抛物线的定义与性质强化训练 --解析.pdf

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1、抛物线的定义与性质强化训练抛物线的定义与性质强化训练（解析版解析版）1、(2022安徽蚌埠三模)设 F 为抛物线 y24x 的焦点，A，B，C 为该抛物线上三点，若 A，B，C 三点坐标分别为(1，2)，(x1，y1)，(x2，y2)，且|FA|FB|FC|10，则 x1x2()A6B5C4D3解析：根据抛物线的定义，知|FA|，|FB|，|FC|分别等于点 A，B，C 到准线 x1 的距离，所以由|FA|FB|FC|10，可得 2x11x2110，即 x1x26.故选 A.2、(2022亳州市检测)过点 A(3，0)且与 y 轴相切的圆的圆心的轨迹为()A圆B椭圆C直线D抛物线解析：选 D.

2、如图，设 P 为满足条件的一点，不难得出结论：点 P 到点 A 的距离|PA|等于点 P 到 y 轴的距离|PB|，故点 P 在以点 A 为焦点，y 轴为准线的抛物线上，故点 P 的轨迹为抛物线3、(2022哈尔滨六中期末)过抛物线 x24y 的焦点 F 作直线 l 交抛物线于 P1(x1，y1)，P2(x2，y2)两点，若 y1y26，则|P1P2|()A5B6C8D10解析：选 C.抛物线 x24y 的准线为 y1，因为 P1(x1，y1)，P2(x2，y2)两点是过抛物线焦点的直线 l 与抛物线的交点，所以 P1(x1，y1)，P2(x2，y2)两点到准线的距离分别是 y11，y21，所

3、以|P1P2|y1y228.4、(多选)(2022武汉模拟)设抛物线 C：y22px(p0)的焦点为 F，准线为 l，A 为 C 上一点，以 F 为圆心，|FA|为半径的圆交 l 于 B，D 两点.若ABF 的面积为 9 3，则()A.|BF|3B.ABF 是等边三角形C.点 F 到准线的距离为 3D.抛物线 C 的方程为 y26x解析：因为|FA|为半径的圆交 l 于 B，D 两点，所以|FA|FB|；又|BF|FD|FA|，所以ABD90，|FA|AB|，可得ABF 为等边三角形，B 正确；过 F 作 FCAB 交于 C，则 C 为 AB 的中点，C 的横坐标为p2，B 的横坐标为p2，所

4、以 A 的横坐标为3p2，代入抛物线可得 y2A3p2，|yA|3p，ABF 的面积为 9 3，即12(xAxB)|yA|123p2p2 3p9 3，解得 p3，所以抛物线的方程为y26x，D 正确；焦点坐标为32，0，所以焦点到准线的距离为3223，C 正确；此时点 A 的横坐标为92，所以|BF|AF|AB|92326，A 不正确.5、(2022济南期末)直线 yxb 交抛物线 y12x2于 A，B 两点，O 为抛物线顶点，OAOB，则 b 的值为()A1B0C1D2解析：D设 A(x1，y1)，B(x2，y2)，将 yxb 代入 y12x2，化简可得 x22x2b0，故 x1x22，x1

5、x22b，所以 y1y2x1x2b(x1x2)b2b2又 OAOB，所以 x1x2y1y20，即2bb20，则 b2 或 b0，经检验 b0 时，不符合题意，故 b26、(多选)(2022青岛质检)设 F 是抛物线 C：y24x 的焦点，直线 l 过点 F，且与抛物线 C 交于 A，B两点，O 为坐标原点，则下列结论正确的是()A.|AB|4B.|OA|OB|8C.若点 P(2，2)，则|PA|AF|的最小值是 3D.OAB 面积的最小值是 2解析：由题意知 F(1，0)，不妨设 A 在第一象限，(1)若直线 l 斜率不存在，则 A(1，2)，B(1，2)，则|AB|4，|OA|OB|2|OA

