第5节数理统计.ppt

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1、第5节数理统计 Still waters run deep.流静水深流静水深,人静心深人静心深 Where there is life,there is hope。有生命必有希望。有生命必有希望 数据本身虽然没有随机性，但由于数据数量太数据本身虽然没有随机性，但由于数据数量太 多，无法全部得到，只能抽样统计多，无法全部得到，只能抽样统计数理统计研究的数据带有随机性数理统计研究的数据带有随机性 数据的随机性主要有两个来源：数据的随机性主要有两个来源：实验有随机误差实验有随机误差数理统计的两个步骤数理统计的两个步骤 通过实验或观察收集必要的数据（抽样）通过实验或观察收集必要的数据（抽样）如何随机性

2、地收集这些数据和抽多少数据？标准标准 抽取抽取 个数据个数据 时，要使它们反映的信息时，要使它们反映的信息越多越好；它们分布应均匀，有越多越好；它们分布应均匀，有“代表性代表性”收集数据有两种方法收集数据有两种方法 抽样理论抽样理论（sampling theory）试验设计试验设计（experiment design）对收集的数据进行分析，以作决策对收集的数据进行分析，以作决策 有效地使用数据有效地使用数据 分析数据的方法：分析数据的方法：统计推断统计推断（statistical inference）二假设检验问题二假设检验问题 e.g.1 药效问题药效问题 对某一疾病研制了一种用于预防的新药

3、，现检验对某一疾病研制了一种用于预防的新药，现检验疗效设某地区猪患这种病的概率是疗效设某地区猪患这种病的概率是 0.25（这种病非（这种病非传染病，患病与其他猪无关）现选传染病，患病与其他猪无关）现选 12 头猪作实验，头猪作实验，结果发现，这些猪服药后均未患病，试讨论此药的疗结果发现，这些猪服药后均未患病，试讨论此药的疗效效 命题：命题：新药无效新药无效？Remark 这里说这里说“新药有效新药有效”，犯错误的概率是，犯错误的概率是3.2%确切地说，有确切地说，有97.8%的概率可认为新药有效的概率可认为新药有效 e.g.2 产品检验问题产品检验问题 给某产品包装，每给某产品包装，每 180

4、 个产品打成一包，要求合个产品打成一包，要求合格品为每包产品中次品数不超过格品为每包产品中次品数不超过 8 个现质检员任取个现质检员任取一包，从中抽取一包，从中抽取 4 个进行检测，发现其中有个进行检测，发现其中有 2 个次品，个次品，问该产品是否合格？问该产品是否合格？命题：命题：这包产品合格这包产品合格 上述两例有一个共同点：上述两例有一个共同点：利用观测结果（所取样本）利用观测结果（所取样本）对实际问题中的有关命题对实际问题中的有关命题“作正确与否作正确与否”的判断的判断 我们把这种需要作出判断的命题称为我们把这种需要作出判断的命题称为“统计假设统计假设”(statistical hyp

5、othesis)，简称，简称“假设假设”判断它正判断它正确与否的方法称为确与否的方法称为“检验检验”（test）,这类问题称为这类问题称为“假设检验假设检验”（hypothesis testing）.Remark 这里肯定或否定命题都不能保证不犯错误，这里肯定或否定命题都不能保证不犯错误，只是我们以很高的概率来肯定或否定它只是我们以很高的概率来肯定或否定它e.g.3 骰子的均匀性骰子的均匀性 骰子每面向上的概率均为骰子每面向上的概率均为 1/6 时，认为是均匀的时，认为是均匀的检验时，比如检验时，比如“1 点向上点向上”的概率是否的概率是否 1/6？问题问题：一骰子掷了一骰子掷了 次，其中次，

6、其中 1 点出现了点出现了 次，问：命题次，问：命题“1 点出现的概率等于点出现的概率等于1/6”这一假设是否成立？这一假设是否成立？分析分析：1 点出现的频率点出现的频率 假设成立？假设成立？频率与概率的偏差频率与概率的偏差(不足十万分之四不足十万分之四)三估计问题三估计问题 1.概率分布的估计概率分布的估计 为估计某事件为估计某事件 发生的概率发生的概率 ，作，作 次实验或观测次实验或观测看看 发生了几次发生了几次 发生的频率发生的频率 可用来作为事件可用来作为事件 的概率的概率 的估计值。的估计值。越大，估计越好越大，估计越好 e.g.商店欲估计周日上午商店欲估计周日上午 8:0012:

7、00 间每分钟到达间每分钟到达的顾客人数的顾客人数 的分布，即估计的分布，即估计 观测了观测了 20 个周日，共个周日，共 分钟，记录下了每分钟，记录下了每分钟到达的顾客数（分钟到达的顾客数（4800个数据）个数据）设到达设到达 个顾客的分钟数为个顾客的分钟数为 ，记记分布律为分布律为 012即用到达即用到达 个顾客的频率个顾客的频率 来估计概率来估计概率 商店经理可根据这一估计来合理安排售货员商店经理可根据这一估计来合理安排售货员 2.其它参数的估计其它参数的估计 任何模型（包括确定性模型）总有待定参数，要通过任何模型（包括确定性模型）总有待定参数，要通过对实际问题的观测或试验来确定。由于观

