(完整版)函数、极限与连续习题及答案.pdf

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1、第一章第一章函数、极限与连续函数、极限与连续(A)(A)1区间a,表示不等式()Aa x Ba x Ca xDa x2若t t31，则t31()At31Bt6 2Ct9 2Dt9 3t6 3t3 23设函数fx ln3x 15 2x arcsin x的定义域是()51 51A,B1,C,1D1,123 234下列函数fx与gx相等的是()Afx x2，gxx4Bfx x，gxCfxx2x 1x 1，gxx 1x21Dfx，gx x 1x 1x 15下列函数中为奇函数的是()2x 2xsin xxsin xDy x2cos x xsin xAy 2By xeC2x26若函数fx x，2 x 2，

2、则fx 1的值域为()A0,2B0,3C0,2D0,37设函数fx ex(x 0)，那么fx1 fx2为()x1Afx1 fx2Bfx1 x2Cfx1x2Df x28 已知fx在区间,上单调递减，则fx2 4的单调递减区间是()A,B,0C0,D不存在9函数y fx与其反函数y f1x的图形对称于直线()Ay 0Bx 0Cy xDy x110函数y 10 x1 2的反函数是()Ay lgx1By logx2Cy log2Dy 1lgx 2x 2xx是有理数x是无理数ax,11设函数fx0,0 a 1，则()A当x 时，fx是无穷大B当x 时，fx是无穷小C当x 时，fx是无穷大D当x 时，fx

3、是无穷小12设fx在R上有定义，函数fx在点x0左、右极限都存在且相等是函数fx在点x0连续的()A充分条件B充分且必要条件C必要条件D非充分也非必要条件x2 a,x 113若函数fx在R上连续，则a的值为()cosx,x 1A0B1C-1D-214若函数fx在某点x0极限存在，则()Afx在x0的函数值必存在且等于极限值Bfx在x0函数值必存在，但不一定等于极限值Cfx在x0的函数值可以不存在D如果fx0存在的话，必等于极限值123415数列0，是()3456A以 0 为极限B以 1 为极限n 2为极限D不存在在极限n116lim xsin()xxC以AB不存在C1D0117lim1xx2x

4、()2Ae2BC0D18无穷小量是()12A比零稍大一点的一个数B一个很小很小的数C以零为极限的一个变量D数零 2x,19 设fx2,x 1,1 x 00 x 1则fx的定义域为，f0=，1 x 3f1=。20 已知函数y fx的定义域是0,1，则fx2的定义域是。21 若fx1，则ffx，fffx。1 x22函数y ex1的反函数为。23函数y 5sinx的最小正周期T。124设f x 1 x2，则fx。x25limxn 3 nn 1。111n242。26limn1111n393127limxln x。x020302x 3 3x 228limx5x 150。x 1x,29函数fxx 1,1

5、x 2的不连续点为。3 x,x 2x。n3n131函数fx2的连续区间是。x 130lim3nsin3axb,32设fx2a bx x,x 0 x 0a b 0，fx处处连续的充要条件是b。1,x 033 若fx，gx sin x，复 合函数fgx的 连续区 间1,x 0是。x2a，ax b34 若lim则a，b。b均为常数，0，xx 135下列函数中哪些是偶函数，哪些是奇函数，哪既非奇函数又非偶函数？1 x2(1)y x1 x，(2)y 3x x，(3)y，(4)y xx 1x 121 x2223ax ax(5)y sin x cos x 1，(6)y 236若ft 2t2255t，证明ft

6、2tt1f 。t37求下列函数的反函数2xx 1(1)y x，(2)y 1 2sinx 12 138写出图 1-1 和图 1-2 所示函数的解析表达式yy211xx-1图 1-1图 1-2sin x,x 039设 fxx，求lim fx。x01 x2,0 x 12 22 n2n，求lim xn。40设xn2n3n41若fx1fx x fx，求。limx0 xx241112242利用极限存在准则证明：limn2nn nn n 2 1。43求下列函数的间断点，并判别间断点的类型(1)y x1 x2，(2)y x1 xy，(3)，(4)y xx2 x2x,0 x 1144设fx,x 1，问：21,1