6、|2 5，SOAB12412，显然 B 错误；(2)若直线 l 存在斜率，设直线 l 的斜率为 k，则直线 l 的方程为 yk(x1)，显然 k0，联立方程组yk（x1），y24x，消元得 k2x2(2k24)xk20，设 A(x1，y1)，B(x2，y2)，则 x1x22k24k224k2，|AB|x1x2244k24，原点 O 到直线 l 的距离 d|k|k21，SOAB12|AB|d1244k2|k|k21211k22，综上，|AB|4，SOAB2，故 A 正确，D 正确.过点 A 向准线作垂线，垂足为 N，则|PA|AF|PA|AN|.又 P(2，2)在抛物线右侧，故当 P，A，N 三

7、点共线时，|PA|AF|取得最小值 3，故 C 正确.故选ACD.7、已知抛物线 C：y24x 的焦点为 F，准线为 l，P 为 C 上一点，PQ 垂直于 l 且交 l 于点 Q，M，N分别为 PQ，PF 的中点，MN 与 x 轴相交于点 R，若NRF60，则下列结论错误的是()AFQP60B|QM|1C|FP|4D|FR|2解析：选 B.如图，连接 FQ，FM，因为 M，N 分别为PQ，PF 的中点，所以 MNFQ，又 PQx 轴，NRF60，所以FQP60，由抛物线的定义知，|PQ|PF|，所以FQP为等边三角形，则 FMPQ，|QM|2，等边三角形 FQP 的边长为 4，|FP|PQ|4

8、，|FN|12|PF|2，则FRN 为等边三角形，所以|FR|2.故选 B.8、以抛物线 C 的顶点为圆心的圆交 C 于 A，B 两点，交 C 的准线于 D，E 两点已知|AB|4 2，|DE|2 5，则 C 的焦点到准线的距离为()A2B4C6D8解析：选 B.如图，不妨设抛物线 C：y22px(p0)，A(x1，22)，则 x1（2 2）22p4p，由题意知|OA|OD|，所以4p28p225，解得 p4.9、(2020高考全国卷)设 O 为坐标原点，直线 x2 与抛物线C：y22px(p0)交于D，E 两点，若 ODOE，则 C 的焦点坐标为()A.14，0B.12，0C(1，0)D(2

9、，0)解析：选 B.将直线方程与抛物线方程联立，可得 y2 p，不妨设 D(2，2 p)，E(2，2 p)，由 ODOE，可得ODOE44p0，解得 p1，所以抛物线 C 的方程为 y22x，其焦点坐标为12，0.10、(2022陕西省咸阳市质检)已知点 M(3，2)是坐标平面内一定点，若抛物线 y22x 的焦点为 F，点 Q 是该抛物线上的一动点，则|MQ|QF|的最小值是()A.72B3C.52D2解析：选 C.如图，抛物线的准线方程为 x12，过点 Q作 QQ垂直准线于点 Q，|MQ|QF|MQ|QQ|，显然当 MQx 轴时，|MQ|QF|取得最小值，此时|MQ|QF|23|212|52

10、.11、(2022盐城市阜宁中学高二检测)已知抛物线 C：y24x 的焦点为 F，点 P 在抛物线的准线上，线段 PF 与抛物线交于点 M，则下列判断正确的是()AOMF 可能是等边三角形BOMF 可能是等腰直角三角形C.|PF|PM|12|PF|D.|PF|MF|PF|1解析：选 C.若OMF 是等边三角形，则边长为 1，且点 M 的横坐标为12，纵坐标为 2，此时|OM|142321，所以OMF 不可能是等边三角形，故 A 不正确；若OMF 是等腰直角三角形，则只可能是OMF90，|OM|FM|32，所以|OM|2|FM|2|OF|2，故 B 不正确；过点 M 作准线的垂线交准线于点 N，

11、则|MF|MN|，|PF|PM|PM|MF|PM|1|MF|PM|1|MN|PM|12|PF|，故 C 正确，D 不正确12、(2020全国卷)设 O 为坐标原点，直线 x2 与抛物线 C：y22px(p0)交于 D，E 两点，若 ODOE，则 C 的焦点坐标为()A.14，0B.12，0C.(1，0)D.(2，0)解析：将 x2 与抛物线方程 y22px 联立，可得 y2 p，不妨设 D(2，2 p)，E(2，2 p)，由 ODOE，可得ODOE44p0，解得 p1，所以抛物线 C 的方程为 y22x.其焦点坐标为12，0.13、(多选)(2021烟台调研)已知 F 是抛物线 C：y216x

