专题13 利用全等三角形的性质解决线段的证明与计算问题(解析版).pdf

《专题13 利用全等三角形的性质解决线段的证明与计算问题(解析版).pdf》由会员分享，可在线阅读，更多相关《专题13 利用全等三角形的性质解决线段的证明与计算问题(解析版).pdf（25页珍藏版）》请在淘文阁 - 分享文档赚钱的网站上搜索。

1、专题专题 1313利用全等三角形的性质解决线段的证明与计算问题利用全等三角形的性质解决线段的证明与计算问题知识对接知识对接考点一、全等三角形的性质考点一、全等三角形的性质（1）全等三角形对应边相等；（2）全等三角形对应角相等.考点二、怎样解运用全等三角形性质的问题考点二、怎样解运用全等三角形性质的问题证明两条线段相等或两个角相等时，常证明两条线段或两个角所在的三角形全等,运用全等三角形的性质，即全等三角形的对应边相等、对应角相等得到.专项训练专项训练一、单选题一、单选题1（20212021福建九年级）福建九年级）如图，点E，F在线段BC上，ABF与DEC全等，点A和点D，点B和点C是对应点，A

2、F和DE交于点M，则与EM相等的线段是（）ABE【答案】D【分析】BEFCFCDMF根据ABF与DEC全等，点A和点D，点B和点C是对应点，可得AFB DEC，则有EM FM【详解】解：ABF与DEC全等，点A和点D，点B和点C是对应点，AFB DEC，EM FM，故选：D【点睛】本题考查了全等三角形的性质，等腰三角形的判定与性质，熟悉相关性质是解题的关键12（20212021 山东九年级）山东九年级）如图，在菱形ABCD中，AB6，BCD60，E是AD中点，BE交AC于点F，连接DF，则DF的长为（）A4【答案】C【分析】B3C2 3D3 3连接 DB，四边形 ABCD 为菱形，BCD=60

3、，可得ABD 为等边三角形，求出AF 的长度，再证明AEFDEF，即可求出 DF 的长度【详解】如图：连接 DB四边形 ABCD 为菱形，BCD=60，BCD=BAD=60，1AB=AD，DAC=BAC=DAB=30，2即ABD 为等边三角形，又 E 为 AD 的中点，BEAD，11AE3AE=AD=AB=3，cosEAF=cos30=，即 AF=23AF222又在AEF 和DEF 中，AEF=DEF=90，AE=DE，EF=EF，AEFDEF，DF=AF=23，故选：C【点睛】本题考查了菱形的性质，等边三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，以及特殊锐角三角函数值，熟悉并灵活运用以上性质

4、式解题的关键3（20212021天津和平天津和平）如图，在AOB中，OAB AOB 15,OB 6,OC平分AOB，点 P 在射线OC上，点 Q 为边OA上一动点，则PA PQ的最小值是（）A1【答案】C【分析】B2C3D4在射线OB上截取一点Q，使得OQ OQ，则OPQ OPQ，可得PQ PQ作AH OB于H可得PA PQ PA PQ，推出当A、P、Q共线，且垂直OB时，PA PQ的值最小，最小值为AH，【详解】解：在射线OB上截取一点Q，使得OQ OQ，则OPQ OPQ，可得PQ PQ作AH OB于HPA PQ PA PQ，当A、P、Q共线，且垂直OB时，PA PQ的值最小，即最小值为AH

5、OAB AOB 15OB AB 6，ABH OABAOB 30，在Rt ABH中，AH ABsin30 3，3PA PQ的最小值为 3，故选C【点睛】本题考查轴对称最短问题、全等三角形，等腰三角形的性质、三角函数等知识，解题的关键在于能够熟练的掌握相关知识点4（20212021 江苏南通田家炳中学九年级）江苏南通田家炳中学九年级）如图，在直角坐标系中，已知点A(6，0)，点B 为 y 轴正半轴上一动点，连接 AB，以 AB 为一边向下作等边ABC，连接 OC，则 OC 的最小值（）A3【答案】B【分析】B3C2 3D3 3以 OA 为对称轴作等边AMN，由“SAS”可证ANCAMB，可得AMB

