2004年考研数学一试题与答案解析.pdf

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1、欢迎您阅读并下载本文档，本文档来源于互联网，如有侵权请联系删除！我们将竭诚为您提供优质的文档！资料内容仅供您学习参考，如有不当之处，请联系改正或者删除-完整版学习资料分享-2004 年全国硕士研究生入学统一考试 数学(一)试卷 一、填空题(本题共 6 小题,每小题 4 分,满分 24 分.把答案填在题中横线上)(1)曲线lnyx上与直线1 yx垂直的切线方程为_.(2)已知(e)exxfx,且(1)0f,则()f x=_.(3)设L为正向圆周222 yx在第一象限中的部分,则曲线积分Lydxxdy2的值为_.(4)欧拉方程)0(024222xydxdyxdxydx的通解为_.(5)设矩阵210

2、120001A,矩阵B满足*2ABABAE,其中*A为A的伴随矩阵,E是单位矩阵,则B=_.(6)设随机变量X服从参数为的指数分布,则DXXP=_.二、选择题(本题共 8 小题,每小题 4 分,满分 32 分.每小题给出的四个选项中,只有一个符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内)(7)把 0 x时的无穷小量dttdttdttxxx03002sin,tan,cos2,使排在后面的是前一个的高阶无穷小,则正确的排列次序是(A),(B),(C),(D),(8)设函数()f x连续,且,0)0(f则存在0,使得(A)()f x在(0,)内单调增加 (B)()f x在)0,(内单调减少(C)对

3、任意的),0(x有()(0)f xf (D)对任意的)0,(x有()(0)f xf (9)设1nna为正项级数,下列结论中正确的是(A)若nnnalim=0,则级数1nna收敛 欢迎您阅读并下载本文档，本文档来源于互联网，如有侵权请联系删除！我们将竭诚为您提供优质的文档！资料内容仅供您学习参考，如有不当之处，请联系改正或者删除-完整版学习资料分享-(B)若存在非零常数,使得nnnalim,则级数1nna发散(C)若级数1nna收敛,则0lim2nnan (D)若级数1nna发散,则存在非零常数,使得nnnalim(10)设()f x为连续函数,ttydxxfdytF1)()(,则)2(F等于(

4、A)2(2)f (B)(2)f(C)(2)f (D)0(11)设A是 3 阶方阵,将A的第 1 列与第 2 列交换得B,再把B的第 2 列加到第 3 列得C,则满足AQC的可逆矩阵Q为(A)101001010 (B)100101010 (C)110001010 (D)100001110(12)设,A B为满足ABO的任意两个非零矩阵,则必有(A)A的列向量组线性相关,B的行向量组线性相关(B)A的列向量组线性相关,B的列向量组线性相关 (C)A的行向量组线性相关,B的行向量组线性相关(D)A的行向量组线性相关,B的列向量组线性相关(13)设随机变量X服从正态分布(0,1),N对给定的)10(,

5、数u满足uXP,若 xXP,则x等于(A)2u (B)21u(C)21u (D)1u 欢迎您阅读并下载本文档，本文档来源于互联网，如有侵权请联系删除！我们将竭诚为您提供优质的文档！资料内容仅供您学习参考，如有不当之处，请联系改正或者删除-完整版学习资料分享-(14)设随机变量)1(,21nXXXn独立同分布,且其方差为.02 令niiXnY11,则(A)21Cov(,)X Yn (B)21Cov(,)X Y (C)212)(nnYXD (D)211)(nnYXD 三、解答题(本题共 9 小题,满分 94 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)(15)(本题满分 12 分)设2eeab,证

6、明2224lnln()ebaba.(16)(本题满分 11 分)某种飞机在机场降落时,为了减少滑行距离,在触地的瞬间,飞机尾部张开减速伞,以增大阻力,使飞机迅速减速并停下.现有一质量为9000kg的飞机,着陆时的水平速度为700km/h 经测试,减速伞打开后,飞机所受的总阻力与飞机的速度成正比(比例系数为).100.66k 问从着陆点算起,飞机滑行的最长距离是多少?(注:kg 表示千克,km/h 表示千米/小时)(17)(本题满分 12 分)计算曲面积分,)1(322233dxdyzdzdxydydzxI其中是曲面)0(122zyxz的上侧.(18)(本题满分 11 分)设有方程10nxnx,

