初一数学思维培训班讲义.pdf

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1、初一数学思维培训班讲义（八）初一数学思维培训班讲义（八）周佩如主要内容：主要内容：1 1、简单证明。、简单证明。2 2、多边形的内角和与外角和。、多边形的内角和与外角和。3 3、用正多边形铺地。、用正多边形铺地。目标：目标：1 1、学会初步说理，训练说理能力。、学会初步说理，训练说理能力。2 2、能运用多边形的内角和与外角和公式解决一些计算问题。、能运用多边形的内角和与外角和公式解决一些计算问题。3 3、理解正多边形能够铺满地面的道理。、理解正多边形能够铺满地面的道理。知识点：知识点：1 1、三角形的内角和是、三角形的内角和是。三角形的外角和是三角形的外角和是。2 2、多边形（、多边形（n n

2、边形）的内角和是边形）的内角和是。多边形的外角和是多边形的外角和是。3 3、用正多边形铺地的条件是：当围绕、用正多边形铺地的条件是：当围绕点拼在一起的几个多边形的点拼在一起的几个多边形的角加在一起恰好组成角加在一起恰好组成时，就能拼成一个平面图形。时，就能拼成一个平面图形。4 4、用正多边形铺地的图形只有、用正多边形铺地的图形只有、三种。三种。5 5、正、正n n边形的每个内角都边形的每个内角都，每个内角度数为，每个内角度数为。例1、如图，BC ED于O,A 27,D 20求：B与ACB分析：B是ABC的内角，在ABC中，ooB与ACB都是所要求的角.而ACB又是COD的外角，根据“三角形的一

3、个外角等于和它不相邻的两个内角的和”可求ACB，从而根据三角形内角和定理可求B。本题也可从B是BEO的一个内角，而BEO是AED的外角入手解得。解：BO EDDOC 90 ACB是COD的外角ACB COD D 90 20 110在ABC中，B 180 AACB 180 27 110 43.注意：求三角形的角与角的数量关系时，一般可以把所求角看作某一三角形的一个内角进行分析，如果图中出注意：求三角形的角与角的数量关系时，一般可以把所求角看作某一三角形的一个内角进行分析，如果图中出现了外角，或所求角本身是另一个三角形的外角时，通常还要考虑三角形外角性质，这些结合起来，就现了外角，或所求角本身是另

4、一个三角形的外角时，通常还要考虑三角形外角性质，这些结合起来，就容易使问题得到解决。容易使问题得到解决。例2、如图，BE 平分ABD交 CD 于 F，CE 平分ACD交 AB 于 G，AB、CD 交于 O 点，且A 48,D 46，求E的度数。分析：由于所求分析：由于所求E与已知与已知A,D均不在同一个均不在同一个三角形中，但三角形中，但A,E分别在分别在AGC与与EGB中，此两三角形有一组角是对顶角，则中，此两三角形有一组角是对顶角，则（1 1）A 1 E 2,，同理，同理（2 2）D 4 E 3，而由角平分线，而由角平分线定义可知定义可知1 3,2 4故（故（1 1）+（2 2）得：）得：

5、(A 1)(D 4)(E 2)(E 3)1(A D)2解：5 A15 E 2A1 E 3（1）所以：所以：AD 2EE 同理D 4 E 3（2）（1）+（2）得AD 14 2E 23 BE平分ABD,CE平分ACD2 4,1 3,AD 2E11E(A D)(48 46)4722注意：上述说理解题的分析方式叫做恒等变形方法，根据图形写出几个包括求解一方的等式，然后依据等式性注意：上述说理解题的分析方式叫做恒等变形方法，根据图形写出几个包括求解一方的等式，然后依据等式性质进行恒等变换，从而求得题解。质进行恒等变换，从而求得题解。例3、已知ABC，求AB C的度数.分析：由实践可知这三个角拼起来可得

