高中数学不等式知识点总结归纳(教师版).pdf

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1、高中数学不等式专题教师版高中数学不等式专题教师版一、一、高考动态高考动态考试内容：考试内容：不等式不等式的基本性质不等式的证明不等式的解法含绝对值的不等式考试要求：考试要求：（1）理解不等式的性质及其证明（2）掌握两个（不扩展到三个）正数的算术平均数不小于它们的几何平均数的定理，并会简单的应用（3）掌握分析法、综合法、比较法证明简单的不等式（4）掌握简单不等式的解法（5）理解不等式a-ba+ba+b二、不二、不 等等 式式知识要点知识要点1.不等式的基本概念（1）不等（等）号的定义：a b 0 a b;a b 0 a b;a b 0 a b.（2）不等式的分类：绝对不等式；条件不等式；矛盾不等

2、式.（3）同向不等式与异向不等式.（4）同解不等式与不等式的同解变形.2.不等式的基本性质（1）a b b a（对称性）（2）a b,b c a c（传递性）（3）a b ac bc（加法单调性）（4）a b,c d a c b d（同向不等式相加）（5）a b,c d a c b d（异向不等式相减）（6）a.b,c 0 ac bc（7）a b,c 0 ac bc（乘法单调性）（8）a b 0,c d 0 ac bd（同向不等式相乘）(9)a b 0,0 c d ab（异向不等式相除）cd(10)a b,ab 011（倒数关系）ab（11）a b 0 an bn(n Z,且n 1)（平方法则

3、）（12）a b 0 na nb(n Z,且n 1)（开方法则）3.几个重要不等式（1）若a R,则|a|0,a2 0（2）若a、bR,则a2b2 2ab(或a2b2 2|ab|2ab)（当仅当 a=b 时取等号）（3）如果 a,b 都是正数，那么ab ab.（当仅当 a=b 时取等号）2极值定理：若x,yR,x y S,xy P,则：1 如果 P 是定值,那么当 x=y 时，S 的值最小；2 如果 S 是定值,那么当 x=y 时，P 的值最大.利用极值定理求最值的必要条件：一正、二定、三相等.(4)若a、b、cR,则abc3abc（当仅当 a=b=c 时取等号）3ba(5)若ab 0,则 2

4、（当仅当 a=b 时取等号）ab(6)a 0时，|x|a x2 a2 x a 或 x a;|x|a x2 a2 a x a（7）若a、bR,则|a|b|ab|a|b|4.几个著名不等式（1）平均不等式：如果 a,b 都是正数，那么211abab ab2a2b2（当仅当.2a=b时取等号）即：平方平均算术平均几何平均调和平均（a、b 为正数）：ab2a2b2ab2a2b2特别地，ab (（当 a=b 时，()ab）2222a2b2 c2a b c (a,b,cR,a b c时取等)3322.an幂平均不等式：a12 a221(a1 a2.an)2n2注：例如：(ac bd)(a b)(c d).

5、2222111常用不等式的放缩法：nn1n(n1)n1n 1n2111(n 2)n(n1)n1n1n n112 n1n n1n n1(n 1),bnR;则（2）柯西不等式：若a1,a2,a3,anR,b1,b2,b3222（a1b1 a2b2 a3b3 anbn)(a1 a2aaaa当且仅当123n时取等号b1b2b3bn2a32an)(b122b22b32bn)（3）琴生不等式（特例）与凸函数、凹函数若定义在某区间上的函数f(x),对于定义域中任意两点x1,x2(x1 x2),有f(x1 x2f(x1)f(x2)或22f(x1 x2f(x1)f(x2).22则称 f(x)为凸（或凹）函数.5

6、.不等式证明的几种常用方法比较法、综合法、分析法、换元法、反证法、放缩法、构造法.6.不等式的解法（1）整式不等式的解法（根轴法）.步骤：正化，求根，标轴，穿线（偶重根打结），定解.特例 一元一次不等式 axb 解的讨论；2一元二次不等式 ax+bx+c0(a0)解的讨论.（2）分式不等式的解法：先移项通分标准化，则f(x)0 f(x)g(x)0;g(x)f(x)g(x)0f(x)0 g(x)g(x)0（3）无理不等式：转化为有理不等式求解1f(x)g(x)g(x)0定义域f(x)g(x)f(x)0f(x)03f(x)g(x)g(x)0或g(x)02f(x)g(x)f(x)02f(x)0f(x

