高中数学全部知识点整理 超经典.pdf

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1、高中高一数学必修 1 各章知识点总结第一章 集合与函数概念一、集合有关概念1、集合的含义：某些指定的对象集在一起就成为一个集合，其中每一个对象叫元素。2、集合的中元素的三个特性：1.元素的确定性；2.元素的互异性；3.元素的无序性.3、集合的表示：(1)如我校的篮球队员，太平洋,大西洋,印度洋,北冰洋(2).用拉丁字母表示集合：A=我校的篮球队员,B=1,2,3,4,54集合的表示方法：列举法与描述法。常用数集及其记法：非负整数集（即自然数集）记作：N正整数集 N*或 N+整数集 Z有理数集 Q实数集 R5.关于“属于”的概念集合的元素通常用小写的拉丁字母表示，如：a 是集合 A 的元素，就说

2、a 属于集合 A 记作 aA，相反，a 不属于集合 A 记作 aA列举法：把集合中的元素一一列举出来，然后用一个大括号括上。描述法：将集合中的元素的公共属性描述出来，写在大括号内表示集合的方法。用确定的条件表示某些对象是否属于这个集合的方法。6、集合的分类：(1)有限集含有有限个元素的集合(2)无限集含有无限个元素的集合2(3)空集不含任何元素的集合例：x|x=5=二、集合间的基本关系1.“包含”关系子集注意：A B有两种可能（1）A 是 B 的一部分，；（2）A 与 B 是同一集合。反之:集B 或 BA合 A 不包含于集合 B,或集合 B 不包含集合 A,记作 A2“相等”关系:对于两个集合

3、 A 与 B，如果集合 A 的任何一个元素都是集合 B 的元素，同时,集合 B 的任何一个元素都是集合 A 的元素，我们就说集合A 等于集合 B，即：A=B 任何一个集合是它本身的子集。即AA如果 AB,且 A B 那就说集合 A 是集合 B 的真子集，记作 AB(或 BA)如果 AB,BC,那么 AC 如果 AB同时 BA 那么 A=B3.不含任何元素的集合叫做空集，记为规定:空集是任何集合的子集，空集是任何非空集合的真子集。三、集合的运算1交集的定义：一般地，由所有属于A 且属于 B 的元素所组成的集合,叫做 A,B 的交集记作 AB(读作A 交 B)，即 AB=x|xA，且 xB2、并集

4、的定义：一般地，由所有属于集合A 或属于集合 B 的元素所组成的集合，叫做A,B 的并集。记作：AB(读作A 并 B)，即 AB=x|xA，或 xB3、交集与并集的性质：AA=A,A=,AB=BA，AA=A,A=A,AB=BA.4、全集与补集（1）补集：设 S 是一个集合，A 是 S 的一个子集（即A A S S），由 S 中所有不属于 A 的元素组成的集合，叫做 S 中子集 A 的补集（或余集）记作：CSA即 CSA=x xS 且 xA（2）全集：如果集合 S 含有我们所要研究的各个集合的全部元素，看作一个全集。通常用 U 来表示。（3）性质：CU(C UA)=A(C UA)A=(CUA)A

5、=U二、函数的有关概念1函数的概念：设A、B 是非空的数集，如果按照某个确定的对应关1这个集合就可以SCsAA系 f，使对于集合 A 中的任意一个数 x，在集合B 中都有唯一确定的数 f(x)和它对应，那么就称f：AB 为从集合 A 到集合 B 的一个函数记作：y=f(x)，xA其中，x 叫做自变量，x 的取值范围 A 叫做函数的定义域；与 x的值相对应的 y 值叫做函数值，函数值的集合f(x)|xA 叫做函数的值域能使函数式有意义的实数x的集合称为函数的定义域，求函数的定义域时列不等式组的主要依据是：(1)分式的分母不等于零；(2)偶次方根的被开方数不小于零；(3)对数式的真数必须大于零；(

6、4)指数、对数式的底必须大于零且不等于1.(5)如果函数是由一些基本函数通过四则运算结合而成的.那么，它的定义域是使各部分都有意义的x的值组成的集合.（6）指数为零底不可以等于零(7)实际问题中的函数的定义域还要保证实际问题有意义.2.构成函数的三要素：定义域、对应关系和值域再注意：（1）由于值域是由定义域和对应关系决定的，所以，如果两个函数的定义域和对应关系完全一致，即称这两个函数相等（或为同一函数）（2）两个函数相等当且仅当它们的定义域和对应关系完全一致，而与表示自变量和函数值的字母无关。相同函数的判断方法：表达式相同；定义域一致(两点必须同时具备)3区间的概念（1）区间的分类：开区间、闭

