2020-2021中考数学二次函数-经典压轴题附答案.pdf

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1、2020-2021中考数学二次函数-经典压轴题附答案一、二次函数一、二次函数1（10 分）（2015佛山）如图，一小球从斜坡O 点处抛出，球的抛出路线可以用二次函数 y=x2+4x 刻画，斜坡可以用一次函数y=x 刻画（1）请用配方法求二次函数图象的最高点P 的坐标；（2）小球的落点是 A，求点 A 的坐标；（3）连接抛物线的最高点P 与点 O、A 得 POA，求 POA 的面积；（4）在 OA 上方的抛物线上存在一点M（M 与 P 不重合），MOA 的面积等于 POA 的面积请直接写出点 M 的坐标【答案】（1）（2，4）；（2）（，）；（3）【解析】试题分析：（1）利用配方法抛物线的一般式

2、化为顶点式，即可求出二次函数图象的最高点P 的坐标；（2）联立两解析式，可求出交点A 的坐标；（3）作 PQx 轴于点 Q，ABx 轴于点 B根据 S POA=S POQ+S梯形PQBAS BOA，代入数值计算即可求解；（4）过 P 作 OA 的平行线，交抛物线于点M，连结 OM、AM，由于两平行线之间的距离相等，根据同底等高的两个三角形面积相等，可得 MOA 的面积等于 POA 的面积设直线 PM 的解析式为 y=x+b，将 P（2，4）代入，求出直线 PM 的解析式为 y=x+3再与抛；（4）（，）物线的解析式联立，得到方程组，解方程组即可求出点 M 的坐标试题解析：（1）由题意得，y=x

3、2+4x=（x2）2+4，故二次函数图象的最高点P 的坐标为（2，4）；（2）联立两解析式可得：，解得：，或故可得点 A 的坐标为（，）；（3）如图，作 PQx 轴于点 Q，ABx 轴于点 BS POA=S POQ+S梯形PQBAS BOA=24+（+4）（2）=4+=；（4）过 P 作 OA 的平行线，交抛物线于点M，连结 OM、AM，则 MOA 的面积等于 POA 的面积设直线 PM 的解析式为 y=x+b，P 的坐标为（2，4），4=2+b，解得 b=3，直线 PM 的解析式为 y=x+3由，解得，），点 M 的坐标为（，考点：二次函数的综合题2已知，抛物线 yax2+ax+b（a0）与

4、直线 y2x+m 有一个公共点 M（1，0），且 ab（1）求 b 与 a 的关系式和抛物线的顶点D 坐标（用 a 的代数式表示）；（2）直线与抛物线的另外一个交点记为N，求 DMN 的面积与 a 的关系式；（3）a1 时，直线 y2x 与抛物线在第二象限交于点G，点 G、H 关于原点对称，现将线段 GH 沿 y 轴向上平移 t 个单位（t0），若线段 GH 与抛物线有两个不同的公共点，试求 t 的取值范围【答案】（1）b=2a，顶点 D 的坐标为（1927327a；（3），a）；（2）44a8294【解析】【分析】2t（1）把 M 点坐标代入抛物线解析式可得到b 与 a 的关系，可用 a 表

5、示出抛物线解析式，化为顶点式可求得其顶点D 的坐标；（2）把点 M（1，0）代入直线解析式可先求得m 的值，联立直线与抛物线解析式，消去y，可得到关于 x 的一元二次方程，可求得另一交点N 的坐标，根据 ab，判断 a0，确定 D、M、N 的位置，画图 1，根据面积和可得 DMN 的面积即可；（3）先根据 a 的值确定抛物线的解析式，画出图2，先联立方程组可求得当GH 与抛物线只有一个公共点时，t 的值，再确定当线段一个端点在抛物线上时，t 的值，可得：线段GH 与抛物线有两个不同的公共点时t 的取值范围【详解】解：（1）抛物线 y=ax2+ax+b 有一个公共点 M（1，0），a+a+b=0

6、，即 b=-2a，y=ax2+ax+b=ax2+ax-2a=a（x+129a）-，4219a，-）；42（2）直线 y=2x+m 经过点 M（1，0），0=21+m，解得 m=-2，y=2x-2，抛物线顶点 D 的坐标为（-y2x2则，2yax ax2a得 ax2+（a-2）x-2a+2=0，（x-1）（ax+2a-2）=0，解得 x=1 或 x=2-2，a24-2，-6），aa ab，即 a-2a，a0，N 点坐标为（如图 1，设抛物线对称轴交直线于点E，抛物线对称轴为x E（-a1，2a21，-3），224-2，-6），aa设 DMN 的面积为 S，M（1，0），N（129a27327|（

