2018初高中数学衔接教材.pdf
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1、.2018 初高中数学衔接教材目录第一章第一章数与式数与式1.1 数与式的运算数与式的运算绝对值乘法公式二次根式分式1.2 分解因式分解因式第二章第二章二次方程与二次不等式二次方程与二次不等式2.1 一元二次方程一元二次方程根的判别式根与系数的关系2.2 二次函数二次函数二次函数 y=a*2+b*+c 的图像和性质二次函数的三种表达方式二次函数的应用2.3 方程与不等式方程与不等式二元二次方程组的解法第三章第三章相似形、三角形、圆相似形、三角形、圆3.1 相似形相似形平行线分线段成比例定理相似三角形形的性质与判定3.2 三角形三角形三角形的五心解三角形:钝角三角函数、正弦定理和余弦定理及其应用
2、3.3 圆圆直线与圆、圆与圆的位置关系:圆幂定理点的轨迹四点共圆的性质与判定直线和圆的方程(选学)1.11.1 数与式的运算数与式的运算1.1.1.1绝对值绝对值绝对值的代数意义:正数的绝对值是它的本身,负数的绝对值是它的相反数,零的绝对值仍是零即绝对值的几何意义:一个数的绝对值,是数轴上表示它的点到原点的距离两个数的差的绝对值的几何意义:ab表示在数轴上,数a和数b之间的距离.资料.-例 1 解不等式:x1 x34解法一:由x 1 0,得x 1;由x3 0,得x 3;若x 1,不等式可变为(x1)(x3)4,即2x44,解得*0,又*1,*0;若1 x 2,不等式可变为(x1)(x3)4,即
3、 14,不存在满足条件的*;若x 3,不等式可变为(x1)(x3)4,即2x44,解得*4又*3,*4综上所述,原不等式的解为*0,或*4解法二:如图 1 11,x 1表示*轴上坐标为*的点P到坐标为 1 的点A之间的距离|PA|,即|PA|*1|;|*3|表示*轴上点P到坐标为 2 的点B之间的距离|PB|,即|PB|*3|所以,不等式x1 x34 的几何意义即为|*3|PA|PB|4由|AB|2,可知点P在点C(坐标为 0)的左侧、或点P在点D(坐标为 4)的右侧*0,或*4练习1填空:(1)若x 5,则*=_;若x 4,则*=_.(2)如果a b 5,且a 1,则b_;若1c 2,则c_
4、.2选择题:下列叙述正确的是()(A)若a b,则a b(B)若a b,则a b(C)若a b,则a b(D)若a b,则a b3化简:|*5|2*13|(*5)P*C0A1BD34*|*1|图 111.乘法公式乘法公式我们在初中已经学习过了下列一些乘法公式:(1)平方差公式(ab)(ab)a2b2;(2)完全平方公式(a b)2 a2 2abb2我们还可以通过证明得到下列一些乘法公式:(1)立方和公式(ab)(a2abb2)a3b3;(2)立方差公式(ab)(a2abb2)a3b3;(3)三数和平方公式(abc)2 a2b2c2 2(abbcac);(4)两数和立方公式(ab)3 a33a2
5、b3ab2b3;.z.-(5)两数差立方公式(ab)3 a33a2b3ab2b3对上面列出的五个公式,有兴趣的同学可以自己去证明例例 1计算:(x1)(x1)(x2 x1)(x2 x1)222解法一:解法一:原式=(x21)(x 1)x=(x21)(x4 x21)=x61解法二:原式=(x1)(x2 x1)(x1)(x2 x1)=(x31)(x31)=x61例 2已知abc 4,abbcac 4,求a2b2c2的值解:a2b2 c2(a b c)2 2(ab bc ac)8练习1填空:121211;a b (ba)()942322(2)(4m)16m 4m();2222(3)(a2bc)a 4
6、b c()(1)2选择题:1mxk是一个完全平方式,则k等于()21212122(A)m(B)m(C)m(D)m431622(2)不论a,b为何实数,a b 2a4b8的值()(1)若x 2(A)总是正数(B)总是负数(C)可以是零(D)可以是正数也可以是负数二次根式二次根式一般地,形如a(a 0)的代数式叫做二次根式根号下含有字母、且不能够开得尽方的式子称为无理式.例如3aa2b 2b,a2b2等是无理式,而2x2x22xy y2,a2等是有理式2x1,21分母(子)有理化把分母(子)中的根号化去,叫做分母(子)有理化分母(子)有理化为了进行分母(子)有理化,需要引入有理化因式的概念两个含有
