1987-1989考研数学二真题及参考答案.pdf

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1、欢迎您阅读并下载本文档，本文档来源于互联网，如有侵权请联系删除！我们将竭诚为您提供优质的文档！1987 年 第 1 页 1987 年全国硕士研究生入学统一考试 数学试题参考解答 数 学（试卷）一、填空题（每小题 3 分，满分 15 分.只写答案不写解题过程）(1)与两直线112xytzt 及 121121xyz 都平行，且过原点的平面方程是 50 xy(2)当x 1/ln2；时，函数2xyx取得极小值.(3)由lnyx与两直线(1)yex及0y 围成图形的面积=3/2(4)设 L 为取正向的圆周922 yx，则曲线积分dyxxdxyxyL)4()22(2的值是18.(5)已知三维线性空间的一组

2、基底)1,1,0(,)1,0,1(,)0,1,1(321，则向量(2,0,0)在上述基底下的坐标是 (1,1,-1)二、（本题满分 8 分）求正的常数a与b，使式1sin1lim0220dttatxbxxx成立.解：假若1b，则根据洛必达法则有 222200011limlim()01sincosxxxtxdtbxxbxatax，与题设矛盾，于是1b.此时22221222000021112limlim()lim()sin1 cosxxxxtxxdtbxxxxaataxax，即21a，因此4a.三、（本题满分 7 分）(1)设函数,f g连续可微，(,),()uf x xy vg xxy，求,.u

3、vxx解：1212()uxxyfffy fxxx；()(1)vxxygygxx.欢迎您阅读并下载本文档，本文档来源于互联网，如有侵权请联系删除！我们将竭诚为您提供优质的文档！1987 年 第 2 页(2)设矩阵A和B满足2ABAB，其中A 301110014，求矩阵B.解：因2ABAB，故2ABBA，即(2)AE BA，故1(2)BAEA522432223.四、（本题满分 8 分）求微分方程26(9)1yyay的通解.其中常数0a.解：由特征方程3222(9)0rra r，知其特征根根为12,30,3rrai .故对应齐次方程的通解为33123cossinxxyCC exC ex，其中123,

4、C C C为任意常数.设原方程的特解为*()y xAx，代入原方程可得A 219a.因此，原方程的通解为*33123()cossinxxy xyyCC exC ex219ax.五、选择题（每小题 3 分，满分 12 分）(1)设常数0k，则级数21)1(nnknn（C）(A)发散(B)绝对收敛(C)条件收敛(D)收敛与发散与k的值有关.(2)设)(xf为已知连续函数，tsdxtxftI0)(，0,0st，则I的值 （D）(A)依赖于s和t(B)依赖于s、t、x(C)依赖于t和x,不依赖于s(D)依赖于s,不依赖于t(3)设1)()()(lim2axafxfax，则在点xa处(B)(A)()f

5、x导数存在,0)(af(B)()f x取得极大值(C)()f x取得极小值(D)()f x的导数不存在.(4)设 A 为 n 阶方阵,且0aA,而*A是 A 的伴随矩阵，则*A=(C)(A)a(B)a/1(C)1na (D)na六、（本题满分 10 分）求幂级数1121nnnxn的收敛域，并求其和函数.解：记112nnnuxn，有1112limlim(1)22nnnnnnnnxuxnunx，欢迎您阅读并下载本文档，本文档来源于互联网，如有侵权请联系删除！我们将竭诚为您提供优质的文档！欢迎您阅读并下载本文档，本文档来源于互联网，如有侵权请联系删除！我们将竭诚为您提供优质的文档！1987 年 第

6、4 页(0,1)，使得2121()()()f xf xfxx，即()1f.此与1)(xf矛盾！故在(0,1)内使()f xx的x只能有一个.九、（本题满分 8 分）问,a b为何值时，线性方程组123423423412340221(3)2321xxxxxxxxaxxbxxxax有唯一解？无解？有无穷多解？并求出无穷多解时的通解.解：对方程组的增广矩阵进行初等变换，得 11110111100122101221()013200101321100010AA bababaa1 当1a时，系数行列式2(1)0Aa，故由克拉姆法则，原方程组有唯一解；2 当1a，且1b 时，()3,()2r Ar A，()