7、-2）-1|-（-3）|=a，a44a82（3）当 a=-1 时，S=S DEN+S DEM=抛物线的解析式为：y=-x2-x+2=-（x+129）+，42y x2 x2由，y 2x-x2-x+2=-2x，解得：x1=2，x2=-1，G（-1，2），点 G、H 关于原点对称，H（1，-2），设直线 GH 平移后的解析式为：y=-2x+t，-x2-x+2=-2x+t，x2-x-2+t=0，=1-4（t-2）=0，t=9，4当点 H 平移后落在抛物线上时，坐标为（1，0），把（1，0）代入 y=-2x+t，t=2，当线段 GH 与抛物线有两个不同的公共点，t 的取值范围是 2t94【点睛】本题为二

8、次函数的综合应用，涉及函数图象的交点、二次函数的性质、根的判别式、三角形的面积等知识在（1）中由 M 的坐标得到 b 与 a 的关系是解题的关键，在（2）中联立两函数解析式，得到关于x 的一元二次方程是解题的关键，在（3）中求得 GH 与抛物线一个交点和两个交点的分界点是解题的关键，本题考查知识点较多，综合性较强，难度较大3一座拱桥的轮廓是抛物线型(如图所示)，拱高 6m，跨度 20m，相邻两支柱间的距离均为 5m.(1)将抛物线放在所给的直角坐标系中(如图所示)，其表达式是y ax2c的形式.请根据所给的数据求出 a，c 的值.(2)求支柱 MN 的长度.(3)拱桥下地平面是双向行车道(正中

9、间是一条宽 2m 的隔离带)，其中的一条行车道能否并排行驶宽 2m、高 3m 的三辆汽车(汽车间的间隔忽略不计)？请说说你的理由.【答案】（1）y=-【解析】32x+6；（2）5.5 米；（3）一条行车道能并排行驶这样的三辆汽车50试题分析：（1）根据题目可知 AB，C 的坐标，设出抛物线的解析式代入可求解（2）设 N 点的坐标为（5，yN）可求出支柱 MN 的长度（3）设 DN 是隔离带的宽，NG 是三辆车的宽度和做 GH 垂直 AB 交抛物线于 H 则可求解试题解析：(1)根据题目条件，A、B、C 的坐标分别是(-10,0)、(0,6)、(10,0).6 c,将 B、C 的坐标代入y ax

10、 c，得0 100ac.2解得a 3,c 6.5032x 6.50抛物线的表达式是y (2)可设 N(5,yN)，于是yN 3526 4.5.50从而支柱 MN 的长度是 10-4.5=5.5 米.(3)设 DE 是隔离带的宽，EG 是三辆车的宽度和，则 G 点坐标是(7,0)(7=2223).31726 3 3.5050根据抛物线的特点，可知一条行车道能并排行驶这样的三辆汽车.过 G 点作 GH 垂直 AB 交抛物线于 H，则yH 4如图，抛物线y y 轴交于点 C.122x x 2与 x 轴相交于A，B两点，（点 A 在 B 点左侧）与22（）求A，B两点坐标.（）连结AC，若点 P 在第

11、一象限的抛物线上，P 的横坐标为 t，四边形ABPC的面积为 S.试用含 t 的式子表示 S，并求 t 为何值时，S 最大.（）在（）的基础上，若点G,H分别为抛物线及其对称轴上的点，点G 的横坐标为m，点 H 的纵坐标为 n，且使得以A,G,H,P四点构成的四边形为平行四边形，求满足条件的m,n的值.【答案】（）A(2,0),B(2 2,0)；（）S 当t 2(t 2)24 2(0 t 2 2),223,n，或242时，S最大 4 2；（）满足条件的点m、n的值为：m m 5 2153 21,n ，或m ,n 2424【解析】【分析】（）令 y=0，建立方程求解即可得出结论；（）设出点 P

12、的坐标，利用 S=S AOC+S梯形OCPQ+S PQB，即可得出结论；（）分三种情况，利用平行四边形的性质对角线互相平分和中点坐标公式建立方程组即可得出结论【详解】解：（）抛物线y 令y 0，则122x x 2，22122x x2 0，22解得：x 2或x 2 2，A 2,0,B 2 2,0（）由抛物线y 122x x 2，令x 0，y 2，C0,2，22如图 1，点 P 作PQ x轴于 Q，P 的横坐标为 t，设Pt,p，p 122t t 2,PQ p，BQ 2 2 t,OQ t22S SV AOC S梯形OCPQ SVPQB111222 pt 2 2 t p2222 t 12pt 2p1

