高中数学常用公式及常用结论汇总(精华版).pdf

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1、高中数学常用公式及常用结论高中数学常用公式及常用结论数学高中数学常用公式及常用结论高中数学常用公式及常用结论1.1.元素与集合的关系元素与集合的关系x A xCUA,xCUA x A.2.2.德摩根公式德摩根公式CU(AB)CUACUB;CU(AB)CUACUB.3.3.包含关系包含关系AB A AB B A B CUB CUA ACUB CUAB R4.4.容斥原理容斥原理card(AB)cardAcardB card(AB)card(ABC)cardAcardBcardC card(AB)card(AB)card(BC)card(CA)card(ABC).5 5集合集合a1,a2,an的子

2、集个数共有的子集个数共有2n个；真子集有个；真子集有2n1 1 个；非空个；非空子集有子集有2n1 1 个；非空的真子集有个；非空的真子集有2n2 2 个个.6.6.二次函数的解析式的三种形式二次函数的解析式的三种形式(1)(1)一般式一般式f(x)ax2bxc(a 0);(2)(2)顶点式顶点式f(x)a(xh)2k(a 0);(3)(3)零点式零点式f(x)a(x x1)(x x2)(a 0).7.7.解连不等式解连不等式N f(x)M常有以下转化形式常有以下转化形式N f(x)M f(x)M f(x)N 0f(x)NM NM N 0|M f(x)2211.f(x)NM N|f(x)8.8

3、.方程方程f(x)0在在(k1,k2)上有且只有一个实根上有且只有一个实根,与与f(k1)f(k2)0不不等等价价,前前者者是是后后者者的的一一个个必必要要而而不不是是充充分分条条件件.特特别别地地,方方程程ax2 bx c 0(a 0)有有 且且 只只 有有 一一 个个 实实 根根 在在(k1,k2)内内,等等 价价 于于f(k1)f(k2)0,或或f(k1)0且且k1 k1 k2b k2.22ak k2b12a2,或或f(k2)0且且9.9.闭区间上的二次函数的最值闭区间上的二次函数的最值二次函数二次函数f(x)ax2bx c(a 0)在在闭区闭区 间间p,q上上的最值的最值 只能只能 在

4、在x b处及区间的两端点处取得，具体如下：处及区间的两端点处取得，具体如下：2abp,q2a(1)(1)当当a0a0时时，若若x ，则则f(x)min f(x b),f(x)maxmaxf(p),f(q)；2abp,q，f(x)maxmaxf(p),f(q)，f(x)minminf(p),f(q).2ab(2)(2)当当 a0a0)a0)（1 1）f(x)f(x a)，则，则f(x)的周期的周期 T=aT=a；（2 2）f(x)f(x a)0，1(f(x)0)，f(x)1或或f(xa)(f(x)0),f(x)1或或f(x)f2(x)f(xa),(f(x)0,1),则则f(x)的周期的周期 T=

5、2aT=2a；2或或f(x a)1(f(x)0)，则，则f(x)的周期的周期 T=3aT=3a；f(x a)f(x1)f(x2)(4)(4)f(x1 x2)且且f(a)1(f(x1)f(x2)1,0|x1 x2|2a)，1 f(x1)f(x2)(3)(3)f(x)1则则f(x)的周期的周期 T=4aT=4a；(5)(5)f(x)f(xa)f(x2a)f(x3a)f(x4a)f(x)f(xa)f(x2a)f(x3a)f(x4a),则则f(x)的周期的周期 T=5aT=5a；(6)(6)f(x a)f(x)f(x a)，则，则f(x)的周期的周期 T=6a.T=6a.30.30.分数指数幂分数指数

6、幂(1)(1)a(2)(2)amnmn1nam1mn（a 0,m,nN，且，且n 1）.（a 0,m,nN，且，且n 1）.a3131根式的性质根式的性质（1 1）(na)n a.（2 2）当）当n为奇数时，为奇数时，nan a；当当n为偶数时，为偶数时，nan|a|a,a 0.a,a 03232有理指数幂的运算性质有理指数幂的运算性质(1)(1)aras ars(a 0,r,sQ).(2)(2)(ar)s ars(a 0,r,sQ).(3)(3)(ab)r arbr(a 0,b 0,rQ).注：注：若若 a a0 0，p p 是一个无理数，则是一个无理数，则 a ap p表示一个确定的实数上

