中考数学压轴题专题二次函数的经典综合题含详细答案.pdf

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1、一、二次函数一、二次函数 真题与模拟题分类汇编（难题易错题）真题与模拟题分类汇编（难题易错题）1已知，抛物线 y=x2+2mx(m 为常数且 m0）（1）判断该抛物线与 x 轴的交点个数，并说明理由（2）若点 A（-n+5，0），B(n-1，0)在该抛物线上，点 M 为抛物线的顶点，求 ABM 的面积（3）若点（2，p)，（3，g），（4，r)均在该抛物线上，且 pg-2.5【解析】【分析】（1）首先算出根的判别式b2-4ac 的值，根据偶数次幂的非负性，判断该值一定大于0，从而根据抛物线与 x 轴交点个数与根的判别式的关系即可得出结论；（2）根据抛物线的对称性及A,B 两点的坐标特点求出抛物

2、线的对称轴直线为x=2.从而再根据抛物线对称轴直线公式建立方程，求解算出m 的值，进而求出抛物线的解析式，得出A,B,M 三点的坐标，根据三角形的面积计算方法，即可算出答案；（3）方法一（图象法）：根据抛物线的对称轴直线及开口方向判断出当对称轴在直线x=3的右边时，显然不符合题目条件；当对称轴在直线x=2 的左边时，显然符合题目条件（如图 2），从而列出不等式得出m 的取值范围；当对称轴在直线x=2 和 x=3 之间时，满足 3-（-m)-m-2 即可（如图 3），再列出不等式得出 m 的取值范围，综上所述，求出m 的取值范围；方法二（代数法）：将三点的横坐标分贝代入抛物线的解析式，用含m 的

3、式子表示出 p,g,r，再代入 pg0 抛物线与 x 轴有 2 个交点（2）解：点 A（-n+5，0），B(n-1，0)在抛物线上 抛物线的对称轴 x=n5n1 222m=2,即 m=-221 抛物线的表达式为 y=x2-4x 点 A（0，0），点 B（4，0）或点 A（4，0），点 B（0，0），点 M（2，-4）ABM 的面积为144=82（3）解：方法一（图象法）：抛物线 y=x2+2mx 的对称轴为 x=-m，开口向上。当对称轴在直线 x=3 的右边时，显然不符合题目条件（如图1）当对称轴在直线 x=2 的左边时，显然符合题目条件（如图2）此时，-m-2当对称轴在直线 x=2 和 x=

4、3 之间时，满足 3-（-m)-m-2 即可（如图 3）即 m-2.5综上所述，m 的取值范围 m-2.5方法二（代数法）：由已知得，p=4+4m，g=9+6m，r=16+8m pqr,4+4m9+6m0 时，函数图像与 x 轴有两个交点。当=b2-4ac=0 时，函数图像与 x 轴只有一个交点。=b2-4ac0 时，抛物线与 x 轴没有b4acb2交点。熟练运用顶点坐标（-，）2a4a2在平面直角坐标系中，有两点Aa,b、Bc,d，若满足：当a b时，c a，d b2；当a b时，c a，d b，则称点为点的“友好点”.（1）点4,1的“友好点”的坐标是_.（2）点Aa,b是直线y x2上的

5、一点，点B是点A的“友好点”.当B点与A点重合时，求点A的坐标.当A点与A点不重合时，求线段AB的长度随着a的增大而减小时，a的取值范围.【答案】（1）4,1；（2）点A的坐标是2,0或1,1；当a 1或时，AB的长度随着a的增大而减小；【解析】【分析】（1）直接利用“友好点”定义进行解题即可；（2）先利用“友好点”定义求出 B 点坐标，A点又在直线y x2上，得到b a2；当点A和点B重合，得b b2解出即可，当点 A 和点 B 不重合，a 1且a 2所以对 a 分情况讨论，1、当a 1或23 a 22331a 2时，AB bb a 3a2 a，所以当 a时，AB的长度随2242231着a的