13、2pt 2pt 221222t 2t 2t 2 22t 22 4 2(0 t 2 2)，当t 2时，S最大 4 2；（）由（）知，t，P2,22，抛物线y 12x222x 2的对称轴为x 22，设Gm,12m222m2,H22,n以A,G,H,P四点构成的四边形为平行四边形，A 2,0，当AP和HG为对角线时，122 212m2,12220121m22m2n22，m 22,n 34，当AG和PH是对角线时，11121122m2 2,22m 2m202n2，222m 5 215,n ，24AH和PG为对角线时，11211122 2 m2,m m22 n0，22222223 21,n，24即：满足

14、条件的点m、n的值为：m m 3 21235 215,n,n，或m,n ，或m 242424【点睛】此题是二次函数综合题，主要考查了坐标轴上点的特点，三角形的面积公式，梯形的面积公式，平行四边形的性质，中点坐标公式，用方程的思想解决问题是解本题的关键5如图，抛物线 yx2+bx+c 与 x 轴交于点 A 和点 B（3，0），与 y 轴交于点 C（0，3），点 D 是抛物线的顶点，过点D 作 x 轴的垂线，垂足为 E，连接 DB（1）求此抛物线的解析式及顶点D 的坐标；（2）点 M 是抛物线上的动点，设点M 的横坐标为 m当 MBA BDE 时，求点 M 的坐标；过点 M 作 MN x 轴，与抛

15、物线交于点 N，P 为 x 轴上一点，连接 PM，PN，将 PMN沿着 MN 翻折，得 QMN，若四边形 MPNQ 恰好为正方形，直接写出m 的值【答案】（1）（1，4）（2）点 M 坐标（为1739，）或（，）；m 的值24241 173 17或22【解析】【分析】（1）利用待定系数法即可解决问题；m22m3BE1MGtan BDE=，由 MBA=BDE，（2）根据 tan MBA=，DE2BG3m构建方程即可解决问题；因为点 M、N 关于抛物线的对称轴对称，四边形MPNQ 是正方形，推出点 P 是抛物线的对称轴与 x 轴的交点，即 OP=1，易证 GM=GP，即|-m2+2m+3|=|1-

16、m|，解方程即可解决问题.【详解】（1）把点 B（3，0），C（0，3）代入 y=x2+bx+c，得到93bc 0c 3，解得b 2c 3，抛物线的解析式为 y=x2+2x+3，y=x2+2x1+1+3=（x1）2+4，顶点 D 坐标（1，4）；（2）作 MGx 轴于 G，连接 BM则 MGB=90，设 M（m，MG=|m2+2m+3|，BG=3m，tan MBA=MGm22m3，BG3m DEx 轴，D（1，4），DEB=90，DE=4，OE=1，B（3，0），BE=2，tan BDE=BEDE=12，MBA=BDE，m22m313m=2，当点 M 在 x 轴上方时，m22m33m=12，解

17、得 m=12或 3（舍弃），M（12，74），m2+2m+3），m22m31=，当点 M 在 x 轴下方时，23m解得 m=3或 m=3（舍弃），239，），241739，）或（，）；2424 点 M（综上所述，满足条件的点M 坐标（如图中，MN x 轴，点 M、N 关于抛物线的对称轴对称，四边形 MPNQ 是正方形，点 P 是抛物线的对称轴与 x 轴的交点，即 OP=1，易证 GM=GP，即|m2+2m+3|=|1m|，当m2+2m+3=1m 时，解得 m=当m2+2m+3=m1 时，解得 m=满足条件的 m 的值为【点睛】本题考查二次函数综合题、锐角三角函数、正方形的判定和性质等知识，解题

18、的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题，学会利用参数构建方程解决问题，属于中考压轴题3 17，21 17，23 171 17.或226如图 1，在平面直角坐标系中，直线y 物线y 1x2与 x 轴交于点 A，与 y 轴交于点 C，抛212x bxc经过 A、C 两点，与 x 轴的另一交点为点 B2（1）求抛物线的函数表达式；（2）点 D 为直线 AC 上方抛物线上一动点，连接 BC、CD、BD，设 BD 交直线 AC 于点 E，CDE 的面积为 S1，BCE 的面积为S1S2求：的最大值；S2如图 2，是否存在点 D，使得 DCA2 BAC？若存在，直接写出点D 的坐标，若不存在，

19、说明理由【答案】（1）y 的坐标是(2,3)【解析】【分析】（1）根据题意得到 A（-4，0），C（0，2）代入 y=-S11234x x2；（2）当a 2时，的最大值是；点 DS222512x+bx+c，于是得到结论；2（2）如图，令 y=0，解方程得到 x1=-4，x2=1，求得 B（1，0），过 D 作 DMx 轴于M，过 B 作 BNx 轴交于 AC 于 N，根据相似三角形的性质即可得到结论；根据勾股定理的逆定理得到 ABC 是以 ACB 为直角的直角三角形，取AB 的中点 P，35，0），得到 PA=PC=PB=，过 D 作 x 轴的平行线交 y 轴于 R，交 AC 的延线于22G，