7、表示一个确定的实数上述有理指数幂的运算性质，对于无理数指数幂都适用述有理指数幂的运算性质，对于无理数指数幂都适用.33.33.指数式与对数式的互化式指数式与对数式的互化式blogaN b a N(a 0,a 1,N 0).34.34.对数的换底公式对数的换底公式logmN(a 0,且且a 1,m 0,且且m 1,N 0).).logman推推论论logambnlogab(a 0,且且a 1,m,n 0,且且m 1,n 1,mN 0).).logaN 3535对数的四则运算法则对数的四则运算法则若若 a a0 0，a a1 1，M M0 0，N N0 0，则，则(1)(1)loga(MN)log

8、aM logaN;M logaM logaN;N(3)(3)logaMn nlogaM(nR).(2)(2)loga36.36.设函数设函数f(x)logm(ax2 bx c)(a 0),记记 b2 4ac.若若f(x)的的定义域为定义域为R,则则a 0，且，且 0;若若f(x)的值域为的值域为R,则则a 0，且，且 0.对于对于a 0的情形的情形,需要单独检验需要单独检验.37.37.对数换底不等式及其推广对数换底不等式及其推广若若a 0,b 0,x 0,x 1,则函数则函数y logax(bx)a (1)(1)当当a b时时,在在(0,1)和和(1,)上上y logax(bx)为增函数为增

9、函数.aa11，(2)(2)当当a b时时,在在(0,)和和(,)上上y logax(bx)为减函数为减函数.aa推论推论:设设n m 1，p 0，a 0，且，且a 1，则，则（1 1）logm p(n p)logmn.（2 2）logamlogan loga2mn.238.38.平均增长率的问题平均增长率的问题如果原来产值的基础数为如果原来产值的基础数为 N N，平均增长率为平均增长率为p，则对于时间则对于时间x的总的总产值产值y，有，有y N(1 p)x.39.39.数列的同项公式与前数列的同项公式与前 n n 项的和的关系项的和的关系n 1s1,(数列数列an的前的前 n n 项的和为项

10、的和为sn a1a2ansnsn1,n 2an).).40.40.等差数列的通项公式等差数列的通项公式an a1(n1)d dna1d(nN*)；其前其前 n n 项和公式为项和公式为n(a1an)n(n1)na1d22d1n2(a1d)n.22sn41.41.等比数列的通项公式等比数列的通项公式an a1qn1a1nq(nN*)；q其前其前 n n 项的和公式为项的和公式为a1(1qn),q 1sn1qna,q 11a1anq,q 1或或sn1q.na,q 1142.42.等比差数列等比差数列an:an1 qand,a1 b(q 0)的通项公式为的通项公式为b(n1)d,q 1anbqn(d

11、 b)qn1d；,q 1q1其前其前 n n 项和公式为项和公式为nbn(n1)d,(q 1)sn.d1qnd(b)n,(q 1)1qq11q43.43.分期付款分期付款(按揭贷款按揭贷款)ab(1b)n每次还款每次还款x 元元(贷款贷款a元元,n次还清次还清,每期利率为每期利率为b).).(1b)n14444常见三角不等式常见三角不等式（1 1）若）若x(0,)，则，则sin x x tanx.2(2)(2)若若x(0,)，则，则1 sin xcosx 2.2(3)(3)|sin x|cos x|1.45.45.同角三角函数的基本关系式同角三角函数的基本关系式sin2cos21，tan=si

12、n，tancot1.cos46.46.正弦、余弦的诱导公式正弦、余弦的诱导公式nn(1)2sin,sin()n12(1)2cos,(n 为偶数)(n 为奇数)(n 为偶数)(n 为奇数)n(1)cos,cos()n12(1)2sin,n247.47.和角与差角公式和角与差角公式sin()sincoscossin;cos()coscossinsin;tan()tan tan.1tantansin()sin()sin2sin2(平方正弦公式平方正弦公式););cos()cos()cos2sin2.asinbcos=a2b2sin()(辅助角辅助角所在象限由点所在象限由点(a,b)的象的象b限决定限

13、决定,tan).).a48.48.二倍角公式二倍角公式sin2sincos.cos2 cos2sin2 2cos2112sin2.2tan.tan21tan249.49.三倍角公式三倍角公式sin3 3sin4sin3 4sinsin()sin().33cos3 4cos33cos 4coscos()cos()333tantan3tan3 tantan()tan().13tan233.50.50.三角函数的周期公式三角函数的周期公式函数函数y sin(x)，x xR R 及函数及函数y cos(x)，x xR(A,R(A,为为常常数数，且且 A A 0 0，0)0)的的周周期期T x k2；函

