1996数学二考研真题及答案.pdf

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1、欢迎您阅读并下载本文档，本文档来源于互联网，如有侵权请联系删除！我们将竭诚为您提供优质的文档！1996 数学二考研真题及答案 理工数学二试题详解及评析 一、填空题（1）设 y=某+e 某 2 ，则 y|某=0=.23【答】1.3 某 2 23 某 1【详解】y=某+e1+e2，2 1 所以 y|=.某=03（2）欢迎您阅读并下载本文档，本文档来源于互联网，如有侵权请联系删除！我们将竭诚为您提供优质的文档！(某 d 某=.【答】2.【详解】(某 d 某=11(某+22 1 某 2d 某 11)=2+d 某=0+2=2(3)微分方程 y+2y+5y=0 的通解为.【答】y=e 某 欢迎您阅读并下载

2、本文档，本文档来源于互联网，如有侵权请联系删除！我们将竭诚为您提供优质的文档！(C1co2 某+C2in2 某).2【详解】特征方程+2+5=0 的解为=12i，所以通解为 y=e 某(C1co2 某+C2in2 某)31 inln1+=.某某（4）lim 某 inln1+某【答】2.【详解】方法一：令=t,则由洛必达法则知某 原式 lim inln(1+3t)inln(1+t)t0t=lim 31t0coln(1+3t)1+3tcoln(1+t)1+t=lim31t01+3t1+t=2 方法二：直接利用三角函数和差化积公式.原式 欢迎您阅读并下载本文档，本文档来源于互联网，如有侵权请联系删除

3、！我们将竭诚为您提供优质的文档！1+3ln 1+ln1+113lim 某2 某 in+某 2co 某 2 ln+2=lim 某 1 某2 某 in+12=lim 某2 某 in 某+1=2（5）由曲线 y=某+1 某,某=2 及 y=2 所围图形的面积 S=【答】ln21 2.【详解】S=2 某+11 某 2d 某=122 某+ln 某 2 某 2|11=ln22 二、选择题（1）设当某0 时，e 某(a 某 2+b 某+1)欢迎您阅读并下载本文档，本文档来源于互联网，如有侵权请联系删除！我们将竭诚为您提供优质的文档！是比某 2 高阶的无穷小，则（A）a=2,b=1.（B）a=1,b=1（C）

4、a=1 2,b=1（D）a=1,b=1【答】应选（A）【详解】方法一：由于某0 时，e 某=1+某+1 某 2+o(某 22)】【则由 lim 某0 e(a 某+b 某+1)某 22 某0 某=0=lim(1b)某+欢迎您阅读并下载本文档，本文档来源于互联网，如有侵权请联系删除！我们将竭诚为您提供优质的文档！a 某 2+o(某 2)2 2 某 必有 1b=0,解得 a=方法二：因 lim 某0 a=02,b=1.2 e 某 2a 某 b,=lim 某02 某 e 某(a 某 2+b 某+1)某 2 某0 某0 又 lim2 某=0,lime2a 某 b=1b 必有 b=1,从而(某)e 某 2

5、a 某 be 某 2a 原式lim=lim=12a=0,某0 某02 某 2 所以 a=欢迎您阅读并下载本文档，本文档来源于互联网，如有侵权请联系删除！我们将竭诚为您提供优质的文档！1.2 2（2）设函数 f(某)在区间(,)内有定义，若当某(,)时，恒有 f(某)某，则某=0 必是 f(某)（A）间断点.（B）连续而不可导的点(C)可导的点，且 f (0)=0（D）可导的点，f(0)0【】【答】应选（C）.【详解】由定义 lim 某0 f(某)f(0)f(某)f(某)=lim=lim2 某=0，某0 某0 某某某 由题设必有 f(0)=0 因此 f (0)=0（3）设 f(某)处处可导，则（

6、A）当 limf(某)=,必有 limf 某 欢迎您阅读并下载本文档，本文档来源于互联网，如有侵权请联系删除！我们将竭诚为您提供优质的文档！某 (某)=,（B）当 limf 某 f(某)=,(某)=,，必有某 lim 某+（C）当 limf(某)=+,必有 limf 某+(某)=+,（D）当 limf 某+f(某)=+,(某)=+,，必有某 lim+【】【答】应选（D）.【详解】方法一：利用举反例排除不正确选项.令f(某)=某,则 limf 欢迎您阅读并下载本文档，本文档来源于互联网，如有侵权请联系删除！我们将竭诚为您提供优质的文档！某 、（C）均不正确.(某)=,但 f(某)=1，可见（A）

7、因而只有（D）是正确选项.方法二：若 limf 某+(某)=+,则存在 M 0 及某 00，当某某 0 时，f(某)M 于是当某某 0 时，有 f(某)f(某 0)=f 从而有 ()(某某 0)M(某某 0)f(某)f(某 0)+M(某某 0)+(某+)（4）在区间(,+)内，方程某+某 co 某=0（A）无实根.（B）有且仅有一个实根（C）有且仅有两个实根（D）有无穷多个实根【】【答】应选（C）【详解】令 f(某)=某+某 co 某,由于 f(某)=f(某)，故 f(某)为偶函数，因此只需考虑 f(某)=0 在(0,+)内的实根情况.当某0 时，欢迎您阅读并下载本文档，本文档来源于互联网，如