6、=ANC=60，由直角三角形的性质可求AEN=30，EO=【详解】解：如图，以 OA 为对称轴作等边AMN，延长 CN 交 x 轴于 E，ABC 是等边三角形，AMN 是等边三角形，AM=AN，AB=AC，MAN=BAC，AMN=60=ANM，BAM=CAN，ANCAMB（SAS），AMB=ANC=60，ENO=60，AO=6，AMB=60，AOBO，MO=NO=2 3,ENO=60，EON=90，3ON=6，则点 C 在 EN 上移动，当 OCEN 时，OC有最小值，即可求解AEN=30，EO=3ON=6，点 C 在 EN 上移动，当 OCEN 时，OC有最小值，此时，OC=2EO=3，故选

7、：B1【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，等边三角形的性质，垂线段最短，锐角三角函数，确定点C 的运动轨迹是解题的关键5如图，已知：在ABCD 中，E、F 分别是 AD、BC 边的中点，G、H 是对角线 BD 上的两点，且 BGDH，则下列结论中不正确的是（）AGFFHCEF 与 AC 互相平分【答案】A【分析】BGFEHDEGFH连接 EF 交 BD 于 O，易证四边形 EGFH 是平行四边形，然后证明是否得出选项【详解】连接 EF 交 BD 于点 O，5在平行四边形 ABCD 中的 AD=BC，EDH=FBG，E、F 分别是 AD、BC 边的中点，DEBF,DE=BF=12BC，四边

8、形 AEFB 是平行四边形,有 EFAB，点 E 是 AD 的中点，点 O 是 BD 的中点，根据平行四边形中对角线互相平分，故点O 也是 AC 的中点，也是EF 的中点，故C正确，又BG=DH,DEHBFG，GF=EH，故 B 正确，DHE=BGF，GHE=HGF，EHGFGH，EG=HF，故 D 正确，GFEH，即四边形 EHFG 是平行四边形，而不是矩形，故GFH 不是 90 度，A 不正确故选 A.【点睛】本题考查平行四边形的判定与性质和全等三角形的判定与性质，解题的关键是熟练掌握平行四边形的判定与性质和全等三角形的判定与性质.6如图，ABCDEC，A和D，B和E是对应点，B、C、D在

9、同一直线上，且CE 5，AC 7，则BD的长为（）A12【答案】A【分析】B7C2D14根据全等三角形的性质即可得到结论【详解】解：如图，ABC DEC，A和D，B和E是对应点，B、C、D在同一直线上，且CE 5，AC 7，BC EC 5，CD AC 7，BD BC CD 12故选：A【点睛】本题主要考查的是全等三角形的性质，熟练掌握全等三角形的性质是解题的关键7如图：若ABE ACF，且AB 5,AE 2，则EC的长为（）A2B2.5C3D5【答案】C【分析】根据全等三角形的性质得AC=AB=5，由 EC=ACAE 求解即可【详解】解：ABE ACF，AB=5，AC=AB=5，AE=2，EC

10、=ACAE=52=3，故选：C【点睛】本题考查了全等三角形的性质、线段的和与差，熟练运用全等三角形的性质是解答的关键8如图，ABCADE，点D在边BC上，则下列结论中一定成立的是（）7AAC DEBAB BDCABD ADBDEDC AED【答案】C【分析】根据全等三角形的性质可直接进行排除选项【详解】解：ABCADE，AB=AD，BC=DE，AC=AE，B=ADE，C=E，ABD=ADB，故 A、B、D 都是错误的，C 选项正确；故选 C【点睛】本题主要考查全等三角形的性质，熟练掌握全等三角形的性质是解题的关键9如图，ACEDBF，AE/DF，AB3，BC2，则 AD 的长度等于（A2B8C