20、DCF=2 BAC=DGC+CDG，解直角三角形即可得到结论【详解】解：（1）根据题意得 A（-4，0），C（0，2），求得 P（-抛物线 y=-12x+bx+c 经过 AC 两点，210164bc，22c3b=-2，c=2抛物线解析式为：y 123x x2;22（2）令y 0，123x x2 022解得：x1 4,x21 B（1，0）过点 D 作DM x轴交 AC 于 M，过点 B 作BN x轴交 AC 于点 N，DMBNDMEBNES1DEDMS2BEBN123a a 222设：Da，Ma，a212，B105 N1,21a22aSDM1422 a215S2BN552S14 当a 2时，的最

21、大值是;S25 A（-4，0），B（1，0），C（0，2），AC=25，BC=5，AB=5，AC2+BC2=AB2，ABC 是以 ACB 为直角的直角三角形，取 AB 的中点 P，P（-3，0），25，2 PA=PC=PB=CPO=2 BAC，tan CPO=tan（2 BAC）=4，3过 D 作 x 轴的平行线交 y 轴于 R，交 AC 的延长线于 G，如图，DCF=2 BAC=DGC+CDG，CDG=BAC，tan CDG=tan BAC=即 RC：DR=令 D（a，-1，21，2123a-a+2），22123a-a，22 DR=-a，RC=-（-123a-a）：（-a）=1：2，22 a

22、1=0（舍去），a2=-2，xD=-2，-123a-a+2=3,22 点 D 的坐标是2,3【点睛】本题是二次函数综合题，涉及待定系数法求函数的解析式，相似三角形的判定和性质，解直角三角形等知识点，正确的作出辅助线是解题的关键，难度较大7在平面直角坐标系中，我们定义直线y=ax-a为抛物线 y=ax2+bx+c（a、b、c 为常数，a0）的“衍生直线”；有一个顶点在抛物线上，另有一个顶点在y 轴上的三角形为其“衍生三角形”已知抛物线y 2 324 3x x 2 3与其“衍生直线”交于 A、B 两点（点 A33在点 B 的左侧），与 x 轴负半轴交于点 C（1）填空：该抛物线的“衍生直线”的解析

23、式为，点 A 的坐标为，点 B 的坐标为；（2）如图，点 M 为线段 CB 上一动点，将 ACM 以 AM 所在直线为对称轴翻折，点C 的对称点为 N，若 AMN 为该抛物线的“衍生三角形”，求点 N 的坐标；（3）当点 E 在抛物线的对称轴上运动时，在该抛物线的“衍生直线”上，是否存在点 F，使得以点 A、C、E、F 为顶点的四边形为平行四边形？若存在，请直接写出点E、F 的坐标；若不存在，请说明理由【答案】（1）y=2 32 3；（-2，2 3）；（1,0）；x+33（2）N 点的坐标为（0，2 3-3），（0，2 3+3）；（3）E（-1，-【解析】【分析】（1）由抛物线的“衍生直线”知

24、道二次函数解析式的a 即可；（2）过 A 作 ADy 轴于点D，则可知 AN=AC，结合 A 点坐标，则可求出 ON 的长，可求出 N 点的坐标；（3）分别讨论当 AC 为平行四边形的边时，当AC 为平行四边形的对角线时，求出满足条件的E、F 坐标即可【详解】（1）y 4 32 34 310 3）、F（0，）或 E（-1，-），F（-4，）33332 32 324 3，则抛物线的“衍生直线”的解析式为x x 2 3，a=333y=2 32 3；x+332 324 3y x x2 3x=1x=-233联立两解析式求交点，解得或，y=0y=2 3y=2 3x+2 333 A（-2，2 3），B（1

25、,0）；（2）如图 1，过 A 作 ADy 轴于点 D，在y 2 324 3x x 2 3中，令 y=0 可求得 x=-3 或 x=1，33 C（-3,0），且 A（-2，2 3），22 AC=（-2+3）+（2 3）=13由翻折的性质可知 AN=AC=13，AMN 为该抛物线的“衍生三角形”，N 在 y 轴上，且 AD=2，在 Rt AND 中，由勾股定理可得DN=AN2-AD2=13-4=3，OD=2 3，ON=2 3-3或 ON=2 3+3，N 点的坐标为（0，2 3-3），（0，2 3+3）；（3）当 AC 为平行四边形的边时，如图2，过 F 作对称轴的垂线 FH，过 A 作 AKx

