高一数学重点知识点总结.pdf

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1、高一数学重点知识点总结高一数学重点知识点总结高一数学重点知识点总结合集 7 篇高一数学重点知识点总结高一数学重点知识点总结 1 1一：函数及其表示知识点详解文档包含函数的概念、映射、函数关系的判断原则、函数区间、函数的三要素、函数的定义域、求具体或抽象数值的函数值、求函数值域、函数的表示方法等1.函数与映射的区别：2.求函数定义域常见的用解析式表示的函数 f(x)的定义域可以归纳如下：当 f(x)为整式时，函数的定义域为 R.当 f(x)为分式时，函数的定义域为使分式分母不为零的实数集合。当 f(x)为偶次根式时，函数的定义域是使被开方数不小于 0 的实数集合。当 f(x)为对数式时，函数的定

2、义域是使真数为正、底数为正且不为 1 的实数集合。如果 f(x)是由几个部分的数学式子构成的，那么函数定义域是使各部分式子都有意义的实数集合，即求各部分有意义的实数集合的交集。复合函数的定义域是复合的各基本的函数定义域的交集。对于由实际问题的背景确定的函数，其定义域除上述外，还要受实际问题的制约。3.求函数值域(1)、观察法：通过对函数定义域、性质的观察，结合函数的解析式，求得函数的值域;(2)、配方法;如果一个函数是二次函数或者经过换元可以写成二次函数的形式，那么将这个函数的右边配方，通过自变量的范围可以求出该函数的值域;(3)、判别式法：(4)、数形结合法;通过观察函数的图象，运用数形结合

3、的方法得到函数的值域;(5)、换元法;以新变量代替函数式中的某些量，使函数转化为以新变量为自变量的函数形式，进而求出值域;(6)、利用函数的单调性;如果函数在给出的定义域区间上是严格单调的，那么就可以利用端点的函数值来求出值域;(7)、利用基本不等式：对于一些特殊的分式函数、高于二次的函数可以利用重要不等式求出函数的值域;(8)、最值法：对于闭区间a,b上的连续函数 y=f(x),可求出 y=f(x)在区间a,b内的极值,并与边界值 f(a).f(b)作比较,求出函数的最值,可得到函数 y 的值域;(9)、反函数法：如果函数在其定义域内存在反函数，那么求函数的值域可以转化为求反函数的定义域。高

4、一数学重点知识点总结高一数学重点知识点总结 2 2集合与元素一个东西是集合还是元素并不是绝对的，很多情况下是相对的，集合是由元素组成的集合，元素是组成集合的元素。例如：你所在的班级是一个集合，是由几十个和你同龄的同学组成的集合，你相对于这个班级集合来说，是它的一个元素;而整个学校又是由许许多多个班级组成的集合，你所在的班级只是其中的一分子，是一个元素。班级相对于你是集合，相对于学校是元素，参照物不同，得到的结论也不同，可见，是集合还是元素，并不是绝对的。.解集合问题的关键解集合问题的关键：弄清集合是由哪些元素所构成的，也就是将抽象问题具体化、形象化，将特征性质描述法表示的集合用列举法来表示，或

5、用韦恩图来表示抽象的集合，或用图形来表示集合;比如用数轴来表示集合，或是集合的元素为有序实数对时，可用平面直角坐标系中的图形表示相关的集合等。高一数学重点知识点总结高一数学重点知识点总结 3 3(1)指数函数的定义域为所有实数的集合，这里的前提是 a 大于 0，对于 a 不大于 0 的情况，则必然使得函数的定义域不存在连续的区间，因此我们不予考虑。(2)指数函数的值域为大于 0 的实数集合。(3)函数图形都是下凹的。(4)a 大于 1，则指数函数单调递增;a 小于 1 大于 0，则为单调递减的。(5)可以看到一个显然的规律，就是当 a 从 0 趋向于无穷大的过程中(当然不能等于 0)，函数的曲

6、线从分别接近于 Y 轴与 X 轴的正半轴的单调递减函数的位置，趋向分别接近于 Y 轴的正半轴与 X 轴的负半轴的单调递增函数的位置。其中水平直线 y=1 是从递减到递增的一个过渡位置。(6)函数总是在某一个方向上无限趋向于 X 轴，永不相交。(7)函数总是通过(0，1)这点。(8)显然指数函数无界。奇偶性定义一般地，对于函数 f(x)(1)如果对于函数定义域内的任意一个 x，都有 f(-x)=-f(x)，那么函数 f(x)就叫做奇函数。(2)如果对于函数定义域内的任意一个 x，都有 f(-x)=f(x)，那么函数 f(x)就叫做偶函数。(3)如果对于函数定义域内的任意一个 x，f(-x)=-f