11、9D10【答案】B【分析】根据全等三角形的对应边相等解答【详解】解：由图形可知，ACABBC325，ACEDBF，BDAC5，）CDBDBC3，ADACCD538，故选：B【点睛】本题考查的是全等三角形的性质，掌握全等三角形的对应边相等是解题的关键10（20212021 河北）河北）如图，已知平行四边形ABCD，CD3cm，依下列步骤作图，并保留作图痕迹：步骤 1：以B为圆心，BE长为半径画弧，分别交AB，BC于点E，F；步骤 2：以A为圆心，以BE长为半径画弧，交AD于点G；步骤 3：以G为圆心，以EF长为半径画弧，弧和弧交于点H，过H作射线，交BC于点M则下列叙述不正确的是：（）AAMC

12、C【答案】C【分析】BAM CDCAM平分BADDBEFAGH由作图痕迹，可以得到EBFGAH，从而有EBF=GAH，因此可以判断 A、B、D 正确，因为 C 不一定成立，故可以得到解答【详解】解：如图，连结 E、F 和 G、H，由已知，在EBF 和GAH 中，AG=EB，AH=BF，HG=EF，EBFGAH，故 D 正确；EBFGAH，EBF=GAH，由平行四边形的性质可得：AMB=GAH，EBF=AMB，AB=AM，又由平行四边形的性质可得：AB=CD，AM=CD，故 B 正确；9AMB+AMC=180，EBF+AMC=180，又由平行四边形的性质可得：EBF+C=180，AMC=C，故

13、A 正确；BAM=MAD 不一定成立，C 不正确，故选 C【点睛】本题考查三角形全等的判定和应用，熟练掌握作一个角等于已知角的作法和依据是解题关键二、填空题二、填空题11如图，矩形 ABCD 中，AD2，E 为 CD 上一点，连接 AE，将ADE 沿 AE 折叠，点 D 恰好落在 BC 上，记为 D，再将DCE 沿 DE 折叠，若点 C 的对应点 C落在 AE 上，则 AB 的长为_【答案】3【分析】ADEADE由折叠的性质得到，能得到345，再用平角的性质得到3 4 5 60，再 D CED C E由1490，得到12 30，可以求出6，最后可以求出AB ADcosBAD【详解】如图：由折叠

14、的性质得：ADEADE D CED C E1 2；3 4；AD AD3 53453451803 4 5 60149012 306 90 12 30Rt ABD中，BAD 30AB ADcosBAD ADcosBAD 2332故答案为：3【点睛】本题考查了矩形与折叠，全等三角形的性质，三角函数，掌握它们的性质是解题的关键12（20212021江苏扬州市江苏扬州市 九年级二模）九年级二模）如图，RtABCRtFDE，ABCFDE90，BAC30，AC4，将 RtFDE 沿直线 l 向右平移，连接 BD、BE，则 BD+BE 的最小值为_【答案】2 7【分析】根据平面直角坐标系，可以假设E(m,3)

15、，则D(m1，2 3)，则BD BE(m1)2(2 3)2m2(3)2，欲求BD BE的最小值，相当于在x轴上找一点R(m,0)，使得R到M(1，2 3)，N(0,3)的距离和的最小值，如图 1 中，作点N关于x轴的对称点N，连接MN交x轴题意R，连接RN，此时RM RN的值最小，最小值 MN的长【详解】解：建立如图坐标系，1 1在RtABC中，ABC90，AC 4，BAC 30，BC 1AC 2，2AB 3BC 2 3，斜边AC上的高22 33，4ABC FDE，EF AC 4，斜边EF上的高为3，可以假设E(m,3)，则D(m1，2 3)，BD BE(m1)2(2 3)2m2(3)2，欲求