26、轴于点 K，则有 AC EF 且 AC=EF，ACK=EFH，在 ACK 和 EFH 中ACK=EFHAKC=EHFAC=EF ACK EFH，FH=CK=1，HE=AK=2 3，抛物线的对称轴为 x=-1，F 点的横坐标为 0 或-2，点 F 在直线 AB 上，当 F 点的横坐标为 0 时，则 F（0，E 到 y 轴的距离为 EH-OF=2 3-E（-1，-2 3），此时点 E 在直线 AB 下方，32 34 34 3=，即 E 的纵坐标为-，3334 3）；3当 F 点的横坐标为-2 时，则 F 与 A 重合，不合题意，舍去；当 AC 为平行四边形的对角线时，C（-3,0），且 A（-2，

27、2 3），线段 AC 的中点坐标为（-2.5，3），设 E（-1，t），F（x，y），则 x-1=2（-2.5），y+t=2 3，x=-4，y=2 3-t，2 3-t=-2 32 34 3（-4）+，解得 t=-，3334 310 3），F（-4，）；334 32 3）、（0，）或 E（-1，33 E（-1，-综上可知存在满足条件的点F，此时 E（-1，-4 310 3），F（-4，）33【点睛】本题是对二次函数的综合知识考查，熟练掌握二次函数，几何图形及辅助线方法是解决本题的关键，属于压轴题8已知：如图，抛物线 yax2+bx+3 与坐标轴分别交于点 A，B（3，0），C（1，0），点 P

28、是线段 AB 上方抛物线上的一个动点（1）求抛物线解析式；（2）当点 P 运动到什么位置时，PAB的面积最大？（3）过点 P 作 x 轴的垂线，交线段 AB 于点 D，再过点 P 作 PE x 轴交抛物线于点 E，连接 DE，请问是否存在点 P 使 PDE 为等腰直角三角形？若存在，求点P 的坐标；若不存在，说明理由【答案】（1）yx22x+3（2）（315，）（3）存在，P（2，3）或 P4253 175 17，）22【解析】【分析】（1）用待定系数法求解；（2）过点 P 作 PHx 轴于点 H，交 AB 于点 F，直线 AB 解析式为 yx+3，设 P（t，t22t+3）（3t0），则 F

29、（t，t+3），则 PFt22t+3（t+3）t23t，根据 S PABS PAF+S PBF写出解析式，再求函数最大值；（3）设 P（t，t22t+3）（3t0），则 D（t，t+3），PDt23t，由抛物线 yx22x+3（x+1）2+4，由对称轴为直线 x1，PE x 轴交抛物线于点 E，得 yEyP，即点E、P 关于对称轴对称，所以xE xP1，得 xE2xP2t，故 PE|xExP|222t|，由 PDE 为等腰直角三角形，DPE90，得 PDPE，再分情况讨论：当3t1 时，PE22t；当1t0 时，PE2+2t【详解】解：（1）抛物线 yax2+bx+3 过点 B（3，0），C（

30、1，0）9a3b3 0a 1解得：ab3 0b 2 抛物线解析式为 yx22x+3（2）过点 P 作 PHx 轴于点 H，交 AB 于点 F x0 时，yx22x+33 A（0，3）直线 AB 解析式为 yx+3 点 P 在线段 AB 上方抛物线上 设 P（t，t22t+3）（3t0）F（t，t+3）PFt22t+3（t+3）t23t S PABS PAF+S PBF2111333PFOH+PFBHPFOB（t23t）（t+）222222+278315，），PAB面积最大42（3）存在点 P 使 PDE 为等腰直角三角形设 P（t，t22t+3）（3t0），则 D（t，t+3）PDt22t+3

31、（t+3）t23t 抛物线 yx22x+3（x+1）2+4 对称轴为直线 x1 PE x 轴交抛物线于点 E yEyP，即点 E、P 关于对称轴对称 点 P 运动到坐标为（xE xP12 xE2xP2t PE|xExP|22t|PDE 为等腰直角三角形，DPE90 PDPE当3t1 时，PE22t t23t 22t解得：t11（舍去），t22 P（2，3）当1t0 时，PE2+2t t23t2+2t解得：t1 P（5 175 17，t2（舍去）2253 175 17，）22综上所述，点 P 坐标为（2，3）或（三角形53 175 17，）时使 PDE 为等腰直角22【点睛】考核知识点：二次函数