7、二次根式的代数式相乘,如果它们的积不含有二次根式,我们就说这两个代数式互为有理化因式,例如2与2,3 a与a,3 6与3 6,2 3 3 2与2 3 3 2,等等一般地,a x与x,a x b y与a x b y,a x b与a x b互为有理化因式分母有理化的方法是分母和分子都乘以分母的有理化因式,化去分母中的根号的过程;而分子有理化则是分母和分子都乘以分母的有理化因式,化去分子中的根号的过程在二次根式的化简与运算过程中,二次根式的乘法可参照多项式乘法进行,运算中要运用公式ab ab(a 0,b 0);而对于二次根式的除法,通常先写成分式的形式,然后通过分母有理化进行运算;二次根式的加减法与
8、多项式的加减法类似,应在化简的基础上去括号与合并同类二次根式.z.-2二次根式a2的意义例1将下列式子化为最简二次根式:(1)12b;(2)a2b(a 0);(3)4x6y(x 0)解:(1)12b 2 3b;(2)a2b ab a b(a 0);(3)4x6y 2 x3y 2x3y(x 0)例例 2计算:3(33)333(33)(33)(33)3 3 3933(3 1)63 123 113313解法二解法二:3(33)23 1(31)(3 1)3(31)33解法一:3(33)3例 3 试比较下列各组数的大小:(1)12 11和11 10;(2)解:(1)12 11 2和2 2 6.6 412
9、 11(12 11)(12 11)1,112 1112 1111 10 11 10(11 10)(11 10)1,111 1011 10又12 11 11 10,12 1111 102 2 6(2 2 6)(2 2+6)2,12 2+62 2+6(2)2 2 6 又 422,64622,22 2 6.6 4例 4化简:(3 2)2004(3 2)2005解:(3 2)2004(3 2)2005(3 2)2004(3 2)2004(3 2)(3 2)(3 2)12004(3 2)3 22004(3 2)例 5化简:(1)94 5;(2)x212(0 x 1)2x.z.-解:(1)原式54 5 4
10、(5)222 5 22(2 5)2 255 211(2)原式=(x)2 x,xx110 x 1,1 x,所以,原式 xxx3232例 6已知x,求3x25xy 3y2的值,y 323 23232解:x y (32)2(32)210,323232321,32323x25xy 3y2 3(x y)211xy 310211 289xy 练习1填空:(1)1 3_;13(2)若(5 x)(x3)2(x3)5 x,则x的取值围是_ _;(3)4 24 6 54 3 96 2 150 _;(4)若x 2选择题:5x1x1x1x1,则_2x1x1x1x1xx成立的条件是()x2x2(A)x 2(B)x 0(
11、C)x 2(D)0 x 2等式a21 1a23若b,求ab的值a14比较大小:2354(填“”,或“”)1.1.分式1分式的意义形如AAA的式子,若B中含有字母,且B 0,则称为分式分式当M0 时,分式具有下列性质:BBBAAMAAM;BBMBBM上述性质被称为分式的基本性质2繁分式amn p像b,这样,分子或分母中又含有分式的分式叫做繁分式繁分式2mcdn p5x4AB例 1 若,求常数A,B的值x(x2)xx2.z.-ABA(x2)Bx(A B)x2A5x4,xx2x(x2)x(x2)x(x2)A B 5,解得A 2,B 32A 4,111例 2(1)试证:(其中n是正整数);n(n1)n
12、n1111(2)计算:;12239101111(3)证明:对任意大于 1 的正整数n,有2334n(n1)211(n1)n1(1)证明:,nn1n(n1)n(n1)111(其中n是正整数)成立n(n1)nn1解:(2)解:由(1)可知1111111119(1)()()11223910223910101011111111111(3)证明:()()(,)2334n(n1)2334nn12n11又n2,且n是正整数,一定为正数,n1例 3设e 11233411n(n1)2c,且e1,2c25ac2a20,求e的值a解:在 2c25ac2a20 两边同除以a2,得2e25e20,(2e1)(e2)0,