8、测误差，因对实际问题的观测或试验来确定。由于观测误差，因此观测值具有随机性我们要找出估计的方法此观测值具有随机性我们要找出估计的方法 e.g.估计某地区农户的平均收入估计某地区农户的平均收入(收入均值，记为收入均值，记为 )，随机地抽取，随机地抽取 户，他们的收入为户，他们的收入为 ，可用其平可用其平均数均数 来估计整个地区农户的平均收入来估计整个地区农户的平均收入 若另一人用同样方法随机抽取若另一人用同样方法随机抽取 个农户，他们的收入个农户，他们的收入为为 一般与一般与 不同不同因此只能说因此只能说“估计估计”均值均值 e.g.4 汽车产量的估计汽车产量的估计 利用观测城市中汽车牌照号码来

9、估计全城汽车数利用观测城市中汽车牌照号码来估计全城汽车数 假设假设：汽车牌照号码按自然数顺序从：汽车牌照号码按自然数顺序从 1 开始排列开始排列 把每个汽车号码看成一个小数把每个汽车号码看成一个小数，即把即把记成记成 号码号码 中实数中实数 即为未知参数，待估计）即为未知参数，待估计）最大号码最大号码现随机地观测得现随机地观测得 个号码个号码 对应于对应于 中中 个数个数 由此由此 组数对参数组数对参数 作估计作估计 问题问题 方法三方法三 用小区间平均长度近似用小区间平均长度近似方法二方法二 用小区间长度近似用小区间长度近似方法一方法一 用算术平均的方法用算术平均的方法缺点：缺点：因为小区间

10、长度不等，因为小区间长度不等，很大时，小区间长很大时，小区间长 度的度的 倍可能相差很大。倍可能相差很大。思考思考如果用如果用 估计估计 ，它的基本，它的基本思想是什么？思想是什么？e.g.5 敏感性问题调查敏感性问题调查 对有些敏感问题，人们往往不愿回答，此时用频对有些敏感问题，人们往往不愿回答，此时用频率估计概率会产生很大误差率估计概率会产生很大误差 S.L.Wamer(1965年年)：提出两个问题，被调查者随机提出两个问题，被调查者随机地选一个回答地选一个回答“yes”or“no”不必告诉回答的是哪不必告诉回答的是哪个问题两个问题中一个是要调查的敏感问题，另一个问题两个问题中一个是要调查

11、的敏感问题，另一个是无关紧要的问题个是无关紧要的问题 敏感问题敏感问题：你考试时作过弊吗？：你考试时作过弊吗？陪衬问题陪衬问题：你出生的年份最后一位数是偶数吗？：你出生的年份最后一位数是偶数吗？方法方法 让被调查者掷一枚硬币，出现正面时回答第让被调查者掷一枚硬币，出现正面时回答第 1 个个问题，否则回答第问题，否则回答第 2 个问题具体回答哪个问题只有个问题具体回答哪个问题只有被调查者自己知道被调查者自己知道 设调查设调查 200 人，其中人，其中 58 人回答人回答“yes”由于硬币均匀，所以可认为由于硬币均匀，所以可认为 100 人回答了第人回答了第 1 个问题，另个问题，另 100 人回

12、答了第人回答了第 2 个问题个问题 又由于出生年份最后一位数是偶数与奇数的机又由于出生年份最后一位数是偶数与奇数的机会相同，所以回答第会相同，所以回答第 2 个问题的个问题的 100 人中有人中有 50 人回答人回答“yes”回答第回答第 1 个问题的个问题的 100 人中约有人中约有 人回答了人回答了“yes”即考试作弊的人约占即考试作弊的人约占 8%Remark 此方法要求知道第此方法要求知道第 2 个问题回答个问题回答“yes”的概率和知的概率和知道回答第道回答第 1 个问题的概率，从而才能给出个问题的概率，从而才能给出 的估计，的估计，且调查的人数越多，估计越好且调查的人数越多，估计越

13、好 e.g.6 湖中鱼数的估计湖中鱼数的估计 问题问题 湖中鱼数湖中鱼数 未知，今捕上未知，今捕上 条，做上记号放回湖条，做上记号放回湖中，等过一段时间使均匀后，再捕上中，等过一段时间使均匀后，再捕上 条，其中条，其中有记号的有有记号的有 条估计条估计 方法一方法一（取最近的一个正整数）（取最近的一个正整数）方法二方法二估计估计 的一个自然想法就是使已发生事件的概的一个自然想法就是使已发生事件的概率最大，即率最大，即 随机捕随机捕 条鱼，条鱼，条有记号条有记号 达到极大达到极大 此此方方法法基基本本的的思思想想是是：参参数数的的值值应应选选取取使使得得已已发发生生的的事事件件的的概概率率极极大

14、大这这种种方方法法称称为为极极大大似似然然估估计计方方法法（method of maximum likelihood estimate）Remark 极极大大似似然然估估计计方方法法无无须须考考察察问问题题的的实实际际背背景景及及参参数数的的具具体体意意义义，适适用用于于各各种种问问题题，是是一一种种很很重重要要的的方方法法它它是是一一个个函函数数求求极极值值的的问问题题，依依赖赖于于找找到到参参数数和和已已发发生事件概率之间的关系（函数式）生事件概率之间的关系（函数式）两种方法结果相同两种方法结果相同 适用于一切问题的方法，往往对具适用于一切问题的方法，往往对具体问题并非是最好的方法体问题并非是最好的方法 P109.习题习题 2.5:1,2,4作作 业业