7、()r Ar A，故原方程组无解；3 当1a，且1b 时，()()24r Ar A，故原方程组有无穷的解.此时显然有11110101110122101221()00000000000000000000AA b可见其通解为：12(1,1,0,0)(1,2,1,0)(1,2,0,1)TTTxcc，其中12,c c为任意常数.十、填空题（每小题 2 分，满分 6 分）(1)在一次试验中事件 A 发生的概率为p，现进行 n 次独立试验，则 A 至少发生一次的概率为np)1(1；而事件 A 至多发生一次的概率为1)1()1(1 nppn.(2)三个箱子，第一个箱子有 4 个黑球 1 个白球，第二个箱子中

8、有 3 个白球 3 个黑球，第三个箱子中有 3 个黑球 5 五个白球，现随机地取一个箱子，再从这个箱子中取一个球，这个球为白球的概率为53/120，已知取出的是白球，此球属于第二箱的概率是20/53.欢迎您阅读并下载本文档，本文档来源于互联网，如有侵权请联系删除！我们将竭诚为您提供优质的文档！1987 年 第 5 页(3)已知连续随机变量 X 的密度为1221)(xxexf，则 X 的数学期望为 1 ；X 的方差为 1/2 .十一、（本题满分6 分）设随机变量 X，Y 相互独立，其概率密度函数分别为 它其0101)(xxfX；000)(yyeyfyY，求随机变量 Z=2X+Y 的概率密度函数(

9、)zf z.解：由题设，(,)X Y的联合密度为01,0(,)()()0yXYexyf x yfx fy其 它，故Z的分布函数2()()(2)(,)zx y zF zP ZzPXYzf x y dxdy，1 当0z 时，2()00zx y zF zdxdy，此时()00zfz；2 当02z时，200001()22z yzzzyyyzzF zdye dxe dyye dy，此时 011()()(1)22zyzzzfzF ze dye；3 当2z 时，121220001()(1)1(1)2zxyx zzzF zdxe dyedxee，此时 21()()(1)2zzzfzF zee综上所述，Z=2X

10、+Y 的概率密度函数为()zfz 1221200(1)02(1)2zzzezeez欢迎您阅读并下载本文档，本文档来源于互联网，如有侵权请联系删除！我们将竭诚为您提供优质的文档！1987 年 第 6 页 数 学（试卷）一、（本题满分15 分）【同数学、第一题】二、（本题满分 14 分）(1)（6 分）计算定积分2|2(|).xxx edx解：因|xxe是奇函数，|xx e是偶函数，故 原式=22|2002|226.xxx edxxe dxe(2)（8 分）【同数学、第二题】三、（本题满分 7 分）设函数(,),yzf u x y uxe，其中f有二阶连续偏导数，求 2.zx y 解：121yzu

11、fff efxx，2111312123()yyyyzfxefeeffxefx y.四、（本题满分 8 分）【同数学、第四题】五、（本题满分 12 分）【同数学、第五题】六、（本题满分 10 分）【同数学、第六题】七、（本题满分 10 分）【同数学、第七题】八、（本题满分 10 分）【同数学、第八题】九、（本题满分 8 分）【同数学、第九题】十、（本题满分 6 分）设12,为 n 阶方阵A的特征值，12，而21,xx分别为对应的特征向量，试证明：21xx 不是A的特征向量.证：假若21xx 是A的特征向量，设其对应的特征值为3，则有12312()()A xxxx，即123 132AxAxxx.又

12、由题设条件知11 1Axx，222Axx，故有 131232()()0 xx.因21,xx是属于不同特征值的特征向量，所以21,xx线性无关，从而13，且13，此与12矛盾！因此21xx 不是A的特征向量.欢迎您阅读并下载本文档，本文档来源于互联网，如有侵权请联系删除！我们将竭诚为您提供优质的文档！1987 年 第 7 页 数 学（试卷）一、填空题（每小题2 分，满分 10 分.把答案填在题中横线上）(1)设)1ln(axy,其中a为非零常数，则22)1(,1axayaxay.(2)曲线yarctgx在横坐标为 1 点处的切线方程是4221xy；法线方程是4/)8(2xy.(3)积分中值定理的