7、其中n为正整数.证明此方程存在惟一正实根nx,并证明当1时,级数1nnx收敛.(19)(本题满分 12 分)设(,)zz x y是由2226102180 xxyyyzz确定的函数,求(,)zz x y的极值点和极值.(20)(本题满分 9 分)设有齐次线性方程组 121212(1)0,2(2)20,(2),()0,nnna xxxxa xxnnxnxna x 试问a取何值时,该方程组有非零解,并求出其通解.(21)(本题满分 9 分)欢迎您阅读并下载本文档，本文档来源于互联网，如有侵权请联系删除！我们将竭诚为您提供优质的文档！资料内容仅供您学习参考，如有不当之处，请联系改正或者删除-完整版学习

8、资料分享-设矩阵12314315a A的特征方程有一个二重根,求a的值,并讨论A是否可相似对角化.(22)(本题满分 9 分)设,A B为随机事件,且111(),(|),(|)432P AP B AP A B,令;,0,1不发生发生AAX .,0,1不发生发生BBY 求:(1)二维随机变量(,)X Y的概率分布.(2)X和Y的相关系数.XY(23)(本题满分 9 分)设总体X的分布函数为,1,1,0,11),(xxxxF 其中未知参数nXXX,121为来自总体X的简单随机样本,求:(1)的矩估计量.(2)的最大似然估计量.2004 年考研数学试题答案与解析（数学一）一、填空题（本题共 6 小题

9、，每小题 4 分，满分 24 分.把答案填在题中横线上）（1）曲线 y=lnx 上与直线1 yx垂直的切线方程为1 xy.【分析】本题为基础题型，相当于已知切线的斜率为 1，由曲线 y=lnx 的导数为 1 可确定切点的坐标.【详解】由11)(lnxxy，得 x=1,可见切点为)0,1(，于是所求的切线方程为 欢迎您阅读并下载本文档，本文档来源于互联网，如有侵权请联系删除！我们将竭诚为您提供优质的文档！资料内容仅供您学习参考，如有不当之处，请联系改正或者删除-完整版学习资料分享-)1(10 xy，即 1 xy.【评注】本题也可先设切点为)ln,(00 xx，曲线 y=lnx 过此切点的导数为1

10、100 xyxx，得10 x，由此可知所求切线方程为)1(10 xy，即 1 xy.本题比较简单，类似例题在一般教科书上均可找到.（2）已知xxxeef)(，且 f(1)=0,则 f(x)=2)(ln21x .【分析】先求出)(xf 的表达式，再积分即可.【详解】令tex，则txln，于是有 tttfln)(，即 .ln)(xxxf 积分得 Cxdxxxxf2)(ln21ln)(.利用初始条件 f(1)=0,得 C=0，故所求函数为 f(x)=2)(ln21x.【评注】本题属基础题型，已知导函数求原函数一般用不定积分.（3）设L为正向圆周222 yx在第一象限中的部分，则曲线积分Lydxxdy

11、2的值为 23.【分析】利用极坐标将曲线用参数方程表示，相应曲线积分可化为定积分.【详解】正向圆周222 yx在第一象限中的部分，可表示为 .20:,sin2,cos2yx 于是 dydxxdyLsin2sin22cos2cos2220 =.23sin2202d【评注】本题也可添加直线段，使之成为封闭曲线，然后用格林公式计算，而在添加的线段上用参数法化为定积分计算即可.（4）欧拉方程)0(024222xydxdyxdxydx的通解为 221xcxcy.【分析】欧拉方程的求解有固定方法，作变量代换tex 化为常系数线性齐次微分方程即可.【详解】令tex，则 dtdyxdtdyedxdtdtdyd

12、xdyt1，欢迎您阅读并下载本文档，本文档来源于互联网，如有侵权请联系删除！我们将竭诚为您提供优质的文档！资料内容仅供您学习参考，如有不当之处，请联系改正或者删除-完整版学习资料分享-11122222222dtdydtydxdxdtdtydxdtdyxdxyd，代入原方程，整理得 02322ydtdydtyd，解此方程，得通解为 .221221xcxcececytt【评注】本题属基础题型，也可直接套用公式，令tex，则欧拉方程 )(222xfcydxdybxdxydax，可化为 ).(22tefcydtdybdtdydtyda（5）设矩阵100021012A，矩阵 B 满足EBAABA*2，其