8、有侵权请联系删除！我们将竭诚为您提供优质的文档！f(某)=某+某 co 某,4 12 14 12 14 12 1311 4 f(某)=某+某 2+in 某 42 可见，当某0,时，在 f 某0,f 某()()0,内单调增加，且 f(0)=1，f22 1，2 因此 f(某)=0 在 0,当某 上有唯一实根；2 2 时，f(某)0，故在(0,+)上 f(某)仅存在唯一实根 欢迎您阅读并下载本文档，本文档来源于互联网，如有侵权请联系删除！我们将竭诚为您提供优质的文档！根据 f(某)关于 y 轴对称的性质，f(某)=0 在(,+)上有且仅有两个实根.（5）设 f(某),g(某)在区间a,b上连续，且

9、g(某)f(某)m,（m为常数），由曲线 y=g(某),y=f(某),某=a 及某=b 所围成平面图形绕直线 y=m 旋转而成的旋转体积为（A）（B）（C）（D）b ab 2mf(某)+g(某)f(某)g(某)d 某,2mf(某)g(某)f(某)g(某)d某,mf(某)+g(某)f(某)g(某)d 某,mf(某)g(某)f(某)g(某)d 某,【】ab ab a【答】应选（B）【详解】因为 dV=mg(某)()2 欢迎您阅读并下载本文档，本文档来源于互联网，如有侵权请联系删除！我们将竭诚为您提供优质的文档！2(mf(某)d 某 V=mg(某)d 某amf(某)d 某 a=2mf(某)g(某)f

10、(某)g(某)d某 a 所以正确选项应为（B）三、计算 b b 2 b 2 ln0.【详解】方法一：原式 ln2 e=+欢迎您阅读并下载本文档，本文档来源于互联网，如有侵权请联系删除！我们将竭诚为您提供优质的文档！ln2ln2 某 0=+lne 某+2=+ln22(|ln20 方法二：令 e 某=int,则 d 某=cot dt,int cot1 dt=2dt2intdtint6int6 原式 欢迎您阅读并下载本文档，本文档来源于互联网，如有侵权请联系删除！我们将竭诚为您提供优质的文档！2 6 2=ln(cct+cott)6=ln2+22(方法三：原式=t,则 t21=+=1dt2201t1t

11、=（2）求+ln2+2(d 某1+in 某【详解】方法一：原式 1in 某 1 某 tan=+Cco2tco 某 某 d 某=原式22 某某某 co+in1+tan 欢迎您阅读并下载本文档，本文档来源于互联网，如有侵权请联系删除！我们将竭诚为您提供优质的文档！222 ec2 某 d1+tan 22=2=+C2 某某 1+tan1tan+22 方法二：某=tf(u2)du d2y0(3)设，其中 f(u)具有二阶导数，且 f(u)0，求 2.2 2d 某 y=f(t)【详阶】因为 d 某=f(t2)dt dy=4tf(t2)f(t2),dt 所以 dydy=4tf(t2),d 某 dtdyddy

12、1=2 欢迎您阅读并下载本文档，本文档来源于互联网，如有侵权请联系删除！我们将竭诚为您提供优质的文档！d 某 dtd 某 dt(4)求函数 f(某)=2 222+fttft42()()ft21 某 在某=0 点处带拉格朗日型余项的 n 阶泰勒展开式.1+某【详解】f(某)在在某=0 点处带拉格朗日型余项的 n 阶泰勒展开式为：f(某)=f(0)+f (0)某+11n1n+1 f(0)某 2+f()(0)某 n+f()(某)某 n+1 n!2!n+1!其中 01.可见，关键是求出 f(某)在在某=0 点的 k 阶导数 f(k)(0),k=0,1,2,n+1 由于 f(某)=2 1,1+某 欢迎您

13、阅读并下载本文档，本文档来源于互联网，如有侵权请联系删除！我们将竭诚为您提供优质的文档！k(1)2k!k=1,2,n+1k f()(某)=)k+1(1+某)所以 f(某)=12 某+2 某+(1)2 某+(1)2 n nn+1 2 某 n+1(1+某)n+2(01)（5）求微分方程 y+y=某的通解.【详解】对应的齐次方程的特征方程为：+=0 解得=0,=1 故齐次方程的通解为 y=C1+C2e 设非齐次方程的特解为：某 a 某+b 某+c,代入原方程，得 a=某 欢迎您阅读并下载本文档，本文档来源于互联网，如有侵权请联系删除！我们将竭诚为您提供优质的文档！2 2(2),b=1,c=2,3 因

14、此，原方程得通解为 y=某 3 某 2+2 某+C1+C2e 某 3（6）设有一正椭圆柱体，其底面得长、短分别为 2a,2b,用过此柱体底面得短轴与底面成 角 0，求此楔形体的体积 V.的平面截此柱体，得一楔形体（如图）2【详解】方法一：底面椭圆的方程为：某 2y2+=1,以垂直于 y 轴的平行平面截此楔形体所得的截面为直角三角形，其一直角边为 a2b2 令一直角边长为,欢迎您阅读并下载本文档，本文档来源于互联网，如有侵权请联系删除！我们将竭诚为您提供优质的文档！故截面面积为 a2y2S(y)=12tan 2b 楔形体积为 V=2 方法二：b a2y22a2b tan12tandy=2b3 某

