构造数列总结(共8页).doc

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1、精选优质文档-倾情为你奉上构造数列林森本文主要淡淡构造法在高中数列问题的应用。一、型如(为常数且，)的数列，其本身并不是等差或等比数列，但经过适当的变形后，即可构造出一个新数列，利用这个数列可求其通项公式。1 (为常数)，可构造等比数列求解例1已知数列满足，（），求通项解由，得，又，所以数列是首项为，公比为的等比数列，注：一般地，递推关系式 (p、q为常数，且p0，p1)可等价地改写成，则为等比数列，从而可求2为等比数列，可构造等差数列、等比数列求解。如 (为常数) ，两边同除以，得，令，则可转化为的形式求解例2（1）已知数列an中，求通项（2）已知数列满足，求通项解（1）由条件，得，令，则，

2、即，又，数列为等比数列，故有，即，（2）由条件，得，即，故数列是以为首项，以为公差的等差数列， ， 故3为等差数列，如型递推式，可构造等比数列求解例3已知数列满足，（），求解令，则，代入已知条件，得，即，令，解得=4，=6，所以，且，是以3为首项、以为公比的等比数列，故，故注此例通过引入一些尚待确定的系数，转化命题结构，经过变形与比较，把问题转化成基本数列（等差或等比数列）求解4为非等差、非等比数列，可构造等差、等比数列求解法一、构造等差数列求解：例4在数列中，（1）若，其中，求数列的通项公式；（2）若，求通项解（1）由条件可得，数列是首项为0，公差为1的等差数列，故，（2）由条件可得：，数列

3、是首项为，公差为2的等差数列，法二、构造等比数列求解：例5已知数列满足，求数列的通项公式解设，将已知条件代入此式，整理后得，令，解得，有，又，且，故数列是以为首项，以3为公比的等比数列，故二、形如的复合数列，可先构造等差数列或等比数列，再用叠加法、叠乘法、迭代法等方法求解例6在数列中，求解由条件可得， 数列是以为首项，以为公比的等比数列，故= 例7已知数列满足，（），求解由已知可得：，又，所以数列是首项为、公比为的等比数列，即，亦即，又，数列是首项为2、公差为6的等差数列，三、一些较为特殊的数列，可利用“取倒数”的方法构造等差数列或等比数列求解例8已知数列中，（），求解由已知，得，设，则，故是

4、以为首项，1为公差的等差数列，即例9已知数列，其中，且，求通项an解由条件得：，设，则，令，解得，于是有，数列是一个以为首项，公比是3的等比数列，即，代入bn，得例10若数列中，是数列的前项之和，且，求数列的通项公式解由，得，令，则有，故，数列是以为首项，3为公比的等比数列，=，当n时，由（）得， 四、对某些特殊的数列，可利用特征方程构造等差数列或等比数列求解如满足（A，B，C，D为常数，且）的数列，可令特征方程为，变形为，若方程有二异根，则可令（为待定常数），则数列是首项为，公比为的等比数列；若方程有二重根，则可令（为待定常数），则数列是首项为，公差为的等差数列。然后代入的值可求得值，于是可

5、求得例11已知数列满足，求数列的通项解令，化简得，解得，令， 由，得，可得，数列是以为首项，以为公比的等比数列，解得例12已知数列满足，求数列的通项解令，即，解得，令，由得，求得，数列是以为首项，以为公差的等差数列，故五、其它特殊数列的特殊构造方法1通过取对数来构造新的数列求解例13若数列中，=3且（n是正整数），则它的通项公式是=解 由题意知0，将两边取对数得，即，所以数列是以=为首项，公比为2的等比数列，即2通过换元来构造新的数列求解例14数列中，求分析本题的难点是已知递推关系式中的较难处理，可构建新数列，令，这样就巧妙地去掉了根式，将通项进行转化，便于化简变形解令，则， ，即，则原条件可

6、化为，化简得，即，变形得，数列 是以为首项，为公比的等比数列，即， 3对于两个数列的复合问题，也可构造等差或等比数列求解。例15在数列、中，且，求、的通项公式解构造新数列，则=+=，令，得 =或 =5 ，数列是首项，公比q=+5的等比数列，即：当=3时，是首项为=，q=5+=2的等比数列，故=； 当 =5时，是首项为=6，q=+5=10的等比数列，故=6，联立二式，得，解得，。注：1并不是任何数列都可以求出其通项的，能够求出通项的只是一些特殊的数列。例如数列1，1.4，1.41，1.414，就没有通项公式；2同一个数列的通项公式的形式不一定唯一。例如数列1，1，1，1，其通项公式为，或；3数列

7、是函数概念的继续和延伸，数列中数的有序性是数列定义的灵魂，要注意辨析数列中的项与数集中元素的异同，因此在研究数列问题时既要注意函数方法的普遍性，又要注意数列方法的特殊性。从上述各题构建新数列的过程中，可以看出对题设中递推式的观察、分析，并据其结构特点进行合理变形，是成功构造新数列的关键。构造新数列的目的是为了化繁为简、化未知为已知、化不熟悉为熟悉，这也是解答数学问题的共性之所在。由上所举众多例子，不言而喻，正是在问题按照定向、按照常规难以解决的情况下，我们才改变思维方向，创造解题条件。长此以往，这将有利于我们优化思维品质，提高思维能力；深刻理解概念，综合运用知识；发挥主观作用，激发学习兴趣，在中学数学课的教学中，引导学生运用构造法解题不仅能提高学生的解题能力，更重要的是通过这种解题方法的运用可丰富学生的想象力，培养他们的创造性思维能力高水平地掌握知识并能把知识广泛地运用到解决问题上来，使学生的思维由单一型转变为多角度，变得积极、灵活、自如专心-专注-专业