7、区间、半开半闭区间；（2）无穷区间；（3）区间的数轴表示4映射一般地，设A、B 是两个非空的集合，如果按某一个确定的对应法则f，使对于集合A 中的任意一个元素 x，在集合B 中都有唯一确定的元素y 与之对应，那么就称对应f：AB 为从集合 A 到集合 B 的一个映射。记作“f：AB”给定一个集合 A 到 B 的映射，如果 aA,bB.且元素 a 和元素 b 对应，那么，我们把元素b 叫做元素 a 的象，元素 a 叫做元素 b 的原象说明：函数是一种特殊的映射，映射是一种特殊的对应，集合A、B及对应法则f是确定的；对应法则有“方向性”，即强调从集合A到集合B的对应，它与从B到A的对应关系一般是不

8、同的；对于映射f：AB来说，则应满足：（）集合A中的每一个元素，在集合B中都有象，并且象是唯一的；（）集合A中不同的元素，在集合B中对应的象可以是同一个；（）不要求集合B中的每一个元素在集合A中都有原象。5.常用的函数表示法:解析法：图象法：列表法：6.分段函数在定义域的不同部分上有不同的解析表达式的函数。（1）分段函数是一个函数，不要把它误认为是几个函数；（2）分段函数的定义域是各段定义域的并集，值域是各段值域的并集7函数单调性（1）设函数 y=f(x)的定义域为 I，如果对于定义域 I 内的某个区间 D 内的任意两个自变量 x1，x2，当 x1x2时，都有 f(x1)f(x2)，那么就说f

9、(x)在区间 D 上是增函数。区间D 称为 y=f(x)的单调增区间如果对于区间 D 上的任意两个自变量的值x1，x2，当 x1x2时，都有f(x1)f(x2)，那么就说f(x)在这个区间上是减函数.区间 D 称为 y=f(x)的单调减区间.注意：函数的单调性是在定义域内的某个区间上的性质，是函数的局部性质；（2）图象的特点如果函数y=f(x)在某个区间是增函数或减函数，那么说函数y=f(x)在这一区间上具有(严格的)单调性，在单调区间上增函数的图象从左到右是上升的，减函数的图象从左到右是下降的.(3).函数单调区间与单调性的判定方法(A)定义法：1 任取 x1，x2D，且 x10 时，|x|

10、a x a或x a，|x|a a x ab24acb2)2、配方：ax bxc a(x2a4a223、0 时，ax bxc 0（a 0）的两个根为x1、x2(x1 x2)，则bb24acbb24acx1，x2，2a2aax2bxc 0 x x1或x x2，ax2bxc 0 x1 x x224、=0 时，ax bxc 0（a 0）的两个等根为x0b，则2aax2bxc 0 x x0，ax2bxc 0无解ax2bxc 0 xR，ax2bxc 0 x x05、0)a0)（1）f(x)f(x a)，则f(x)的周期 T=a；（2）f(x)f(x a)0，或f(x a)或11(f(x)0)，或f(xa)

11、(f(x)0),f(x)f(x)12f(x)f2(x)f(xa),(f(x)0,1),则f(x)的周期 T=2a；1(f(x)0)，则f(x)的周期 T=3a；f(x a)f(x1)f(x2)(4)f(x1 x2)且f(a)1(f(x1)f(x2)1,0|x1 x2|2a)，则f(x)的周期1 f(x1)f(x2)(3)f(x)1T=4a；(5)f(x)f(xa)f(x2a)f(x3a)f(x4a)f(x)f(xa)f(x2a)f(x3a)f(x4a),则f(x)的周期 T=5a；(6)f(x a)f(x)f(x a)，则f(x)的周期 T=6a.8.8.分数指数幂分数指数幂26(1)a(2)

12、amn1nmnam1mn（a 0,m,nN，且n 1）.（a 0,m,nN，且n 1）.a9.9.根式的性质根式的性质（1）(na)n a.（2）当n为奇数时，nan a；a,a 0当n为偶数时，a|a|.a,a 0nn10.10.有理指数幂的运算性质有理指数幂的运算性质(1)a a arrsrs(a 0,r,sQ).(2)(ar)s ars(a 0,r,sQ).rr(2)(3)(ab)a b(a 0,b 0,rQ).注：若 a0，p 是一个无理数，则 ap表示一个确定的实数上述有理指数幂的运算性质，对于无理数指数幂都适用.33.指数式与对数式的互化式logaN b ab N(a 0,a 1,