7、 x 2(1)lim fx存在吗？x1(2)fx在x 1处连续吗？若不连续，说明是哪类间断？若可去，则补充定义，使其在该点连续。x21,0 x 145设fx，x 3,x 1(1)求出fx的定义域并作出图形。(2)当x 1，1，2 时，fx连续吗？2(3)写出fx的连续区间。2,x 0,x 20 x 2，求出fx的间断点，并指出是哪一46设fx4 x2,x 24,类间断点，若可去，则补充定义，使其在该点连续。47根据连续函数的性质，验证方程x53x 1至少有一个根介于 1 和 2 之间。48验证方程x2x1至少有一个小于 1 的根。(B)1在函数fx的可去间断点x0处，下面结论正确的是()A函数

8、fx在x0左、右极限至少有一个不存在5B函数fx在x0左、右极限存在，但不相等C函数fx在x0左、右极限存在相等D函数fx在x0左、右极限都不存在132设函数fxx sin x,0,x 0，则点 0 是函数fx的()x 0A第一类不连续点B第二类不连续点C可去不连续点D连续点3若lim fx 0，则()x0A当gx为任意函数时，有lim fxgx 0成立xx0B仅当lim gx 0时，才有lim fxgx 0成立xx0 xx0C当gx为有界时，能使lim fxgx 0成立xx0D仅当gx为常数时，才能使lim fxgx 0成立xx04设lim fx及lim gx都不存在，则()xx0 xx0A

9、limfx gx及limfx gx一定不存在xx0 xx0Blimfx gx及limfx gx一定都存在xx0 xx0Climfx gx及limfx gx中恰有一个存在，而另一个不存在xx0 xx0Dlimfx gx及limfx gx有可能存在xx0 xx0 x2sin5limx0sin x1x的值为()A1BC不存在D06limsin21 xx1x 1 x 22()112ABC0D3337按给定的x的变化趋势，下列函数为无穷小量的是()61A(x)B1 1(x )xx4 x 1x2xC12x(x 0)Dx(x 0)sin x8当x 0时，下列与x同阶(不等价)的无穷小量是()Asinx xB

10、ln1 xCx2sin xDex11 x219设函数gx12x，fgx，则f 为()2x2A30B15C3D110设函数fx 2x2 4(0 x 2)的值域为E，gx为F，则有()AE FBE FCE FDEF 11在下列函数中，fx与gx表示同一函数的是()x2Afx1，gx1 xBfx x，gxx02的值域x2 2x 1Cfxx2，gx xDfx3x3，gx x12与函数fx 2x的图象完全相同的函数是()Alne2xBsinarcsin2xCeln 2xDarcsinsin2x13若x 1，下列各式正确的是()A11Bx21Cx31Dx 1x14若数列xn有极限a，则在a的领域之外，数列

11、中的点()A必不存在B至多只有限多个C必定有无穷多个D可以有有限个，也可以有无限多个15任意给定M 0，总存在X 0，当x X时，fx M，则()Alim fx Blim fx xxClim fx Dlim fx xx716如果limfx与limfx存在，则()xx0 xx0Alim fx存在且lim fx fx0 xx0 xx0Blim fx存在，但不一定有lim fx fx0 xx0 xx0Clim fx不一定存在xx0Dlim fx一定不存在xx017无穷多个无穷小量之和，则()A必是无穷小量B必是无穷大量C必是有界量D是无穷小，或是无穷大，或有可能是有界量18y arccoslnx21

12、，则它的连续区间为()Ax 1Bx 2Ce 1,2 19设fx lim 2,e 1De 1,2 2,e 13nx，则它的连续区间是()n1 nx1A,Bx(n为正整数)处n1C,00,Dx 0及x 处nex,x 020设fx要使fx在x 0处连续，则a()a x,x 0A2B1C0D-1x1,x 0sin21设fxx，若fx在,上是连续函数，则3x 0a,a()1A0B1CD333x 1,x 1x 1的()22点x 1是函数fx1,3 x,x 1A连续点B第一类非可去间断点8C可去间断点D第二类间断点23方程x4 x 1 0至少有一根的区间是()11A0,B,1C2,3D1,22224下列各式