32、的综合.数形结合分析问题，运用轴对称性质和等腰三角形性质分析问题是关键.9如图，在平面直角坐标系xOy中，A、B 为 x 轴上两点，C、D 为 y 轴上的两点，经过点 A、C、B 的抛物线的一部分 C1与经过点 A、D、B 的抛物线的一部分 C2组合成一条封闭曲线，我们把这条封闭曲线称为“蛋线”已知点 C 的坐标为（0，），点 M 是抛物线 C2：y mx22mx 3m（m0）的顶点（1）求 A、B 两点的坐标；（2）“蛋线”在第四象限上是否存在一点P，使得 PBC 的面积最大？若存在，求出 PBC面积的最大值；若不存在，请说明理由；（3）当 BDM 为直角三角形时，求m的值【答案】（1）A（

33、，0）、B（3，0）（2）存在S PBC最大值为（3）m 【解析】【分析】27162或m 1时，BDM 为直角三角形22（1）在y mx 2mx 3m中令 y=0，即可得到 A、B 两点的坐标（2）先用待定系数法得到抛物线C1的解析式，由 S PBC=S POC+S BOPS BOC得到 PBC 面积的表达式，根据二次函数最值原理求出最大值（3）先表示出 DM2，BD2，MB2，再分两种情况：BMD=90时；BDM=90时，讨论即可求得 m 的值【详解】解：（1）令 y=0，则mx22mx 3m 0，m0，x2 2x 3 0，解得：x1 1，x2 3 A（，0）、B（3，0）（2）存在理由如下

34、：设抛物线 C1的表达式为y ax 1x 3（a 0），把 C（0，13）代入可得，a 22113x 1x 3，即y x2x 222 1的表达式为：y 设 P（p，123p p），22 S PBC=S POC+S BOPS BOC=（p）a 34322271633270，当p 时,S PBC最大值为4216（3）由 C2可知：B（3，0），D（0，3m），M（1，4m），BD2=9m29，BM2=16m24，DM2=m21 MBD90,讨论 BMD=90和 BDM=90两种情况：当 BMD=90时，BM2+DM2=BD2，即16m24m21=9m29，解得：m1 22,m2(舍去)22当 BD

35、M=90时，BD2+DM2=BM2，即9m29m21=16m24，解得：m1 1，m21(舍去)综上所述，m 2或m 1时，BDM 为直角三角形210如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+2ax3a（a0）与 x 轴相交于 A，B 两点，与 y 轴相交于点 C，顶点为 D，直线 DC 与 x 轴相交于点 E（1）当 a=1 时，求抛物线顶点 D 的坐标，OE 等于多少；（2）OE 的长是否与 a 值有关，说明你的理由；（3）设 DEO=，4560，求 a 的取值范围；（4）以 DE 为斜边，在直线 DE 的左下方作等腰直角三角形PDE设 P（m，n），直接写出 n 关于 m 的函数解析式

36、及自变量 m 的取值范围【答案】（1）（1，4），3；（2）结论：OE 的长与 a 值无关理由见解析；（3）3a1；（4）n=m1（m1）【解析】【分析】(1)求出直线 CD 的解析式即可解决问题；(2)利用参数 a，求出直线 CD 的解析式求出点 E 坐标即可判断；(3)求出落在特殊情形下的a 的值即可判断；(4)如图，作 PM对称轴于 M，PNAB 于 N两条全等三角形的性质即可解决问题.【详解】解：(1)当 a=1 时，抛物线的解析式为 y=x22x+3，顶点 D(1，4)，C(0，3)，直线 CD 的解析式为 y=x+3，E（3，0），OE=3，(2)结论：OE 的长与 a 值无关理由

37、：y=ax2+2ax3a，C(0，3a)，D(1，4a)，直线 CD 的解析式为 y=ax3a，当 y=0 时，x=3，E（3，0），OE=3，OE 的长与 a 值无关(3)当=45时，OC=OE=3，3a=3，a=1，当=60时，在 RtOCE 中，OC=3OE=33，3a=33，a=3，4560，a 的取值范围为3a1(4)如图，作 PM对称轴于 M，PNAB 于 N PD=PE，PMD=PNE=90，DPE=MPN=90，DPM=EPN，DPM EPN，PM=PN，PM=EN，D(1，4a)，E(3，0)，EN=4+n=3m，n=m1，当顶点 D 在 x 轴上时，P(1，2)，此时 m

38、的值 1，抛物线的顶点在第二象限，m1 n=m1(m1)故答案为：(1)(1，4)，3；(2)OE 的长与 a 值无关；(3)3a1；(4)n=m1（m1）【点睛】本题是二次函数综合题，考查了二次函数的图象与性质。11如图 1，已知抛物线 y=x2+bx+c 与 x 轴交于 A（1，0），B（3，0）两点，与 y 轴交于 C 点，点 P 是抛物线上在第一象限内的一个动点，且点P 的横坐标为 t（1）求抛物线的表达式；（2）设抛物线的对称轴为l，l 与 x 轴的交点为 D在直线 l 上是否存在点 M，使得四边形CDPM 是平行四边形？若存在，求出点M 的坐标；若不存在，请说明理由（3）如图 2，