6、增大而减小，即取a 12当1 a 2时，AB bb a+3a2 a，当24222a 33时，AB的长度随着a的增大而减小，即取 a 2 综上，当a 1或223 a 2时，AB的长度随着a的增大而减小2【详解】（1）点4,1，41，根据“友好点”定义，得到点4,1的“友好点”的坐标是4,1（2）点Aa,b是直线y x2上的一点，b a22a a2，根据友好点的定义，点B的坐标为B a,b，当点A和点B重合，b b2解得b0或b 1当b0时，a 2；当b 1时，a 1，点A的坐标是2,0或1,1当点 A 和点 B 不重合，a 1且a 2231当a 1或a 2时，AB bb a 3a2 a2422当

7、 a3时，AB的长度随着a的增大而减小，22取a 131当1 a 2时，AB bb a+3a2 a2422当a 取3时，AB的长度随着a的增大而减小，23 a 22综上，当a 1或【点睛】3 a 2时，AB的长度随着a的增大而减小2本题属于阅读理解题型，结合二次函数的基本性质进行解题，第二问的第二小问的关键是求出 AB 的长用 a 进行表示，然后利用二次函数基本性质进行分类讨论3如图，抛物线 yx2+bx+c 与 x 轴交于点 A 和点 B（3，0），与 y 轴交于点 C（0，3），点 D 是抛物线的顶点，过点D 作 x 轴的垂线，垂足为 E，连接 DB（1）求此抛物线的解析式及顶点D 的坐标

8、；（2）点 M 是抛物线上的动点，设点M 的横坐标为 m当 MBA BDE 时，求点 M 的坐标；过点 M 作 MN x 轴，与抛物线交于点 N，P 为 x 轴上一点，连接 PM，PN，将 PMN沿着 MN 翻折，得 QMN，若四边形 MPNQ 恰好为正方形，直接写出m 的值【答案】（1）（1，4）（2）点 M 坐标（为1739，）或（，）；m 的值24241 173 17或22【解析】【分析】（1）利用待定系数法即可解决问题；m22m3BE1MG=，由 MBA=BDE，（2）根据 tan MBA=，tan BDE=DE2BG3m构建方程即可解决问题；因为点 M、N 关于抛物线的对称轴对称，四

9、边形MPNQ 是正方形，推出点 P 是抛物线的对称轴与 x 轴的交点，即 OP=1，易证 GM=GP，即|-m2+2m+3|=|1-m|，解方程即可解决问题.【详解】（1）把点 B（3，0），C（0，3）代入 y=x2+bx+c，得到93bc 0b 2，解得，c 3c 3 抛物线的解析式为 y=x2+2x+3，y=x2+2x1+1+3=（x1）2+4，顶点 D 坐标（1，4）；（2）作 MGx 轴于 G，连接 BM则 MGB=90，设 M（m，m2+2m+3），MG=|m2+2m+3|，BG=3m，tan MBA=MGm22m3，BG3m DEx 轴，D（1，4），DEB=90，DE=4，OE

10、=1，B（3，0），BE=2，tan BDE=BEDE=12，MBA=BDE，2m 2m33m=12，当点 M 在 x 轴上方时，m22m33m=12，解得 m=12或 3（舍弃），M（12，74），当点 M 在 x 轴下方时，m22m33m=12，解得 m=32或 m=3（舍弃），点 M（32，94），综上所述，满足条件的点M 坐标（1732，4）或（2，94）；如图中，MN x 轴，点 M、N 关于抛物线的对称轴对称，四边形 MPNQ 是正方形，点 P 是抛物线的对称轴与 x 轴的交点，即 OP=1，易证 GM=GP，即|m2+2m+3|=|1m|，当m2+2m+3=1m 时，解得 m=当

11、m2+2m+3=m1 时，解得 m=满足条件的 m 的值为【点睛】本题考查二次函数综合题、锐角三角函数、正方形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题，学会利用参数构建方程解决问题，属于中考压轴题3 17，21 17，23 171 17.或224已知：如图，抛物线 y=ax2+bx+c 与坐标轴分别交于点 A（0，6），B（6，0），C（2，0），点 P 是线段 AB 上方抛物线上的一个动点（1）求抛物线的解析式；（2）当点 P 运动到什么位置时，PAB的面积有最大值？（3）过点 P 作 x 轴的垂线，交线段 AB 于点 D，再过点 P 做 PE x 轴交抛物

