线性代数综合练习题三.ppt

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1、线性代数综合练习题三 Still waters run deep.流静水深流静水深,人静心深人静心深 Where there is life,there is hope。有生命必有希望。有生命必有希望一、填空题：；解解：把行列式按第一列展开第一个行列式按第三行展开，第二个行列式按第一行展开，2、设A为四阶方阵，且R（A）=2，则；解解：因为A为四阶方阵，且秩为2，所以A的任何3阶子式为零，而A的伴随矩阵 的元素为A的3阶子式，故 为零矩阵，所以 0。3、设向量组 的秩为2，则t=;解解：对下面矩阵施行初等行变换因为的秩为2，所以A的秩也为2，故4、已知n 阶可逆阵A的任意行和等于2，则 的一个

2、特征值为 ；解解：因为A的任意行和为2，所以即2为A的一个特征值，为对应的特征向量，所以5为 的一个特征值。5、设A，B均为n阶方阵，且则。解解：所以答案为二、选择题 1.设 线性相关 线性无关,则正确的结论是线性相关线性无关线性表示线性表示答:正确的结论为C.2、设为正定二次型，则 t 的取值范围解解：因为f为正定二次型，所以二次型矩阵A为正定矩阵，故A的行列式大于零，即解得所以选(c).3、设A为 矩阵，B 为矩阵，则下面结论正确的是。解解：因为AB为m阶方阵，当 时，有 所以选(b).4、A为n阶方阵，则 必为(a)正交阵；(b)对称阵;(b)(c)可逆阵；(d)正定阵。解解：所以 为对

3、称矩阵。5、设n阶方阵A，B，C满足ABC=E，则下面结论正确的是(a)ACB=E;(b)CBA=E;(c)BAC=E;(d)BCA=E.解解：因为ABC=E，所以A可逆，且A的逆矩阵为BC，因此有BCA=E，故选(d).6、已知A为正交矩阵，则 为(a)1 ;(b)-1;(c)0;(d)1 或 1。解解：因为A为正交矩阵，所以有即故选(d).1.设三阶矩阵其中 均为三维行向量.且求解解:三，计算下面各题：2、验证是 的一个基，并将 用该基线性表示。解解：因为 是三个三维向量，故只需证明它们线性无关即可，也就是由它们为列构成的矩阵 A与单位矩阵E等价，而 由它们线行表示，就是求方程组 的解，因

4、此对矩阵施行初等行变换所以 线性无关，即为 的一个基，且 由 线性表示为3、四元非齐次线性方程组AX=b,且 R(A)=2,已知是它的三个解向量，求其通解。其中解解：由于非齐次线性方程AX=b,为四元，且 R(A)=2,所以对应的齐次线性方程组的基础解系含有两个解向量，为AX=b的解，为AX=b的一个特解，为方程组AX=0的两个解，且是线性无关的，所以可以作为基础解系，因此非齐次线性方程组的通解为(其中 为任意实数)4、设二阶方阵A满足求An。解解：由已知得5、设向量组A：求：秩及一个极大无关组(写出计算过程)。解解：由 为列构成矩阵A，并对其施行初等行变换，所以，秩 为3，为一个极大无关组。

5、四、设线性方程组判断其相容性，若相容，求出其所有解。解解：对增广矩阵B=(A b)施行初等行变换可知R(A)=R(B)=3,所以方程组是相容的，其同解方程组为取 为自由未知量，得方程组的所有解为(其中 c 为任意实数)。五、设方阵问：A是否可以对角化，若 可以，求出一个正交阵，使其化为对角阵。解解：因为A是一个实对称矩阵，所以必存在一个正交矩阵P，使 即A能对角化；解特征方程 得A的 特征值，当 时，解方程组即得基础解系的解向量为它们已经正交，只需单位化取当 时，解方程组 即得基础解系的解向量为单位化得以为列构成的矩阵P 既为所求的正交矩阵，易证其中六、设二次型用正交变换法将其化为标准形，并写出所用的正交变换。解解：二次型矩阵为解A的特征多项式即解得A的特征值为当 时，解方程组得基础解系单位化得当 时，解方程组得基础解系当 时，解方程组得基础解系单位化得由 为列作正交矩阵易验证所以二次型经正交变换X=PY 化为标准形所用的正交变换为若进一步地令 用正交变换把其化为标准形，并确定k为何值时，B为正定阵，则由得所以有即有正交变换X=PY 使当 时，B为正定阵。完