12、 的焦点，M 是 C 上一点，FM 的延长线交 y轴于点 N.若 M 为 FN 的中点，则()A.C 的准线方程为 x4B.F 点的坐标为(0，4)C.|FN|12D.三角形 ONF 的面积为 16 2(O 为坐标原点)解析：不妨设点 M 位于第一象限，设抛物线的准线 l 与 x 轴交于点 F，作 MBl 于点 B，NAl于点 A.由抛物线的解析式可得准线方程为 x4，F 点的坐标为(4，0)，A 正确，B 错误.故|AN|4，|FF|8，在直角梯形 ANFF中，中位线|BM|AN|FF|26，由抛物线的定义有|MF|MB|6，结合题意，有|MN|MF|6，故|FN|FM|NM|6612，C

13、正确，而|ON|122428 2，SONF128 2416 2，D 正确.14、设 F 为抛物线 y22x 的焦点，A，B，C 为抛物线上三点，若 F 为ABC 的重心，则|FA|FB|FC|的值为()A.1B.2C.3D.4解析：依题意，设点 A(x1，y1)，B(x2，y2)，C(x3，y3)，又焦点 F12，0，所以 x1x2x331232，则|FA|FB|FC|x112 x212 x312(x1x2x3)3232323.15、设 F 为抛物线 C：y23x 的焦点，过 F 且倾斜角为 30的直线交 C 于 A，B 两点，O 为坐标原点，则OAB 的面积为()A.3 34B.9 38C.

14、6332D.94解析：由已知得焦点坐标为 F34，0，因此直线 AB 的方程为 y33x34，即 4x4 3y30.方法一：联立直线方程与抛物线方程化简得4y212 3y90，则 yAyB3 3，yAyB94，故|yAyB|（yAyB）24yAyB6.因此 SOAB12|OF|yAyB|1234694.方法二：联立直线方程与抛物线方程得 x2212x9160，故 xAxB212.根据抛物线的定义有|AB|xAxBp2123212，同时原点到直线 AB 的距离为 d|3|42（4 3）238，因此 SOAB12|AB|d94.16、(2021新高考卷)若抛物线 y22px(p0)的焦点到直线 y

15、x1 的距离为 2，则 p()A1B2C2 2D4解析：选 B.抛物线的焦点坐标为p2，0，其到直线 xy10 的距离 d|p201|11 2，解得 p2(p6 舍去)故选 B.17、已知 O 为坐标原点，M(2，2)，P，Q 是抛物线 C：y22px 上两点，F 为其焦点，若 F 到准线的距离为 2，则下列说法正确的有()APMF 周长的最小值为 2 5B若PFFQ，则|PQ|最小值为 2 2C若直线 PQ 过点 F，则直线 OP，OQ 的斜率之积恒为2D若POF 外接圆与抛物线 C 的准线相切，则该圆面积为94解析：选 D.因为 F 到准线的距离为 2，所以 p2，所以抛物线 C：y24x

16、，F(1，0)，|MF|（21）2（20）2 5，准线 l：x1，对于 A，过 P 作 PNl，垂足为 N，则|PF|PM|PN|PM|MN|213，所以PMF 周长的最小值为 3 5，故 A 不正确；对于 B，若PFFQ，则弦 PQ 过 F，过 P 作 l 的垂线，垂足为 P，过 Q 作l 的垂线，垂足为 Q，设 PQ 的中点为 G，过 G 作 GGl，垂足为 G，则|PQ|PF|QF|PP|QQ|2|GG|224，即|PQ|最小值为4，故 B 不正确；对于 C，若直线 PQ 过点 F，设直线 PQ：xmy1，联立xmy1，y24x，消去 x 得 y24my40，设 P(x1，y1)，Q(x