13、条件是(),f xa b在闭区间上连续，结论是,()()()baa bf x dxfba 使得(4)32()1nnnlinen.(5)dxxf)(cxf)(；badxxf)2()2(21)2(21afbf.二、（本题满分6 分）求极限 011lim()1xxxe解：200000111111lim()limlimlimlim1(1)222xxxxxxxxxxexexexxex exxx .三、（本题满分 7 分）设)cos1(5)sin(5tyttx，求 22,.dy d ydx dx解：因5sin,5 5cosdydxttdtdt，5sin)sin5(1 cos1 cosdyttdxtt（0+

14、），故ttdxdycos1sin，且222sin1()1 cos5(1 cos)d ydtdtdxdttdxt四、（本题满分 8 分）计算定积分 10arcsin xdxx.解：2211121022000111arcsinarcsin224211xxxxdxxxdxdxxx，欢迎您阅读并下载本文档，本文档来源于互联网，如有侵权请联系删除！我们将竭诚为您提供优质的文档！欢迎您阅读并下载本文档，本文档来源于互联网，如有侵权请联系删除！我们将竭诚为您提供优质的文档！1987 年 第 9 页 八、（本题满分15 分）(1)（7 分）求微分方程yxdxdyx，满足条件0|2xy的解 解：原方程即11dy

15、ydxx，故其通解为1121 1()()2dxdxxxyeedxcxcx.因0|2xy，所以1c .于是所求初值问题的解为xxy12.(2)（8 分）求微分方程 xexyyy 2 的通解.解：由特征方程2210rr，知其特征根根为1,21r.故对应齐次方程的通解为12()xyCC x e，其中12,C C为任意常数.设原方程的特解为*()()xy xe axb，代入原方程可得a 14，b 14.因此，原方程的通解为*212()()xy xyyCC x e14(1)xxe.九、选择题（每小题 4 分，满分 16 分）(1).xexxxfx-,sin)(cos是 （D）（A）有界函数 （B）单调函

16、数（C）周期函数 （D）偶函数(2).函数()sinf xxx (D)（A）当x时为无穷大 （B）当x时有极限（C）在),(内有界（D）在),(内无界(3)设()f x在xa处可导，则xxafxafx)()(lim0等于 (B)（A）)(af（B）)(2af（C）0（D）)2(af(4)【同数学、第五（2）题】十、（本题满分 10 分）在第一象限内，求曲线12xy上的一点，使该点处切线与所给曲线及两坐标围成的面积为最小，并求此最小面积.解：设切点的横坐标为a，则切线方程为2(1)2()yaa xa，即221yaxa 故所围面积2312201112(1)(1)224243aaasaxdxaa.令

17、0s 得驻点a 33.由于3/30as，故所求点的坐标为3 2(,)33，其最小值为3/3as42393.欢迎您阅读并下载本文档，本文档来源于互联网，如有侵权请联系删除！我们将竭诚为您提供优质的文档！1987 年 第 10 页 数 学（试卷）一、判断题（每小题答对得 2 分，答错得-1 分，不答得 0 分，全题最低 0 分）(1)10limxxe（）(2)4sin0 xxdx（）(3)若级数1nna与1nnb均发散，则级数1()nnnab必发散 （）(4)假设D是矩阵A的r阶子式，且含D的一切1r 阶子式都等于 0，那么矩阵A的一切1r 阶子式都等于 0（）(5)连续型随机变量取任何给定实数值

18、的概率都等于 0（）二、选择题（每小题 2 分，满分 10 分.）(1)下列函数在其定义域内连续的是(A)（A）()lnsinf xxx（B）0cos0sin)(xxxxxf（C）010001)(xxxxxxf（D）0001)(xxxxf(2)若函数 f(x)在区间(,)a b内可导，21,xx是区间内任意两点，且21xx，则至少存一点，使得 （C）(A)()()()(),f bf afbaab.(B)111()()()(),f bf xfbxxb.(C)212112()()()(),f xf xfxxxx.(D)222()()()(),f xf afxaax.(3)下列广义积分收敛的是（C）

19、（A）dxxxeln（B）exxdxln（C）exxdx2)(ln（D）exxdxln(4)设 A 是 n 阶方阵，其秩 r 0 为常数，r 为质点A 与 M 之间的距离)，质点M 沿曲线22xxy自 B(2,0)运动到O(0，0).求在此运动过程中质点A 对质M 点的引力所做的功.解：0,1MAxy 2 分 22(1).rxy因引力f 的方向与MA 一致，故3,1kfxyr.4 分 欢迎您阅读并下载本文档，本文档来源于互联网，如有侵权请联系删除！我们将竭诚为您提供优质的文档！1988 年 第4 页 从而3(1)BOkWxdxy dyr6 分 1(1)5k.9 分 七、(本题满分 6 分)已知