12、线于点 E，连结 DE，请问是否存在点 P 使 PDE 为等腰直角三角形？若存在，求出点P 的坐标；若不存在，说明理由【答案】（1）抛物线解析式为 y=（3）点 P（4，6）【解析】12x+2x+6；（2）当 t=3 时，PAB的面积有最大值；2【分析】（1）利用待定系数法进行求解即可得；（2）作 PMOB 与点 M，交 AB 于点 N，作 AGPM，先求出直线 AB 解析式为 y=x+6，设 P（t，12t+2t+6），则 N（t，t+6），由2111PNAG+PNBM=PNOB 列出关于 t 的函数表达式，利用二次函数222S PAB=S PAN+S PBN=的性质求解可得；（3）由 PH

13、OB 知 DH AO，据此由 OA=OB=6 得 BDH=BAO=45，结合 DPE=90知若 PDE 为等腰直角三角形，则 EDP=45，从而得出点 E 与点 A 重合，求出 y=6 时 x 的值即可得出答案【详解】（1）抛物线过点 B（6，0）、C（2，0），设抛物线解析式为 y=a（x6）（x+2），将点 A（0，6）代入，得：12a=6，解得：a=1，212（x6）（x+2）=所以抛物线解析式为 y=12x+2x+6；2（2）如图 1，过点 P 作 PMOB 与点 M，交 AB 于点 N，作 AGPM 于点 G，设直线 AB 解析式为 y=kx+b，将点 A（0，6）、B（6，0）代入

14、，得：b 6，6k b 0k 1解得：，b 6则直线 AB 解析式为 y=x+6，12t+2t+6）其中 0t6，2则 N（t，t+6），设 P（t，1211t+2t+6（t+6）=t2+2t+6+t6=t2+3t，222 S PAB=S PAN+S PBN11=PNAG+PNBM22 PN=PMMN=1PN（AG+BM）21PNOB211=（t2+3t）6223=t2+9t2327=（t3）2+，22 当 t=3 时，PAB的面积有最大值；（3）如图 2，PHOB 于 H，DHB=AOB=90，DH AO，OA=OB=6，BDH=BAO=45，PE x 轴、PDx 轴，DPE=90，若 PD

15、E 为等腰直角三角形，则 EDP=45，EDP 与 BDH 互为对顶角，即点 E 与点 A 重合，12x+2x+6=6，2解得：x=0（舍）或 x=4，即点 P（4，6）则当 y=6 时，【点睛】本题考查了二次函数的综合问题，涉及到待定系数法、二次函数的最值、等腰直角三角形的判定与性质等，熟练掌握和灵活运用待定系数法求函数解析式、二次函数的性质、等腰直角三角形的判定与性质等是解题的关键.，、10)B(3，、0)C(0，3).5如图，抛物线y ax2bx c的图象过点A(（1）求抛物线的解析式；（2）在抛物线的对称轴上是否存在一点P，使得 PAC的周长最小，若存在，请求出点P的坐标及 PAC的周

16、长；若不存在，请说明理由；（3）在（2）的条件下，在 x 轴上方的抛物线上是否存在点M（不与 C 点重合），使得SPAMSPAC？若存在，请求出点 M 的坐标；若不存在，请说明理由2，2)，周长为：10 3 2；（3）存【答案】（1）y -x 2x3；（2）存在，点P(1，4)在，点 M 坐标为(1【解析】【分析】（1）由于条件给出抛物线与x 轴的交点A，故可设交点式（10，）、（B 3，0）y（a x1）（）x 3，把点 C 代入即求得 a 的值，减小计算量（2）由于点 A、B 关于对称轴：直线x 1对称，故有PAPB，则CPACAC PC PAAC PC PB，所以当 C、P、B 在同一直

17、线上时，CPACAC CB最小利用点 A、B、C 的坐标求 AC、CB 的长，求直线 BC 解析式，把x 1代入即求得点 P 纵坐标（3）由SPAMSPAC可得，当两三角形以 PA为底时，高相等，即点C 和点 M 到直线 PA距离相等又因为 M 在 x 轴上方，故有CM/PA由点 A、P 坐标求直线 AP 解析式，即得到直线 CM 解析式把直线 CM 解析式与抛物线解析式联立方程组即求得点M 坐标【详解】解：（1）抛物线与 x 轴交于点A（10，）、（B 3，0）a x1）（）x 3 可设交点式y（0，3）把点C代入得：3a3a 1 y-（x1）（）x 3x2 2x3 抛物线解析式为y-x2