14、函数数y tan(x)，.2,kZ(A,(A,为常数，且为常数，且 A A0 0，0)0)的周期的周期T 51.51.正弦定理正弦定理abc 2R.sin Asin BsinC52.52.余弦定理余弦定理a2 b2c22bccos A;b2 c2a22cacosB;c2 a2b22abcosC.53.53.面积定理面积定理111222111（2 2）S absinC bcsin A casin B.2221(3)(3)SOAB(|OA|OB|)2(OAOB)2.2ha、hb、hc分别表示分别表示 a a、（1 1）b b、c c 边上的高）边上的高）.S ahabhbch（c54.54.三角形

15、内角和定理三角形内角和定理在在ABCABC 中，有中，有A BC C(A B)CA B 2C 22(A B).22255.55.简单的三角方程的通解简单的三角方程的通解sin x a x k(1)karcsina(k Z,|a|1).cosx a x 2karccosa(k Z,|a|1).tan x a x karctana(k Z,aR).特别地特别地,有有sin sin k(1)k(k Z).cos cos 2k(kZ).tan tan k(kZ).56.56.最简单的三角不等式及其解集最简单的三角不等式及其解集sin x a(|a|1)x(2karcsina,2karcsina),k

16、Z.sin x a(|a|1)x(2karcsina,2karcsina),k Z.cosx a(|a|1)x(2karccosa,2karccosa),k Z.cosx a(|a|1)x(2karccosa,2k2arccosa),kZ.tan x a(aR)x(karctana,k),k Z.2tan x a(aR)x(k2,karctana),k Z.57.57.实数与向量的积的运算律实数与向量的积的运算律设、为实数，那么设、为实数，那么(1)(1)结合律：结合律：(a)=(a)=()a;)a;(2)(2)第一分配律：第一分配律：(+)a=)a=a+a+a;a;(3)(3)第二分配律：第

17、二分配律：(a+b)=(a+b)=a+a+b.b.58.58.向量的数量积的运算律：向量的数量积的运算律：(1)(1)a ab=bb=ba a（交换律）（交换律）;(2)(2)（a a）b=b=（a ab b）=a ab=b=a a（b b）;(3)(3)（a a+b+b）c=c=a ac+bc+bc.c.59.59.平面向量基本定理平面向量基本定理如果如果 e e1 1、e e2 2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量，有且只有一对实数面内的任一向量，有且只有一对实数1 1、2 2，使得，使得 a=a=1 1e e1 1+2

18、2e e2 2不共线的向量不共线的向量 e e1 1、e e2 2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底叫做表示这一平面内所有向量的一组基底6060向量平行的坐标表示向量平行的坐标表示设设 a=a=(x1,y1),b=,b=(x2,y2)，且，且 b b0 0，则，则 a a b(bb(b0)0)x1y2 x2y1 0.53.53.a a与与 b b 的数量积的数量积(或内积或内积)a ab=|b=|a a|b|cos|b|cos 61.a 61.ab b 的几何意义的几何意义数量积数量积 a ab b 等于等于 a a 的长度的长度|a|a|与与 b b 在在 a a 的方向上的投影的方向上的

19、投影|b|cos|b|cos的乘积的乘积62.62.平面向量的坐标运算平面向量的坐标运算(1)(1)设设 a=a=(x1,y1),b=,b=(x2,y2)，则，则 a+b=a+b=(x1 x2,y1 y2).(2)(2)设设 a=a=(x1,y1),b=,b=(x2,y2)，则，则 a-b=a-b=(x1 x2,y1 y2).(3)(3)设设 A A(x1,y1)，B B(x2,y2),则则AB OBOA(x2 x1,y2 y1).(4)(4)设设 a=a=(x,y),R，则，则a=a=(x,y).(5)(5)设设 a=a=(x1,y1),b=,b=(x2,y2)，则，则 a ab=b=(x1

20、x2 y1y2).63.63.两向量的夹角公式两向量的夹角公式cosx1x2 y1y2x y x y21212222(a a=(x1,y1),b=,b=(x2,y2).).64.64.平面两点间的距离公式平面两点间的距离公式dA,B=|AB|AB AB(x2 x1)2(y2 y1)2(A(A(x1,y1)，B B(x2,y2).).65.65.向量的平行与垂直向量的平行与垂直设设 a=a=(x1,y1),b=,b=(x2,y2)，且，且 b b0 0，则，则A|bA|bb=b=a a x1y2 x2y1 0.a ab(ab(a0)0)a ab=0b=0 x1x2 y1y2 0.66.66.线段

