩阵的特征值和特征向量矩阵的特征值和特征向量 4.1 4.1 相似矩阵相似矩阵相似矩阵相似矩阵 4.1 相似
2、矩阵相似矩阵 一一.相似矩阵的定义和性质相似矩阵的定义和性质设设A,B都是都是n阶方阵阶方阵,若有若有可逆矩阵可逆矩阵P,使使P 1AP=B,则称矩阵则称矩阵A与与B相似相似.记为记为AB.P为为相似变换矩阵相似变换矩阵.注注1:相似是相抵的特例相似是相抵的特例:相似相似必必相抵相抵,反之不然反之不然.例例1.证明矩阵证明矩阵 与与 相似相似.证明:证明:第四章第四章第四章第四章 矩阵的特征值和特征向量矩阵的特征值和特征向量矩阵的特征值和特征向量矩阵的特征值和特征向量 4.1 4.1 相似矩阵相似矩阵相似矩阵相似矩阵 4.1 相似矩阵相似矩阵 一一.相似矩阵的定义和性质相似矩阵的定义和性质设设
3、A,B都是都是n阶方阵阶方阵,若有若有可逆矩阵可逆矩阵P,使使P 1AP=B,则称矩阵则称矩阵A与与B相似相似.记为记为AB.P为为相似变换矩阵相似变换矩阵.注注1:相似是相抵的特例相似是相抵的特例:相似相似必必相抵相抵,反之不然反之不然.注注2:(1)反身性反身性:AA;(2)对称性对称性:AB BA;(3)传递性传递性:AB,BC AC.矩阵间的相似关系是一种等价关系矩阵间的相似关系是一种等价关系P 1AP=BPBP 1=A相抵关系下的不变量:矩阵的秩相抵关系下的不变量:矩阵的秩相似关系下的不变量:相似关系下的不变量:矩阵的秩矩阵的秩第四章第四章第四章第四章 矩阵的特征值和特征向量矩阵的特
4、征值和特征向量矩阵的特征值和特征向量矩阵的特征值和特征向量 4.1 4.1 相似矩阵相似矩阵相似矩阵相似矩阵 一一.相似矩阵的定义和性质相似矩阵的定义和性质设设A,B都是都是n阶方阵阶方阵,若有若有可逆矩阵可逆矩阵P,使使P 1AP=B.注注1:相似是相抵的特例相似是相抵的特例:相似相似必必相抵相抵,反之不然反之不然.矩阵间的相似关系是一种等价关系矩阵间的相似关系是一种等价关系相似关系下的不变量:相似关系下的不变量:矩阵的秩矩阵的秩,注注2:性质性质2:AB,则则|A|=|B|.|B|=|P 1AP|=|P 1|A|P|=|P 1|P|A|=|A|.定义定义2:矩阵的迹矩阵的迹(trace):
5、tr(A+B)=tr(A)+tr(B)tr(kA)=k tr(A)tr(AB)=tr(BA)性质性质3:AB,则则tr(A)=tr(B).行列式行列式,迹迹=tr(P 1AP)=tr(APP 1)性质性质4:设设AB,f 是一个多项式是一个多项式,则则f(A)f(B).证明证明:设设P 1AP=B,f(x)=anxn+a1x+a0,则则 P 1f(A)P=anP 1AnP+a1P 1AP+a0 P 1EP=an(P 1AP)n+a1P 1AP+a0E=P 1(anAn+a1A+a0E)P=anBn+a1B+a0E=f(B).第四章第四章第四章第四章 矩阵的特征值和特征向量矩阵的特征值和特征向量
6、矩阵的特征值和特征向量矩阵的特征值和特征向量 4.1 4.1 相似矩阵相似矩阵相似矩阵相似矩阵 二二.方阵与对角矩阵相似的充要条件方阵与对角矩阵相似的充要条件 定理定理4.1.n阶阶方阵方阵A与与对角矩阵相似对角矩阵相似 n个个线性线性无关无关的向量的向量 1,2,n和和n个数个数 1,2,n满足满足 A i=i i,i=1,2,n.若令若令P=(1,2,n),=diag(1,2,n),则则 P1AP=.证明证明:设设P1AP=diag(1,2,n),AP=Pdiag(1,2,n),即即 A(1,2,n)=(1 1,2 2,n n),A i=i i,i=1,2,n第四章第四章第四章第四章 矩阵