18、2x3（2）在抛物线的对称轴上存在一点P，使得PAC的周长最小如图 1，连接 PB、BC 点 P 在抛物线对称轴直线x 1上，点 A、B 关于对称轴对称PAPBCPACAC PC PAAC PC PB 当 C、P、B 在同一直线上时，PCPBCB最小A（10，）、（B 3，0）、（C 0，3）AC 1232 10,BC 32323 2CPACACCB 103 2最小设直线 BC 解析式为ykx3把点 B 代入得：3k 30，解得：k 1 直线 BC：yx3 yP 132 点P使PAC的周长最小，最小值为10 3 2（1，2）（3）存在满足条件的点 M，使得SPAMSPACSPAMSPACS P

19、AMS PAC 当以 PA为底时，两三角形等高 点 C 和点 M 到直线 PA距离相等 M 在 x 轴上方CM/PA，设直线 AP 解析式为ypx dA（10，），（，P 12）pd 0p 1解得：pd 2d 1 直线AP：yx1 直线 CM 解析式为：yx3y x32y x 2x3x1 0 x21解得：（即点 C），y 3y 412 点 M 坐标为（，14）【点睛】考查了待定系数法求二次函数解析式、一次函数解析式，轴对称的最短路径问题，勾股定理，平行线间距离处处相等，一元二次方程的解法其中第（3）题条件给出点 M 在 x 轴上方，无需分类讨论，解法较常规而简单6在平面直角坐标系中，抛物线y

20、ax2bx c过点A(1,0)，B(3,0)，与 y 轴交于点C，连接 AC，BC，将OBC沿 BC 所在的直线翻折，得到DBC，连接 OD（1）用含 a 的代数式表示点 C 的坐标（2）如图 1，若点 D 落在抛物线的对称轴上，且在x 轴上方，求抛物线的解析式S12，求 a 的值（3）设OBD的面积为 S1，OAC的面积为 S2，若S23【答案】（1）C(0,3a)；(2)抛物线的表达式为：y (3)a 2 2或a 2 2【解析】【分析】（1）根据待定系数法，得到抛物线的表达式为：y a(x 1)(x 3)a x 2x 3，即可求解；（2）根据相似三角形的判定证明CPD DQB，再根据相似三

21、角形的性质得到522 53 5；x x 5552CPPDCD，即可求解；DQBQBD（3）连接 OD 交 BC 于点 H，过点 H、D 分别作 x 轴的垂线交于点 N、M，由三角形的面积公式得到S122m1m1，DM OC，而，HN DM S23929928 mHN ON BN，即可求解992【详解】（1）抛物线的表达式为：y a(x 1)(x 3)a x 2x 3，即c 3a，则点2C(0,3a)；（2）过点 B 作 y 轴的平行线 BQ，过点 D 作 x 轴的平行线交 y 轴于点 P、交 BQ 于点 Q，CDP PDC 90，PDC QDB 90，QDB DCP，设：D(1,n)，点C(0

22、,3a)，CPD BQD 90，CPD DQB，CPPDCD，DQBQBD其中：CP n3a，DQ 31 2，PD 1，BQ n，CD 3a，BD 3，将以上数值代入比例式并解得：a a 0，故a 5，55，5522 53 5；x x 555故抛物线的表达式为：y （3）如图 2，当点 C 在 x 轴上方时，连接 OD 交 BC 于点 H，则DO BC，过点 H、D 分别作 x 轴的垂线交于点 N、M，设：OC m 3a，S1 SOBDS2 SOAC则DM 13OB DM DM，22S1211m，而，S2322m1m1OC，HN DM 92991118BN BO，则ON 3，9333则DO B

