【高中数学必修四】2.4.1平面向量数量积的物理背景及其含义复习进程.ppt

《【高中数学必修四】2.4.1平面向量数量积的物理背景及其含义复习进程.ppt》由会员分享，可在线阅读，更多相关《【高中数学必修四】2.4.1平面向量数量积的物理背景及其含义复习进程.ppt（18页珍藏版）》请在淘文阁 - 分享文档赚钱的网站上搜索。

1、【高中数学必修四】【高中数学必修四】2.4.12.4.1平面向量数量积的平面向量数量积的物理背景及其含义物理背景及其含义一般地，实数一般地，实数一般地，实数一般地，实数 与向量与向量与向量与向量a a的的的的积积积积是一个是一个是一个是一个向量向量向量向量，记作，记作，记作，记作 a a，它的长度和方向规定如下：，它的长度和方向规定如下：，它的长度和方向规定如下：，它的长度和方向规定如下：(1)|(1)|a a|=|=|a a|(2)(2)当当当当00时时时时,a a的方向与的方向与的方向与的方向与a a方向相同；方向相同；方向相同；方向相同；当当当当00时时时时,a a的方向与的方向与的方向

2、与的方向与a a方向相反；方向相反；方向相反；方向相反；特别地，当特别地，当特别地，当特别地，当=0=0或或或或a=0a=0时时时时,a a=0 0设设设设a,ba,b为任意向量，为任意向量，为任意向量，为任意向量，,为任意实数，则为任意实数，则为任意实数，则为任意实数，则有：有：有：有：(a a)=()=()a a (+)a=a=a+a+a a (a+ba+b)=)=a+a+b b复复习习实实数数与与向向量量积积=180=90回顾向量夹角的定义回顾向量夹角的定义已知两个非零向量已知两个非零向量a和和b，作，作OA=a，OB=b，则，则AOB=（0 180）叫做）叫做向量向量a与与b的的夹角夹

3、角。=0特殊情况特殊情况OBA例例 如图，等边三角形中，求如图，等边三角形中，求 （1）AB与与AC的夹角；的夹角；（2）AB与与BC的夹角。的夹角。ABC 通过平移通过平移变成共起点！变成共起点！找向量夹角必须保证向量有相同的起点找向量夹角必须保证向量有相同的起点我们学过功的概念，即一个物体在力我们学过功的概念，即一个物体在力F的作的作用下产生位移用下产生位移s（如图）（如图）FS力力F所做的功所做的功W可用下式计算可用下式计算 W=|F|S|cos 其中其中是是F与与S的夹角的夹角向量的夹角？向量的夹角？新课引入新课引入我们学过功的概念，即一个物体在力我们学过功的概念，即一个物体在力F的作

4、的作用下产生位移用下产生位移s（如图）（如图）FS力力F所做的功所做的功W可用下式计算可用下式计算 W=|F|S|cos 其中其中是是F与与S的夹角的夹角新课引入新课引入 在问题中，功是一个标量，它由力和位移两个向在问题中，功是一个标量，它由力和位移两个向量确定。这启示我们，能否把功看成是这两个向量的量确定。这启示我们，能否把功看成是这两个向量的一种运算结果呢？一种运算结果呢？规定规定:零向量与任一向量的数量积为数零向量与任一向量的数量积为数0。数量积数量积(向量的乘法向量的乘法)定义：定义：说明：说明：(1)两向量相乘两向量相乘(数量积数量积)结果是一个数量，而不是向量，结果是一个数量，而不

5、是向量，符号由夹角决定符号由夹角决定,怎么决定？怎么决定？(2)a b不能写成不能写成ab 已知两个已知两个非零非零向量向量a与与b，它们的夹角，它们的夹角为为，我们把数量，我们把数量|a|b|cos叫做叫做a与与b的的数量积（或内积），记作数量积（或内积），记作ab.ab=|a|b|cos，物理上力所做的功实际上是将力正交分解，只有在位移方物理上力所做的功实际上是将力正交分解，只有在位移方向上的力做功向上的力做功sF，过点，过点B作作垂直于直线垂直于直线OA，垂足为，垂足为 ，则，则|b|cosOABabOABab|b|cos叫向量叫向量b 在在a 方向上的方向上的投影投影为锐角时，为锐角时

6、，|b|cos0为钝角时，为钝角时，|b|cos0为直角时，为直角时，|b|cos=0BOAab数量积的几何意义数量积的几何意义数量积数量积ab的几何意义：的几何意义：数量积数量积ab等于等于a的长度的长度|a|与与b在在a的方向上的投影的方向上的投影|b|cos的乘积。的乘积。数量积的重要性质数量积的重要性质:说明：说明：“向量方等于向量模方向量方等于向量模方”是向量和向量模相互转化的重要依据，今后常用。是向量和向量模相互转化的重要依据，今后常用。平面向量数量积的运算律平面向量数量积的运算律已知向量已知向量 和实数和实数 ，则向量的数量积满足：，则向量的数量积满足：（1）（交换律）（交换律）

7、（2）（数乘结合律）（数乘结合律）（3）（分配律）（分配律）注意：数量积运算不满足结合律注意：数量积运算不满足结合律1若若a=0，则对任一向量，则对任一向量b，有，有a b=02若若a0，则对任一非零向量，则对任一非零向量b,有有a b03.若若a0，a b=0,则则b=04.若若a b=0,则则a b中至少有一个为中至少有一个为05.若若b0，a b=b c,则则a=c6.若若a b=a c,则则bc,当且仅当当且仅当a=0时成立时成立7.对任意向量对任意向量a,b,c,有有(a b)ca(b c)8.对任一向量对任一向量a,有有a2=|a|2 练习：判断正误练习：判断正误(）(）(）(）(

8、）(）(）(）平面向量的数量积及运算律平面向量的数量积及运算律 例例2.求证：（求证：（1）（2）证明：（证明：（1）（2）向向量量满满足足完完全全平平方方公公式式、平平方方差差公公式式 例例4.已知已知与与 的夹角为的夹角为60，求：（求：（1）在在 方向上的投影；方向上的投影；（2）在在 方向上的投影；方向上的投影；（3）=2=3当且仅当为何值时，与互相垂直？当且仅当为何值时，与互相垂直？1.ab=|a|b|cos2.数量积几何意义3.重要性质课堂小结课堂小结4.运算律运算律课堂练习课堂练习:1.在在 ABC中中,=a,=b,ab0,则则 ABC 是是_三角形三角形BABC2.已知已知|a|=4,为单位向量为单位向量,它们的夹角为它们的夹角为 则则 a在在方向上的投影是方向上的投影是_233.设设a、b、c是非零向量，则（是非零向量，则（ab)c是（是（）（A）数量数量（B）与）与a共线的向量共线的向量(C)与与c共线的向量共线的向量(D)无意义无意义钝角钝角2C结束结束