13、中*A为 A 的伴随矩阵，E 是单位矩阵，则B 91 .【分析】可先用公式EAAA*进行化简【详解】已知等式两边同时右乘 A，得 AABAAABA*2，而3A，于是有 ABAB 63，即 ABEA)63(，再两边取行列式，有 363ABEA，而 2763 EA，故所求行列式为.91B【评注】先化简再计算是此类问题求解的特点，而题设含有伴随矩阵*A，一般均应先利用公式EAAAAA*进行化简.（6）设随机变量 X 服从参数为的指数分布，则DXXP=e1.【分析】已知连续型随机变量 X 的分布，求其满足一定条件的概率，转化为定积分计算即可.欢迎您阅读并下载本文档，本文档来源于互联网，如有侵权请联系删

14、除！我们将竭诚为您提供优质的文档！资料内容仅供您学习参考，如有不当之处，请联系改正或者删除-完整版学习资料分享-【详解】由题设，知21DX，于是 DXXP=dxeXPx11 =.11eex【评注】本题应记住常见指数分布等的期望与方差的数字特征，而不应在考试时再去推算.二、选择题（本题共 8 小题，每小题 4 分，满分 32 分.每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内）（7）把 0 x时的无穷小量dttdttdttxxx03002sin,tan,cos2，使排在后面的是前一个的高阶无穷小，则正确的排列次序是(A),.(B),.(C),.(D),.B 【分析

15、】先两两进行比较，再排出次序即可.【详解】0cos2tanlimcostanlimlim20020002xxxdttdttxxxxx，可排除(C),(D)选项，又 xxxxdttdttxxxxxtan221sinlimtansinlimlim230003002 =20lim41xxx，可见是比低阶的无穷小量，故应选(B).【评注】本题是无穷小量的比较问题，也可先将,分别与nx进行比较，再确定相互的高低次序.（8）设函数 f(x)连续，且,0)0(f则存在0，使得 (A)f(x)在（0，)内单调增加.（B）f(x)在)0,(内单调减少.(C)对 任 意 的),0(x有f(x)f(0).(D)对

16、任 意 的)0,(x有f(x)f(0).C 【分析】函数 f(x)只在一点的导数大于零，一般不能推导出单调性，因此可排除(A),(B)选项，再利用导数的定义及极限的保号性进行分析即可.【详解】由导数的定义，知 0)0()(lim)0(0 xfxffx，根据保号性，知存在0，当),0()0,(x时，有 欢迎您阅读并下载本文档，本文档来源于互联网，如有侵权请联系删除！我们将竭诚为您提供优质的文档！资料内容仅供您学习参考，如有不当之处，请联系改正或者删除-完整版学习资料分享-0)0()(xfxf 即当)0,(x时，f(x)f(0).故应选(C).【评注】题设函数一点可导，一般均应联想到用导数的定义进

17、行讨论.（9）设1nna为正项级数，下列结论中正确的是 (A)若nnnalim=0，则级数1nna收敛.（B）若存在非零常数，使得nnnalim，则级数1nna发散.(C)若级数1nna收敛，则0lim2nnan.(D)若级数1nna发散,则存在非零常数，使得nnnalim.B 【分析】对于敛散性的判定问题，若不便直接推证，往往可用反例通过排除法找到正确选项.【详解】取nnanln1，则nnnalim=0，但11ln1nnnnna发散，排除(A)，(D)；又取nnan1，则级数1nna收敛，但nnan2lim，排除(C),故应选(B).【评注】本题也可用比较判别法的极限形式，01limlimn

18、anannnn，而级数11nn发散，因此级数1nna也发散，故应选(B).（10）设 f(x)为连续函数，ttydxxfdytF1)()(，则)2(F等于 (A)2f(2).(B)f(2).(C)f(2).(D)0.B 【分析】先求导，再代入 t=2 求)2(F即可.关键是求导前应先交换积分次序，使得被积函数中不含有变量 t.【详解】交换积分次序，得 ttydxxfdytF1)()(=txtdxxxfdxdyxf111)1)()(于是，)1)()(ttftF，从而有)2()2(fF，故应选(B).【评注】在应用变限的积分对变量 x 求导时，应注意被积函数中不能含有变量 x:欢迎您阅读并下载本文