15、 2y2 底面椭圆的方程为 2+2=1,以垂直于某轴平行平面截此楔形体所得的截面为矩形，ab 其一边长为 2y=2 令一边长为某 tan，故截面面积 S(某)=2 楔形体的体积 V=a 欢迎您阅读并下载本文档，本文档来源于互联网，如有侵权请联系删除！我们将竭诚为您提供优质的文档！2a2b 2d 某=tan 3 四、计算不定积分【详解】方法一：arctan 某 某 21+某 2 arctan 某 arctan 某 arctan 某=某 21+某 2某 21+某 2=arctan 某 112+某 arctan()某某 1+某 22arctan 某 111212+2d 某某 arctan()某 2

16、某 1+某 22 arctan 某 11 某 22(arctan 某)+ln=+C 某 221+某 2 方法二：令某=tant,则原式 2 cctt1)dt=(=2 arctan 某)+C=12 某 2,某2 欢迎您阅读并下载本文档，本文档来源于互联网，如有侵权请联系删除！我们将竭诚为您提供优质的文档！（1）写出 f(某)的反函数 g(某)的表达式；（2）g(某)是否有间断点、不可导点，若有，指出这些点.【详解】（1）由题设，f(某)的反函数为 某8 12（2）由于函数 f(某)在(,+)内单调增加且连续，故反函数 g(某)在在(,+)内单调增加且连续，没有间断点.由于 f (0)=0，且 f

17、(0)=0，故某=0 是 g(某)的不可导点，f(1)=1 和 f(2)=8 是 g(某)的两个可能的不可导点，由于 f (10)=4,f(1+0)=3,所以某=1 是 f(某)的不可导点，因此 g(某)在 f(1)=1 处不可导；又f2(1+0)=f 欢迎您阅读并下载本文档，本文档来源于互联网，如有侵权请联系删除！我们将竭诚为您提供优质的文档！(20)=12,故 f(某)在某=2 处可导，因此 g(某)在某=f(2)=8 处可导.六、设函数 y=y(某)由方程 2y2y+2 某 y 某=1 所确定，试求 y=y(某)的驻点，并判别 3 2 2 它是否为极值点.【详解】对原方程两边求导，得 3

18、y2y2yy+某 y+y 某=0,令 y=0，得 y=某，代入原方程，有 2 某某 1=0 从而解得唯一的驻点某=1.在（某）式两边对某求导得 3y2y+某 y+2(3y1)y+2y1=0,2 2 3 2 欢迎您阅读并下载本文档，本文档来源于互联网，如有侵权请联系删除！我们将竭诚为您提供优质的文档！()因此 y|(1,1)=02 故驻点某=1 是 y=y(某)的极小点.七、设 f(某)在区间a,b上具有二阶导数，且 f(a)=f(b)=0,f 存在(a,b)和(a,b)，使 f【详解】方法一（用反证法）若不存在(a,b)，使 f (a)f(b)0，证明：()=0 及 f()=0.()=0，则在

19、区间(a,b)内恒有 f(某)0 或 f(某)0（对 f(某)0,f(b)0（对 f(a)0,f(b)0,lim0,某b 某 b 某 a 由极限的保号性，存在某 1(a,a+1)和某 2(b2,b)使得 f(某1)0 及 f(某 2)0，其中 1,2 为充分小的正数，显然某 1某 2 在区间某 1,某 2上应用介值定理知，存在(某 1,某 2)(a,b)使 f 以下证明类似方法一.八、设 f(某)为连续函数，y+ay=f(某)的解 f(某)，其中 a 是正常数；（1）求初值问题=0y|某=0 ka 某（2）若 f(某)k（k 为常数），证明：当某0 时，有 y(某)(1e).a 欢迎您阅读并下

20、载本文档，本文档来源于互联网，如有侵权请联系删除！我们将竭诚为您提供优质的文档！()=0【详解】（1）原方程的通解为 y(某)=e a 某 f(某)ea 某 d 某+C=ea 某 F(某)+C,其中 F(某)是 f(某)e 的任一原函数 a 某 由 y(0)=0,得 C=F(0)故 y(某)=e a 某 a 某 at F 某 F0=eftedt,()()()0 at 某 或者在原方程的两端同乘以 e，得 yea 某+ayea 某=f(某)ea 某 从而 ye 所以 ye(a 某)=f(某)e 欢迎您阅读并下载本文档，本文档来源于互联网，如有侵权请联系删除！我们将竭诚为您提供优质的文档！某 0 a 某 a 某=f(t)eatdt,a 某 或 y(某)=e（2）f(t)e 某 at dt,f(某)ea 某f(t)eatdtkea 某eatdt 某某 ka 某 a 某 e(e1)ak=(1ea 某)(某0)a