等腰三角形性质.pdf

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1、等腰三角形性质等腰三角形性质【基础知识精讲】【基础知识精讲】等腰三角形是一种特殊的三角形,是我们重点研究的几种三角形之一.它具有一些特殊性质:1.两个底角相等(简写为“等边对等角”)2.底边的中线、高及顶角平分线三线合一.3.等边三角形各内角都等于60.利用这些性质，可以解决有关三角形的边、角的证明及计算问题，也可以利用性质来进行有关线段、角的证明及计算问题.【重难点解析】【重难点解析】本节重难点均在对等腰三角形性质的掌握与灵活应用上，利用性质，结合三角形有关知识及全等三角形判定及性质解决相关问题是本节研究的重点.例例 1 1求证：等腰三角形两腰的中线相等.已知ABC 中 AB=AC，BD、C

2、E 为中线，求证 BD=CE.分析要证 BD=CE，可考虑证ABDACE，而A 为公共角，AB=AC，所以只需证明 AD=AE 即能达到证明目的.证AB=AC,AE=EB,AD=DCAE=AD.在ABD 和ACE 中，AB=AC，A=A AD=AEABDACEBD=CE.例例 2 2等腰三角形一个外角为 100,求三内角度数.分析本题利用三角形内角和及等腰三角形性质等边对等角，但要注意本题中外角是顶角的外角，还是底角的外角，在两种不同位置时，求得的结果不一样，本题有两解.解等腰三角形两底角相等，设顶角为x，底角为 y，则 x+2y=180(1)当顶角的外角为 100时，顶角的外角等于两底角之和

3、x 802y=100求得y 50(2)当底角的外角为 100时，底角 y=180-100=80求得x 20y 80三内角为 80,50,50或 20，80，80*例例 3 3ABC 中，ACAB.求证：BC.证ACAB在 AC 上取 AD=AB，连 BD，ADBC.且ABD=ADB又ABCABDABCC.注意：本例是三角形中边角之间不等关系的一个重要结论：三角形中，若边不相等，则较大的边所对的角也较大，(简写为“大边对大角”)这一结论可帮助我们利用边的不等关系，证明角的不等关系.例例 4 4ABC 中，B=2C，AD 为角平分线.求证 AB+BD=AC.分析对于要证的结论，可采用补短法来完成，

4、即延长 AB 至 E，使 BD=BE 下只需证 AE=AC 即可.AB+BD=AB+BE=AE.证一延长 AB 至 E，使 BE=BDAB+BD=AE.BE=BDE=EBDABC=E+BDE=2E=2C.E=C,在ABE 的ACD 中，EAD=CAD.E=C AD=ADAEDACDAE=ACAB+BD=AC.证二分析：本题也可用“截长”的方法来证明B=2CC.可在 AC 上取 AF=AB，下面只需证 FC=BD 即可，再利用 DF 作桥梁，证明 BD=DF=FC.证B=2CCACAB,在 AC 上取 AF=AB.又1=2.AD=ADABDAFD.BD=FD.AFD=B=2C.FDC=C.AB+

5、BD=AF+FC=AC.【难题点拨】【难题点拨】例例 1 1 D 为等边三角形ABC 内一点，DA=DB，DBP=BC，求P 的度数.分析正三角形内角为 60，可考虑将P 与三角形内角进行联系，借用内角 60以达解题目的，连 DC 后易得PBDCBD，从而将求P 转化为求DCB.解连 DCBP=BCPBD=CBD BD=BDPBDCBD.P=DCB.又 BD=AD CD=CD AC=BCBCDACDBCD=ACD=P=30*例例 2 2ABC 中 AB=AC，P 为形内一点，且 PBPC.如图,求证APCAPB.分析这一类在等腰三角形、等边三角形等图形中出现的与形内一点相关的问题.常利用适当的