7、的特征值和特征向量矩阵的特征值和特征向量矩阵的特征值和特征向量矩阵的特征值和特征向量 4.1 4.1 相似矩阵相似矩阵相似矩阵相似矩阵 P可逆可逆,所以所以 1,2,n 线性无关线性无关.二二.方阵与对角矩阵相似的充要条件方阵与对角矩阵相似的充要条件 定理定理4.1.n阶阶方阵方阵A与与对角矩阵相似对角矩阵相似 n个个线性线性无关无关的向量的向量 1,2,n和和n个数个数 1,2,n满足满足 A i=i i,i=1,2,n.若若令令P=(1,2,n),=diag(1,2,n),则则 P1AP=.第四章第四章第四章第四章 矩阵的特征值和特征向量矩阵的特征值和特征向量矩阵的特征值和特征向量矩阵的特
8、征值和特征向量 4.1 4.1 相似矩阵相似矩阵相似矩阵相似矩阵 方阵方阵A的的相似对角化问题相似对角化问题:求求可逆阵可逆阵P,使使P 1AP=.其中,对角阵其中,对角阵 称为称为相似标准形相似标准形.相似关系下的不变量:相似关系下的不变量:矩阵的秩矩阵的秩,行列式行列式,迹迹相抵关系下的不变量:矩阵的秩相抵关系下的不变量:矩阵的秩相抵关系下的最简形:相抵标准形相抵关系下的最简形:相抵标准形相似关系下的最简形:相似关系下的最简形:相似标准形相似标准形 1.定义定义 =n阶方阵阶方阵 非零非零向量向量 特征值特征值(eigenvalue)特征向量特征向量(eigenvector)对应对应 4.
9、2 方阵方阵的特征值和特征向量的特征值和特征向量 一一.特征值、特征向量的定义和计算特征值、特征向量的定义和计算 A 数数 注注1.几何意义几何意义A3 3 y=A =/y=A 注注2.否则否则,=,R,A =但是可以但是可以 =0,此时此时,A =0 =第四章第四章第四章第四章 矩阵的特征值和特征向量矩阵的特征值和特征向量矩阵的特征值和特征向量矩阵的特征值和特征向量 4.2 4.2 特征值与特征向量特征值与特征向量特征值与特征向量特征值与特征向量 eigshow(A)显示不同显示不同的单位向的单位向量量x及经及经变换后的变换后的向量向量y=Ax 特征值和特征向量特征值和特征向量特征值和特征向
10、量特征值和特征向量:0,s.t.A =第四章第四章第四章第四章 矩阵的特征值和特征向量矩阵的特征值和特征向量矩阵的特征值和特征向量矩阵的特征值和特征向量 4.2 4.2 特征值与特征向量特征值与特征向量特征值与特征向量特征值与特征向量 A =(EA)=0|EA|=0 特征方程特征方程=a11 a12 a1n a21 a22 a2n an1 an2 ann 特征多项式特征多项式 特征值特征值 特征向量特征向量 对每个对每个,求求(EA)x=0的基础解系的基础解系 1,2,t对应于对应于 的的所有特征向量为所有特征向量为 k1 1+k2 2+kt t,k1,kt 不全不全为为0.0.2.计算计算
11、先解先解|EA|=0,求出求出所有特征值所有特征值,解解:|EA|=(+1)(2)2.所以所以A的特征值为的特征值为 1=1,2=3=2.(EA)x=0的基础解系的基础解系:1=(1,0,1)T.对应于对应于 1=1的特征向量为的特征向量为k 1(0 k R).(2EA)x=0的基础解系的基础解系:2=(0,1,1)T,3=(1,0,4)T.对应于对应于 2=3=2的特征向量为的特征向量为k2 2+k3 3 (k2,k3不同时为零不同时为零).例例2.求求 的特征值和特征向量的特征值和特征向量.第四章第四章第四章第四章 矩阵的特征值和特征向量矩阵的特征值和特征向量矩阵的特征值和特征向量矩阵的特