23、C，HN OB，则BHN HON，则tanBHN tanHON，28 m则HN2 ON BN，99解得：m 6 2（舍去负值），CO|3a|6 2，解得：a 2 2（不合题意值已舍去），故：a 2 2当点 C 在 x轴下方时，同理可得：a 2 2；故：a 2 2或a 2 2【点睛】本题考查的是二次函数综合运用、一次函数、三角形相似、图形的面积计算，其中（3）用28 m几何方法得出：HN2 ON BN，是本题解题的关键997如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线 y=ax2+bx+3 经过点 A(-1，0)、B(3，0)两点，且与 y 轴交于点 C.（1）求抛物线的表达式；（2）如图，用宽为 4

24、 个单位长度的直尺垂直于x 轴，并沿 x 轴左右平移，直尺的左右两边所在的直线与抛物线相交于P、Q 两点（点 P 在点 Q 的左侧），连接 PQ，在线段 PQ上方抛物线上有一动点 D，连接 DP、DQ.若点 P 的横坐标为1，求 DPQ 面积的最大值，并求此时点D 的坐标；2直尺在平移过程中，DPQ 面积是否有最大值？若有，求出面积的最大值；若没有，请说明理由.【答案】（1）抛物线 y=-x2+2x+3；（2）点 D（，）；PQD 面积的最大值为 8【解析】分析：（1）根据点 A、B 的坐标，利用待定系数法即可求出抛物线的表达式；（2）（I）由点 P 的横坐标可得出点 P、Q 的坐标，利用待定

25、系数法可求出直线PQ 的表达式，过点 D 作 DE y 轴交直线 PQ 于点 E，设点 D 的坐标为（x，-x2+2x+3），则点 E 的坐标为（x，-x+2x2+6x+3 15245），进而即可得出 DE 的长度，利用三角形的面积公式可得出S DPQ=-47，再利用二次函数的性质即可解决最值问题；2（II）假设存在，设点 P 的横坐标为 t，则点 Q 的横坐标为 4+t，进而可得出点 P、Q 的坐标，利用待定系数法可求出直线PQ 的表达式，设点 D 的坐标为（x，-x2+2x+3），则点 E的坐标为（x，-2（t+1）x+t2+4t+3），进而即可得出DE 的长度，利用三角形的面积公式可得出

26、 S DPQ=-2x2+4（t+2）x-2t2-8t，再利用二次函数的性质即可解决最值问题详解：（1）将 A（-1，0）、B（3，0）代入 y=ax2+bx+3，得：ab30a1，解得：，9a3b30b2 抛物线的表达式为 y=-x2+2x+3（2）（I）当点 P 的横坐标为-此时点 P 的坐标为（-17时，点 Q 的横坐标为，221779，），点 Q 的坐标为（，-）2424设直线 PQ 的表达式为 y=mx+n，将 P（-1779，）、Q（，-）代入 y=mx+n，得：24247 1mnm1 24，解得：5，79nmn442 直线 PQ 的表达式为 y=-x+54如图，过点 D 作 DE

27、y 轴交直线 PQ 于点 E，设点 D 的坐标为（x，-x2+2x+3），则点 E 的坐标为（x，-x+DE=-x2+2x+3-（-x+S DPQ=5），475）=-x2+3x+，44173DE（xQ-xP）=-2x2+6x+=-2（x-）2+8222-20，3315 当 x=时，DPQ 的面积取最大值，最大值为8，此时点 D 的坐标为（，）422（II）假设存在，设点 P 的横坐标为 t，则点 Q 的横坐标为 4+t，点 P 的坐标为（t，-t2+2t+3），点 Q 的坐标为（4+t，-（4+t）2+2（4+t）+3），利用待定系数法易知，直线PQ 的表达式为 y=-2（t+1）x+t2+4

28、t+3设点 D 的坐标为（x，-x2+2x+3），则点 E 的坐标为（x，-2（t+1）x+t2+4t+3），DE=-x2+2x+3-2（t+1）x+t2+4t+3=-x2+2（t+2）x-t2-4t，1DE（xQ-xP）=-2x2+4（t+2）x-2t2-8t=-2x-（t+2）2+82-20，当 x=t+2 时，DPQ 的面积取最大值，最大值为8 S DPQ=假设成立，即直尺在平移过程中，DPQ 面积有最大值，面积的最大值为8点睛：本题考查了待定系数法求二次（一次）函数解析式、二次（一次）函数图象上点的坐标特征、三角形的面积以及二次函数的最值，解题的关键是：（1）根据点的坐标，利用待定系数