20、PBAP,其中112012001,100000001PB求 A 及5A.解：先求出1100210411P.2 分 因PBAP，故1100100100210000210211001411APBP100100100200210200201411611.4 分 从而555111511AAAAAAPBPPBPPBPPB PPBPA 个个（）()()=.6 分八、(本题满分 8 分)已知矩阵xA10100002与10000002yB相似，(1)求 x 与 y；(2)求一个满足BAPP1的可逆矩阵P.解：(1)因A与B相似，故|EAEB，即 1 分 200200010001001yx，亦即22(2)(1)

21、(2)(1)xyy.欢迎您阅读并下载本文档，本文档来源于互联网，如有侵权请联系删除！我们将竭诚为您提供优质的文档！1988 年 第5 页 比较两边的系数得0,1xy.此时200001010A，200010001B.3 分 (2)从B可以看出A的特征值2,1,1.4 分 对2，可求得A的特征向量为1100p .对1，可求得A的特征向量为2011p .对1，可求得A的特征向量为3011p.7 分 因上述123,ppp是属于不同特征值的特征向量，故它们线性无关.令123100(,)011011p ppP，则P可逆，且有BAPP1.8 分 九、(本题满分 9 分)设函数)(xf在区间ba,上连续，且在

22、),(ba内有0)(xf.证明：在),(ba内存在唯一的，使曲线)(xfy 与两直线axy),(所围平面图形面积1s是曲线)(xfy 与两直线axy),(所围平面图形面积2s的 3 倍.证：存在性 在,a b上任取一点t，令 bttadxtfxfdxxftftF)()(3)()()()()()3()()()tbatf t taf t dxf x dxf t b t 3 分 则()F t在,a b上连续.又因0)(xf,故()f x在,a b上是单调增加的.于是在(,)a b内取定点c，有()3()()3()()3()()bcbaacF af xf a dxf xf a dxf xf a dx

23、113()()3()()()0,bcf xf a dxff abccb .欢迎您阅读并下载本文档，本文档来源于互联网，如有侵权请联系删除！我们将竭诚为您提供优质的文档！1988 年 第6 页 ()()()()()()()bcbaacF bf bf x dxf bf x dxf bf x dx()()caf bf x dx22()()()0,f bfcaac.5 分 所以由介值定理知，在(,)a b内存在,使0)(F，即.321SS 6 分 唯一性 因()()()3()0F tfttabt，8 分 故)(tF在(,)a b内是单调增加的.因此，在(,)a b内只有一个,使.321SS 9 分 十

24、、填空题(共 6 分，每个 2 分)(1)设三次独立实验中，事件A出现的概率相等.若已知A至少出现一次的概率等于2719，则事件A在一次试验中出现的概率为13.(2)在区间)1,0(中随机地取两个数，则事件“两数之和小于56”的概率为1725.(3)设随机变量X服从均值为10，均方差为0.02 的正态分布.已知)(x=dueux2221，9938.0)5.2(，则X落在区间(9.95，10.05)内的概率为0.9876.十一、(本题满分 6 分)设随机变量X的概率密度函数为)1(1)(2xxfx，求随机变量31XY的概率密度函数)(yfY.解：因Y的分布函数()()YFyP Yy1 分 333

25、11(1)PXyPXyP Xy 2 分 333(1)(1)211arctanar(ctan(11)2yydxxyx.4 分 故Y的概率密度函数为)(yfY363(1)()1(1)YdyFydyy.6 分 欢迎您阅读并下载本文档，本文档来源于互联网，如有侵权请联系删除！我们将竭诚为您提供优质的文档！1988 年 第7 页 数 学（试卷二）一(本题满分 15 分，每小题 5 分)(1)【同数学一 第一、(1)题 】(2)【同数学一 第一、(2)题 】(3)【同数学一 第一、(3)题 】二、填空题：(本题满分 12 分，每小题 3 分)(1)【同数学一 第二、(1)题 】(2)【同数学一 第二、(2