39、连接 BC，PB，PC，设PBC 的面积为 S求 S 关于 t 的函数表达式；求 P 点到直线 BC 的距离的最大值，并求出此时点P 的坐标【答案】（1）y=x2+2x+3（2）当 t=2 时，点 M 的坐标为（1，6）；当 t2 时，不存在，理由见解析；（3）y=x+3；P 点到直线 BC 的距离的最大值为9 2，此时点 P 的坐8315，）24【解析】标为（【分析】（1）由点 A、B 的坐标，利用待定系数法即可求出抛物线的表达式；（2）连接 PC，交抛物线对称轴 l 于点 E，由点 A、B 的坐标可得出对称轴 l 为直线 x=1，分t=2 和 t2 两种情况考虑：当 t=2 时，由抛物线的

40、对称性可得出此时存在点M，使得四边形CDPM 是平行四边形，再根据点C 的坐标利用平行四边形的性质可求出点P、M 的坐标；当 t2 时，不存在，利用平行四边形对角线互相平分结合CEPE 可得出此时不存在符合题意的点 M；（3）过点 P 作 PF y 轴，交 BC 于点 F，由点 B、C 的坐标利用待定系数法可求出直线BC 的解析式，根据点 P 的坐标可得出点 F 的坐标，进而可得出 PF 的长度，再由三角形的面积公式即可求出 S 关于 t 的函数表达式；利用二次函数的性质找出S 的最大值，利用勾股定理可求出线段BC 的长度，利用面积法可求出 P 点到直线 BC 的距离的最大值，再找出此时点P

41、的坐标即可得出结论【详解】（1）将 A（1，0）、B（3，0）代入 y=x2+bx+c，得1bc 0b 2，解得：，93bc 0c 3 抛物线的表达式为 y=x2+2x+3；（2）在图 1 中，连接 PC，交抛物线对称轴 l 于点 E，抛物线 y=x2+bx+c 与 x 轴交于 A（1，0），B（3，0）两点，抛物线的对称轴为直线x=1，当 t=2 时，点 C、P 关于直线 l 对称，此时存在点 M，使得四边形 CDPM 是平行四边形，抛物线的表达式为 y=x2+2x+3，点 C 的坐标为（0，3），点 P 的坐标为（2，3），点 M 的坐标为（1，6）；当 t2 时，不存在，理由如下：若四边

42、形 CDPM 是平行四边形，则 CE=PE，点 C 的横坐标为 0，点 E 的横坐标为 0，点 P 的横坐标 t=120=2，又 t2，不存在；（3）在图 2 中，过点 P 作 PF y 轴，交 BC 于点 F设直线 BC 的解析式为 y=mx+n（m0），将 B（3，0）、C（0，3）代入 y=mx+n，3mn 0m 1得，解得：，n 3n 3 直线 BC 的解析式为 y=x+3，点 P 的坐标为（t，t2+2t+3），点 F 的坐标为（t，t+3），PF=t2+2t+3（t+3）=t2+3t，1927333PFOB=t2+t=（t）2+；2222283 0，2273 当 t=时，S 取最大

43、值，最大值为28 S=点 B 的坐标为（3，0），点 C 的坐标为（0，3），线段 BC=OB2OC23 2，2729 2，P 点到直线 BC 的距离的最大值为883 2此时点 P 的坐标为（315，）42【点睛】本题考查了待定系数法求一次（二次）函数解析式、平行四边形的判定与性质、三角形的面积、一次（二次）函数图象上点的坐标特征以及二次函数的性质，解题的关键是：（1）由点的坐标，利用待定系数法求出抛物线表达式；（2）分 t=2 和 t2 两种情况考虑；（3）利用三角形的面积公式找出S 关于 t 的函数表达式；利用二次函数的性质结合面积法求出 P 点到直线 BC 的距离的最大值12已知：二次函

44、数y x24x3a2(a 为常数)(1)请写出该二次函数图象的三条性质；(2)在同一直角坐标系中，若该二次函数的图象在x 4的部分与一次函数y 2x1的图象有两个交点，求a的取值范围【答案】(1)见解析；(2)【解析】【分析】(1)可从开口方向、对称轴、最值等角度来研究即可；(2)先由二次函数的图象与一次函数y 2x1的图象有两个交点，即关于x 的一元二次方程x26x3a3 0有两个不相等的实数根，由此可得a 2，再根据二次函数的图象在x 4的部分与一次函数y 2x1的图象有两个交点，也就是说二次函数5 a 23w x26x3a 3的图象与x轴x 4的部分有两个交点，画出函数w x26x3a

