习题课101二重积分概念.ppt

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1、例例.求旋转抛物面求旋转抛物面与平面与平面之间的最短距离之间的最短距离.解：解：设设为抛物面为抛物面上任一点，上任一点，则则 P 的距离为的距离为问题归结为问题归结为约束条件约束条件:目标函数目标函数:作拉氏函数作拉氏函数到平面到平面9 复习与习题课复习与习题课令令解此方程组得唯一驻点解此方程组得唯一驻点由实际意义最小值存在由实际意义最小值存在,故故P131题题18.在在第一卦限第一卦限内作椭球面内作椭球面的切平面的切平面使与三坐标面围成的四面体体积最小使与三坐标面围成的四面体体积最小,并求此体积并求此体积.解解:设切点为设切点为则切平面为则切平面为所指四面体围体积所指四面体围体积V 最小等价

2、于最小等价于 f(x,y,z)=x y z 最大最大,故取拉格朗日函数故取拉格朗日函数=0=0=0=0解得解得由实际问题知由实际问题知,在点在点处的切平面与三坐标面处的切平面与三坐标面围成的四面体体积最小围成的四面体体积最小.最小体积为最小体积为设设与与均为可微函数，且均为可微函数，且已知已知是是在约束条件在约束条件下的一个极值点，下列选项正确的是【下的一个极值点，下列选项正确的是【】，则，则（B B）若）若，则，则（C C）若）若，则，则（D D）若）若，则，则（A A）若）若(06考研)=0=0D多元函数极限同样具有极限的保号性多元函数极限同样具有极限的保号性.(D)根据所给条件无法判断点

3、根据所给条件无法判断点(0,0)是否为是否为f(x,y)的极值点的极值点已知函数已知函数f(x,y)在点在点(0,0)的某个邻域内连续，且的某个邻域内连续，且则则().(03考研考研 )A(A)点点(0,0)不是不是f(x,y)的极值点；的极值点；(B)点点(0,0)是是f(x,y)的极小值点；的极小值点；(C)点点(0,0)是是f(x,y)的极大值点；的极大值点；应如何选择应如何选择 B令左边为正。左边为正。在原点的某邻域在原点的某邻域令右边为负。右边为负。P130P130总习题九总习题九 第第2 2题题设设f f(x,y)在点（在点（0 0，0 0）的附近有定义，）的附近有定义，(C)(C

4、)曲线曲线 在（在（0,0,0,0,f(0,0)0,0)）处的切向量为）处的切向量为1,0,3;1,0,3;(D)(D)曲线曲线在(0,0,f(0,0)处的切向量为3,0,1.则则().(01数一数一)(A)dz|（0，0）=3dx-dy；(B)曲面曲面z z=f(x,y)在在(0,0,(0,0,f(0,0)(0,0)处的法向量为处的法向量为3,-1,3,-1,-11；C且且则切向量则切向量T=1,0,3(若若f可微或一阶偏导数连续可微或一阶偏导数连续,则都对则都对)设三元方程设三元方程(A)(A)只能确定一个具有连续偏导数的隐函数只能确定一个具有连续偏导数的隐函数z=z(x,y)(B)(B)

5、可确定两个具有连续偏导数的隐函数可确定两个具有连续偏导数的隐函数y=y(x,z)和和z=z(x,y)(C)(C)可确定两个具有连续偏导数的隐函数可确定两个具有连续偏导数的隐函数x=x(y,z)和和z=z(x,y)(D)(D)可确定两个具有连续偏导数的隐函数可确定两个具有连续偏导数的隐函数x=x(y,z)和和y=y(x,z)存在点存在点(0,1,1)(0,1,1)的一个邻域的一个邻域,在此邻域内该方程在此邻域内该方程,根据隐函数存在定理，根据隐函数存在定理，偏连，非空显然满足偏连，非空显然满足0,1,10,1,10,1,10 0=0()(D)(05数一数一)在平面在平面上上,而而与与相切于相切于

6、(1,-2,5),(1,-2,5),求求a,b.a,b.解解:在在(1,-2,5)(1,-2,5)的法向量的法向量据题意据题意:过过L L的平面束的平面束即即解得解得,第十章第十章 重重 积积 分分 一元函数积分学一元函数积分学多元函数积分学多元函数积分学重积分重积分曲线积分曲线积分曲面积分曲面积分第十一章第十一章推广推广三、二重积分的性质三、二重积分的性质 一、引例一、引例 二、二重积分的定义与可积性二、二重积分的定义与可积性 10.1 二重积分的概念与性质 第十章 解法解法:类似定积分解决问题的思想类似定积分解决问题的思想:一、引例一、引例1.曲顶柱体的体积曲顶柱体的体积 给定曲顶柱体给定