12、征值和特征向量 4.2 4.2 特征值与特征向量特征值与特征向量特征值与特征向量特征值与特征向量 定理定理4.1.n阶阶方阵方阵A与与对角阵相似对角阵相似 n个个线性线性无关无关的向量的向量 1,n和和n个数个数 1,n满足满足 A i=i i,i=1,n.第四章第四章第四章第四章 矩阵的特征值和特征向量矩阵的特征值和特征向量矩阵的特征值和特征向量矩阵的特征值和特征向量 4.1 4.1 相似矩阵相似矩阵相似矩阵相似矩阵 方阵方阵A的的相似对角化问题相似对角化问题:求求可逆阵可逆阵P,使使P 1AP=.相似关系下的不变量:相似关系下的不变量:矩阵的秩矩阵的秩,行列式行列式,迹迹相抵关系下的不变量
13、:矩阵的秩相抵关系下的不变量:矩阵的秩相抵关系下的最简形:相抵标准形相抵关系下的最简形:相抵标准形相似关系下的最简形:相似关系下的最简形:相似标准形相似标准形 n阶方阵阶方阵A,B相似相似,若有若有可逆阵可逆阵P,使使P 1AP=B.A有有n个个线性无关线性无关的的特征向量特征向量 1,n.=diag(1,n),i为特征值为特征值,P=(1,n).i为特征值为特征值 i为特征向量为特征向量第四章第四章第四章第四章 矩阵的特征值和特征向量矩阵的特征值和特征向量矩阵的特征值和特征向量矩阵的特征值和特征向量 4.2 4.2 特征值与特征向量特征值与特征向量特征值与特征向量特征值与特征向量 A =(E
14、A)=0|EA|=0 特征方程特征方程=a11 a12 a1n a21 a22 a2n an1 an2 ann 特征多项式特征多项式 特征值特征值 特征向量特征向量 对每个对每个,求求(EA)x=0的基础解系的基础解系 1,2,t对应于对应于 的的所有特征向量为所有特征向量为 k1 1+k2 2+kt t,k1,kt 不全不全为为0.0.2.计算计算 先解先解|EA|=0,求出求出所有特征值所有特征值,解解:所以所以A的全部特征值为的全部特征值为 0(n 1重根重根),例例3.设设 0,Rn,求求A=T的特征值和特征向量的特征值和特征向量.第四章第四章第四章第四章 矩阵的特征值和特征向量矩阵的
15、特征值和特征向量矩阵的特征值和特征向量矩阵的特征值和特征向量 4.2 4.2 特征值与特征向量特征值与特征向量特征值与特征向量特征值与特征向量 解解:当当=0时时,(E A)x=0,即即Ax=0.不妨设不妨设例例3.设设 0,Rn,求求A=T的特征值和特征向量的特征值和特征向量.第四章第四章第四章第四章 矩阵的特征值和特征向量矩阵的特征值和特征向量矩阵的特征值和特征向量矩阵的特征值和特征向量 4.2 4.2 特征值与特征向量特征值与特征向量特征值与特征向量特征值与特征向量 对应对应=0的的特征向量为特征向量为不全不全不全不全为为为为0 0此时,线性无关的特征向量只有一个此时,线性无关的特征向量
16、只有一个.解解:当当=T 时时,(T E A)x=0.因为因为Ax=x.即即 x=x.注意到注意到所以所以 即为即为A的对应特征值的对应特征值 =T 的的特征向量特征向量.所以只要找一个非零向量满足上述方程即可所以只要找一个非零向量满足上述方程即可.例例3.设设 0,Rn,求求A=T的特征值和特征向量的特征值和特征向量.第四章第四章第四章第四章 矩阵的特征值和特征向量矩阵的特征值和特征向量矩阵的特征值和特征向量矩阵的特征值和特征向量 4.2 4.2 特征值与特征向量特征值与特征向量特征值与特征向量特征值与特征向量 r(T E A)+r(x)n.r(T E A)n 1.r(T E A)+r(A)