45、3的图象，结合图象，可知当x 4时，x26x3a3 0，将 x=4代入求得 a 的取值范围，由此即可求得答案.【详解】(1)图象开口向上；图象的对称轴为直线x 2；当x 2时，y随x的增大而增大；当x 2时，y随x的增大而减小；当x 2时，函数有最小值；(2)二次函数的图象与一次函数y 2x1的图象有两个交点，x24x3a 2 2x1，即x26x3a3 0，364(3a3)12a 24 0，解得a 2，二次函数的图象在x 4的部分与一次函数y 2x1的图象有两个交点，二次函数w x26x3a 3的图象与x轴x 4的部分有两个交点，画出二次函数w x26x3a 3的图象，结合图象，可知当x 4时

46、，x26x3a3 0，5，3 当二次函数的图象在x 4的部分与一次函数y 2x1的图象有两个交点时，当x 4时，x26x3a3 3a5 0，得a a的取值范围为【点睛】5 a 23本题考查的是二次函数综合题，涉及了二次函数的性质，二次函数图象与一次函数图象的交点问题，二次函数的图象与x 轴交点问题，正确进行分析并运用数形结合思想、灵活运用相关知识是解题的关键.13如图，抛物线线的表达式为的坐标；，作直线于点，四边形为交轴于点，交轴于点，已知经过点的直（1）求抛物线的函数表达式及其顶点（2）如图，点轴，交直线矩形设矩形大；于是线段，交抛物线于上的一个动点，其中，作轴，交直线的周长为，写出与的函数

47、关系式，并求，使点为何值时周长最为（3）如图，在抛物线的对称轴上是否存在点由构成的三角形是以的坐标；若不存在，请说明理腰的等腰三角形若存在，直接写出所有符合条件的点图图【答案】（1）抛物线的表达式为 y=-x2-2x+3，顶点 C 坐标为（-1,4）；（2）L=-4m2-12m=-4（m+当 m=-时，最大值 L=9；），（-1，-），（-1，3+），（-1，3-）2+9；（3）点 Q 的坐标为（-1，【解析】试题分析：（1）由直线经过 A、B 两点可求得这两点的坐标，然后代入二次函数解析式即可求出 b、c 的值，从而得到解析式，进而得到顶点的坐标；（2）由题意可表示出 D、E 的坐标，从而得

48、到 DE 的长，由已知条件可得DE=EF，从而可表示出矩形 DEFG 的周长 L，利用二次函数的性质可求得最大值；（3）分别以点 A、点 B 为圆心，以 AB 长为半径画圆，圆与对称轴的交点即为所求的点试题解析：（1）直线 y=x+3 与 x 轴相交于 A（-3,0），与 y 轴相交于 B（0,3）抛物线 y=-x2+bx+c 经过 A（-3,0），B（0,3），所以，,，所以抛物线的表达式为 y=-x2-2x+3，y=-x2-2x+3=-（x+1）2+4,所以，顶点坐标为 C（-1,4）（2）因为 D 在直线 y=x+3 上，D（m,m+3）因为 E 在抛物线上，E（m，-m2-2m+3）D

49、E=-m2-2m+3-（m+3）=-m2-3m由题意可知，AO=BO,DAP=ADP=EDF=EFD=45，DE=EFL=4DE=-4m2-12mL=-4m2-12m=-4（m+a=-40,二次函数有最大值当 m=-时，最大值 L=9），（-1，-），（-1，3+），（-1，3-）2+9（3）点 Q 的坐标为（-1，考点：1、待定系数法；2、正方形的判定；3、二次函数的性质的应用；4、等腰三角形14如图，直线 y=3x+3 与 x 轴、y 轴分别交于 A，B 两点，抛物线 y=x2+bx+c 与直线y=c 分别交 y 轴的正半轴于点 C 和第一象限的点 P，连接 PB，得 PCB BOA（O

50、为坐标原点）若抛物线与 x 轴正半轴交点为点 F，设 M 是点 C，F 间抛物线上的一点（包括端点），其横坐标为 m（1）直接写出点 P 的坐标和抛物线的解析式；（2）当 m 为何值时，MAB 面积 S 取得最小值和最大值？请说明理由；（3）求满足 MPO=POA 的点 M 的坐标【答案】（1）点 P 的坐标为（3，4），抛物线的解析式为y=x2+3x+4；（2）当 m=01；当 m=3 时，S 取最大值，最大值为5（3）满足224124 MPO=POA 的点 M 的坐标为（0，4）或（，）749【解析】时，S 取最小值，最小值为【分析】（1）代入 y=c 可求出点 C、P 的坐标，利用一次函