21、的定比分公式线段的定比分公式设设P1(x1,y1)，P2(x2,y2)，P(x,y)是线段是线段P1P2的分点的分点,是实数，且是实数，且PP1PP2，则，则x1x2OP OP21OP 1y1y2111（）.t(1t)OPOP tOP121x y 67.67.三角形的重心坐标公式三角形的重心坐标公式ABCABC 三个顶点的坐标分别为三个顶点的坐标分别为A(x1,y1)、B(x2,y2)、C(x3,y3),则则ABCABC 的重心的坐标是的重心的坐标是G(x1 x2 x3y1 y2 y3,).3368.68.点的平移公式点的平移公式x xhx x h OP OP PP.y y ky y k注注:

22、图形图形 F F 上的任意一点上的任意一点 P(xP(x，y)y)在平移后图形在平移后图形F上的对应点为上的对应点为P(x,y)，且，且PP的坐标为的坐标为(h,k).69.69.“按向量平移”的几个结论“按向量平移”的几个结论（1 1）点）点P(x,y)按向量按向量 a=a=(h,k)平移后得到点平移后得到点P(x h,y k).(2)(2)函数函数y f(x)的图象的图象C按向量按向量 a=a=(h,k)平移后得到图象平移后得到图象C,则则C的函数解析式为的函数解析式为y f(xh)k.(3)(3)图象图象C按向量按向量 a=a=(h,k)平移后得到图象平移后得到图象C,若若C的解析式的解

23、析式y f(x),则则C的函数解析式为的函数解析式为y f(xh)k.(4)(4)曲线曲线C:f(x,y)0按向量按向量a=a=(h,k)平移后得到图象平移后得到图象C,则则C的方的方程为程为f(xh,y k)0.(5)(5)向量向量 m=m=(x,y)按向量按向量a=a=(h,k)平移后得平移后得 到的向到的向 量仍然为量仍然为m=m=(x,y).70.70.三角形五“心”向量形式的充要条件三角形五“心”向量形式的充要条件设设O为为ABC所在平面上一点，所在平面上一点，角角A,B,C所对边长分别为所对边长分别为a,b,c，则则222（1 1）O为为ABC的外心的外心 OA OB OC.（2

24、2）O为为ABC的重心的重心 OAOBOC 0.（3 3）O为为ABC的垂心的垂心 OAOB OBOC OCOA.（4 4）O为为ABC的内心的内心 aOAbOBcOC 0.（5 5）O为为ABC的的A的旁心的旁心 aOA bOBcOC.71.71.常用不等式：常用不等式：（1 1）a,bRa2b2 2ab(当且仅当当且仅当 a ab b 时取“=”号时取“=”号)abab(当且仅当当且仅当 a ab b 时取“=”号时取“=”号)2（3 3）a3b3c3 3abc(a 0,b 0,c 0).（2 2）a,bR（4 4）柯西不等式）柯西不等式(a2b2)(c2d2)(ac bd)2,a,b,c

25、,d R.（5 5）a b a b a b.72.72.极值定理极值定理已知已知x,y都是正数，则有都是正数，则有（1 1）若积）若积xy是定值是定值p，则当，则当x y时和时和x y有最小值有最小值2 p；（2 2）若和）若和x y是定值是定值s，则当，则当x y时积时积xy有最大值有最大值s2.推广推广 已知已知x,yR，则有，则有(x y)2(x y)2 2xy（1 1）若积）若积xy是定值是定值,则当则当|x y|最大时最大时,|x y|最大；最大；当当|x y|最小时最小时,|x y|最小最小.（2 2）若和）若和|x y|是定值是定值,则当则当|x y|最大时最大时,|xy|最小；

26、最小；当当|x y|最小时最小时,|xy|最大最大.73.73.一元二次不等式一元二次不等式ax2bx c 0(或 0)(a 0,b24ac 0)，如果如果a与与ax2bxc同号，则其解集在两根之外；如果同号，则其解集在两根之外；如果a与与ax2bxc异号，异号，则其解集在两根之间则其解集在两根之间.简言之：同号两根之外，异号两根之间简言之：同号两根之外，异号两根之间.x1 x x2(x x1)(x x2)0(x1 x2)；x x1,或x x2(x x1)(x x2)0(x1 x2).1474.74.含有绝对值的不等式含有绝对值的不等式当当 a 0a 0 时，有时，有x a x2 a a x