13、1e1,舍去;或e22e2练习1填空题:对任意的正整数n,2选择题:111();n(n2)nn22x y2x,则()x y3y546(A)(B)(C)(D)455x y223正数x,y满足x y 2xy,求的值x y1111.4计算12233499100若习题习题 1 11 1A A组组.z.-1解不等式:(1)x1 3;(2)x3 x2 7;(3)x1 x1 6已知x y 1,求x y 3xy的值333填空:1819(1)(2 3)(2 3)_;(2)若(1a)2(1a)2 2,则a的取值围是_;(3)11111_122 33 44 55 6B B组组1填空:3a2ab11_;(1)a,b,
14、则23a 5ab2b223x23xy y222_;(2)若x xy 2y 0,则x2 y22已知:x yy11的值,y,求23x yx yC C组组1选择题:b a,则()(A)a b(B)a b(C)a b 0(D)b a 01(2)计算a 等于()a(A)a(B)a(C)a(D)a1122解方程2(x 2)3(x)1 0 xx11113计算:13243591111114试证:对任意的正整数n,有123234n(n1)(n2)4(1)若ab2 ab 1.21.2 因式分解因式分解因式分解的主要方法有:十字相乘法、提取公因式法、公式法、分组分解法,另外还应了解求根法及待定系数法1十字相乘法例
15、1分解因式:(1)*23*2;(2)*24*12;(3)x2(ab)xy aby2;(4)xy1 x y解:(1)如图 111,将二次项*2分解成图中的两个*的积,再将常数项 2 分解成1与2 的乘积,而图中的对角线上的两个数乘积的和为3*,就是*23*2 中的一次项,所以,有*23*2(*1)(*2)*12112.z.1621图 1131*ayby图 111图 112图 114-说明:今后在分解与本例类似的二次三项式时,可以直接将图111 中的两个*用 1 来表示(如图 112 所示)(2)由图 113,得*24*12(*2)(*6)(3)由图 114,得*x2(ab)xy aby2(xay
16、)(xby)1(4)xy1 x y*y(*y)1(*1)(y+1)(如图 115 所示)课堂练习一、填空题:1、把下列各式分解因式:(1)x5x6 _。2222y图 1151(2)x5x6 _。(3)x5x6 _。(4)x5x6 _。2(5)x a1xa _。(6)x11x18 _。2(7)6x7x2 _。2(8)4m12m9 _。2(9)57x6x_。2(10)12xxy6y_。222、x 4xx3x23、若x ax b x2x4则a,b。2二、选择题:(每小题四个答案中只有一个是正确的)1、在多项式(1)x 7x6(2)x 4x3(3)x 6x8(4)x 7x102222(5)x 15x4
17、4中,有相同因式的是()A、只有(1)(2)B、只有(3)(4)C、只有(3)(5)D、(1)和(2);(3)和(4);(3)和(5)22、分解因式a 8ab33b得()a3B、a 11ba 3bC、a 11ba 3bD、a 11ba 3bA、a113、a b8a b20分解因式得()222ab2B、ab5ab4A、ab102ab10D、ab4ab5C、ab24、若多项式x 3xa可分解为x5xb,则a、b的值是()A、a 10,b 2B、a 10,b 2C、a 10,b 2D、a 10,b 2xb其中a、b为整数,则m的值为()5、若x mx 10 xa2A、3或9B、3C、9D、3或9三、
18、把下列各式分解因式3221、62pq11q2p32、a 5a b6ab2423、2y 4y 64、b 2b 822提取公因式法例 2分解因式:(1)a2b5a5b(2)x393x23x解:(1)a2b5a5b=a(b 5)(a 1).z.-(2)x393x23x=(x33x2)(3x9)=x2(x3)3(x3)=(x3)(x23)或x393x23x(x33x23x1)8(x1)38(x1)323(x1)2(x1)2(x1)222(x3)(x23)课堂练习:一、填空题:1、多项式6x2y2xy24xyz中各项的公因式是_。2、m x yny xx y_。3、mxy2nyx2xy2_。4、mx y
19、 zny z xx y z_。5、mx y z x y z x y z_。6、13ab2x639a3b2x5分解因式得_。7计算99299=二、判断题:(正确的打上“”,错误的打上“”)1、2a2b4ab2 2abab(2、ambmm mab(3、3x36x215x 3x x22x5(4、xn xn1 xn1x1(3:公式法例 3分解因式:(1)a416(2)3x 2y2x y2解:(1)a416=42(a2)2(4 a2)(4 a2)(4 a2)(2 a)(2 a)(2)3x 2y2x y2=(3x 2y x y)(3x 2y x y)(4x y)(2x 3y)课堂练习一、a22abb2,a