13、中的极限存在的是()2x25x1Alimsin xBlimeClimDlimx3x21x0 x02x1x1x25limxsin xx0()A1B0C-1D不存在2n 126lim222。nnnn1127若f x x223，则fx。xx28函数y lnx21的单调下降区间为。a2n2bn 5 2，则a，b。29已知limn3n 2 x 230limxx 1ax e2，则a。1x31函数fx e的不连续点是，是第类不连续点。132函数fx sin的不连续点是，是第不连续点。x33当x 0时，31 x 1。34 已知fx1 x，为使fx在x 0连续，则应补充定义f0。35若函数fx1与函数gx是。3

14、6设fx x x3，若fx 0，则x；若fx 0，则xx1x的图形完全相同，则x的取值范围9x；若fx 0；则x。2x,x 0 5x,x 037设fx，gx，则fgx。x,x 03x,x 038设0 u 1，函数fu有意义，则函数flnx的定义域。39设数列xn1n1的前n项和为Sn，那么lim1S1 S2 Snxn。40 如果x 0时，要无穷小1cosx与asin21xx等价，a应等于。241要使limax b 0，则b应满足。42limxx0 x21 x。1 x2,x 143函数fx 1 x，当A 时，函数fx连续。A,x 1x2 ax b 2，则a，b。44已知lim2x2x x 212

15、x,x 045fxe，lim fx；若fx无间断点，x0a,x 0则a。46函数fx xsin47lim1在点x 0处可可连续开拓，只须令f0。x1cosx。x0 x2cosxx348limx。xe49lim1cos2x。2x0 x50设Gx lnx，证明：当x 0，y 0，下列等式成立：x(1)GxGy Gxy，(2)GxGy Gy。101,x 151设fx0,x 1，gx ex，求fgx和gfx。1,x 152若x lg y z 1 x，证明：yz1 yz。1 x53根据数列极限的定义证明：(1)lim3n 13，(2)limn 1n 0，nx2n 12n(3)lim0999 1，(4)l

16、im nn个n2 n1n54根据函数极限的定义证明1 2x221，(1)limxsin 0，(2)limxx033x2x(3)limarctgx 0，(4)limx 2 0 xx2x55求下列极限x21xn1(1)lim2(2)limm(n，m为正整数)，x03x x 2x1x1(3)lim1x1xx(4)limxx cosxx 7(5)811934x 7 5x 81lim(6)lim3100 x11 xx1 x2x 3(7)lim1cos2xcos x(8)limx0 xsin xx2x 2sin2x sin2aarcsin x(9)lim(10)limxax0 x ax1 x(11)lim

17、1 2x(12)limx01 xx01x1x(13)lim1tgxx0cos x1(14)lim1(k为正整数)xxkx56当x 0时，求下列无穷小量关于x的阶11(1)x3 x6，(2)x2 3sin x，(3)1 x 1 x，(4)tgx sin x57试证方程x asinxb，其中a 0，b 0，至少有一个正根，并且不超过ab。58设fx在闭区间0,2a上连续，且f0 f2a，则在0,a上至少存在一个x，使fx fx a。59设fx在a,b上连续，且fa a，fb b，试证：在a,b内至少有一点，使得：f。60设数列xn有界，又lim yn 0，证明limxnyn 0。nn132333n

18、361设xn4444，求lim xn。nnnnn3x,1 x 162设fx2,x 1，求lim fx及lim fx。x0 x13x2,1 x 2ex ex63求limx。xe ex64求lim2sin x sin 2x。x0 x365求下列极限et1sin2x(1)lim(2)limt2tx2cos x4(3)limx15x 4 xsin x sina(4)limxax 1x a(5)limxx2 x x2 x(6)lim 1 3tg2xx0cos xex1 2x 3(7)lim(8)limx0 x2x 1xx166求limx。x0ln1 x12(C)1若存在 0，对任意 0，适合不等式xa

19、的一切x，有fx L，则()Afx在a不存在极限Bfx在a,a 严格单调Cfx在a,a 无界D对任意xa,a，fx L2若存在 0，对任意 0，适合不等式xa 的一切x，有fx L，则()Alim fx LBfx在R上无界xaCfx在R上有界Dfx在R上单调3函数fx limxn1 x 2xn2nn(x 0)，则此函数()A 没有间断点B有一个第一类间断点C有两个以上第一类间断点D有两个以上间断点，但类型不确定kx 7的定义域为R，则k的取值范围是()2kx 4kx 33333A0 k Bk 0或k C0 k Dk 44444若函数y 5两个无穷小量与之积仍是无穷小量，且与或相比()A是高阶无