7、(x)与 f(-x)=f(x)同时成立，那么函数 f(x)既是奇函数又是偶函数，称为既奇又偶函数。(4)如果对于函数定义域内的任意一个 x，f(-x)=-f(x)与 f(-x)=f(x)都不能成立，那么函数 f(x)既不是奇函数又不是偶函数，称为非奇非偶函数。高一数学重点知识点总结高一数学重点知识点总结 4 4定义：x 轴正向与直线向上方向之间所成的角叫直线的倾斜角。特别地，当直线与 x轴平行或重合时，我们规定它的倾斜角为 0 度。范围：倾斜角的取值范围是 00 时(0，90)k0 时，函数的最小值为 2.可见定义域对函数的值域或最值的影响.3、函数的最值在实际问题中的应用函数的最值的应用主要

8、体现在用函数知识求解实际问题上，从文字表述上常常表现为“工程造价最低”，“利润”或“面积(体积)(最小)”等诸多现实问题上，求解时要特别关注实际意义对自变量的制约，以便能正确求得最值.【(四)、函数的奇偶性】1、函数的奇偶性的定义：对于函数 f(x)，如果对于函数定义域内的任意一个x，都有 f(-x)=-f(x)(或 f(-x)=f(x)，那么函数 f(x)就叫做奇函数(或偶函数).正确理解奇函数和偶函数的定义，要注意两点：(1)定义域在数轴上关于原点对称是函数 f(x)为奇函数或偶函数的必要不充分条件;(2)f(x)=-f(x)或 f(-x)=f(x)是定义域上的恒等式.(奇偶性是函数定义域

9、上的整体性质).2、奇偶函数的定义是判断函数奇偶性的主要依据。为了便于判断函数的奇偶性，有时需要将函数化简或应用定义的等价形式：注意如下结论的运用：(1)不论 f(x)是奇函数还是偶函数，f(|x|)总是偶函数;(2)f(x)、g(x)分别是定义域 D1、D2 上的奇函数，那么在 D1D2 上，f(x)+g(x)是奇函数，f(x)g(x)是偶函数，类似地有“奇奇=奇”“奇奇=偶”，“偶偶=偶”“偶偶=偶”“奇偶=奇”;(3)奇偶函数的复合函数的奇偶性通常是偶函数;(4)奇函数的导函数是偶函数，偶函数的导函数是奇函数。3、有关奇偶性的几个性质及结论(1)一个函数为奇函数的充要条件是它的图象关于原

10、点对称;一个函数为偶函数的充要条件是它的图象关于 y 轴对称.(2)如要函数的定义域关于原点对称且函数值恒为零，那么它既是奇函数又是偶函数.(3)若奇函数 f(x)在 x=0 处有意义，则 f(0)=0 成立.(4)若 f(x)是具有奇偶性的区间单调函数，则奇(偶)函数在正负对称区间上的单调性是相同(反)的。(5)若 f(x)的定义域关于原点对称，则 F(x)=f(x)+f(-x)是偶函数，G(x)=f(x)-f(-x)是奇函数.(6)奇偶性的推广函数 y=f(x)对定义域内的任一 x 都有 f(a+x)=f(a-x)，则 y=f(x)的图象关于直线 x=a 对称，即 y=f(a+x)为偶函数

11、.函数 y=f(x)对定义域内的任-x 都有f(a+x)=-f(a-x)，则 y=f(x)的图象关于点(a，0)成中心对称图形，即 y=f(a+x)为奇函数。【(五)、函数的单调性】1、单调函数对于函数 f(x)定义在某区间a，b上任意两点 x1，x2，当 x1x2 时，都有不等式 f(x1)(或x2)，这说明单调性使得自变量间的不等关系和函数值之间的不等关系可以“正逆互推”.5、复合函数 y=fg(x)的单调性若 u=g(x)在区间a，b上的单调性，与 y=f(u)在g(a)，g(b)(或 g(b)，g(a)上的单调性相同，则复合函数 y=fg(x)在a，b上单调递增;否则，单调递减.简称“

12、同增、异减”.在研究函数的单调性时，常需要先将函数化简，转化为讨论一些熟知函数的单调性。因此，掌握并熟记一次函数、二次函数、指数函数、对数函数的单调性，将大大缩短我们的判断过程.6、证明函数的单调性的方法(1)依定义进行证明.其步骤为：任取 x1、x2M 且 x1(或0，则 f(x)为增函数;如果 f(x)0)沿 y 轴向平移 b 个单位y=f(xa)(a0)沿 x 轴向平移 a 个单位y=-f(x)作关于 x 轴的对称图形y=f(|x|)右不动、左右关于 y 轴对称y=|f(x)|上不动、下沿 x 轴翻折y=f-1(x)作关于直线 y=x 的对称图形y=f(ax)(a0)横坐标缩短到原来的，

13、纵坐标不变y=af(x)纵坐标伸长到原来的|a|倍，横坐标不变y=f(-x)作关于 y 轴对称的图形【例】定义在实数集上的函数 f(x)，对任意 x，yR，有 f(x+y)+f(x-y)=2f(x)f(y)，且 f(0)0.求证：f(0)=1;求证：y=f(x)是偶函数;若存在常数 c，使求证对任意 xR，有 f(x+c)=-f(x)成立;试问函数 f(x)是不是周期函数，如果是，找出它的一个周期;如果不是，请说明理由.思路分析：我们把没有给出解析式的函数称之为抽象函数，解决这类问题一般采用赋值法.解答：令 x=y=0，则有 2f(0)=2f2(0)，因为 f(0)0，所以 f(0)=1.令