13、N 0).34.对数的换底公式logmN(a 0,且a 1,m 0,且m 1,N 0).logmann推论logamb logab(a 0,且a 1,m,n 0,且m 1,n 1,N 0).mlogaN 11.11.对数的四则运算法则对数的四则运算法则若 a0，a1，M0，N0，则(1)loga(MN)logaM logaN;(2)logan(3)logaM nlogaM(nR).M logaM logaN;N22注：设函数f(x)logm(ax bx c)(a 0),记 b 4ac.若f(x)的定义域为R,则a 0，且 0;若f(x)的值域为R,则a 0，且 0.对于a 0的情形,需要单独检

14、验.12.12.对数换底不等式及其推论对数换底不等式及其推论1,则函数y logax(bx)a11(1)当a b时,在(0,)和(,)上y logax(bx)为增函数.aa11(2)(2)当a b时,在(0,)和(,)上y logax(bx)为减函数.aa若a 0,b 0,x 0,x 推论:设n m 1，p 0，a 0，且a 1，则2（1）logm p(n p)logmn.（2）logamlogan logamn.227高三数学备课组椭椭圆圆1.点 P 处的切线 PT 平分PF1F2在点 P 处的外角外角.2.PT 平分PF1F2在点 P 处的外角，则焦点在直线 PT 上的射影 H 点的轨迹是

15、以长轴为直径的圆，除去长轴的两个端点.3.以焦点弦 PQ 为直径的圆必与对应准线相离相离.4.以焦点半径 PF1为直径的圆必与以长轴为直径的圆内切内切.x xy yx2y25.若P0(x0,y0)在椭圆221上，则过P0的椭圆的切线方程是02021.ababx2y26.若P0(x0,y0)在椭圆221外，则过 Po 作椭圆的两条切线切点为 P1、P2，则切点弦abP1P2的直线方程是x0 xy0y21.a2bx2y27.椭圆221(ab0)的左右焦点分别为 F1，F 2，点 P 为椭圆上任意一点F1PF2，ab则椭圆的焦点角形的面积为SF1PF2 b2tan2.x2y28.8.椭圆椭圆221（

16、a ab b0 0）的焦半径公式：）的焦半径公式：ab|MF1|aex0,|MF2|a ex0(F1(c,0),F2(c,0)M(x0,y0).).9.设过椭圆焦点 F 作直线与椭圆相交 P、Q 两点，A 为椭圆长轴上一个顶点，连结 AP 和AQ 分别交相应于焦点 F 的椭圆准线于 M、N 两点，则 MFNF.10.过椭圆一个焦点 F 的直线与椭圆交于两点 P、Q,A1、A2为椭圆长轴上的顶点，A1P 和 A2Q交于点 M，A2P 和 A1Q 交于点 N，则 MFNF.x2y2b211.AB 是椭圆221的不平行于对称轴的弦，M(x0,y0)为 AB 的中点，则kOMkAB 2，aba即KAB

17、b2x0 2。a y0 x0 xy0yx02y02x2y212.若P0(x0,y0)在椭圆221内，则被 Po 所平分的中点弦的方程是2222.ababab28x2y2x0 xy0yx2y213.若P0(x0,y0)在椭圆221内，则过 Po 的弦中点的轨迹方程是2222.ababab双曲线双曲线1.点 P 处的切线 PT 平分PF1F2在点 P 处的内角内角.2.PT 平分PF1F2在点 P 处的内角，则焦点在直线 PT 上的射影 H 点的轨迹是以长轴为直径的圆，除去长轴的两个端点.3.以焦点弦 PQ 为直径的圆必与对应准线相交相交.4.以焦点半径 PF1为直径的圆必与以实轴为直径的圆相切相

18、切.（内切：P 在右支；外切：P在左支）x2y25.若P0(x0,y0)在双曲线221（a0,b0）上，则过P0的双曲线的切线方程是abx0 xy0y21.a2bx2y26.若P0(x0,y0)在双曲线221（a0,b0）外，则过 Po 作双曲线的两条切线切点ab为 P1、P2，则切点弦 P1P2的直线方程是x0 xy0y21.2abx2y27.双曲线221（a0,bo）的左右焦点分别为 F1，F2，点 P 为双曲线上任意一ab点F1PF2，则双曲线的焦点角形的面积为SF1PF2 b2cot2.x2y28.8.双曲线双曲线221（a a0,b0,bo o）的焦半径公式：）的焦半径公式：(F1(

19、c,0),F2(c,0)ab当当M(x0,y0)在右支上时，在右支上时，|MF1|ex0a,|MF2|ex0a.当当M(x0,y0)在左支上时，在左支上时，|MF1|ex0a,|MF2|ex0a9.设过双曲线焦点 F 作直线与双曲线相交 P、Q 两点，A 为双曲线长轴上一个顶点，连结 AP 和 AQ 分别交相应于焦点 F 的双曲线准线于 M、N 两点，则 MFNF.10.过双曲线一个焦点 F 的直线与双曲线交于两点 P、Q,A1、A2为双曲线实轴上的顶点，A1P 和 A2Q 交于点 M，A2P 和 A1Q 交于点 N，则 MFNF.x2y211.AB 是双曲线221（a0,b0）的不平行于对称