20、穷小B是同阶无穷小C可能是高阶，也可能是同阶无穷小D与阶数较高的那阶同阶6试决定当x 0时，下列哪一个无穷小是对于x的三阶无穷小()A3x2xBa x3a(a 0是常数)Cx3 0.0001x2D3tan x7指出下列函数中当x 0时()为无穷大A2xsin xCexDex1B1 sec x1131 x 1 x,8fxxk,A0B2C9使函数y x 0 x 0，如果fx在x 0处连续，那么k()1D12x 1x 1为无穷小量的x的变化趋势是()3x 1Ax 0Bx 1Cx 1Dx 10设fx1，若fx fy fz，则z=。x x,x 011若x而fx 2x，则fx。x,x 01ex,x 012

21、若fx3x,0 x 1在x 1处连续，则a。e2ax eax1,1 x x3 ax2 x 413 设lim有有限极限值L，则a，L。x1x 114limxax a x ax ax22(a 0)=。15证明limsin x不存在。16求limn1 xn(0 x 1)。n17求lim3 9xx1xx。18 设gx在x 0处连续，且g0 0，以及fx gx，试证：fx在x 0处连续。19利用极限存在准则证明：数列2，22，222，的极限存在。1c20设fx适合afx bf (a、b、c均为常数)且a b，试证：xxf x fx。1421设函数f在,内有定义，fx 0，fx y fx fy，试求f19

22、85。22设x、x、fx都为单调增加函数，且对一切实数x均有：x fx x，求证x ffx x。23证明fx sin2当x 0时左右极限不存在。x1 1 1 24设xn 121212，证明：当n 时xn的极限存在。23n25若fx在a,b上连续，a x1 x2 xn b，则在x1,xn上必有，使ffx1 fx2 fxn。nx26 证明，若fx在,内连续，且lim fx存在，则fx必在,内有界。27limnnn1n1992，求、的值。28 证明方程a3a1a2 0，在1,2，2,3内有唯一的根，x 1x 2x 3其中a1，a2，a3均为大于 0 的常数，且123。第一章第一章函数、极限与连续函数

23、、极限与连续(A)(A)1区间a,表示不等式(B)Aa x Ba x Ca xDa x2若t t31，则t31(D)At31Bt6 2Ct9 2Dt9 3t6 3t3 23设函数fx ln3x 15 2x arcsin x的定义域是(C)51 51A,B1,C,1D1,123 23154下列函数fx与gx相等的是(A)Afx x2，gxx4Bfx x，gxCfxx2x 1x 1，gxx 1x21Dfx，gx x 1x 1x 15下列函数中为奇函数的是(A)2x 2xsin xxsin xDy x2cos x xsin xAy 2By xeC2x26若函数fx x，2 x 2，则fx 1的值域为

24、(B)A0,2B0,3C0,2D0,37设函数fx ex(x 0)，那么fx1 fx2为(B)x1Afx1 fx2Bfx1 x2Cfx1x2Df x28 已知fx在区间,上单调递减，则fx2 4的单调递减区间是(C)A,B,0C0,D不存在9函数y fx与其反函数y f1x的图形对称于直线(C)Ay 0Bx 0Cy xDy x10函数y 10 x1 2的反函数是(D)Ay lgx1By logx2Cy log2Dy 1lgx 2x 2xx是有理数x是无理数ax,11设函数fx0,0 a 1，则(B)A当x 时，fx是无穷大B当x 时，fx是无穷小C当x 时，fx是无穷大D当x 时，fx是无穷小

25、12设fx在R上有定义，函数fx在点x0左、右极限都存在且相等是函数fx在点x0连续的(C)16A充分条件B充分且必要条件C必要条件D非充分也非必要条件x2 a,x 113若函数fx在R上连续，则a的值为(D)cosx,x 1A0B1C-1D-214若函数fx在某点x0极限存在，则(C)Afx在x0的函数值必存在且等于极限值Bfx在x0函数值必存在，但不一定等于极限值Cfx在x0的函数值可以不存在D如果fx0存在的话，必等于极限值123415数列0，是(B)3456A以 0 为极限B以 1 为极限n 2为极限D不存在在极限n116lim xsin(C)xxC以AB不存在C1D0117lim1x

