数学幂函数知识点大全.pdf

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1、数学幂函数知识点大全数学幂函数知识点大全20XX 年数学幂函数知识点大全有哪些你知道吗?学好数学的话要学生总结与教师总结应该结合，教师总结更应达到精炼、提高的目的，使学生水平向更高层发展。一起来看看 20XX 年数学幂函数知识点大全，欢迎查阅!数学幂函数知识点总结一、一次函数定义与定义式：自变量 x 和因变量 y 有如下关系：y=kx+b则此时称 y 是 x 的一次函数。特别地，当 b=0 时，y 是 x 的正比例函数。即：y=kx(k 为常数，k0)二、一次函数的性质：1.y 的变化值与对应的 x 的变化值成正比例，比值为 k即：y=kx+b(k 为任意不为零的实数 b 取任何实数)2.当

2、x=0 时，b 为函数在 y 轴上的截距。三、一次函数的图像及性质：1.作法与图形：通过如下 3 个步骤(1)列表;1 1/9 9(2)描点;(3)连线，可以作出一次函数的图像一条直线。因此，作一次函数的图像只需知道 2 点，并连成直线即可。(通常找函数图像与 x 轴和 y 轴的交点)2.性质：(1)在一次函数上的任意一点 P(x，y)，都满足等式：y=kx+b。(2)一次函数与 y 轴交点的坐标总是(0，b)，与 x 轴总是交于(-b/k，0)正比例函数的图像总是过原点。3.k，b 与函数图像所在象限：当 k0 时，直线必通过一、三象限，y 随 x 的增大而增大;当 k0 时，直线必通过二、

3、四象限，y 随 x 的增大而减小。当 b0 时，直线必通过一、二象限;当 b=0 时，直线通过原点当 b0 时，直线必通过三、四象限。特别地，当 b=O 时，直线通过原点 O(0，0)表示的是正比例函数的图像。这时，当 k0 时，直线只通过一、三象限;当 k0 时，直线只通过二、四象限。四、确定一次函数的表达式：已知点 A(x1，y1);B(x2，y2)，请确定过点 A、B 的一次函数2 2/9 9的表达式。(1)设一次函数的表达式(也叫解析式)为 y=kx+b。(2)因为在一次函数上的任意一点P(x，y)，都满足等式y=kx+b。所 以 可 以 列 出 2 个 方 程：y1=kx1+b 和y

4、2=kx2+b(3)解这个二元一次方程，得到 k，b 的值。(4)最后得到一次函数的表达式。数学上册知识点幂函数幂函数定义：形如 y=xa(a 为常数)的函数，即以底数为自变量幂为因变量，指数为常量的函数称为幂函数。定义域和值域：当 a 为不同的数值时，幂函数的定义域的不同情况如下：如果 a 为任意实数，则函数的定义域为大于 0 的所有实数;如果 a为负数，则 x 肯定不能为 0，不过这时函数的定义域还必须根据q 的奇偶性来确定，即如果同时 q 为偶数，则 x 不能小于 0，这时函数的定义域为大于 0 的所有实数;如果同时 q 为奇数，则函数的定义域为不等于 0 的所有实数。当 x 为不同的数

5、值时，幂函数的值域的不同情况如下：在 x 大于 0 时，函数的值域总是大于0 的实数。在 x 小于 0 时，则只有同时 q 为奇数，函数的值域为3 3/9 9非零的实数。而只有 a 为正数，0 才进入函数的值域性质：对于 a 的.取值为非零有理数，有必要分成几种情况来讨论各自的特性：首先我们知道如果 a=p/q，q 和 p 都是整数，则 x(p/q)=q次根号(x 的 p 次方)，如果 q 是奇数，函数的定义域是R，如果 q是偶数，函数的定义域是0，+)。当指数 n 是负整数时，设 a=-k，则 x=1/(xk)，显然 x0，函数的定义域是(-，0)(0，+).因此可以看到 x 所受到的限制来

6、源于两点，一是有可能作为分母而不能是 0，一是有可能在偶数次的根号下而不能为负数，那么我们就可以知道：排除了为 0 与负数两种可能，即对于 x0，则 a 可以是任意实数;排除了为 0 这种可能，即对于 x0 和 x0 的所有实数，q 不能是偶数;排除了为负数这种可能，即对于 x 为大于且等于 0 的所有实数，a 就不能是负数。总结起来，就可以得到当 a 为不同的数值时，幂函数的定义域的不同情况如下：如果 a 为任意实数，则函数的定义域为大于 0 的所有实数;4 4/9 9如果 a 为负数，则 x 肯定不能为 0，不过这时函数的定义域还必须根据 q 的奇偶性来确定，即如果同时 q 为偶数，则 x