26、)题 】(3)【同数学一 第二、(3)题 】(4)【同数学一 第二、(4)题 】三、选择题(本题满分 15 分，每小题 3 分)(1)【同数学一 第三、(1)题 】(2)【同数学一 第三、(2)题 】(3)【同数学一 第三、(3)题 】(4)【同数学一 第三、(4)题 】(5)【同数学一 第三、(5)题 】四(本题满分 18 分，每小题 6 分)(1)【同数学一 第四题】(2)计算dyyxdxdyyxdxxxx422212sin2sin.解：dyyxdxdyyxdxxxx422212sin2sin221sin2yyxdydxy3 分 212coscos22yy dy.4 分 33284cos(

27、)(2)2yttdtt 令.6 分欢迎您阅读并下载本文档，本文档来源于互联网，如有侵权请联系删除！我们将竭诚为您提供优质的文档！1988 年 第8 页 (3)求椭球面2132222zyx上某点M 处的切平面的方程，使平面过已知直线2121326:zyxl.解：令222(,)2321,F x y zxyz则2,4,6.xyzFx Fy Fz椭球面在点000(,)M xy z处的切平面的方程为 0000002()4()6()0 x xxyyyz zz,即0002321x xy yz z.2 分 因为平面过直线L，故L 上的任两点，比如点17(6,3,)(0,0,)22A、B应满足的方程，代入有00

28、0366212xyz(1)02z (2)又因 2220002321,xyz (3)于是有0000003,0,21,2,2xyzxyz及.4 分 故所求切平面的方程为274+621xzxyz和.6 分 五、（本题满分 8 分）【同数学一 第五题】六、（本题满分 9 分）【同数学一 第六题】七、（本题满分 6 分）【同数学一 第七题】八、（本题满分 8 分）【同数学一 第八题】九、（本题满分 9 分）【同数学一 第九题】欢迎您阅读并下载本文档，本文档来源于互联网，如有侵权请联系删除！我们将竭诚为您提供优质的文档！1988 年 第9 页 数 学（试卷三）一、填空题(本题满分 20 分，每小题 4 分

29、)(1)若0,20),cos(sin)(2xxxxxexf是),(上的连续函数，则1.(2)【同数学一 第二、（1）题】(3)【同数学一 第二、（3）题】(4)01lim()tgxxx1.(5)40 xedx 22(1)e 二、选择题 (本题满分 20 分，每小题 4 分)(1)162131)(23xxxxf的图形在点（0，1）处切线与x轴交点的坐标是(A)(A)1(,0)6(B)(1,0)(C)1(,0)6(D)(1,0)(2)若)(xf与)(xg在),(上皆可导，且)(xf)(xg，则必有(C)(A)()()fxgx(B)()()fxg x(C)00lim()lim()xxxxf xg x

30、(D)00()()Xxf t dtg t dt(3)【同数学一 第二（1）题】(4)曲线)0(sin23xxy与 x轴围成的图形绕x轴旋转所形成的旋转(B)(A)43(B)43(C)223(D)23【B 】(5)【同数学一 第三（5）题】三、(本题满分 15 分，每小题 5 分)(1)【同数学一第一、（2）题】(2)已知xyxey1，求0 xy及0 xy.解：显然0 x 时，1y.1 分 2()(1)xyxyxyyxexyyeex yxy.2 分 因此001xye；3 分 欢迎您阅读并下载本文档，本文档来源于互联网，如有侵权请联系删除！我们将竭诚为您提供优质的文档！1988 年 第10 页 而

31、22(2)(1)(1)xyxyyex yxyxyyex yxyxy，4 分 即得000|2xyee.5 分 (3)求微分方程)1(112xxyxy的通解（一般解）.解：1121(1)dxdxxxyeedxCx x3 分 2111dxCxx4 分 1arctan xCx，其中C 是任意常数.5 分 四、(本题满分 12 分)作函数4262xxy的图形，并填写下表 单调增加区间 单调减少区间 极值点 极 值 凹)(区间 凸)(区间 拐 点 渐近线 解：单调增加区间(,1)（1 分）单调减少区间(1,)（2 分）极值点 1（3 分）极值 2（4 分）凹区间(,0)(2,)及（6 分）凸区间(0,2)