17、2，y2)，则 y1y24m，y1y24，所以 kOPkOQy1x1y2x24y14y21644，故 C 不正确；对于 D，因为 OF 为外接圆的弦，所以圆心的横坐标为12，因为POF 外接圆与抛物线 C 的准线相切，所以圆的半径为 11232，所以该圆面积为(32)294，故 D 正确18、(2021吉林省吉林市调研)已知抛物线 y24x 的焦点 F，点 A(4,3)，P 为抛物线上一点，且 P 不在直线 AF 上，则PAF 周长取最小值时，线段 PF 的长为()A1B134C5D214解析：求PAF 周长的最小值，即求|PA|PF|的最小值，设点 P 在准线上的射影为 D，根据抛物线的定义

18、，可知|PF|PD|，因此，|PA|PF|的最小值，即|PA|PD|的最小值根据平面几何知识，可得当 D，P，A 三点共线时|PA|PD|最小，此时 P94，3，且|PF|941134，故选 B19、(2021上海虹口区二模)已知直线 l1：4x3y60 和直线 l2：x1，抛物线 y24x 上一动点 P到直线 l1和 l2的距离之和的最小值为()A3716B115C2D74解析：直线 l2：x1 是抛物线 y24x 的准线，抛物线 y24x 的焦点为 F(1,0)，则点 P 到直线l2：x1 的距离等于|PF|，过点 F 作直线 l1：4x3y60 的垂线，和抛物线的交点就是点 P，所以点

19、P 到直线 l1：4x3y60 的距离和到直线 l2：x1 的距离之和的最小值就是点 F(1,0)到直线l1：4x3y60 的距离，所以最小值为|406|32422，故选 C20、(2022重庆沙坪坝区模拟)已知抛物线 C：y22px(p0)的焦点为 F，过点(p,0)且垂直于 x 轴的直线与抛物线 C 在第一象限内的交点为 A，若|AF|1，则抛物线 C 的方程为()Ay243xBy22xCy23xDy24x解析：由题意知 xAp，又|AF|xAp23p21，p23，抛物线 C 的方程为 y243x，故选 A21、(2021安徽蚌埠一中期中)已知抛物线的顶点在原点，焦点在 y 轴上，其上的点

20、 P(m，3)到焦点的距离为 5，则抛物线方程为()Ax28yBx24yCx24yDx28y解析：由题意可知抛物线的焦点在 y 轴负半轴上，故设其方程为 x22py(p0)，所以 3p25，即 p4，所以所求抛物线方程为 x28y，故选 D22、(2021广西四校联考)已知抛物线 y22px(p0)上横坐标为 4 的点到此抛物线焦点的距离为 9，则该抛物线的焦点到准线的距离为()A4B9C10D18解析：抛物线 y22px 的焦点为p2，0，准线方程为 xp2.由题意可得 4p29，解得 p10，所以该抛物线的焦点到准线的距离为 10.故选 C23、(2021天津河西区质检)已知直线 yk(x

21、2)(k0)与抛物线 C：y28x 相交于 A、B 两点，F 为 C的焦点，若|FA|2|FB|，则 k()A13B23C23D2 23解析：设抛物线 C：y28x 的准线为 l：x2，直线 yk(x2)(k0)恒过定点 P(2,0)，如图过 A、B 分别作 AMl 于 M，BNl 于 N，由|FA|2|FB|，则|AM|2|BN|，点 B 为 AP 的中点、连接 OB，则|OB|12|AF|，|OB|BF|，点 B 的横坐标为 1，故点 B 的坐标为(1,2 2)，k2 20122 23.24、(2021湖北荆州模拟)从抛物线 y24x 在第一象限内的一点 P 引抛物线准线的垂线，垂足为 M

22、，且|PM|9，设抛物线的焦点为 F，则直线 PF 的斜率为()A6 27B18 27C4 27D2 27解析：设 P(x0，y0)，由抛物线 y24x，可知其焦点 F 的坐标为(1,0)，故|PM|x019，解得 x08，故 P 点坐标为(8,4 2)，所以 kPF04 2184 27.故选 C25、(2022蚌埠模拟)直线 l 过抛物线 C：y22px(p0)的焦点 F(1，0)，且与 C 交于 A，B 两点，则 p_，1|AF|1|BF|_解析：由题意知p21，从而 p2，所以抛物线方程为 y24x.当直线 AB 的斜率不存在时，将 x1 代入抛物线方程，解得|AF|BF|2，从而1|A