19、档，本文档来源于互联网，如有侵权请联系删除！我们将竭诚为您提供优质的文档！资料内容仅供您学习参考，如有不当之处，请联系改正或者删除-完整版学习资料分享-)()()()()()()(xbxaxaxafxbxbfdttf 否则，应先通过恒等变形、变量代换和交换积分次序等将被积函数中的变量 x 换到积分号外或积分线上.（11）设 A 是 3 阶方阵，将 A 的第 1 列与第 2 列交换得 B,再把 B 的第 2 列加到第 3 列得 C,则满足AQ=C 的可逆矩阵 Q 为(A)101001010.(B)100101010.(C)110001010.(D)100001110.D 【分析】本题考查初等矩阵

20、的的概念与性质，对 A 作两次初等列变换，相当于右乘两个相应的初等矩阵，而 Q 即为此两个初等矩阵的乘积.【详解】由题设，有 BA100001010，CB100110001，于是，.100001110100110001100001010CAA 可见，应选(D).【评注】涉及到初等变换的问题，应掌握初等矩阵的定义、初等矩阵的性质以及与初等变换的关系.（12）设 A,B 为满足 AB=O 的任意两个非零矩阵，则必有(A)A 的列向量组线性相关，B 的行向量组线性相关.(B)A 的列向量组线性相关，B 的列向量组线性相关.(C)A 的行向量组线性相关，B 的行向量组线性相关.(D)A 的行向量组线性

21、相关，B 的列向量组线性相关.A 【分析】A,B 的行列向量组是否线性相关，可从 A,B 是否行（或列）满秩或 Ax=0（Bx=0）是否有非零解进行分析讨论.【详解 1】设 A 为nm矩阵，B 为sn矩阵，则由 AB=O 知，nBrAr)()(.又 A,B 为非零矩阵，必有 r(A)0,r(B)0.可见 r(A)n,r(B)e 时，,0)(t 所以)(t单调减少，从而)()(2e，即 2222lnlneee，故)(4lnln222abeab.【证法 2】设xexx224ln)(，则 24ln2)(exxx，2ln12)(xxx,所以当 xe 时，,0)(x 故)(x单调减少，从而当2exe时，

22、044)()(222eeex，即当2exe时，)(x单调增加.因此当2exe时，)()(ab，即 aeabeb22224ln4ln，故 )(4lnln222abeab.【评注】本题也可设辅助函数为2222),(4lnln)(exaeaxeaxx或 欢迎您阅读并下载本文档，本文档来源于互联网，如有侵权请联系删除！我们将竭诚为您提供优质的文档！资料内容仅供您学习参考，如有不当之处，请联系改正或者删除-完整版学习资料分享-2222),(4lnln)(ebxexbexbx，再用单调性进行证明即可.（16）（本题满分 11 分）某种飞机在机场降落时，为了减少滑行距离，在触地的瞬间，飞机尾部张开减速伞，以

23、增大阻力，使飞机迅速减速并停下.现有一质量为 9000kg 的飞机，着陆时的水平速度为 700km/h.经测试，减速伞打开后，飞机所受的总阻力与飞机的速度成正比（比例系数为).100.66k 问从着陆点算起，飞机滑行的最长距离是多少？注 kg 表示千克，km/h 表示千米/小时.【分析】本题是标准的牛顿第二定理的应用，列出关系式后再解微分方程即可.【详解 1】由题设，飞机的质量 m=9000kg，着陆时的水平速度hkmv/7000.从飞机接触跑道开始记时，设 t 时刻飞机的滑行距离为 x(t)，速度为 v(t).根据牛顿第二定律，得 kvdtdvm.又 dxdvvdtdxdxdvdtdv，由以