6、旋转.使等边重合.将该点与三顶点的连线段相对集中到一个三角形内，再设法利用已知来解决问题.证AB=AC将ABP 绕 A 点逆时针旋转，使 AB 与 AC 重合得APC，连 PP由作图ABPACPAP=AP，BP=CP1=2APB=APC，PC=BPPC.在PPC 中，PCPC341+34+2.APCAPCAPCAPB.本题利用了“大边对大角”这一结论。【难题解答】【难题解答】求证：等腰三角形两腰上的高的交点，与底边两端点距离相等.已知ABC 中 AB=AC，高 BE，CF 交于 D(或延长线交于 D)，求证：DB=DC.11ACB=60=3022甲乙丙分析本题应考虑A 的各种情况.A=90时(

7、图丙)，两高各与边重合，显然结论成立.A90时(图甲)，D 在形内，此时先证BFCCEB(AB=AC，ABC=ACB，CEB=BFC=90，BC 为公共边)得 BF=CE，再证BFDCED，得 DB=DC.当A90时(图乙)，D 在形外，证法步骤一样，但图形中相关线段位置发生了变化.【典型考题】【典型考题】例例 1 1周长为 21，边长都为整数的等腰三角形共有()A.4 个 B.5 个 C.8 个 D.10 个分析设底边为 x,腰长为 y，x+2y=21.2y 为偶数，21 为奇数x 为奇数.又三角形两边之和大于第三边x2y.x+2y2x 2x21 x10.5.x 为奇数x=1，3，5，7，8

8、共 5 个答案 B.注 x=7 时，y=7 为等边三角形，属特殊等腰三角形.例例 2 2如图，D、E 在ABC 的边 BC 上，且 AD=AE=BD=DE=EC.则BAC 是EAC 的几倍？分析从等边ADE 入手，得ADE=AED=60,再利用ABD 和AEC 为等腰三角形，且顶角的外角ADE=AED=60.求出EAC 再求BAC.解AD=AE=DEADE 为等边三角形ADE=AED=DAE=60又 AE=EC，AD=DBBAD=B=11ADE=30EAC=C=AED=3022BAC=120BAC 是EAC 的 4 倍.例例 3 3如图，MB=2MA，MC=BC，1=2，求证 MAAC.分析利

9、用 MB=2MA，可考虑取 MB 中点 D，利用等腰三角形性质.可知 CDMB,再利用三角形全等证A=MDC=90.证作MCB 的中线 CD.MB=2MAMA=MD又1=2 MC=MCMACMDC.A=MDC又 MC=BC，CD 为MCB 中线CDMBCDM=90A=90MAAC.【知识探究学习】【知识探究学习】(一一)为什么要添线为什么要添线解证几何题，就是由已知出发，用形式逻辑的推理与量的计算，来探究新的、未知结果，一句话，就是要创造条件实现从已知向结论的转化，实现这一转化，要具体问题具体分析，而添设辅助线，正是创造转化条件的一部分，是为了联系几何元素之间的关系而架设的桥梁.(二二)添辅助

10、线的目的添辅助线的目的总目的在于沟通解题思路，创设由已知条件向所求结论过渡的条件，不可生硬 地机械照搬，而是随着解题思路而展开，某些条件不能直接与结论发生联系时，为发掘、创设这些条件联系的途径，来设想和决定在图中添什么线与怎样去添线，这正是理解添设辅助线方法的精髓.(三三)添线的原则、手段添线的原则、手段(1)化分散为集中，就是通过添加辅助线将已知和未知的有关几何元素相对集中到同一个或几个相关基本几何图形中去，使之产生联系.(2)化整体为部分，就是通过添线把复杂的几何图形分解为几个简单的几何图形，使问题化繁为简.(3)化不规则为规则，即通过添线将不规则几何图形化为规则几何图形，使问题化难为易.