29、法求出二次函数表达式；（2）（I）利用三角形的面积公式找出S DPQ=-2x2+6x+7；（II）利用三角形的面积公式找出S DPQ=-2x2+4（t+2）x-2t2-8t28抛物线与 x 轴交于 A，B 两点（OAOB），与 y 轴交于点 C（1）求点 A，B，C 的坐标；（2）点 P 从点 O 出发，以每秒 2 个单位长度的速度向点B 运动，同时点 E 也从点 O 出发，以每秒 1 个单位长度的速度向点C 运动，设点 P 的运动时间为 t 秒（0t2）过点 E 作 x 轴的平行线，与 BC 相交于点 D（如图所示），当 t 为何值时，最小，求出这个最小值并写出此时点E，P 的坐标；的值在满

30、足的条件下，抛物线的对称轴上是否存在点F，使 EFP 为直角三角形？若存在，请直接写出点 F 的坐标；若不存在，请说明理由【答案】（1）A（2，0），B（4，0），C（0，2）；（2）t=1 时，1，此时 OP=2，OE=1，E（0，1），P（2，0）；F（3，2），（3，7）【解析】试题分析：（1）在抛物线的解析式中，令y=0，令 x=0，解方程即可得到结果；（2）由题意得：OP=2t，OE=t，通过 CDE CBO 得到有最小值 1，即可求得结果；存在，求得抛物线的对称方程为x=3，设 F（3，m），当 EFP 为直角三角形时，当 EPF=90时，当 EFP=90时，当 PEF=90时，根

31、据勾股定理列方程即可求得结果试题解析：（1）在抛物线的解析式中，令y=0，即 C（0，2）；（2）由题意得：OP=2t，OE=t，DE OB，CDE CBO，DE=42t，即，解得：，即，求得有最小值，OAOB，A（2，0），B（4，0），在抛物线的解析式中，令x=0，得 y=2，时，=，0t2，始终为正数，且 t=1有最小有最大值 1，t=1 时，有最小值 1，即 t=1 时，值 1，此时 OP=2，OE=1，E（0，1），P（2，0）；存在，抛物线=，=当 EFP 为直角三角形时，当 EPF=90时，当 EFP=90时，即，即，解得：m=2，解得；m=0 或，解得：m=7，的对称轴方程为

32、x=3，设 F（3，m），m=1，不合题意舍去，当 EFP=90时，这种情况不存在，当 PEF=90时，综上所述，F（3，2），（3，7）考点：1二次函数综合题；2动点型；3最值问题；4二次函数的最值；5分类讨论；6压轴题，即9如图 1，已知一次函数 y=x+3 的图象与 x 轴、y 轴分别交于 A、B 两点，抛物线y x2bxc过 A、B 两点，且与 x 轴交于另一点 C（1）求 b、c 的值；（2）如图 1，点 D 为 AC 的中点，点 E 在线段 BD 上，且 BE=2ED，连接 CE 并延长交抛物线于点 M，求点 M 的坐标；（3）将直线 AB 绕点 A 按逆时针方向旋转 15后交 y

33、 轴于点 G，连接 CG，如图 2，P 为 ACG 内以点，连接 PA、PC、PG，分别以 AP、AG 为边，在他们的左侧作等边 APR，等边 AGQ，连接 QR求证：PG=RQ；求 PA+PC+PG的最小值，并求出当PA+PC+PG取得最小值时点 P 的坐标【答案】（1）b=2，c=3；（2）M（1251，）；（3）证明见解析；PA+PC+PG525的最小值为2 19，此时点 P 的坐标（【解析】912 3，）19192试题分析：（1）把 A（3，0），B（0，3）代入抛物线y x bxc即可解决问题（2）首先求出 A、C、D 坐标，根据 BE=2ED，求出点 E 坐标，求出直线 CE，利用