27、a.2x a x2 a2 x a或或x a.75.75.无理不等式无理不等式（1 1）f(x)0.f(x)g(x)g(x)0f(x)g(x)f(x)0 f(x)0.f(x)g(x)g(x)0或g(x)0f(x)g(x)2 f(x)0.f(x)g(x)g(x)0f(x)g(x)2（2 2）（3 3）76.76.指数不等式与对数不等式指数不等式与对数不等式(1)(1)当当a 1时时,af(x)ag(x)f(x)g(x);f(x)0logaf(x)logag(x)g(x)0.f(x)g(x)(2)(2)当当0 a 1时时,af(x)ag(x)f(x)g(x);f(x)0logaf(x)logag(x

28、)g(x)0f(x)g(x)77.77.斜率公式斜率公式k y2 y1（P1(x1,y1)、P2(x2,y2)）.x2 x178.78.直线的五种方程直线的五种方程（1 1）点斜式）点斜式y y1 k(x x1)(直线直线l过点过点P1(x1,y1)，且斜率为，且斜率为k)（2 2）斜截式）斜截式y kxb(b(b 为直线为直线l在在 y y 轴上的截距轴上的截距).).（3 3）两两 点点 式式(x1 x2).).xyab（5 5）一般式）一般式Ax ByC 0(其中其中 A A、B B 不同时为不同时为 0).0).y y1x x1(y1 y2)()(P1(x1,y1)、P2(x2,y2)

29、y2 y1x2 x1(4)(4)截距式截距式1(a、b分别为直线的横、纵截距，分别为直线的横、纵截距，a、b 0)79.79.两条直线的平行和垂直两条直线的平行和垂直(1)(1)若若l1:y k1xb1，l2:y k2xb2l1|l2 k1 k2,b1 b2;l1 l2 k1k2 1.(2)(2)若若l1:A1x B1y C1 0,l2:A2x B2y C2 0,且且 A A1 1、A A2 2、B B1 1、B B2 2都不都不为零为零,l1|l2A1B1C1；A2B2C2l1 l2 A1A2 B1B2 0；80.80.夹角公式夹角公式(1)(1)tan|k2k1|.1k2k1A1B2 A2

30、B1|.A1A2 B1B2(l1:y k1xb1，l2:y k2xb2,k1k2 1)(2)(2)tan|(l1:A1x B1y C1 0,l2:A2x B2y C2 0,A1A2 B1B2 0).).直线直线l1 l2时，直线时，直线l l1 1与与l l2 2的夹角是的夹角是.81.81.l1到到l2的角公式的角公式(1)(1)tank2k1.1k2k1A1B2 A2B1.A1A2 B1B22(l1:y k1xb1，l2:y k2xb2,k1k2 1)(2)(2)tan(l1:A1x B1y C1 0,l2:A2x B2y C2 0,A1A2 B1B2 0).).直线直线l1 l2时，直线

31、时，直线l l1 1到到l l2 2的角是的角是.8282四种常用直线系方程四种常用直线系方程(1)(1)定定点点直直线线系系方方程程：经经过过定定点点P0(x0,y0)的的直直线线系系方方程程为为y y0 k(x x0)(除除直直线线x x0),),其其中中k是是待待定定的的系系数数;经经过过定定点点P0(x0,y0)的直线系方程为的直线系方程为A(x x0)B(y y0)0,其中其中A,B是待定的系是待定的系数数(2)(2)共共点点直直线线系系方方程程：经经过过两两直直线线l1:A1x B1y C1 0,l2:A2x B2y C2 0的的 交交 点点 的的 直直 线线 系系 方方 程程 为

32、为(A1x B1y C1)(A2x B2y C2)0(除除l2)，其中是待定的系数，其中是待定的系数(3)(3)平行直线系方程：直线平行直线系方程：直线y kxb中当斜率中当斜率 k k 一定而一定而 b b 变动变动时，时，表示平行直线系方程表示平行直线系方程 与直线与直线Ax ByC 0平行的直线系方程平行的直线系方程是是Ax By 0(0)，是参变量，是参变量2(4)(4)垂直直线系方程：与直线垂直直线系方程：与直线Ax ByC 0(A(A0 0，B B0)0)垂直垂直的直线系方程是的直线系方程是Bx Ay 0,是参变量是参变量83.83.点到直线的距离点到直线的距离A B84.84.A