23、F|1|BF|1.当直线 AB 的斜率存在时，设 AB 的方程为 yk(x1)，联立yk（x1），y24x，整理，得 k2x2(2k24)xk20，设 A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1x22k24k2，x1x21，从而1|AF|1|BF|1x111x21x1x22x1x2x1x21x1x22x1x221.综上，1|AF|1|BF|1.为 x32.26、点 P 为抛物线 y24x 上的动点，点 A(2,1)为平面内定点，F 为抛物线焦点，则：(1)|PA|PF|的最小值为_；(2)|PA|PF|的最小值为_，最大值为_解析：(1)如图，由抛物线定义可知，|PF|PH|，|PA|PF|P

24、A|PH|，从而最小值为 A 到准线的距离为 3如图，当 P，A，F 三点共线，且 P 在 FA 延长线上时，|PA|PF|有最小值为|AF|2当 P，A，F 三点共线，且 P 在 AF 延长线上时，|PA|PF|有最大值为|AF|2故|PA|PF|最小值为 2，最大值为 227、在平面直角坐标系 xOy 中，有一定点 A(2，1)若线段 OA 的垂直平分线过抛物线 y22px(p0)的焦点，则该抛物线的准线方程是_解析：线段 OA 的垂直平分线方程是 y2x52，且交 x 轴于点54，0，该点为抛物线 y22px(p0)的焦点，故该抛物线的准线方程为 x54.28、(2022安徽省宿州市高三

25、调研)已知抛物线 C：y24x 的焦点为 F，过 F 的直线交抛物线 C 于 A，B 两点，以 AF 为直径的圆过点(0，2)，则直线 AB 的斜率为_解析：由抛物线 C：y24x 可得焦点为 F(1，0)，设 A(x1，y1)，由抛物线的定义可得|AF|x1p2x11，AF 的中点为x112，y12，所以 AF 为直径的圆的方程为xx1122yy122x1122，因为以 AF 为直径的圆过点(0，2)，所以0 x11222y122x1122，可得 y14，所以 x14，所以点 A(4，4)，所以直线 AB 的斜率为404143.29、(2022湖南名校大联考)已知 P 为抛物线 C：yx2上

26、一动点，直线 l：y2x4 与 x 轴、y 轴交于M，N 两点，点 A(2，4)，且APAMAN，则的最小值为_解析：由题意得 M(2，0)，N(0，4)，设 P(x，y)，由APAMAN得(x2，y4)(0，4)(2，0)所以 x22，y44.因此y44x22x24x22x21227474，故的最小值为74.30、(2021新高考卷)已知 O 为坐标原点，抛物线 C：y22px(p0)的焦点为 F，P 为 C 上一点，PF与 x 轴垂直，Q 为 x 轴上一点，且 PQOP.若|FQ|6，则 C 的准线方程为_.解析：由题意易得|OF|p2，|PF|p，OPFPQF，所以 tanOPFtanP

27、QF，所以|OF|PF|PF|FQ|，即p2pp6，解得 p3，所以 C 的准线方程为 x32.法二由题意易得|OF|p2，|PF|p，|PF|2|OF|FQ|，即 p2p26，解得 p3 或 p0(舍去)，所以 C 的准线方程为 x32.31、(2021山西大学附中模拟)已知点 Q(2 2，0)及抛物线 yx24上一动点 P(x，y)，则 y|PQ|的最小值是_.解析：抛物线 yx24即 x24y，其焦点坐标为 F(0,1)，准线方程为 y1.因为点 Q 的坐标为(2 2，0)，所以|FQ|2 22123.过点 P 作准线的垂线 PH，交 x 轴于点 D，如图所示结合抛物线的定义，有 y|P