32、（7 分）拐点 33(0,)(2,)22及（9 分）渐进线 0y（10 分）欢迎您阅读并下载本文档，本文档来源于互联网，如有侵权请联系删除！我们将竭诚为您提供优质的文档！1988 年 第11 页 其图形为：五、(本题满分 8 分)将长为a的铁丝切成两段，一段围成正方形，另一段围成圆形.问这两段铁丝各长为多少时，正方形与圆形的面积之和为最小？解：设圆形的周长为x，则正方形的周长为ax，而两面积之和为 222244216816axxaaAxx，3 分 4088aAx （令），得4ax.5 分 408A.7 分 故当圆的周长为4ax时，正方形的周长为44aax时，A 之值最小.8 分 六、(本题满分

33、 10 分)【同数学一第五题（分值不同）】七、(本题满分 7 分)设1x，求 dttx)1(1.解：当10 x 时，11(1|)(1)xxt dtt dt1 分 211(1)2xt2 分 21(1)2x.3 分 当0 x 时，0110(1|)(1)(1)xxt dtt dtt dt5 分 211(1)2x.7 分 八、(本题满分 8 分)欢迎您阅读并下载本文档，本文档来源于互联网，如有侵权请联系删除！我们将竭诚为您提供优质的文档！1988 年 第12 页 设)(xf在),(上有连续导数，且Mxfm)(.(1)求dtatfatfaaaa)()(41lim20；(2)证mMxfdttfaaa)()

34、(21)0(a.解：(1)由积分中值定理和微分中值定理有 201lim()()4aaaf taf ta dta01lim()()2afafaa()aa2 分 *00lim()lim()(22)affaaaa=(0)f.4 分 (2)证：由()f x的有界性及积分估值定理有5 分 1()2aamf t dtMa,6 分 又 ()Mf xm ，7 分 故有 1()()()2aaMmf t dtf xMma，即 1()()2aaf t dtf xMma.8 分 欢迎您阅读并下载本文档，本文档来源于互联网，如有侵权请联系删除！我们将竭诚为您提供优质的文档！1988 年 第13 页 数 学（试卷四）一、

35、填空题（本题满分 12 分，每空 1 分）(一)已知函数xdtexfxt,)(0212.（1）)(xf221te.（2）)(xf的单调性：单调增加 .（3）)(xf的奇偶性：奇函数.（4）)(xf图形的拐点：（0，0）（5）)(xf图形的凹凸性：0 x 时上凹（下凸）,0 x 时下凹（上凸）.（6）)(xf图形的水平渐近线近线：,22yy(二)11101101101101113.(三)100010010010010000001001001001000.(四)假设()0.4()0.7P AP AB，那么（1）若 A 与 B 互不相容，则P（B）=0.3.（2）若 A 与 B 相互独立，则P（B）

36、=0.5.二、（本题满分 10 分）（每小题，回答正确得 2 分，回答错误得-1 分，不回答得 0 分；全题最低得 0 分）（1）若极限)(lim0 xfxx与)(lim0 xfxx)(xg都存在，则极限)(lim0 xgxx必存在.（）（2）若0 x是函数)(xf的极值点，则必有0)(0 xf.（）（3）等式aadxxafdxxf00,)()(对任何实数a都成立.（）（4）若 A 和 B 都是n阶非零方阵，且AB=0，则A 的秩必小于n.（）欢迎您阅读并下载本文档，本文档来源于互联网，如有侵权请联系删除！我们将竭诚为您提供优质的文档！郝海龙：考研数学复习大全配套光盘1988 年数学试题参考解

37、答及评分标准 1988 年 第14 页 （5）若事件A，B，C 满足等式,ACBC 则 A=B.（）三、（本题满分 16 分，每小题 4 分.）(1)求极限11limlnxxxxx解一：此极限为00型未定式，由罗必塔法则，则 11(ln1)=limlim1ln1xxxxxxxx原式.4 分 解二：令lntxx，则xtxe.由于当1x 时，0t，可见001=limlim1tttteet原式.4 分 (2)已知xyeu，求yxu2.解：由于11uuuyuxxeye，2 分 可见221(1)uuuueyeuuyx yyxe 3 分 311(1)uuuxyeee.4 分 (3)求定积分)1(30 xx