33、x ByC 0或或0所表示的平面区域所表示的平面区域d|Ax0 By0C|22(点点P(x0,y0),直线直线l：Ax ByC 0).).设直线设直线l:Ax ByC 0，则，则Ax ByC 0或或0所表示的平面区域所表示的平面区域是：是：若若B 0，当，当B与与Ax By C同号时，表示直线同号时，表示直线l的上方的区域；当的上方的区域；当B与与Ax By C异号时，表示直线异号时，表示直线l的下方的区域的下方的区域.简言之简言之,同号在上同号在上,异号在下异号在下.若若B 0，当，当A与与Ax By C同号时，表示直线同号时，表示直线l的右方的区域；当的右方的区域；当A与与Ax By C异

34、号时，异号时，表示直线表示直线l的左方的区域的左方的区域.简言之简言之,同号在右同号在右,异号在左异号在左.85.85.(A1x B1y C1)(A2x B2y C2)0或或0所表示的平面区域所表示的平面区域设曲线设曲线C:(A1x B1y C1)(A2x B2y C2)0（A1A2B1B2 0），则，则(A1x B1y C1)(A2x B2y C2)0或或0所表示的平面区域是：所表示的平面区域是：(A1x B1y C1)(A2x B2y C2)0所表示的平面区域上下两部分；所表示的平面区域上下两部分；(A1x B1y C1)(A2x B2y C2)0所表示的平面区域上下两部分所表示的平面区域

35、上下两部分.86.86.圆的四种方程圆的四种方程（1 1）圆的标准方程）圆的标准方程(xa)2(y b)2 r2.（2 2）圆的一般方程）圆的一般方程x2 y2 Dx Ey F 0(D2 E24F0).0).x arcos（3 3）圆的参数方程）圆的参数方程.y brsin（4 4）圆的直径式方程圆的直径式方程(x x1)(x x2)(y y1)(y y2)0(圆的直径的圆的直径的端点是端点是A(x1,y1)、B(x2,y2).).87.87.圆系方程圆系方程(1)(1)过点过点A(x1,y1),B(x2,y2)的圆系方程是的圆系方程是(x x1)(x x2)(y y1)(y y2)(x x1

36、)(y1 y2)(y y1)(x1 x2)0(x x1)(x x2)(y y1)(y y2)(axby c)0,其其中中axby c 0是是直直线线AB的方程的方程,是待定的系数是待定的系数(2)(2)过直线过直线l:Ax ByC 0与圆与圆C:x2 y2 Dx Ey F 0的交点的的交点的圆系方程是圆系方程是x2 y2 Dx Ey F(Ax By C)0,是待定的系数是待定的系数C1x2 y2 D1x E1y F1 0(3)(3)过过圆圆:与与圆圆C2:x2 y2 D2x E2y F2 0的的交交点点的的圆圆系系方方程程是是x2 y2 D1x E1y F1(x2 y2 D2x E2y F2)

37、0,是待定的系数是待定的系数88.88.点与圆的位置关系点与圆的位置关系点点P(x0,y0)与圆与圆(x a)2(y b)2 r2的位置关系有三种的位置关系有三种若若d(a x0)2(b y0)2，则，则d r 点点P在圆外在圆外;d r 点点P在圆上在圆上;d r 点点P在圆内在圆内.89.89.直线与圆的位置关系直线与圆的位置关系直线直线Ax By C 0与圆与圆(x a)2(y b)2 r2的位置关系有三种的位置关系有三种:d r 相离 0;d r 相切 0;d r 相交 0.其中其中d Aa BbCA B22.90.90.两圆位置关系的判定方法两圆位置关系的判定方法设两圆圆心分别为设两

38、圆圆心分别为 O O1 1，O O2 2，半径分别为，半径分别为 r r1 1，r r2 2，O1O2 dd r1 r2 外离 4条公切线;d r1 r2 外切 3条公切线;r1r2 d r1r2 相交 2条公切线;d r1r2内切 1条公切线;0 d r1r2内含 无公切线.91.91.圆的切线方程圆的切线方程(1)(1)已知圆已知圆x2 y2 Dx Ey F 0若已知切点若已知切点(x0,y0)在圆上，则切线只有一条，其方程是在圆上，则切线只有一条，其方程是D(x0 x)E(y0 y)F 0.22D(x0 x)E(y0 y)当当(x0,y0)圆外时圆外时,x0 x y0y F 0表示过两表