20、2b2,a3b3的公因式是_。二、判断题:(正确的打上“”,错误的打上“”)21、49x20.0123x0.12223x0.13x0.1(2、9a28b23a24b23a4b3a4b(3、25a216b5a4b5a4b(4、x2 y2 x2 y2 x yx y(5、a2bc2a bcabc(五、把下列各式分解1、9mn2mn22、3x2133、4 x24x224、x42x214分组分解法例 4(1)x2xy3y3x(2)2x2 xy y24x5y 6(2)2x2 xy y24x5y 6=2x2(y 4)x y25y 6=2x2(y 4)x(y 2)(y 3)=(2x y 2)(x y 3)或2
21、x2 xy y24x5y 6=(2x2 xy y2)(4x5y)6.z.)-=(2x y)(x y)(4x5y)6=(2x y 2)(x y3)课堂练习:用分组分解法分解多项式(1)x2y2a2b22ax2by(2)a 4ab4b 6a12b9225关于*的二次三项式a*a*2 2+b*b*+c c(a a0 0)的因式分解若关于若关于*的方程的方程ax2bxc 0(a 0)的两个实数根是的两个实数根是x1、x2,则二次三项式,则二次三项式ax2bx c(a 0)就可分解为就可分解为a(x x1)(x x2).例 5把下列关于*的二次多项式分解因式:(1)x22x1;(2)x24xy 4y2解
22、:(1)令x22x1=0,则解得x1 12,x2 12,x22x1=x(12)x(12)=(x12)(x12)(2)令x24xy 4y2=0,则解得x1(22 2)y,x1(22 2)y,x24xy 4y2=x 2(12)yx 2(12)y练习1选择题:多项式2x xy 15y的一个因式为()(A)2x5y(B)x3y(C)x3y(D)x5y2分解因式:233(1)*6*8;(2)8ab;2(3)*2*1;(4)4(x y1)y(y2x)习题习题 1 12 21分解因式:(1)a 1;(2)4x 13x 9;22(3)b c 2ab2ac2bc;(4)3x 5xy 2y x9y 4222234
23、22在实数围因式分解:2(1)x 5x3;(2)x 2 2x3;2(3)3x 4xy y;(4)(x 2x)7(x 2x)123ABC三边a,b,c满足a b c abbcca,试判定ABC的形状224分解因式:*(aa)222222225.(尝试题)已知 abc=1,a+b+c=2,a+b+c=,求111+的值.abc-1bca-1ca b-12.12.1一元二次方程一元二次方程根的判别式根的判别式 情境设置:可先让学生通过具体实例探索二次方程的根的求法,情境设置:可先让学生通过具体实例探索二次方程的根的求法,如求方程的根(如求方程的根(1 1)x 2x 30(2)(2)x 2x 1 0(3
24、)(3)x 2x 3 0 2我们知道,对于一元二次方程a*b*c0(a0),用配方法可以将其变形为222b2b24ac(x)22a4a因为a0,所以,4a0于是2(1)当b4ac0 时,方程的右端是一个正数,因此,原方程有两个不相等的实数根2bb24ac*1,2;2a.z.-(2)当b4ac0 时,方程的右端为零,因此,原方程有两个等的实数根2*1*22b;2ab2)一定大于或等于零,因2a(3)当b4ac0 时,方程的右端是一个负数,而方程的左边(x此,原方程没有实数根222由此可知,一元二次方程a*b*c0(a0)的根的情况可以由b4ac来判定,我们把b4ac叫做一元二次方程a*b*c0(
25、a0)的根的判别式根的判别式,通常用符号“”来表示2综上所述,对于一元二次方程对于一元二次方程a*a*b*b*c c0 0(a a0 0),有,有2 2bb24ac(1 1)当当 0 0 时,方程有两个不相等的实数根时,方程有两个不相等的实数根*1,2;2ab(2 2)当)当 0 0 时,方程有两个相等的实数根时,方程有两个相等的实数根*1*2;2a(3 3)当)当 0 0 时,方程没有实数根时,方程没有实数根例 1判定下列关于*的方程的根的情况(其中a为常数),如果方程有实数根,写出方程的实数根22(1)*3*30;(2)*a*10;22(3)*a*(a1)0;(4)*2*a02解:(1)3
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