28、Q|PD|PQ|PH|PQ|1|PF|PQ|1|FQ|1312，即 y|PQ|的最小值是 2.32、(2021广东茂名五校联考)设抛物线 y22px(p0)的焦点为 F(1,0)，过焦点的直线交抛物线于 A、B两点，若|AF|4|BF|，则|AB|_.解析：解法一：如图，设抛物线的准线为 l，ACl 于 C，BDl 于 D，BMAC 于 M，交 x 轴于N，l 交 x 轴于 H，则|FH|2，设|BF|a，则|AB|5a，由BNFBMA 得|FN|BF|AM|AB|，即2aa35，解得 a54，|AB|254.解法二：p21，p2，不妨设直线 AB 方程为 xmy1，A(x1，y1)，B(x2

29、，y2)，由y24xxmy1，得 y24my40，y1y24，又|AF|4|BF|，y14y2，y21，从而 x214，|BF|11454，|AB|5|BF|254.33、(2022龙岩一模)已知抛物线 y24x 的焦点为 F，准线与 x 轴的交点为 A，以 AF 为直径的圆在第一象限交抛物线于点 B，则FAFB的值等于_.解析：设 B(x0，y0).由方程组y24x（x0），x2y21，消去 y 并整理，得 x24x10(x0)，解得 x0 52.由题意，得 F(1，0)，A(1，0)，FA(2，0)，FB(x01，y0).FAFB(2，0)(x01，y0)2(x01)22x022(52)6

30、2 5.34、(2022广州模拟)已知抛物线 x22py(p0)的焦点为 F，准线为 l，点 P(4，y0)在抛物线上，K 为 l与 y 轴的交点，且|PK|2|PF|，则 y0_，p_.解析：作 PMl，垂足为 M，由抛物线定义知|PM|PF|，又知|PK|2|PF|，在 RtPKM 中，sinPKM|PM|PK|PF|PK|22，PKM45，PMK 为等腰直角三角形，|PM|MK|4，又知点 P 在抛物线 x22py(p0)上，py08，y0p24，解得p4，y02.35、设 P 是抛物线 y24x 上的一个动点，F 为抛物线的焦点，若 B(3，2)，则|PB|PF|的最小值为_解析：如图

31、，过点 B 作 BQ 垂直准线于点 Q，交抛物线于点 P1，则|P1Q|P1F|.则有|PB|PF|P1B|P1Q|BQ|4.即|PB|PF|的最小值为 4.36、(2022沈阳质量检测)已知正三角形 AOB(O 为坐标原点)的顶点 A，B 在抛物线 y23x 上，则AOB的边长是_解析：如图，设AOB 的边长为 a，则 A32a，12a，因为点A 在抛物线 y23x上，所以14a2332a，所以 a6 3.37、(2022北京昌平区模拟)已知抛物线 C：y22px 过点 P(1，1)，过点0，12 作直线 l与抛物线 C 交于不同的两点 M，N，过点 M 作 x 轴的垂线分别与直线 OP，O

32、N 交于点A，B，其中 O 为原点.(1)求抛物线 C 的方程，并求其焦点坐标和准线方程；(2)求证：A 为线段 BM 的中点.(1)解把 P(1，1)代入 y22px 得 p12，抛物线 C 的方程为 y2x，焦点坐标为14，0，准线方程为 x14.(2)证明BMx 轴，设 M(x1，y1)，N(x2，y2)，A(x1，yA)，B(x1，yB)，根据题意显然有 x10.若要证 A 为 BM 的中点，只需证 2yAyBy1即可，左右同除以 x1有2yAx1yBx1y1x1，即只需证明 2kOAkOBkOM成立，其中 kOAkOP1，kOBkON.当直线 MN 斜率不存在或斜率为零时，显然与抛物线只有一个交点不满足题意，所以直线 MN 斜率存在且不为零.设直线 MN：ykx12(k0)，联立ykx12，y2x消 y 得，k2x2(k1)x140，考虑(k1)2414k212k，由题可知有两交点，所以判别式大于零，所以 k12.由根与系数关系可知：x1x21kk2，x1x214k2.kOBkOMkONkOMy2x2y1x1kx212x2kx112x12kx1x22x1x2.将代入上式，有 2kx1x22x1x22k1kk2214k22k2(1k)2，即 kONkOMkOBkOM22kOA，2yAyBy1恒成立，A 为 BM 的中点，得证.