7、)g(x)g(x)02f(x)g(x)（4）.指数不等式：转化为代数不等式af(x)ag(x)(a 1)f(x)g(x);af(x)af(x)ag(x)(0 a 1)f(x)g(x)b(a 0,b 0)f(x)lga lgb（5）对数不等式：转化为代数不等式 f(x)0logaf(x)logag(x)(a 1)g(x)0;f(x)g(x)f(x)0logaf(x)logag(x)(0 a 1)g(x)0f(x)g(x)（6）含绝对值不等式1 应用分类讨论思想去绝对值；2 应用数形思想；3 应用化归思想等价转化g(x)0|f(x)|g(x)g(x)f(x)g(x)g(x)0|f(x)|g(x)g

8、(x)0(f(x),g(x)不同时为0)或f(x)g(x)或f(x)g(x)注：常用不等式的解法举例（x 为正数）：x(1 x)211 242x(1 x)(1 x)()322 32722x2(1 x2)(1 x2)1 2342 3()y y x(1 x)y 22 32792类似于y sin xcos x sin x(1sin x)，|x1|x|1|(x与1同号，故取等)222xxx三、利用均值不等式求最值的方法三、利用均值不等式求最值的方法均值不等式当且仅当 ab 时等号成立）是一个重要的不等式，利用它可以求解函数最值问题。对于有些题目，可以直接利用公式求解。但是有些题目必须进行必要的变形才能

9、利用均值不等式求解。下面是一些常用的变形方法。一、配凑一、配凑1.1.凑系数凑系数例 1.当解析：由时，求知，的最大值。，利用均值不等式求最值，必须和为定值或积为定为定值，故只需值，此题为两个式子积的形式，但其和不是定值。注意到将凑上一个系数即可。当且仅当所以当 x2 时，即 x2 时取等号。的最大值为 8。评注：本题无法直接运用均值不等式求解，但凑系数后可得到和为定值，从而可利用均值不等式求最大值。2.2.凑项凑项例 2.已知解析：由题意知对，求函数，首先要调整符号，又的最大值。不是定值，故需进行凑项才能得到定值。当且仅当，即时等号成立。评注：本题需要调整项的符号，又要配凑项的系数，使其积为

10、定值。3.3.分离分离例 3.求的值域。解析：本题看似无法运用均值不等式，不妨将分子配方凑出含有（x1）的项，再将其分离。当，即时（当且仅当 x1 时取“”号）。当，即时（当且仅当 x3 时取“”号）。的值域为。评注：分式函数求最值，通常化成或恒负的形式，然后运用均值不等式来求最值。二、整体代换二、整体代换例 4.已知，求的最小值。解法 1：不妨将乘以 1，而 1 用 a2b 代换。12baab 2 32baab 3 22baab 3 2 2当且仅当时取等号，由即时，的最小值为。解法 2：将分子中的 1 用代换。g(x)恒正，评注：本题巧妙运用“1”的代换，得到可用均值不等式求得三、换元三、换

11、元例 5.求函数的最大值。的最小值。，而与的积为定值，即解析：变量代换，令当 t0 时，y0当时，则当且仅当，即时取等号。故。评注：本题通过换元法使问题得到了简化，而且将问题转化为熟悉的分式型函数的求最值问题，从而为构造积为定值创造有利条件。四、取平方四、取平方例 6.求函数解析：注意到的和为定值。的最大值。又，所以，即时取等号。当且仅当故。评注：本题将解析式两边平方构造出“和为定值”，为利用均值不等式创造了条件。总之，我们利用均值不等式求最值时，一定要注意“一正二定三相等”，同时还要注意一些变形技巧，积极创造条件利用均值不等式。高中数学一轮复习专讲专练（教材回扣高中数学一轮复习专讲专练（教材