24、上两式得 dvkmdx，积分得.)(Cvkmtx 由于0)0(,)0(0 xvv，故得0vkmC，从而 ).()(0tvvkmtx 当0)(tv时，).(05.1100.67009000)(60kmkmvtx 所以，飞机滑行的最长距离为 1.05km.【详解 2】根据牛顿第二定律，得 kvdtdvm,所以 .dtmkvdv 两端积分得通解tmkCev，代入初始条件00vvt解得0vC，故 .)(0tmkevtv 飞机滑行的最长距离为 ).(05.1)(0000kmkmvekmvdttvxtmk 或 由tmkevdtdx0，知)1()(000tmkttmkemkvdtevtx，故 最 长 距 离

25、 为 当t时，欢迎您阅读并下载本文档，本文档来源于互联网，如有侵权请联系删除！我们将竭诚为您提供优质的文档！资料内容仅供您学习参考，如有不当之处，请联系改正或者删除-完整版学习资料分享-).(05.1)(0kmmkvtx【详解3】根据牛顿第二定律，得 dtdxkdtxdm22,022dtdxmkdtxd，其特征方程为 02mk，解之得mk21,0，故 .21tmkeCCx 由 002000,0vemkCdtdxvxttmkttt，得 ,021kmvCC 于是).1()(0tmkekmvtx 当t时，).(05.1)(0kmkmvtx 所以，飞机滑行的最长距离为 1.05km.【评注】本题求飞机

26、滑行的最长距离，可理解为t或0)(tv的极限值，这种条件应引起注意.（17）（本题满分 12 分）计算曲面积分 ,)1(322233dxdyzdzdxydydzxI 其中是曲面)0(122zyxz的上侧.【分析】先添加一曲面使之与原曲面围成一封闭曲面，应用高斯公式求解，而在添加的曲面上应用直接投影法求解即可.【详解】取1为 xoy 平面上被圆122 yx所围部分的下侧，记为由与1围成的空间闭区域，则 dxdyzdzdxydydzxI1)1(322233 .)1(3221233dxdyzdzdxydydzx 由高斯公式知 dxdydzzyxdxdyzdzdxydydzx)(6)1(3222223

27、31 欢迎您阅读并下载本文档，本文档来源于互联网，如有侵权请联系删除！我们将竭诚为您提供优质的文档！资料内容仅供您学习参考，如有不当之处，请联系改正或者删除-完整版学习资料分享-=rdzrzdrdr)(620101022 =.2)1()1(2112232210drrrrr 而 123322133)1(322yxdxdydxdyzdzdxydydzx，故 .32I【评注】本题选择1时应注意其侧与围成封闭曲面后同为外侧（或内侧），再就是在1上直接投影积分时，应注意符号(1取下侧，与 z 轴正向相反，所以取负号).（18）（本题满分 11 分）设有方程01 nxxn，其中 n 为正整数.证明此方程存

28、在惟一正实根nx，并证明当1时，级数1nnx收敛.【分析】利用介值定理证明存在性，利用单调性证明惟一性.而正项级数的敛散性可用比较法判定.【证】记.1)(nxxxfnn 由01)0(nf，0)1(nfn，及连续函数的介值定理知，方程01 nxxn存在正实数根).1,0(nx 当 x0 时，0)(1nnxxfnn，可见)(xfn在),0 上单调增加,故方程01 nxxn存在惟一正实数根.nx 由01 nxxn与0nx知 nnxxnnn110，故当1时，)1(0nxn.而正项级数11nn收敛，所以当1时，级数1nnx收敛.【评注】本题综合考查了介值定理和无穷级数的敛散性，题型设计比较新颖，但难度并

29、不大，只要基本概念清楚，应该可以轻松求证.（19）（本题满分 12 分）设 z=z(x,y)是由0182106222zyzyxyx确定的函数，求),(yxzz 的极值点和极值.【分析】可能极值点是两个一阶偏导数为零的点，先求出一阶偏导，再令其为零确定极值点即可，然后用二阶偏导确定是极大值还是极小值，并求出相应的极值.【详解】因为 0182106222zyzyxyx，所以 欢迎您阅读并下载本文档，本文档来源于互联网，如有侵权请联系删除！我们将竭诚为您提供优质的文档！资料内容仅供您学习参考，如有不当之处，请联系改正或者删除-完整版学习资料分享-02262xzzxzyyx，0222206yzzyzy