26、x2x(A)12Ae2BC0D18无穷小量是(C)A比零稍大一点的一个数B一个很小很小的数C以零为极限的一个变量D数零 2x,19设fx2,x 1,1 x 00 x 1则fx的定义域为1,3，f0=2，1 x 3f1=0。20已知函数y fx的定义域是0,1，则fx2的定义域是1,1。1721若fxx 11，则ffx，fffxx。x1 x22函数y ex1的反函数为y ln x 1。23函数y 5sinx的最小正周期T 2。11 124设f x 1 x2，则fx 12。xxx25limxn 3 nn 1 3。2111n2424。26limn11131n393127limxln x 0。x020

27、302x 3 3x 228limx5x 150220330。550 x 1x,29函数fxx 1,1 x 2的不连续点为1。3 x,x 2xx。n3n131函数fx2的连续区间是,1、1,1、1,。x 130lim3nsinaxb,32设fx2a bx x,x 0 x 0a b 0，fx处处连续的充要条件是b 0。1,x 033若fx，gx sin x，复合函数fgx的连续区间是1,x 0k,k 1，k 0,1,2。x2ax b34若lim 0，a，b均为常数，则a 1，b 2。xx 135下列函数中哪些是偶函数，哪些是奇函数，哪既非奇函数又非偶函数？18(1)y x21 x2偶函数(2)y

28、3x2 x3非奇函数又非偶函数1 x2(3)y 偶函数21 x(4)y xx 1x 1奇函数(5)y sin x cos x 1非奇函数又非偶函数ax ax(6)y 偶函数236若ft 2t2255t，证明ft2tt1f 。t111证：f 22 2t25t 5ttt ft37求下列函数的反函数2x(1)y x2 1x解：y1 ln1 x(2)y 1 2sinx 1x 1x 11arcsin2y x 11arcsin238写出图 1-1 和图 1-2 所示函数的解析表达式yy211xx-1图 1-1图 1-2192,x 0 x 1,x 0解：(1)y(2)y 1,x 0 x 1,x 0sin x

29、,x 039设 fxx，求lim fx。x01 x2,0 x 解：limfx limx0 x0sin x1x2limfx lim1 x1x0 x0故lim fx1。x012 22 n2n，求lim xn。40设xn2n3n nn 12n 11 2 nnn6 lim解：lim22nn33nn2221112n 1 2n21n limn1 limnn66241若fx1fx x fx，求。limx0 xx21解：limx x2x1x2x0 x2 x2 2xx 2x limx0 x lim 2x xx2x x2x0 2x3201112242利用极限存在准则证明：limn2nn nn n 2 1。n211

30、n21 n222证：2 2n nn nn n n n2n2且lim21，lim21，由夹逼定理知nn nnn 111limn222 1nn nn n 243求下列函数的间断点，并判别间断点的类型(1)y x1 x2x1 x，(2)y，(3)y，(4)y x2x2 x解：(1)当x 1为第二类间断点；(2)x 2均为第二类间断点；(3)x 0，为第一类断点；(4)x 0,1,2,，均为第一类间断点。x,0 x 1144设fx,x 1，问：21,1 x 2(1)lim fx存在吗？x1fx1，故lim fx1。解：lim fx存在，事实上limfx1，lim1x1x1x1x1(2)fx在x 1处连

31、续吗？若不连续，说明是哪类间断？若可去，则补充定义，使其在该点连续。x,0 x 1解：不连续，x 1为可去间断点，定义：f*x1,x 1，则f1,1 x 2*x在x 1处连续。21x21,0 x 145设fx，x 3,x 1(1)求出fx的定义域并作出图形。解：定义域为0,yx011，1，2 时，fx连续吗？21解：x，x 2时，fx连续，而x 1时，fx不连续。2(2)当x(3)写出fx的连续区间。解：fx的连续区间0,1、1,。2,x 0,x 20 x 2，求出fx的间断点，并指出是哪一46设fx4 x2,x 24,类间断点，若可去，则补充定义，使其在该点连续。解：(1)由lim fx 4