39、示过两22x0 x y0y 个切点的切点弦方程个切点的切点弦方程过圆外一点的切线方程可设为过圆外一点的切线方程可设为y y0 k(x x0)，再利用相切，再利用相切条件求条件求 k k，这时必有两条切线，注意不要漏掉平行于，这时必有两条切线，注意不要漏掉平行于y y 轴的切线轴的切线斜率为斜率为 k k 的切线方程可设为的切线方程可设为y kxb，再利用相切条件求再利用相切条件求 b b，必有两条切线必有两条切线(2)(2)已知圆已知圆x2 y2 r2过圆上的过圆上的P0(x0,y0)点的切线方程为点的切线方程为x0 x y0y r2;斜率为斜率为k的圆的切线方程为的圆的切线方程为y kxr

40、1k2.x acosx2y292.92.椭圆椭圆221(a b 0)的参数方程是的参数方程是.aby bsinx2y293.93.椭圆椭圆221(a b 0)焦半径公式焦半径公式aba2a2PF1 e(x)，PF2 e(x).cc9494椭圆的的内外部椭圆的的内外部x2y2（1 1）点）点P(x0,y0)在椭圆在椭圆221(a b 0)的内部的内部abx2y2（2 2）点）点P(x0,y0)在椭圆在椭圆221(a b 0)的外部的外部ab22x0y01.a2b222x0y01.a2b295.95.椭圆的切线方程椭圆的切线方程x2y2(1)(1)椭椭 圆圆221(a b 0)上上 一一 点点P(

41、x0,y0)处处 的的 切切 线线 方方 程程 是是abx0 xy0y21.a2bx2y2（2 2）过椭圆过椭圆221(a b 0)外一点外一点P(x0,y0)所引两条切线的切点所引两条切线的切点ab弦方程是弦方程是x0 xy0y21.a2bx2y2（3 3）椭圆）椭圆221(a b 0)与直线与直线Ax ByC 0相切的条件是相切的条件是abA2a2 B2b2 c2.x2y296.96.双曲线双曲线221(a 0,b 0)的焦半径公式的焦半径公式aba2a2PF1|e(x)|，PF2|e(x)|.cc97.97.双曲线的内外部双曲线的内外部x2y2(1)(1)点点P(x0,y0)在双曲线在双

42、曲线221(a 0,b 0)的内部的内部abx2y2(2)(2)点点P(x0,y0)在双曲线在双曲线221(a 0,b 0)的外部的外部ab22x0y01.a2b222x0y01.a2b298.98.双曲线的方程与渐近线方程的关系双曲线的方程与渐近线方程的关系x2y2(1(1）若若 双双 曲曲 线线 方方 程程 为为221渐渐 近近 线线 方方 程程：abx2y2b 0 y x.a2b2a (2)(2)若若 渐渐 近近 线线 方方 程程 为为x2y2.a2b2xyb 0y xaba双双 曲曲 线线 可可 设设 为为x2y2x2y2 (3)(3)若若双双曲曲线与线与221有有公公共共渐渐近近线线

43、，可可设设为为22 abab（0，焦点在，焦点在 x x 轴上，轴上，0，焦点在，焦点在 y y 轴上）轴上）.99.99.双曲线的切线方程双曲线的切线方程x2y2(1)(1)双曲线双曲线221(a 0,b0)上一点上一点P(x0,y0)处的切线方程是处的切线方程是abx0 xy0y21.a2bx2y2（2 2）过双曲线过双曲线221(a 0,b0)外一点外一点P(x0,y0)所引两条切线的所引两条切线的ab切点弦方程是切点弦方程是x0 xy0y21.a2bx2y2（3 3）双曲线）双曲线221(a 0,b0)与直线与直线Ax ByC 0相切的条件是相切的条件是abA2a2 B2b2 c2.1

44、00.100.抛物线抛物线y2 2px的焦半径公式的焦半径公式抛物线抛物线y2 2px(p 0)焦半径焦半径CF x0.pp x2 x1 x2 p.222y2101.101.抛物线抛物线y 2px上的动点可设为上的动点可设为P P(,y)或或P(2pt2,2pt)或2pp2过焦点弦长过焦点弦长CD x1P P(x,y)，其中，其中y2 2px.b24acb2102.102.二次函数二次函数y ax bxc a(x)(a 0)的图象是抛的图象是抛2a4ab4acb2)；物物 线线：（1 1）顶顶 点点 坐坐 标标 为为(,（2 2）焦焦 点点 的的 坐坐 标标 为为2a4ab4acb214acb