20、轴的弦，M(x0,y0)为 AB 的中ab点，则KOMKABb2x0b2x02，即KAB2。a y0a y029x2y212.若P0(x0,y0)在双曲线221（a0,b0）内，则被 Po 所平分的中点弦的方程是abx0 xy0yx02y02222.2ababx2y213.若P0(x0,y0)在双曲线221（a0,b0）内，则过 Po 的弦中点的轨迹方程是abx2y2x0 xy0y222.2abab椭圆与双曲线的对偶性质椭圆与双曲线的对偶性质-（会推导的经典结论）（会推导的经典结论）高三数学备课组椭椭圆圆x2y21.椭圆221（abo）的两个顶点为A1(a,0),A2(a,0)，与 y 轴平行

21、的直线交椭abx2y2圆于 P1、P2时 A1P1与 A2P2交点的轨迹方程是221.abx2y22.过椭圆221(a0,b0)上任一点A(x0,y0)任意作两条倾斜角互补的直线交椭ab圆于 B,C 两点，则直线 BC 有定向且kBCb2x02（常数）.a y0 x2y23.若P为椭圆221（ab0）上异于长轴端点的任一点,F1,F 2是焦点,PF1F2,abPF2F1，则ac tancot.ac22x2y24.设椭圆221（ab0）的两个焦点为F1、F2,P（异于长轴端点）为椭圆上任意ab一点，在PF1F2中，记F1PF2,PF1F2,F1F2P，则有sinc e.sinsinax2y25.

22、若椭圆221（ab0）的左、右焦点分别为 F1、F2，左准线为 L，则当 0eab2 1时，可在椭圆上求一点 P，使得 PF1是 P 到对应准线距离 d 与 PF2的比例中项.30 x2y26.P 为椭圆221（ab0）上任一点,F1,F2为二焦点，A 为椭圆内一定点，则ab2a|AF2|PA|PF1|2a|AF1|,当且仅当A,F2,P三点共线时，等号成立.(x x0)2(y y0)21与 直 线Ax By C 0有 公 共 点 的 充 要 条 件 是7.椭 圆a2b2A2a2 B2b2(Ax0 By0C)2.x2y28.已知椭圆221（ab0），O 为坐标原点，P、Q 为椭圆上两动点，且O

23、P OQ.ab224a b111122（1）;（2）|OP|+|OQ|的最大值为;（3）SOPQ的最小222222a b|OP|OQ|aba2b2值是2.2a bx2y29.过椭圆221（ab0）的右焦点 F 作直线交该椭圆右支于 M,N 两点，弦 MNab的垂直平分线交 x 轴于 P，则|PF|e.|MN|2x2y210.已知椭圆221（ab0）,A、B、是椭圆上的两点，线段 AB 的垂直平分aba2b2a2b2 x0线与 x 轴相交于点P(x0,0),则.aax2y211.设 P 点是椭圆221（ab0）上异于长轴端点的任一点,F1、F2为其焦点记ab2b2F1PF2，则(1)|PF1|P

24、F2|.(2)SPF1F2 b2tan.1cos2x2y212.设 A、B 是椭圆221（ab0）的长轴两端点，P 是椭圆上的一点，PAB,ab2ab2|cos|PBA,BPA，c、e 分别是椭圆的半焦距离心率，则有(1)|PA|222.(2)a c costantan1e.(3)SPAB22a2b22cot.2b a31x2y213.已知椭圆221（ab0）的右准线l与 x 轴相交于点E，过椭圆右焦点F的ab直线与椭圆相交于 A、B 两点,点C在右准线l上，且BC x轴，则直线AC 经过线段EF 的中点.14.过椭圆焦半径的端点作椭圆的切线，与以长轴为直径的圆相交，则相应交点与相应焦点的连线必与切线垂直.15.过椭圆焦半径的端点作椭圆的切线交相应准线于一点，则该点与焦点的连线必与焦半径互相垂直.16.椭圆焦三角形中,内点到一焦点的距离与以该焦点为端点的焦半径之比为常数e(离心率).（注:在椭圆焦三角形中,非焦顶点的内、外角平分线与长轴交点分别称为内、外点.）17.椭圆焦三角形中,内心将内点与非焦顶点连线段分成定比 e.18.椭圆焦三角形中,半焦距必为内、外点到椭圆中心的比例中项.32