16、BD BE的最小值，相当于在x轴上找一点R(m,0)，使得R到M(1，2 3)，N(0,3)的距离和的最小值，如图 1 中，作点N关于x轴的对称点N，连接MN交x轴题意R，连接RN，此时RM RN的值最小，最小值 MN 12(3 3)2 2 7，BD BE的最小值为2 7，故答案为：2 7【点睛】本题考查轴对称最短问题，平面直角坐标系，勾股定理等知识，解题的关键是学会用转化的思想思考问题，属于中考填空题中的压轴题13（20212021浙江金华浙江金华 九年级）九年级）如图，在ABC中，B 18，C 41，点 D 是BC的中点，点 E 在AB上，将BDE沿DE折叠，若点 B 的落点B在射线CA上

17、，则BA与BD所夹锐角的度数是_【答案】80【分析】根据折叠可得三角形全等，根据全等三角形的性质以及中点的性质可得BD BD，DC DB，由等腰三角形性质以及三角形外角定理求得BDB度数，在BOD中根据内角和即可求得BA与BD所夹锐角的度数【详解】如下图，连接 DE，BA与BD相交于点 O，将 BDE 沿 DE 折叠，BDEBDE，BD BD,又D 为 BC 的中点，BD DC，BD BD，DBC C 41,BDB DBC C=82,BOD 180BBDB 80,即BA与BD所夹锐角的度数是801 3故答案为：80【点睛】本题考察了轴对称的性质、全等三角形的性质、中点的性质、三角形的外角以及内

18、角和定理，综合运用以上性质定理是解题的关键14（20212021 广东）广东）如图，点 M 是 RtABC 斜边 AB 的中点，过点M 作 DMCM，交AC 于点 D，若AD2，BC5，则 CD_【答案】29【分析】延长 CM，使 CDMN，连接 AN，证明AMNBMC(SAS)，由全等三角形的性质得出BC AN 5，NAM B，由勾股定理求出DN 29，由中垂线的性质得出答案【详解】解：延长 CM，使 CDMN，连接 AN，如图所示：点 M 是RtABC斜边 AB 的中点，AM BM，在AMN和BMC中，AM BMAMN BMC，MN CMAMNBMC(SAS)，BC AN 5，NAM B，

19、AN/BC，BCA90，NAD 90，DN AN2 AD2522229，DM CM，CM MN，CD DN 29，故答案为：29【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，勾股定理，中垂线的性质，直角三角形的性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键15（20212021 浙江）浙江）如图，已知：RtABCRt CEF，ABC CEF 90，A30，AC 6现将CEF绕点 C 逆时针旋转度，线段CF与直线AB交于点 O，连接OE 则当OE OB时，线段OA的长为_【答案】3 3 7【分析】过 E 作 EHCF 于 H，得出ABC CEF，设 OF=x，则 OC=6-x，根据勾股定理得出结果

20、【详解】解：过 E 作 EHCF 于 H，ABC CEF，CF AC 6，A 30，EFC 90 A60，设 OF=x，则 OC=6-x，在 RtOCB 中，OB2OC2BC2(6 x)29，1 5在 RtFEH 中，EH=EFsin60=333，FH=EFcos60=，223OH=x-，2在 RtOEH 中，33OE2 EH2OH2(x)2(3)2，22又OE=OB，33(x)2(3)2(6 x)2922解得 x=2，BO=77，AO=AB-BO=3 3 7故答案为3 3 7【点睛】本题考查了全等三角形的性质，勾股定理及特殊角的三角函数，正确作出辅助线是解题的关键三、解答题三、解答题16（2

21、0212021 云南）云南）如图，ACBD，垂足点 E 是 BD 的中点，且 AB=CD，求证：AB/CD.【答案】详见解析【分析】先证明BE DE,再利用斜边直角边公理证明Rt ABERt CDE(HL)，可得A C，从而可得答案【详解】证明：点E是BD的中点BE ED.AC BDAEB DEC 90.在RtABE和RtCDE中AB CDBE EDRt ABERt CDE(HL)，A C，AB/CD【点睛】本题考查的是利用斜边直角边证明两个三角形全等，以及全等三角形的性质，平行线的判定，掌握以上知识是解题的关键17如图，在正方形ABCD中，点E在BC边的延长线上，点F在CD边的延长线上，且C