7、曲顶柱体:底：底：xoy 面上的闭区域面上的闭区域 D顶顶:连续曲面连续曲面侧面：侧面：以以 D 的边界为准线的边界为准线,母线平行于母线平行于 z 轴的柱面轴的柱面求其体积求其体积.“分割分割,近似近似,求求(近似近似)和和,(取取)极限极限”1)“分割分割”用用任意任意曲线网分曲线网分D为为 n 个区域个区域以它们为底把曲顶柱体分为以它们为底把曲顶柱体分为 n 个个2)“近似近似”在每个在每个3)“3)“求（近似）和求（近似）和”则则中中任取任取一点一点小曲顶柱体小曲顶柱体4)“(4)“(取取)极限极限”令令2.平面薄片的质量平面薄片的质量 有一个平面薄片有一个平面薄片,在在 xoy 平面

8、上占有区域平面上占有区域 D,计算该薄片的质量计算该薄片的质量 M.度为度为设设D 的面积为的面积为 ,则则若若非常数非常数,仍可用仍可用其面密其面密“分割分割,近似近似,求求(近似近似)和和,(取取)极限极限”解决解决.1)“分割分割”用用任意任意曲线网分曲线网分D 为为 n 个小区域个小区域相应把薄片也分为小区域相应把薄片也分为小区域.(连续连续),2)“近似近似”中中任取任取一点一点3)“求求(近似近似)和和”4)“(取取)极限极限”则第则第 k 小块的质量小块的质量两个问题的两个问题的共性共性：(1)解决问题的步骤相同解决问题的步骤相同(2)所求量的结构式相同所求量的结构式相同“分割分

9、割,近似近似,求求(近似近似)和和,(取取)极限极限”曲顶柱体体积曲顶柱体体积:平面薄片的质量平面薄片的质量:定义定义:将区域将区域 D 任意任意分割成分割成 n 个小区域个小区域任取任取一点一点作积作积若存在若存在,称称f(x,y)在在D上上可积可积.记作记作是定义在有界区域是定义在有界区域 D上的有界函数上的有界函数,取极限取极限求和求和其极限值其极限值,称为称为f(x,y)在在D上的上的二重积分二重积分.即二、二重积分的定义及可积性二、二重积分的定义及可积性或或积分域积分域被积函数被积函数积分表达式积分表达式面积元素面积元素引例引例1中曲顶柱体体积中曲顶柱体体积:引例引例2中平面薄板的质

10、量中平面薄板的质量:如果如果 在在D上可积上可积,也常也常二重积分记作二重积分记作这时这时分区域分区域D,因此面积元素因此面积元素可用平行坐标轴的直线来划可用平行坐标轴的直线来划 记作记作或或二重积分存在定理二重积分存在定理:若函数若函数定理定理2.(证明略证明略)定理定理1.在在D上可积上可积.限个点或有限条光滑曲线外都连续限个点或有限条光滑曲线外都连续,积积.在有界闭区域在有界闭区域 D上连续上连续,则则若有界函数若有界函数在有界闭区域在有界闭区域 D 上除去有上除去有 三、二重积分的性质三、二重积分的性质(a、b 为常数为常数)为为D 的面积的面积,则则(有和定积分完全对应的性质有和定积

11、分完全对应的性质:7条条)假假定定下下列列性性质质中中出出现现的的二二重重积积分分存存在在特别特别,由于由于则则4.若在若在D上上5.设设D 的面积为的面积为 ,则有则有即即6.(二重积分的中值定理二重积分的中值定理)证证:由性质由性质5 可知可知,由连续函数介值定理由连续函数介值定理,至少有一点至少有一点在闭区域在闭区域D上上 为为D 的面积的面积,则至少存在一点则至少存在一点使使使使连续连续,因此因此例例1.比较下列积分的大小比较下列积分的大小:其中其中解解:积分域积分域 D 的边界为圆周的边界为圆周它与它与 x 轴交于点轴交于点(1,0),而域而域 D 位位从而从而于直线的上方于直线的上

12、方,故在故在 D 上上 例例2.估计下列积分之值估计下列积分之值解解:D 的面积为的面积为由于由于即即:1.96 I 2D性质性质7.设函数设函数D 位于位于 x 轴上方的部分为轴上方的部分为D1,当区域关于当区域关于 y 轴对称轴对称,函数关于变量函数关于变量 x 有奇偶性时有奇偶性时,仍仍在在 D 上上在闭区域上连续在闭区域上连续,域域D 关于关于x 轴对称轴对称,则则则则有类似结果有类似结果.在第一象限部分在第一象限部分,则则有有(关于关于y为偶函数为偶函数)例例3.P1811.(2)解：解：D3关于关于x轴对称轴对称,且被积函数关于且被积函数关于y:xy(奇奇),cosxsiny(奇奇)91年考研题年考研题所以所以D2关于关于y轴对称轴对称,且被积函数关于且被积函数关于x:xy(奇奇),cosxsiny(偶偶)内容小结内容小结1.二重积分的定义二重积分的定义2.二重积分的性质二重积分的性质与定积分完全对应的性质与定积分完全对应的性质补充一条对称性补充一条对称性.P136 2，43，54 作业作业