38、dx.解一：由于2()dxdxx，可见原式302=1dxx2 分 23.4 分 解二：令2,2xtxtdxtdt，；当0 x 时，0t；当3x 时，3t；1 分 于是，3202=1dtt原式2 分 302arctanx3 分 欢迎您阅读并下载本文档，本文档来源于互联网，如有侵权请联系删除！我们将竭诚为您提供优质的文档！1988 年 第15 页 23.4 分 (4)求二重积分660cosyxdydxx.解：在原式中交换积分次序，得 原式600cosxxdxdyx2 分 60=cosxdx601=sin2x4 分 .四、（本题满分分，每小题分）(1)讨论级数11)!1(nnnn的敛散性 解：由11

39、1211(2)!(2)211(1)(1)11(1)!(1)nnnnnnnunnnnnunnnnnn，有11limlim21111(11)nnnnnneuunn，2 分 故由级数收敛的比值判别法，知11)!1(nnnn收敛.3 分 (2)已知级数12na和2ii nb都收敛，试证明级数1nnnba绝对收敛.证：由于级数12na和2ii nb都收敛，所以2211()2iinab收敛.2 分 而221()2nnnna bab，故由比较判别法，知级数1|nnna b收敛，即1nnnba绝对收敛.3 分 五、（本题满分 8 分）已知某商品的需求量和供给量都是价的函数：2()aDD pp，()SS pbp

40、，其中a0和 b0是常数：价格p是时间t的函数且满足方程(),()(pspdkdtdpk是常数），假设当t=0 时价格为1.试求：（1）需求量等于供给量时的均衡价格eP；（2）价格函数)(tp；（3）极限)(limtpt.欢迎您阅读并下载本文档，本文档来源于互联网，如有侵权请联系删除！我们将竭诚为您提供优质的文档！1988 年 第16 页 解：(1)当需求量等于供给量时，有2abpp，即3apb.故13()eapb.1 分 (2)由条件知322()()dpabak D pS pkbpkpdtppb.因此有332edpbkppdtp，即233ep dpkbdtpp.3 分 在该式两边同时积分得3

41、33kbteppce.5 分 故由条件(0)1P，可得31ecp.于是价格函数为13333()(1)kbteep tpp e.6 分 (3)13333lim()lim(1)kbteeettp tpp ep8 分 六、（本题满分 8 分）在曲线2(0)yxx上某点A 处作一切线，使之与曲线以及x轴所围图形的面积为112，试求：(1)切点A 的坐标；(2)过切点A 的切线方程；(3)由上述所围平面图形绕x轴旋转一周所成旋转体的体积.解：设切点A 的坐标为2(,)a a，则过点A 的切线方程的斜率为|2x aya，切线方程为22()yaa xa，即22yaxa.2 分 可见，切线与x轴的交点为2(,

42、0)2a.故曲线、x轴以上及切线这三者所围图形的面积为33332043412aaaaaSx dx.4 分 而由题设知112S，因此1a.5 分 于是，切点A 的坐标为(1,1)，过切点(1,1)的切线方程为21yx.6 分 旋转体的体积为11222102()(21)30Vxdxxdx.8 分 七、（本题满分 8 分）欢迎您阅读并下载本文档，本文档来源于互联网，如有侵权请联系删除！我们将竭诚为您提供优质的文档！1988 年 第17 页 已给线性方程组1234123412341234231231231231xxxxxxxxxxxxxxxx，问1k和2k各取何值时，方程组无解？有唯一解？有无穷解？在

43、方程组有无穷解的情景下，试求出一般解.解：以A表示方程组的系数矩阵，以(|)A B表示增广矩阵，因121112331361(|)331151510 12kkA B1211 12310 12140 02250 003kk 2 分 故当12k 时，()(|)4RRAA B，方程组有唯一解；3 分 当12k 时，有2211112311231101210121(|)42000200015100030000kkA B4 分 这时，若21k，则()3(|)4RRAA B，故方程组无解；若21k，则()(|)34RRAA B，故方程组有无穷多组解，此时有 6 分 1123 11004 01000801211

44、012110120 3(|)0001 20001 20001 20000 00000 00000 0 A B 7 分 相应的方程组为12348;322.xxxx，取3xc（c为任意常数），得方程组的一般解：12348,32,2xxc xc x .8 分 综上所述：当12k 时，方程组有唯一解；当12k 而21k 时，方程组无解；当12k 且21k 时，方程组有无穷多组解，其一般解为12348,32,2xxc xc x ，其中c为任意常数.八、（本题满分 7 分）已知向量组1,2,sa aa（S2）线性无关，设11222311,ssssaaaaaaa，欢迎您阅读并下载本文档，本文档来源于互联网，