22、E DF,连接AE和BF相交于点M求证：AE BF【答案】证明见解析【分析】利用正方形的性质证明：AB=BC=CD，ABE=BCF=90，再证明 BE=CF，可得三角形的全等，利用全等三角形的性质可得答案【详解】证明：四边形 ABCD 为正方形，1 7AB=BC=CD，ABE=BCF=90，又CE=DF，CE+BC=DF+CD 即 BE=CF，在BCF 和ABE 中，BE CFABE BCFAB BCABE BCF（SAS），AE=BF【点睛】本题考查的是正方形的性质，三角形全等的判定与性质，掌握以上知识是解题的关键18（20212021 吉林）吉林）综合与实践在数学活动课上，老师出示了这样一

23、个问题：如图1，在ABC中，ACB90，AC 6，BC 8，点D为BC边上的任意一点将C沿过点D的直线折叠，使点C落在斜边AB上的点E处问是否存在BDE是直角三角形？若不存在，请说明理由；若存在，求出此时CD的长度探究展示：勤奋小组很快找到了点D、E的位置如图 2，作CAB的角平分线交BC于点D，此时C沿AD所在的直线折叠，点E恰好在AB上，且BED90，所以BDE是直角三角形问题解决:（1）按勤奋小组的这种折叠方式，CD的长度为（2）创新小组看完勤奋小组的折叠方法后，发现还有另一种折叠方法，请在图3 中画出来（3）在（2）的条件下，求出CD的长【答案】（1）3；（2）见解析；（3）CD【分析

24、】（1）由勾股定理可求AB 的长，由折叠的性质可得AC=AE=6，CD=DE，C=BED=90，由勾股定理可求解；247（2）如图所示，当 DEAC，EDB=ACB=90，即可得到答案；（3）由折叠的性质可得CF=EF，CD=DE，C=FED=90，CDF=EDF=45，可得 DE=CD=CF=EF，通过证明DEBCAB，可得DEACBDBC，即可求解【详解】（1）ACB=90，AC=6，BC=8，AB826210，由折叠的性质可得：ACDAED，AC=AE=6，CD=DE，C=BED=90，BE=10-6=4，BD2=DE2+BE2，（8-CD）2=CD2+16，CD=3，故答案为：3；（2

25、）如图 3，当 DEAC，BDE 是直角三角形，（3）DEAC，ACB=BDE=90，由折叠的性质可得：CDFEDF，CF=EF，CD=DE，C=FED=90，CDF=EDF=45，EF=DE，DE=CD=CF=EF，DEAC，DEBCAB，1 9DEBD，ACBCDE8 DE，68DE=24，7CD 247【点睛】此题考查几何变换综合题，全等三角形的性质，折叠的性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理等知识，灵活运用这些性质进行推理是解题的关键19（20212021陕西西北工业大学附属中学九年级）陕西西北工业大学附属中学九年级）如图，在平行四边形ABCD中，E为BC边上一点，且B AEB求证：

26、AC DE【答案】证明见解析.【详解】试题分析：由平行四边形的性质得：AB=DC，ABCBCD180，证得AEC BCD，从而可证AECDCE，故可得结论.试题解析：四边形 ABCD 是平行四边形，AB DC，ABCBCD180AB DC，ABE AEB，AE DCAECAEB180，AEC BCD又EC EC，AECDCE，AC ED20（20212021广东九年级）广东九年级）如图，已知点 E、C 在线段 BF 上，且 BE=CF，CMDF，（1）作图：在BC 上方作射线 BN，使CBN=1，交CM 的延长线于点 A（用尺规作图法，保留作图痕迹，不写作法）；（2）在（1）的条件下，求证：A