34、方程组求交点坐标 M（3）欲证明 PG=QR，只要证明 QAR GAP 即可当 Q、R、P、C 共线时，PA+PG+PC最小，作 QNOA 于 N，AMQC 于 M，PKOA 于 K，由AMNQsin ACM=求出 AM，CM，利用等边三角形性质求出AP、PM、PC，由此即可ACQC解决问题试题解析：（1）一次函数 y=x+3 的图象与 x 轴、y 轴分别交于 A、B 两点，A（3，c 30），B（0，3），抛物线y x bxc过 A、B 两点，解得：93bc 02b 2，b=2，c=3c 32（2），对于抛物线y x 2x3，令 y=0，则x22x3 0，解得 x=3 或 1，点 C 坐标（

35、1，0），AD=DC=2，点 D 坐标（1，0），BE=2ED，点 E 坐标2k b 121CEy=kx+bEC（，），设直线为，把、代入得到：3，解得：3k b 031233k x y xx 1335555，直线 CE 为y x，由，解得或，35155y 0y x22x3b y 525 点 M 坐标（1251，）525（3）AGQ，APR 是等边三角形，AP=AR，AQ=AG，QAC=RAP=60，QAR=GAP，在 QAR 和 GAP 中，AQ=AG，QAR=GAP，AR=AP，QAR GAP，QR=PG如图 3 中，PA+PB+PC=QR+PR+PC=QC，当 Q、R、P、C 共线时，P

36、A+PG+PC最小，作QNOA 于 N，AMQC 于 M，PKOA 于 K GAO=60，AO=3，AG=QG=AQ=6，AGO=30，QGA=60，QGO=90，点 Q 坐标（6，3QN=3 AM=3），在 RT QCN 中，AMNQ=，ACQC3，CN=7，QNC=90，QC=QN2 NC2=2 19，sin ACM=AM6 57，APR 是等边三角形，APM=60，PM=PR，cos30=，AP19 AP=PM=12 1914 196 19，PM=RM=，MC=AC2 AM2=，PC=CM191919PKCPCK2898 1912 3，CK=，PK=，OK=CKCO=，点 P 坐QNCQ

37、CN19191919912 39，），PA+PC+PG的最小值为2 19，此时点 P 的坐标（，191919标（12 3）19考点：二次函数综合题；旋转的性质；最值问题；压轴题10如图，已知抛物线y ax2bx c（a0）经过 A（1，0）、B（3，0）、C（0，3）三点，直线 l 是抛物线的对称轴（1）求抛物线的函数关系式；（2）设点 P 是直线 l 上的一个动点，当点 P 到点 A、点 B 的距离之和最短时，求点P 的坐标；（3）点 M 也是直线 l 上的动点，且MAC 为等腰三角形，请直接写出所有符合条件的点M 的坐标2【答案】（1）y x 2x3；（2）P（1，0）；（3）【解析】试题

38、分析：（1）直接将 A、B、C 三点坐标代入抛物线的解析式中求出待定系数即可；（2）由图知：AB 点关于抛物线的对称轴对称，那么根据抛物线的对称性以及两点之间线段最短可知，直线 l 与 x 轴的交点，即为符合条件的P 点；（3）由于 MAC 的腰和底没有明确，因此要分三种情况来讨论：MA=AC、MA=MC、AC=MC；可先设出 M 点的坐标，然后用 M 点纵坐标表示 MAC 的三边长，再按上面的三种情况列式求解2试题解析：（1）将 A（1，0）、B（3，0）、C（0，3）代入抛物线y ax bx cabc 0a 1中，得：9a3bc 0，解得：b 2，故抛物线的解析式：y x22x3c 3c

39、3（2）当 P 点在 x 轴上，P，A，B 三点在一条直线上时，点P 到点 A、点 B 的距离之和最短，此时 x=-b=1，故 P（1，0）；2ab=1，设 M（1，m），已知 A（1，0）、C2a（3）如图所示：抛物线的对称轴为：x=-（0，3），则：2MA2=m24，MC2=(3m)1=m26m10，AC2=10；若 MA=MC，则MA2 MC2，得：m24=m26m10，解得：m=1；若 MA=AC，则MA2 AC2，得：m24=10，得：m=6；若 MC=AC，则MC2 AC2，得：m26m10=10，得：m1 0，m2 6；当 m=6 时，M、A、C 三点共线，构不成三角形，不合题意，故舍去；综上可知，符合条件的 M 点，且坐标为 M（1，6）（1，6）（1，1）（1，0）考点：二次函数综合题；分类讨论；综合题；动点型