45、21(,)；（3 3）准线方程是）准线方程是y.2a4a4a2103.103.抛物线的内外部抛物线的内外部(1)(1)点点P(x0,y0)在抛物线在抛物线y2 2px(p 0)的内部的内部 y2 2px(p 0).点点P(x0,y0)在抛物线在抛物线y2 2px(p 0)的外部的外部 y2 2px(p 0).(2)(2)点点P(x0,y0)在抛物线在抛物线y2 2px(p 0)的内部的内部 y2 2px(p 0).点点P(x0,y0)在抛物线在抛物线y2 2px(p 0)的外部的外部 y2 2px(p 0).(3)(3)点点P(x0,y0)在抛物线在抛物线x2 2py(p 0)的内部的内部 x

46、2 2py(p 0).点点P(x0,y0)在抛物线在抛物线x2 2py(p 0)的外部的外部 x2 2py(p 0).(4)(4)点点P(x0,y0)在抛物线在抛物线x2 2py(p 0)的内部的内部 x2 2py(p 0).点点P(x0,y0)在抛物线在抛物线x2 2py(p 0)的外部的外部 x2 2py(p 0).104.104.抛物线的切线方程抛物线的切线方程(1)(1)抛物线抛物线y2 2px上一点上一点P(x0,y0)处的切线方程是处的切线方程是y0y p(x x0).（2 2）过抛物线过抛物线y2 2px外一点外一点P(x0,y0)所引两条切线的切点弦方程所引两条切线的切点弦方程

47、是是y0y p(xx0).（3 3）抛抛物物线线y2 2px(p 0)与与直直线线Ax ByC 0相相切切的的条条件件是是pB2 2AC.105.105.两个常见的曲线系方程两个常见的曲线系方程(1)(1)过曲线过曲线f1(x,y)0,f2(x,y)0的交点的曲线系方程是的交点的曲线系方程是f1(x,y)f2(x,y)0(为参数为参数).).x2y221,其其 中中(2)(2)共共 焦焦 点点 的的 有有 心心 圆圆 锥锥 曲曲 线线 系系 方方 程程2a kb kk maxa2,b2.当当k mina2,b2时时,表表示示椭椭圆圆;当当mina2,b2 k maxa2,b2时时,表示双曲线表

48、示双曲线.106.106.直线与圆锥曲线相交的弦长公式直线与圆锥曲线相交的弦长公式AB(x1 x2)2(y1 y2)2或或AB(1k2)(x2 x1)2|x1 x2|1tan2|y1 y2|1cot2（弦端点（弦端点A A(x1,y1),B(x2,y2)，由方程由方程y kx b消去消去 y y 得到得到ax2bx c 0，0,F(x,y)0为直线为直线AB的倾斜角，的倾斜角，k为直线的斜率）为直线的斜率）.107.107.圆锥曲线的两类对称问题圆锥曲线的两类对称问题（1 1）曲曲 线线F(x,y)0关关 于于 点点P(x0,y0)成成 中中 心心 对对 称称 的的 曲曲 线线 是是F(2x0

49、-x,2y0 y)0.（2 2）曲线）曲线F(x,y)0关于直线关于直线Ax ByC 0成轴对称的曲线是成轴对称的曲线是F(x2A(Ax ByC)2B(Ax ByC),y)0.A2 B2A2 B2108.108.“四线”一方程“四线”一方程对于一般的二次曲线对于一般的二次曲线Ax2 Bxy Cy2 Dx Ey F 0，用，用x0 x代代x2，用用y0y代代y2，用，用x0y xy0 x xy y代代xy，用，用0代代x，用，用0代代y即得方程即得方程222x y xy0 x xy y曲线的切线，曲线的切线，切点弦，切点弦，Ax0 x B0Cy0y D0 E0 F 0，222中点弦，弦中点方程均

50、是此方程得到中点弦，弦中点方程均是此方程得到.109109证明直线与直线的平行的思考途径证明直线与直线的平行的思考途径（1 1）转化为判定共面二直线无交点；）转化为判定共面二直线无交点；（2 2）转化为二直线同与第三条直线平行；）转化为二直线同与第三条直线平行；（3 3）转化为线面平行；）转化为线面平行；（4 4）转化为线面垂直；）转化为线面垂直；（5 5）转化为面面平行）转化为面面平行.110110证明直线与平面的平行的思考途径证明直线与平面的平行的思考途径（1 1）转化为直线与平面无公共点；）转化为直线与平面无公共点；（2 2）转化为线线平行；）转化为线线平行；（3 3）转化为面面平行）转