27、C=DF【答案】（1）作图见解析；（2）证明见解析【详解】试题分析：（1）以 E 为圆心，以 EM 为半径画弧，交 EF 于 H，以 B 为圆心，以 EM 为半径画弧，交EF 于 P，以 P 为圆心，以 HM 为半径画弧，交前弧于G，作射线 BG，则CBN 就是所求作的角（2）证明ABCDEF 可得结论试题解析：（1）如图，CBN1CMDF，MCE=F，BE=CF，BE+CE=CF+CE，BCEF（2）即 BC=EF，在ABC 和DEF 中，MCEFABCDEF，AC=DF【点睛】本题考查了基本作图-作一个角等于已知角，同时还考查了全等三角形的性质和判定；熟练掌握五种基本作图：（1）作一条线段

28、等于已知线段（2）作一个角等于已知角（3）作已知线段的垂直平分线（4）作已知角的角平分线（5）过一点作已知直线的垂线21定义：一条对角线垂直平分另一条对角线的四边形叫做筝形，如图，筝形ABCD 的对角线 AC、BD 相交于点 O且 AC 垂直平分 BD（1）请结合图形，写出筝形两种不同类型的性质：性质1：；性质 2：（2）若 ABCD，求证：四边形 ABCD 为菱形2 1【答案】（1）对角线互相垂直，是轴对称图形；（2）见解析【分析】（1）由筝形的定义即可得出结论；BO=DO，BC=DC，（2）由垂直平分线的性质得出AB=AD，同理：由 AS 证明AOBCDO，得出 AB=CD，因此 AB=C

29、D=BC=AD，即可得出四边形ABCD 为菱形【详解】解：（1）由筝形的定义得：对角线互相垂直，即ACBD；是轴对称图形，对称轴为AC；故答案为对角线互相垂直，是轴对称图形；（2）AC 垂直平分 BD，ABAD，BODO，同理：BCDC，ABCD，ABOODC，在ABO 和CDO 中，ABO ODC，BO DOAOB DOCAOBCDO（ASA），ABCD，ABCDBCAD，四边形 ABCD 为菱形【点睛】本题考查了菱形的判定、筝形的性质、线段垂直平分线的性质、全等三角形的判定与性质；熟练掌握筝形的性质，证明三角形全等是解题的关键22（20212021湖北黄石湖北黄石）如图，D是ABC的边AB

30、上一点，CF/AB，DF交AC于E点，DE EF（1）求证：ADECFE；（2）若AB 5，CF 4，求BD的长【答案】（1）证明见详解；（2）1【分析】（1）根据ASA证明即可；（2）根据（1）可得ADE CFE，即由ADCF，根据BDABADABCF求解即可【详解】（1）证明：AB/FC，ADE F，在ADE和CFE中，ADEFDEEFAEDCEFADECFE ASA；（2）由（1）得ADE CFEAD CFBDABADABCF541【点睛】本题考查全等三角形的判定和性质、平行线的性质等知识，熟练掌握基本知识是解题的关键23（20212021江苏南京江苏南京 南师附中新城初中）南师附中新城

31、初中）如图,在正方形ABCD中,EFGH分别是各边上的点,且AE BF CG DH2 3BEF求证:（1）AHE（2）四边形EFGH是正方形【答案】（1）见解析（2）见解析【分析】（1）在正方形ABCD中,由AE BF CG DH可得:AH BE CF DG,即可求证GDH,可得到FCGGDH,然后证明（2）由（1）可用同样的方法证得EBFFCG,FCGHEF 90,即可求证【详解】（1）证明:四边形ABCD为正方形,AB BC CD DA,A B 90又AE BF DH CG,AH BE CF DGBEFSASAHEBEF,（2）由（1）得,AHEGDH,同理,EBFFCG,FCGEF FG GH HE,AEH BFE,B 90,EFBFEB 90,AEH FEB90,HEF 90,四边形EFGH为正方形【点睛】本题主要考查了正方形的性质和判定,三角全等的判断和性质,熟练掌握并会灵活应用相应知识点是解题的关键2 5