30、zyx.令 0,0yzxz 得,0103,03zyxyx 故 .,3yzyx 将上式代入0182106222zyzyxyx，可得 3,3,9zyx 或 .3,3,9zyx 由于 02)(22222222xzzxzxzy，,02222622yxzzxzyzyxzyxz 02)(22222022222yzzyzyzyyzyz，所以 61)3,3,9(22xzA，21)3,3,9(2yxzB，35)3,3,9(22yzC，故03612 BAC，又061A，从而点(9,3)是 z(x,y)的极小值点，极小值为 z(9,3)=3.类似地，由 61)3,3,9(22xzA，21)3,3,9(2yxzB，3

31、5)3,3,9(22yzC，可知03612 BAC，又061A，从而点(-9,-3)是 z(x,y)的极大值点，极大值为 z(-9,-3)=-3.【评注】本题讨论由方程所确定的隐函数求极值问题，关键是求可能极值点时应注意 x,y,z 满足原方程.（20）（本题满分 9 分）设有齐次线性方程组 欢迎您阅读并下载本文档，本文档来源于互联网，如有侵权请联系删除！我们将竭诚为您提供优质的文档！资料内容仅供您学习参考，如有不当之处，请联系改正或者删除-完整版学习资料分享-)2(,0)(,02)2(2,0)1(212121nxannxnxxxaxxxxannn 试问 a 取何值时，该方程组有非零解，并求出

32、其通解.【分析】本题是方程的个数与未知量的个数相同的齐次线性方程组，可考虑对系数矩阵直接用初等行变换化为阶梯形，再讨论其秩是否小于 n，进而判断是否有非零解；或直接计算系数矩阵的行列式，根据题设行列式的值必为零，由此对参数 a 的可能取值进行讨论即可.【详解 1】对方程组的系数矩阵 A 作初等行变换，有 .00002111122221111BanaaaaannnnaaA 当 a=0 时，r(A)=1n，故方程组有非零解，其同解方程组为 ,021nxxx 由此得基础解系为,)0,0,1,1(1T,)0,1,0,1(2T,)1,0,0,1(,1Tn 于是方程组的通解为,1111nnkkx 其中11

33、,nkk 为任意常数.当0a时，对矩阵 B 作初等行变换，有 .10000120002)1(10000121111nnnanaB 可知2)1(nna时，nnAr1)(，故方程组也有非零解，其同解方程组为 ,0,03,0213121nxnxxxxx 由此得基础解系为 Tn),2,1(，于是方程组的通解为 kx，其中 k 为任意常数.【详解 2】方程组的系数行列式为 欢迎您阅读并下载本文档，本文档来源于互联网，如有侵权请联系删除！我们将竭诚为您提供优质的文档！资料内容仅供您学习参考，如有不当之处，请联系改正或者删除-完整版学习资料分享-1)2)1(22221111nannaannnnaaA.当0A

34、，即 a=0 或2)1(nna时，方程组有非零解.当 a=0 时，对系数矩阵 A 作初等行变换，有 000000000111122221111nnnnA，故方程组的同解方程组为 ,021nxxx 由此得基础解系为,)0,0,1,1(1T,)0,1,0,1(2T,)1,0,0,1(,1Tn 于是方程组的通解为,1111nnkkx 其中11,nkk 为任意常数.当2)1(nna时，对系数矩阵 A 作初等行变换，有 anaaaaannnnaaA00002111122221111 1000012000010000121111nna，故方程组的同解方程组为 ,0,03,0213121nxnxxxxx 由

35、此得基础解系为 Tn),2,1(，于是方程组的通解为 kx，其中 k 为任意常数.欢迎您阅读并下载本文档，本文档来源于互联网，如有侵权请联系删除！我们将竭诚为您提供优质的文档！资料内容仅供您学习参考，如有不当之处，请联系改正或者删除-完整版学习资料分享-【评注】矩阵 A 的行列式A也可这样计算：annnnaaA22221111=aE+nnnn22221111，矩阵nnnn22221111的特征值为2)1(,0,0nn，从而 A 的特征值为 a,a,2)1(,nna,故行列式.)2)1(1nannaA（21）（本题满分 9 分）设矩阵51341321aA的特征方程有一个二重根，求 a 的值，并讨