6、一个平角。分析：由实践可知这三个角拼起来可得一个平角。要从理论上推导这个结论，可以延长一边要从理论上推导这个结论，可以延长一边 BCBC得一个平角得一个平角BCD，然后以，然后以 CACA 为边，在为边，在ABC的外部画的外部画ACE A，再证明，再证明ECD B即可。即可。解：作 BC 的延长线 CD，在ABC的外部，以 CA 为一边，CE 为另一边画1 A，依据内错角相等，两直线平行，所以得CEAB，再根据两直线平行，同位角相等，所以B 2 1 2 ACB 180A B ACB 180说明：为了解题需要，在原来的图形上添画的线叫辅助线（一般画成虚线）说明：为了解题需要，在原来的图形上添画的

7、线叫辅助线（一般画成虚线）。例4、已知一个多边形，它的内角和等于外角和的2 倍，求这个多边形的边数。分析：由多边形的内角和、外角和公式可依题意列出有关等式，即可解之分析：由多边形的内角和、外角和公式可依题意列出有关等式，即可解之.解：设多边形的边数为n，因为它的内角和等于(n 2)180，外角和等于360.故由题意得：(n 2)180=2360解得：n 6例5、多边形的内角和除一个内角外是2570，求这个多边形的边数，除外的这个内角度数分析：可设除外的内角为分析：可设除外的内角为则则是小于是小于180的角，再由多边形内角和公式列出等式解之。的角，再由多边形内角和公式列出等式解之。解：设多边形有

8、一内角为度，边数为n.由题意得：(n 2)180 2570 25705014180180当130时，n 15n 答：此多边形为十五边形，除外的一个内角为130习题精练：习题精练：一、求解题.1、如图（1），A 27,CBE 96,C 30，求ADE的度数.2、如图（2），已知 O 是ABC三条高的交点，BAC 70，求BOC的度数.3、如图（3），已知BAD CBE ACF,FDE 64,DEF 43求ABC各内角的度数.4、已知ABC中，B的平分线与C的外角平分线交于P点，则P与A关系如何5、已知 PB、QD 分别是OBC,ODA的平分线，说理：等式BPD D（1）（2）（3）（4）二、多边

9、形的内角和与外角和1、一个多边形的对角线的条数与边数相等，这个多边形的边数是（）A.72、一个凸多边形的外角和等于它的内角和的一半，那么这个多边形的边数为（）3、一个正多边形的内角和是720，这个多边形是（）A.正方形 B.正五边形 C.正六边形 D.正八边形4、若正n边形的一个外角为60，则n的值等于（）5、凸n边形的n个内角与某一外角的总和为1350，则n等于（）6、已知一个多边形的外角和等于内角和，则这个多边形是（）A.三角形 B.四边形 C.正五边形 D.六边形7、从n(n 3)边形的一个顶点引对角线，把n边形分成三角形的个数是（）A.n1 B.n2 C.n3 D.n48、若多边形的边

10、数由 3 增加到n(n为正整数，且大于 3），则其外角和的度数为（）A.增加 B.减少 C.不变 D.不确定1(1 2)2（5）9、如果把一个多边形的边数增加一倍，它的内角和是2520，那么原来多边形的边数为（）10、如果一个多边形中有三个内角相等，其余各角的外角都等于30，则这个多边形的边数不可能是（）11、一个多边形除一个内角外，其余各内角和为2570，其外角和的度数为（）A.90 B.105 C.120 D.13012、下列命题中，正确的有：七边形有 14 条对角线；外角和大于内角和的只有三角形；若一个多边形的内角和与外角和是4：1，则它是九边形个 B.1 个 C.2 个 D.3 个13、若正多边形的一个外角等于45，那么这个正多边形的内角和等于度.14、一个多边形的每个内角都等于150，则它的边数等于 .15、一个n边形的内角和是1080，则n .16、多边形边数增加 1 条时，其内角和增加度.17、已知一个多边形的内角和是外角和的2 倍，此多边形的边数 .18、在四边形 ABCD 中，A 90,B:C:D 1:2:3,B,C,D的度数分别为，.