17、r(T E A+A)=r(T E)=n.r(T E A)=n 1.则对应则对应 =T 的的特征向量为特征向量为r(A)=1例例4.设设A=(aij)n n,证明证明f()=|EA|是是 的的n次次 多项式多项式,并求并求 n,n1的系数及常数项的系数及常数项.a11 a12 a1n a21 a22 a2n an1 an2 annf()=|EA|=(a11)(a22)(ann)f(0)=|A|A的的迹迹,记为记为trA=(1)n|A|第四章第四章第四章第四章 矩阵的特征值和特征向量矩阵的特征值和特征向量矩阵的特征值和特征向量矩阵的特征值和特征向量 4.2 4.2 特征值与特征向量特征值与特征向量
18、特征值与特征向量特征值与特征向量 n,n-1项只在主对角线乘积中项只在主对角线乘积中二二.特征值、特征向量的特征值、特征向量的性质性质 性质性质1.设设 1,n(实数或复数实数或复数,可重复可重复)是是n阶方阶方阵阵A=(aij)的的n个个特征值特征值,即即|EA|=(1)(2)(n),则,则 i=trA=aii n n i i=1 =1 n n i i=1 =1 i=detA=|A|n n i i=1 =1 证明:证明:|EA|=(1)(2)(n)第四章第四章第四章第四章 矩阵的特征值和特征向量矩阵的特征值和特征向量矩阵的特征值和特征向量矩阵的特征值和特征向量 4.2 4.2 特征值与特征向
19、量特征值与特征向量特征值与特征向量特征值与特征向量 性质性质1.设设 1,n(实数或复数实数或复数,可以重复可以重复)是是n阶方阵阶方阵A=(aij)的的n个个特征值特征值,则则 i=trA=aii n n i i=1 =1 n n i i=1 =1 i=detA=|A|n n i i=1 =1 推论推论1:方阵:方阵A可逆可逆证明:证明:A的特征值均不为的特征值均不为0,则则 i 0n n i i=1 =1|A|=所以所以A可逆可逆.必要性必要性:设设 =0是是A的的一个特征值一个特征值,则则 0,s.t.,A =0,因为因为A可逆可逆,A 1A =0,产生矛盾产生矛盾.第四章第四章第四章第
20、四章 矩阵的特征值和特征向量矩阵的特征值和特征向量矩阵的特征值和特征向量矩阵的特征值和特征向量 4.2 4.2 特征值与特征向量特征值与特征向量特征值与特征向量特征值与特征向量 A的特征值均不为的特征值均不为0.第四章第四章第四章第四章 矩阵的特征值和特征向量矩阵的特征值和特征向量矩阵的特征值和特征向量矩阵的特征值和特征向量 4.2 4.2 特征值和特征向量特征值和特征向量特征值和特征向量特征值和特征向量 性质性质1.设设 1,n(实数或复数实数或复数)是是n阶方阵阶方阵A=(aij)的的n个个特征值特征值,则则 i=trA=aii,n n i i=1 =1 n n i i=1 =1 i=|A
21、|n n i i=1 =1 推论推论1:方阵:方阵A可逆可逆 A的特征值均不为的特征值均不为0.证明:证明:设设 0,s.t.,A =,A 1A =A 1 性质性质2:方阵:方阵A可逆可逆,是是A的的特征值特征值,则则1/是是A 1的特征值的特征值,|A|/是是A*的特征值的特征值.因为因为A可逆可逆,A 1 =(1/),则则1/是是A 1的特征值的特征值.AA*=|A|E,A可逆可逆 A*=|A|A 1,A*=|A|A 1 =(|A|/),则则|A|/是是A*的特征值的特征值.性质性质1.设设 1,n(实数或复数实数或复数)是是n阶方阵阶方阵A=(aij)的的n个个特征值特征值,则则 i=t