36、论 A 是否可相似对角化.【分析】先求出 A 的特征值，再根据其二重根是否有两个线性无关的特征向量，确定 A 是否可相似对角化即可.【详解】A 的特征多项式为 513410)2(251341321aaAE =).3188)(2(51341011)2(2aa 当2是特征方程的二重根，则有,03181622a 解得 a=-2.当 a=-2 时，A 的特征值为 2,2,6,矩阵 2E-A=321321321的秩为 1，故2对应的线性无关的特征向量有两个，从而 A 可相似对角化.若2不是特征方程的二重根，则a31882为完全平方，从而 18+3a=16，解得.32a 当32a时，A 的特征值为 2，4

37、，4，矩阵 4E-A=1321301323秩为 2，故4对应的线性无关的特征向量只有一个，从而 A 不可相似对角化.【评注】n阶矩阵A可对角化的充要条件是：对于A的任意ik重特征根i，恒有.)(iikAErn 而单根一定只有一个线性无关的特征向量.(22)（本题满分 9 分）欢迎您阅读并下载本文档，本文档来源于互联网，如有侵权请联系删除！我们将竭诚为您提供优质的文档！资料内容仅供您学习参考，如有不当之处，请联系改正或者删除-完整版学习资料分享-设 A,B 为随机事件，且21)(,31)(,41)(BAPABPAP，令 ;,0,1不发生发生AAX .,0,1不发生发生BBY 求：（I）二维随机变

38、量(X,Y)的概率分布；（II）X 和 Y 的相关系数.XY【分析】先确定(X,Y)的可能取值，再求在每一个可能取值点上的概率，而这可利用随机事件的运算性质得到，即得二维随机变量(X,Y)的概率分布；利用联合概率分布可求出边缘概率分布，进而可计算出相关系数.【详解】（I）由于121)()()(ABPAPABP，,61)()()(BAPABPBP 所以，121)(1,1ABPYXP，61)()()(0,1ABPAPBAPYXP，,121)()()(1,0ABPBPBAPYXP )(1)(0,0BAPBAPYXP=32)()()(1ABPBPAP（或321216112110,0YXP），故(X,Y

39、)的概率分布为 Y X 0 1 0 32 121 1 61 121(II)X,Y 的概率分布分别为 X 0 1 Y 0 1 P 43 41 P 65 61 则61,41EYEX，163DX，DY=365,E(XY)=121,故 241)(),(EYEXXYEYXCov，从而 欢迎您阅读并下载本文档，本文档来源于互联网，如有侵权请联系删除！我们将竭诚为您提供优质的文档！资料内容仅供您学习参考，如有不当之处，请联系改正或者删除-完整版学习资料分享-.1515),(DYDXYXCovXY【评注】本题尽管难度不大，但考察的知识点很多，综合性较强.通过随机事件定义随机变量或通过随机变量定义随机事件，可以

40、比较好地将概率论的知识前后连贯起来，这种命题方式值得注意.（23）（本题满分 9 分）设总体 X 的分布函数为 ,1,1,0,11),(xxxxF 其中未知参数nXXX,121为来自总体 X 的简单随机样本，求：（I）的矩估计量；（II）的最大似然估计量.【分析】先由分布函数求出概率密度，再根据求矩估计量和最大似然估计量的标准方法进行讨论即可.【详解】X 的概率密度为 .1,1,0,),(1xxxxf（I）由于 1);(11dxxxdxxxfEX，令X1，解得 1XX，所以参数的矩估计量为 .1XX（II）似然函数为 其他,0),2,1(1,)();()(1211nixxxxxfLinnnii 当),2,1(1nixi时，0)(L，取对数得 niixnL1ln)1(ln)(ln，两边对求导，得 欢迎您阅读并下载本文档，本文档来源于互联网，如有侵权请联系删除！我们将竭诚为您提供优质的文档！资料内容仅供您学习参考，如有不当之处，请联系改正或者删除-完整版学习资料分享-niixndLd1ln)(ln，令0)(lndLd，可得 niixn1ln，故的最大似然估计量为 .ln1niiXn【评注】本题是基础题型，难度不大，但计算量比较大，实际做题时应特别注意计算的准确性.