32、，f0 2，故x 0为可去间断点，改变fx在x 0 x0的定义为f0 4，即可使fx在x 0连续。(2)由limfx 4，limfx 0，故x 2为第一类间断点。x2x2(3)类似地易得x 2为第一类间断点。47根据连续函数的性质，验证方程x53x 1至少有一个根介于 1 和 2 之间。验证：设fx x53x 1，易知fx在1,2上连续，且f1 3 0，f2 25 61 25 0，故1,2，使f 0。48验证方程x2x1至少有一个小于 1 的根。验证：设fx x2x1，易知fx在0,1上连续，且f0 1 0，f11 0，故1,2，使f 0。(B)1在函数fx的可去间断点x0处，下面结论正确的是

33、(C)22A函数fx在x0左、右极限至少有一个不存在B函数fx在x0左、右极限存在，但不相等C函数fx在x0左、右极限存在相等D函数fx在x0左、右极限都不存在132设函数fxx sin x,0,x 0，则点 0 是函数fx的(D)x 0A第一类不连续点B第二类不连续点C可去不连续点D连续点3若lim fx 0，则(C)x0A当gx为任意函数时，有lim fxgx 0成立xx0B仅当lim gx 0时，才有lim fxgx 0成立xx0 xx0C当gx为有界时，能使lim fxgx 0成立xx0D仅当gx为常数时，才能使lim fxgx 0成立xx04设lim fx及lim gx都不存在，则(

34、D)xx0 xx0Alimfx gx及limfx gx一定不存在xx0 xx0Blimfx gx及limfx gx一定都存在xx0 xx0Climfx gx及limfx gx中恰有一个存在，而另一个不存在xx0 xx0Dlimfx gx及limfx gx有可能存在xx0 xx0 x2sin5limx0sin x1x的值为(D)A1BC不存在D06limsin21 xx1x 1 x 22(A)112ABC0D333237按给定的x的变化趋势，下列函数为无穷小量的是(C)1A(x)B1 1(x )xx4 x 1x2xC12x(x 0)Dx(x 0)sin x8当x 0时，下列与x同阶(不等价)的无

35、穷小量是(B)Asinx xBln1 xCx2sin xDex11 x219设函数gx12x，fgx，则f 为(B)2x2A30B15C3D110设函数fx 2x2 4(0 x 2)的值域为E，gx为F，则有(D)AE FBE FCE FDEF 11在下列函数中，fx与gx表示同一函数的是(D)x2Afx1，gx1 xBfx x，gxx02的值域2x 2x 1Cfxx2，gx xDfx3x3，gx x12与函数fx 2x的图象完全相同的函数是(A)Alne2xBsinarcsin2xCeln 2xDarcsinsin2x13若x 1，下列各式正确的是(C)A11Bx21Cx31Dx 1x14若

36、数列xn有极限a，则在a的领域之外，数列中的点(B)A必不存在B至多只有限多个C必定有无穷多个D可以有有限个，也可以有无限多个15任意给定M 0，总存在X 0，当x X时，fx M，则(A)Alim fx Blim fx xx24Clim fx Dlim fx xx16如果limfx与limfx存在，则(C)xx0 xx0Alim fx存在且lim fx fx0 xx0 xx0Blim fx存在，但不一定有lim fx fx0 xx0 xx0Clim fx不一定存在xx0Dlim fx一定不存在xx017无穷多个无穷小量之和，则(D)A必是无穷小量B必是无穷大量C必是有界量D是无穷小，或是无穷

37、大，或有可能是有界量18y arccoslnx21，则它的连续区间为(C)Ax 1Bx 2Ce 1,2 19设fx lim 2,e 1De 1,2 2,e 13nx，则它的连续区间是(B)n1 nx1A,Bx(n为正整数)处n1C,00,Dx 0及x 处nex,x 020设fx要使fx在x 0处连续，则a(B)a x,x 0A2B1C0D-1x1sin,x 021设fxx，若fx在,上是连续函数，则3x 0a,a(C)1A0B1CD333x 1,x 1x 1的(C)22点x 1是函数fx1,3 x,x 125A连续点B第一类非可去间断点C可去间断点D第二类间断点23方程x4 x 1 0至少有一