22、rA=aii,n n i i=1 =1 n n i i=1 =1 i=|A|n n i i=1 =1 推论推论1:方阵:方阵A可逆可逆 A的特征值均不为的特征值均不为0.证明:证明:性质性质2 2:方阵方阵A可逆可逆,是是A的的特征值特征值,则则1/是是A 1的特征值的特征值,|A|/是是A*的特征值的特征值.性质性质3:若若 是是方阵方阵A的的特征值特征值,则则 也是也是AT 的特征值的特征值.|EA|=|(EA)T|=|EAT|性质性质4.设设 是是A的的特征值特征值,则则 k是是Ak的的一个特征值一个特征值.证明:因为证明:因为 为为A的特征值的特征值,即即 0使使A=,于是于是(A2)
23、=A(A)=A()=(A)=2,0 使使(Ak)=k,即即 k也是也是Ak的特征值的特征值.第四章第四章第四章第四章 矩阵的特征值和特征向量矩阵的特征值和特征向量矩阵的特征值和特征向量矩阵的特征值和特征向量 4.2 4.2 特征值和特征向量特征值和特征向量特征值和特征向量特征值和特征向量 性质性质5.设设 是方阵是方阵A的的一个特征值一个特征值,f是一个是一个多项式多项式,则则f()是方阵是方阵f(A)的的一个特征值一个特征值.对于对于f()=as s+a1+a0,f(A)=asAs +a1A+a0 =as s+a1+a0 =f(),0 使使 f(A)=f().则则f()是方阵是方阵f(A)的
24、的一个特征值一个特征值.第四章第四章第四章第四章 矩阵的特征值和特征向量矩阵的特征值和特征向量矩阵的特征值和特征向量矩阵的特征值和特征向量 4.2 4.2 特征值和特征向量特征值和特征向量特征值和特征向量特征值和特征向量 证明:因为证明:因为 为为A的特征值的特征值,即即 0 使使A =,(Ak)=k,即即 k也是也是Ak的特征值的特征值.性质性质4.设设 是是A的的特征值特征值,则则 k是是Ak的的一个特征值一个特征值.性质性质5.设设 是方阵是方阵A的的一个特征值一个特征值,f是一个是一个多项式多项式,则则f()是方阵是方阵f(A)的的一个特征值一个特征值.推论推论2.若若f 是多项式是多
25、项式,A是是一个一个方阵方阵,使使f(A)=0(称称f为为A的一个的一个零化零化多项式多项式),则则A的任的任一特征值一特征值 必满足必满足f()=0.f()=0 =0 f()=0证明:证明:对对A的任的任一特征值一特征值 ,f()是是f(A)的的一个特征值一个特征值.则则 0 使使 f(A)=f().因为因为f(A)=0 0第四章第四章第四章第四章 矩阵的特征值和特征向量矩阵的特征值和特征向量矩阵的特征值和特征向量矩阵的特征值和特征向量 4.2 4.2 特征值和特征向量特征值和特征向量特征值和特征向量特征值和特征向量 推论推论2.若若f是多项式是多项式,A是是一个一个方阵方阵,使使f(A)=
- 配套讲稿:
如PPT文件的首页显示word图标,表示该PPT已包含配套word讲稿。双击word图标可打开word文档。
- 特殊限制:
部分文档作品中含有的国旗、国徽等图片,仅作为作品整体效果示例展示,禁止商用。设计者仅对作品中独创性部分享有著作权。
- 关 键 词:
- 矩阵 特征值 特征向量 new 培训 课件
限制150内