11、添线的常用手段是平移、旋转、对称、截取、延长等.【同步练习】【同步练习】一、判断一、判断(3 分8=24 分)()1.等腰三角形一个内角为120，另两个内角必为 30.()2.等腰三角形的高、中线、角平分线三线合一.()3.内角为 70的等腰三角形，另两角一定为70和 40.()4.等边三角形不一定是锐角三角形.()5.O 为等腰三角形三中线交点，M 为三内角平分线交点，N 为三条高的交点，则O、M、N 共线.()6.等腰三角形一个外角是钝角，则与它相邻的内角是底角.()7.底边相等，且有一个角相等的两等腰三角形全等.()8.底边相等，周长也相等的两个等腰三角形全等.二、填空二、填空(4 分8

12、=32 分)1.等腰三角形中一个内角为108,则另两个内角分别为 .2.ABC 中，BA=BC，C=50,A,C 的外角平分线交于 D，则ADB=.3.ABC 中，AB=AC，C=36，BC=6,BD 为外角平分线，则 BD=.4.周长为 13，边长为整数的等腰三角形共有个.5.AD 为ABC 的高，AB=AC，ABC 周长为 20cm，ACD 周长为 14 cm，则 AD=_.6.D、E、F 分别为ABC 的边 AB、BC、CA 上的点，DFBC，BD=DE=EF=FC，B=30,则A=.7.线段 AD、BC 交于 O，且 AB=AC，DB=DC，AD=3，BC=4.则四边形 ABDC 的面

13、积为 .8.等腰三角形两腰上的高相交所成的钝角为100，则顶角，底角 .三、选择三、选择(4 分8=32 分)1.等腰三角形腰上的高与底边的夹角等于()A.顶角 B.顶角的一半 C.顶角的 2 倍 D.底角的一半2.等腰三角形顶角是底角的4 倍，则顶角为()A.20 B.30 C.80 D.1203.等腰三角形顶角为钝角，它的高、中线和角平分线的条数总和为()A.3 B.6 C.7 D.94.BD 为ABC 的角平分线，AB=AC，BDC=75,则A 为()A.40 B.50 C.70 D.805.等腰三角形底边长为 5cm，腰上的中线把三角形周长分为差为 3cm 的两部分，则腰长为()A.2

14、cm B.8cm C.2cm或 8cm D.不能确定6.等腰三角形一个外角等于110,则底角为()A.70或 40 B.40或 55 C.55或 70 D.707.D、E 为ABC 的边 BC 上两点，且 AD=AE=-BD=DE=EC，则BAC 是EAC 的()A.1 倍 B.2 倍 C.3 倍 D.4倍8.三角形一边上的高与中线相互重合，且等于该边的一半，则这个三角形是()A.任意三角形 B.等腰三角形 C.直角三角形 D.等腰直角三角形四、解答题四、解答题(6 分2=12 分)1.ABC 中，C=90 AC=BC，BD 为角平分线 AEBD 交 BD 延长线于 E，求证 AE=2.如图,

15、ABC 和DEC 均为等边三角形，DAB=40,BACD=15,求BEC 的度数.1BD.2【素质训练】【素质训练】1.P 为等边ABC 内一点，APBBPCCPA=567,求以 PA，PB，PC 长为边三角形三内角.2.ABC 中，AB=AC，BD、CE 为角平分线，AFBD 于 F，AGEC 于 G，求证 AF=AG.【实际运用】【实际运用】用长为 20cm 的铁线弯成一边长为 8cm 的一个等腰三角形，问等腰三角形各边长应为多少？参考答案：参考答案：【同步练习】【同步练习】一、二、1.36 2.25 3.6 4.2 个 5.4cm 6.120 7.12 8.80，50三、B D C A

16、B C D D四、1.延长 AE 交 BC 延长线于 F.EBF=90-FEBA=90-EAB.EBF=EBAF=FABAE=EF(三线合一)EAC=EBF=90-F AC=BCAFCBDCAF=BD=2AEAE=1AF.22.ABC 和DEC 均为等边三角形ACD=BCE=60-DCBADCBEC(SAS)DAB=40DAC=20EBC=ACD=BCE=15BEC=180-15-20=145【素质训练】【素质训练】1.APB=100BPC=120CPA=140将APB 绕 B 顺时针旋转 60,得BCP,连 PPBPP为等边三角形BPP=BPP=60 PP=PB.PPC 为所求三角形三内角 PPC=100-60=40PPC=120-60=60PCP=180-40-60=802.AB=ACABC=、CE 为角平分线ABF=ACE.RtABFRtACG(AAS)AF=AG.【实际运用】【实际运用】三边长分别为 8cm,8cm,4cm 或 6cm,6cm,8cm