38、根的区间是(D)11A0,B,1C2,3D1,22224下列各式中的极限存在的是(C)2x25x1Alimsin xBlimeClimDlimx3x21x0 x02x1x1x25limxsin xx0(D)A1B0C-1D不存在2n 1 126lim222。nnnn21127若f x x223，则fxx21。xx28函数y lnx21的单调下降区间为,0。a2n2bn 5 2，则a 0，b 6。29已知limn3n 2 x 230limxx 1ax e2，则a 2。1x31函数fx e的不连续点是x 0，是第二类不连续点。132函数fx sin的不连续点是x 0，是第二类不连续点。x33当x

39、0时，31 x 1x。34已知fx1 x，为使fx在x 0连续，则应补充定义f0 xx1x1。e35若函数fx1与函数gx的图形完全相同，则x的取值范围是0,。2636设fx x x3，若fx 0，则x 0 或1；若fx 0，则x0,1,1；若fx 0；则x1,01,。2x,x 0 5x,x 037设fx，gx，则fgxx,x 03x,x 010 x,x 0。6x,x 038设0 u 1，函数fu有意义，则函数flnx的定义域1,e。39设数列xn11。2n1的前n项和为Sn，那么lim1S1 S2 Snxn40如果x 0时，要无穷小1cosx与asin21xx等价，a应等于2。241要使li

40、max b 0，则b应满足b 1。42limxx0 x21 x 0。1 x2,x 143函数fx 1 x，当A 2时，函数fx连续。A,x 1x2 ax b 2，则a 2，b-8。44已知lim2x2x x 212x,x 045fxe，lim fx0；若fx无间断点，x0 a,x 0则a 0。46函数fx xsin47lim1在点x 0处可可连续开拓，只须令f00。x1cosx1。x0 x2cosx2x348limx0。xe49lim1cos2x1。2x02x2750设Gx lnx，证明：当x 0，y 0，下列等式成立：(1)GxGy Gxy证：GxGy ln x ln y lnxy Gxy(

41、2)GxGy Gxy证：GxGy lnx ln y lnxy Gxy1,x 151设fx0,x 1，gx ex，求fgx和gfx。1,x 1 1,gx11,解：fgx0,gx1 x 00,x 0，1,gx11,x 0 x 1gfx efxe,1,x 1e1,x 152若x lg1 x1 x，证明：yzy z 1 yz。解：yz lg1 y1 z11 y lg1 z lgy z yz1 y z yz1y zy z 11 yz lg1 yz1y z lg y z yz1 y z yz1 yz故结论成立。53根据数列极限的定义证明：(1)lim3n 1x2n 132证：0，要使3n 132n 125

42、22n 15，只要n 5，n2A28取3n 133n 135N ，则当n N时，恒有，即lim。x2n 122n 12(2)limnn 1n 0证：因 0，1n 12 1n 1n，要使n 1n 12 n，只要n lim221，取N，则当n N时，恒有n 1 n，即22nn 1n 0。(3)lim0999 1 nn个9 1证：0，因0999 n111，要使，只要09999，nn1010n个即只要n log101。取N log10，则当n N时，恒有09999，即 n个lim0999 1。nn个(4)limnn2 n1nn2 nn2 n n11，只要n。取nnn2 n n证：0，因1N ，当n N

43、时，恒有n2 nn2 n1。1，即limnnn54根据函数极限的定义证明(1)limxsinx01 0 x11 x，要使xsin，只要x。，则xx证：0，因xsin当x 时，恒有xsin11，即limxsin 0。x0 xx1 2x22(2)limx33x2291 2x2211 2x221x 证：因，要使，要使，0，22233x33x3x3取z 11 2x221 2x22。，则当x X时，恒有，即lim22x33x33x3(3)limarctgx 0 xx证：0，因arctgx2，只要x，取z，则当x z时，xx22恒有arctgxarctgx，即lim 0。xxx(4)limx 2 0 x2