7、 不能小于 0，这时函数的定义域为大于 0 的所有实数;如果同时 q 为奇数，则函数的定义域为不等于 0 的所有实数。在 x 大于 0 时，函数的值域总是大于 0 的实数。在 x 小于 0 时，则只有同时 q 为奇数，函数的值域为非零的实数。而只有 a 为正数，0 才进入函数的值域。由于 x 大于 0 是对 a 的任意取值都有意义的，因此下面给出幂函数在第一象限的各自情况.可以看到：(1)所有的图形都通过(1，1)这点。(2)当 a 大于 0 时，幂函数为单调递增的，而 a 小于 0 时，幂函数为单调递减函数。(3)当 a 大于 1 时，幂函数图形下凹;当 a 小于 1 大于 0 时，幂函数图

8、形上凸。(4)当 a 小于 0 时，a 越小，图形倾斜程度越大。(5)a 大于 0，函数过(0，0);a 小于 0，函数不过(0，0)点。(6)显然幂函数无界。高中数学幂函数知识5 5/9 91.函数的单调性(局部性质)(1)增函数设函数 y=f(x)的定义域为 I，如果对于定义域 I 内的某个区间D 内的任意两个自变量 x1，x2，当 x1如果对于区间D上的任意两个自变量的值x1，x2，当x1f(x2)，那么就说 f(x)在这个区间上是减函数.区间 D 称为 y=f(x)的单调减区间.注意：函数的单调性是函数的局部性质;(2)图象的特点如果函数 y=f(x)在某个区间是增函数或减函数，那么说

9、函数y=f(x)在这一区间上具有(严格的)单调性，在单调区间上增函数的图象从左到右是上升的，减函数的图象从左到右是下降的.(3)函数单调区间与单调性的判定方法(A)定义法：a.任取 x1，x2D，且 x1b.作差 f(x1)-f(x2);c.变形(通常是因式分解和配方);d.定号(即判断差 f(x1)-f(x2)的正负);e.下结论(指出函数 f(x)在给定的区间 D 上的单调性).(B)图象法(从图象上看升降)6 6/9 9(C)复合函数的单调性复合函数 fg(x)的单调性与构成它的函数 u=g(x)，y=f(u)的单调性密切相关，其规律：“同增异减”注意：函数的单调区间只能是其定义域的子区

10、间,不能把单调性相同的区间和在一起写成其并集.8.函数的奇偶性(整体性质)(1)偶函数一般地，对于函数 f(x)的定义域内的任意一个 x，都有 f(-x)=f(x)，那么 f(x)就叫做偶函数.(2)奇函数一般地，对于函数f(x)的定义域内的任意一个x，都有f(-x)=f(x)，那么 f(x)就叫做奇函数.(3)具有奇偶性的函数的图象的特征偶函数的图象关于 y 轴对称;奇函数的图象关于原点对称.利用定义判断函数奇偶性的步骤：a.首先确定函数的定义域，并判断其是否关于原点对称;b.确定 f(-x)与 f(x)的关系;c.作出相应结论：若 f(-x)=f(x)或 f(-x)-f(x)=0，则 f(

11、x)是偶函数;若 f(-x)=-f(x)或 f(-x)+f(x)=0，则 f(x)是奇函数.注意：函数定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的必要条7 7/9 9件.首先看函数的定义域是否关于原点对称，若不对称则函数是非奇非偶函数.若对称，(1)再根据定义判定;(2)由 f(-x)f(x)=0 或f(x)/f(-x)=1 来判定;(3)利用定理，或借助函数的图象判定.9、函数的解析表达式(1).函数的解析式是函数的一种表示方法，要求两个变量之间的函数关系时，一是要求出它们之间的对应法则，二是要求出函数的定义域.(2)求函数的解析式的主要方法有：1)凑配法2)待定系数法3)换元法4)消参法10.函数最大(小)值(定义见课本 p36 页)a.利用二次函数的性质(配方法)求函数的最大(小)值b.利用图象求函数的最大(小)值c.利用函数单调性的判断函数的最大(小)值：如果函数 y=f(x)在区间a，b上单调递增，在区间b，c上单调递减则函数 y=f(x)在 x=b 处有最大值 f(b);如果函数 y=f(x)在区间a，b上单调递减，在区间b，c上单调递增则函数 y=f(x)在 x=b 处有最小值 f(b);.8 8/9 99 9/9 9