45、如有侵权请联系删除！我们将竭诚为您提供优质的文档！1988 年 第18 页 讨论向量组12,s 的线性相关性.解：假设12,sk kk是一数组，满足条件11220sskkk1 分 那么，有111221()()()0sssskkkkkk.由于,2,1saaa线性无关，故有1122310000ssskkkkkkkk （*）3 分 此方程组的系数行列式为s阶行列式：110001110002,1(1)011000,00011sD 若 s为奇数若 s为偶数5 分 若 s为奇数，则20D，故方程组（*）只有零解，即12,sk kk必全为0.这时，向量组12,s 线性无关.若 s为偶数，则0D，故方程组（*

46、）有非零解，即存在不全为0 的数组12,sk kk，使11220sskkk.这时，向量组12,s 线性相关,7 分 九、（本题满分 6 分）设 A 是三阶方阵，A是 A 的伴随矩阵，A 的行列式.21A求行列式 AA2)3(1的值.解：因 111(3)3AA，2 分 故 *111|2AA AA，3 分 所以 311111122(3)2|333AA AAAA5 分 1627.6 分 十、（本题满分 7 分）玻璃杯成箱出售，每箱20 只，假设各箱含0，1，2 只残次品的概率是8.0，0.1 和 0.1，一顾客欲购买一箱玻璃杯，在购买时，售货员随意取一箱，而顾客开箱随机观察4 只，若无欢迎您阅读并下

47、载本文档，本文档来源于互联网，如有侵权请联系删除！我们将竭诚为您提供优质的文档！1988 年 第19 页 残次品，则购买下该玻璃杯，否则退回.试求：(1)顾客买下该箱的概率；(2)在顾客买下的一箱中，确实没有残次品的概率.解：设iB箱中恰有i 件残品次品（0,1,2i），A顾客买下所察看的一箱.1 分 由题意知012()0.8,()0.1,()0.1P BP BP B；419014204(|)1,(|)5CP A BP A BC；418242012(|)19CP A BC.3 分 (1)由全概率公式200.41.2()()(|)0.80.94519iiiP AP B P A B；5 分(2)由

48、贝叶斯公式000()(|)0.8(|)0.85()0.94P B P A BP BAP A.7 分 十一、（本题满分 6 分）某保险公司多年的统计资料表明，在索赔户中被盗索赔户占20%，以X 表示在随意抽查的100 个索赔户中因被盗向保险公司索赔的户数.(1)写出X 的概率分布；(2)利用棣莫佛拉普拉斯定理，求出索赔户不少于14 户且不多于30 户的概率的近似值.解：(1)X服从二项分布，参数100,0.2np，其概率分布为 1001000.2 0.8(0,1,100)kkkP XkCk.2 分 (2)由(,)XB n p知，20,(1)16EXnpDXnpp,4 分 故根据棣莫佛拉普拉斯定理

49、，有 14202030201430161616XPXP201.52.54XP 5 分 (2.5)(1.5)(2.5)1(1.5)0.99410.9330.927.6 分 十二、（本题满分 6 分）假设随机变量X 在区间（1，2）上服从均匀分布.试求随机变量xeY2的概率密度f(y).解：由条件知，X的密度函数为1,12()0,xp x若其他1 分 记()F yP Yy为Y的分布函数，则有 欢迎您阅读并下载本文档，本文档来源于互联网，如有侵权请联系删除！我们将竭诚为您提供优质的文档！1988 年 第20 页 21ln242140,2(),31,4yyeF ydxeyeye若分若分若分因此2244

50、0,1()(),20,yef yF yeyeyye若若若于是（当24,ye e时，补充定义()0f y），得2441,2()0eyeyf yye若若.6 分 欢迎您阅读并下载本文档，本文档来源于互联网，如有侵权请联系删除！我们将竭诚为您提供优质的文档！1988 年 第21 页 数 学（试卷五）一、【同数学四 第一题】二、【同数学四 第二题】三、（本题满分 16 分，每小题 4 分.）(1)求极限xtgxx2)1(lim21.解：211limcot2xxx原式1 分 212limsin22xxx3 分 4.4 分 (2)已知xyue，求yxu2.解：1xyuexy，1 分 22211xxyyux