44、证：0，要使x 2，只要0 x 2 2，取2，则当0 x 2 时，恒有x 2，即limx 2 0。x255求下列极限x21(1)lim2x03x x 2解：原式12xn1(2)limm(n，m为正整数)，x1x1xn1 xn2 x0n解：原式 limm1m20 x1xm x x(3)lim1x1xx1x解：原式 limx1xx cos xx 71 11(4)limx301解：原式 limxcosxx171x(5)81194x 7 5x 8lim100 x2x 3481519x100解：原式 lim100100 431519x2x31(6)lim3x11 x1 x解：原式 lim(7)limx

45、1x 2 1x11 x1 x x21cos2xx0 xsin x2sin2x 2解：原式 limx0 xsin x(8)limxcos xx 22sinx 2 1解：原式 limxx 22arcsin xx0 xt解：令x sint，原式lim1x0sint(9)limsin2x sin2a(10)limxax a0解：原式 lim2sin xcos x limsin2x sin2axa0 xa(11)lim1 2xx01x解：原式 e2311 x(12)limx01 x解：原式(13)lim1tgxx01xlim1 xx01x1xlim1 xx0cos xe e21esin x1解：原式 l

46、im1tgxtgxx0 e011(14)lim1(k为正整数)xxkx1x解：原式 lim1 ekxx56当x 0时，求下列无穷小量关于x的阶(1)x3 x6解：3 阶(2)x2 3sin x解：k7阶3(3)1 x 1 x解：1 阶(4)tgx sin x解：3 阶57试证方程x asinxb，其中a 0，b 0，至少有一个正根，并且不超过ab。证：令fx x asin x b，则f0 b 0，fa b a b asina bb 0且fxCa,a b，故0,a b，使f 0。58设fx在闭区间0,2a上连续，且f0 f2a，则在0,a上至少存在一个x，使fx fx a。证：令x fx fx

47、a，于 是x在0,a上 连 续，由 于 条 件0 f0 fa f2a fa(若0 0，则 显 然 结 果 成 立，若320 0)a fa f2a fa f0，显然0a 0，故a,b使fx fx a，综上，0,a使fx fx a。59设fx在a,b上连续，且fa a，fb b，试证：在a,b内至少有一点，使得：f。证：令x fx x，于是x在a,b上连续，且a fa a 0，b fb b 0，故a,b，使 0，即f。60设数列xn有界，又lim yn 0，证明limxnyn 0。nn证：由假设不妨设xn M，M为一正数，0，由lim yn 0，故自然n数，当x N时，恒有ynM，故恒有xnyn

48、MM，即limxnyn 0。n132333n361设xn4444，求lim xn。nnnnnn2n 11解：原式 limn44n423x,1 x 162设fx2,x 1，求lim fx及lim fx。x0 x13x2,1 x 2解：lim fx lim3x 0 x0 x0 x10lim fx lim 3x2 3，lim fx lim 3x 3，故lim fx 3x10 x10 x10 x1ex ex63求limx。xe ex1e2x1解：原式 limx1 e2x64求lim2sin x sin 2x3x0 x解：原式 lim2sin x1cosx lim3x0 x0 x4sin xsin2x3

49、xxsin22 lim21x0 x243365求下列极限et1(1)limt2te21解：原式2(2)limx4sin2x2cos x2sin xcosxsin xcos x2 lim 2cos xxcos x24解：原式limx4(3)limx15x 4 xx 1解：原式 lim(4)limx1x 14x 15x 4 x 2sin x sinaxax axa解：原式 limcosx cosa(5)limxx2 x x2 x解：原式 lim2xx x x xxcos x22 lim2111 1xxx1(6)lim1 3tg2xx012tg x3解：原式 lim13tg2xx03tg2cos x

50、 e01ex1(7)limx0 x0解：原式 limex10 xa 2x 3(8)limx2x 1x1342解：原式 lim1x2x 12x122x12x1 e66求limx。x0ln1 x101解：原式 limx0101 x(C)1若存在 0，对任意 0，适合不等式xa 的一切x，有fx L，则(D)Afx在a不存在极限Bfx在a,a 严格单调Cfx在a,a 无界D对任意xa,a，fx L2若存在 0，对任意 0，适合不等式xa 的一切x，有fx L，则(C)Alim fx LBfx在R上无界xaCfx在R上有界Dfx在R上单调3函数fx limxn1 x 2xn2nn(x 0)，则此函数(