用空间向量研究空间角问题校本作业--高二上学期数学人教A版（2019）选择性必修第一册.docx

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1、1.4.3 用空间向量研究空间角问题班级_ 姓名_ 座号_一、选填题.1.如图，在正方体ABCDA1B1C1D1中，M，N分别是CD，CC1的中点，则异面直线A1M与DN所成角的大小是()A.B C. D2 若直线l的方向向量a(2,3,1)，平面的一个法向量n(4,0,1)，则直线l与平面所成角的正弦值为_3已知点A(1,0,0)，B(0,2,0)，C(0,0,3)，则平面ABC与平面Oxy的夹角的余弦值为_二、解答题：4例1(链接教材P39例10)四棱锥PABCD的底面是正方形，PD底面ABCD，点E在棱PB上(1)证明：平面AEC平面PDB；(2)当PDAB且E为PB的中点时，求AE与平

2、面PDB所成的角的大小5.如图，在平行六面体ABCDA1B1C1D1中，AA1平面ABCD，且ABAD2，AA1，BAD120.(1)求异面直线A1B与AC1所成角的余弦值；(2)求平面A1BD与平面A1AD所成角的正弦值6.如图所示，在三棱柱ABCA1B1C1中，CACB，ABAA1，BAA160.(1)证明：ABA1C；(2)若平面ABC平面AA1B1B，ABCB2，求直线A1C与平面BB1C1C所成角的正弦值14.3 用空间向量研究空间角问题一、选择题。2解析：由题意，得直线l与平面所成角的正弦值为.答案：3解析：由题意得(1,2,0)，(1,0,3)设平面ABC的法向量为n(x，y，z

3、)由知令x2，得y1，z，则平面ABC的一个法向量为n.因为平面Oxy的一个法向量为(0,0,3)，所以平面ABC与平面Oxy的夹角的余弦值为.三、解答题：4解(1)证明：如图，以D为原点建立空间直角坐标系Dxyz，设ABa，PDh，则A(a,0,0)，B(a，a,0)，C(0，a,0)，D(0,0,0)，P(0,0，h)(a，a,0)，(0,0，h)，(a，a,0)，0，0，ACDP，ACDB，又DPDBD，AC平面PDB.又AC平面AEC，平面AEC平面PDB.(2)当PDAB且E为PB的中点时，P(0,0，a)，E.设ACBDO，则O.连接OE，由(1)知AC平面PDB，AEO为AE与平

4、面PDB所成的角，cosAEO，AEO45，即AE与平面PDB所成的角的大小为45.5.解：在平面ABCD内，过点A作AEAD，交BC于点E.因为AA1平面ABCD，所以AA1AE，AA1AD.如图，以，为正交基底，建立空间直角坐标系Axyz.因为ABAD2，AA1，BAD120，则A(0,0,0)，B(，1,0)，D(0,2,0)，E(，0,0)，A1(0，0，)，C1(，1，)(1)(，1，)，(，1，)则cos，.因此异面直线A1B与AC1所成角的余弦值为.(2)可知平面A1DA的一个法向量为(，0,0)设m(x，y，z)为平面BA1D的一个法向量，又(，1，)，(，3,0)，则即不妨取

5、x3，则y，z2，所以m(3，2)为平面BA1D的一个法向量，从而cos，m.设平面A1BD与平面A1AD所成角的大小为，则|cos |.因为0，所以sin .因此平面A1BD与平面A1AD所成角的正弦值为.6解：(1)证明：取AB中点O，连接CO，A1B，A1O.ABAA1，BAA160，BAA1是正三角形，A1OAB.CACB，COAB.COA1OO，AB平面COA1，又A1C平面COA1，ABA1C.(2)由(1)知OCAB，OA1AB.又平面ABC平面AA1B1B，平面ABC平面AA1B1BAB，OC平面AA1B1B，OCOA1，OA，OC，OA1两两垂直，以O为坐标原点，的方向为x轴正方向，|为单位长度，建立如图所示的空间直角坐标系Oxyz.由题设知A(1,0,0)， A1(0，0)，C(0,0，)，B(1,0,0)，则(1,0，)，(1，0)，(0，)设n(x，y，z)是平面BB1C1C的法向量，则即可取n(，1，1)，cosn，直线A1C与平面BB1C1C所成角的正弦值为.8学科网（北京）股份有限公司