14、x=0，则有 f(x)+f(-y)=2f(0)f(y)=2f(y)，所以 f(-y)=f(y)，这说明f(x)为偶函数.分别用(c0)替换 x、y，有 f(x+c)+f(x)=所以，所以 f(x+c)=-f(x).两边应用中的结论，得 f(x+2c)=-f(x+c)=-f(x)=f(x)，所以 f(x)是周期函数，2c 就是它的一个周期.高一数学重点知识点总结高一数学重点知识点总结 6 6函数的概念函数的概念：设 A、B 是非空的数集，如果按照某个确定的对应关系 f，使对于集合 A 中的任意一个数 x，在集合 B 中都有确定的数 f(x)和它对应，那么就称f：A-B 为从集合 A 到集合 B

15、的一个函数.记作：y=f(x)，xA.(1)其中，x 叫做自变量，x 的取值范围 A 叫做函数的定义域;(2)与 x 的值相对应的 y 值叫做函数值，函数值的集合f(x)|xA叫做函数的值域.函数的三要素：定义域、值域、对应法则函数的表示方法：(1)解析法：明确函数的定义域(2)图想像：确定函数图像是否连线，函数的图像可以是连续的曲线、直线、折线、离散的点等等。(3)列表法：选取的自变量要有代表性，可以反应定义域的特征。4、函数图象知识归纳(1)定义：在平面直角坐标系中，以函数 y=f(x),(xA)中的 x 为横坐标，函数值 y 为纵坐标的点 P(x，y)的集合 C，叫做函数 y=f(x),

16、(xA)的图象.C 上每一点的坐标(x，y)均满足函数关系 y=f(x)，反过来，以满足 y=f(x)的每一组有序实数对 x、y 为坐标的点(x，y)，均在 C 上.(2)画法A、描点法：B、图象变换法：平移变换;伸缩变换;对称变换，即平移。(3)函数图像平移变换的特点：1)加左减右只对 x2)上减下加只对 y3)函数 y=f(x)关于 X 轴对称得函数 y=-f(x)4)函数 y=f(x)关于 Y 轴对称得函数 y=f(-x)5)函数 y=f(x)关于原点对称得函数 y=-f(-x)6)函数 y=f(x)将 x 轴下面图像翻到 x 轴上面去，x 轴上面图像不动得函数 y=|f(x)|7)函数

17、 y=f(x)先作 x0 的图像，然后作关于 y 轴对称的图像得函数 f(|x|)高一数学重点知识点总结高一数学重点知识点总结 7 7对于 a 的取值为非零有理数，有必要分成几种情况来讨论各自的特性：首先我们知道如果 a=p/q，q 和 p 都是整数，则 x(p/q)=q 次根号(x 的 p 次方)，如果 q 是奇数，函数的定义域是 R，如果 q 是偶数，函数的定义域是0，+)。当指数 n 是负整数时，设 a=-k，则 x=1/(xk)，显然 x0，函数的定义域是(-，0)(0，+).因此可以看到 x 所受到的限制来源于两点，一是有可能作为分母而不能是 0，一是有可能在偶数次的根号下而不能为负

18、数，那么我们就可以知道：排除了为 0 与负数两种可能，即对于 x0，则 a 可以是任意实数;排除了为 0 这种可能，即对于 x0 的所有实数，q 不能是偶数;排除了为负数这种可能，即对于 x 为大于且等于 0 的所有实数，a 就不能是负数。总结起来，就可以得到当 a 为不同的数值时，幂函数的定义域的不同情况如下：如果 a 为任意实数，则函数的定义域为大于 0 的所有实数;如果 a 为负数，则 x 肯定不能为 0，不过这时函数的定义域还必须根据 q 的奇偶性来确定，即如果同时 q 为偶数，则 x 不能小于 0，这时函数的定义域为大于 0的所有实数;如果同时 q 为奇数，则函数的定义域为不等于 0

19、 的所有实数。在 x 大于 0 时，函数的值域总是大于 0 的实数。在 x 小于 0 时，则只有同时 q 为奇数，函数的值域为非零的实数。而只有 a 为正数，0 才进入函数的值域。由于 x 大于 0 是对 a 的任意取值都有意义的，因此下面给出幂函数在第一象限的各自情况.可以看到：(1)所有的图形都通过(1，1)这点。(2)当 a 大于 0 时，幂函数为单调递增的，而 a 小于 0 时，幂函数为单调递减函数。(3)当 a 大于 1 时，幂函数图形下凹;当 a 小于 1 大于 0 时，幂函数图形上凸。(4)当 a 小于 0 时，a 越小，图形倾斜程度越大。(5)a 大于 0，函数过(0，0);a 小于 0，函数不过(0，0)点。(6)显然幂函数无界。