12、回扣+考点分类考点分类+课堂内外课堂内外+限时训限时训练）练）：基本不等式：基本不等式一、选择题111若a0，b0，且 ln(ab)0，则 的最小值是()ab1A.B1C4D84ab1，解析：由a0，b0，ln(ab)0，得a0，b0.11ab1故 ababab114.ab1 2222 1当且仅当ab 时，上式取等号.2答案：C1a2 已知不等式(xy)9 对任意正实数x，y恒成立，则正实数a的最小值为xy()A2C9B4D1 6xy1a解析：(xy)1 a a.xyyxx0，y0，a0，1 a1a2a.由 91a2a，得a2a80，(a4)(a2)0.a0，a2，a4，a的最小值为 4.答案

13、：Baxyyxx43已知函数f(x)lg5 xm的值域为 R，则m的取值范围是()5A(4，)B4，)C(，4)D(，444xx解析：设g(x)5 xm，由题意g(x)的图像与x轴有交点，而 5 x4，故m4，55故选 D.答案：D4当点(x，y)在直线x3y20 上移动时，表达式 3x27y1 的最小值为(A3B5C1D7解析：方法一：由x3y20，得 3yx2.3x27y13x33y13x3x213x93x123x93x17.当且仅当 3x93，即 3xx3，即x1 时取得等号方法二：3x27y13x33y12 3x33y12 3217.答案：D5已知x0，y0，x2y2xy8，则x2y的

14、最小值是()A3B4C.92D.112解析：2xyx(2y)x2y22，原式可化为(x2y)24(x2y)320.又x0，y0，x2y4.当x2，y1 时取等号答案：B6(2013苍山调研)已知x0，y0，lg2xlg8ylg2，则11x3y的最小值是(A2B2 2C4D2 3解析：由 lg2xlg8ylg2，得 lg2x3ylg2.)1111x3yx3y1，(x3y)24.x3yx3y3yx答案：C二、填空题22117设x、yR，且xy0，则x224y的最小值为_yx1221122解析：x224y144x y22142 49.yxx y当且仅当 4x y答案：98(2013台州调研)若实数a

15、，b满足ab4ab10(a1)，则(a1)(b2)的最小值为_解析：ab4ab10，4a1b，ab4ab1.a1(a1)(b2)ab2ab26a2b14a16a21a14a1326a1a16a861a1615.a1221x y22时等号成立，即|xy|2时等号成立.26(a1)a1，a10.原式6(a1)26152 661527.a1当且仅当(a1)1，即a2 时等号成立最小值为 27.答案：279(2013聊城质检)经观测，某公路段在某时段内的车流量y(千辆/小时)与汽车的平均速度v(千米/小时)之间有函数关系：y920v(v0)，在该时段内，当车流量yv3v1 6002最大时，汽车的平均速

16、度v_千米/小时解析：v0，y9201 600v32v92092011.08，8031 600v3v1 600当且仅当v，即v40 千米/小时时取等号.v答案：40三、解答题10已知x0，y0，z0，且xyz1.149求证：36.xyz解析：x0，y0，z0，且xyz1，149149y4xz9x4z9y(xyz)14142xyzxyzyzxyxzyzy4x2xyz9x2xz4z9y14461236.12122当且仅当xyz，49111即x，y，z 时等号成立632149 36.xyz11某学校拟建一块周长为400 m 的操场如图所示，操场的两头是半圆形，中间区域是矩形，学生做操一般安排在矩形区

17、域，为了能让学生的做操区域尽可能大，试问如何设计矩形的长和宽解析：设中间矩形区域的长，宽分别为x m，y m，中间的矩形区域面积为S m，y则半圆的周长为 m.2y操场周长为 400 m，所以 2x2400，2400即 2xy400(0 x200,0y)112xy220 000Sxy(2x)(y).22222xy，由2xy400，x100，解得200y.x100，当且仅当200y时等号成立200即把矩形的长和宽分别设计为100 m 和 m 时，矩 形区域面积最大12已知x，y都是正实数，且xy3xy50.(1)求xy的最小值；(2)求xy的最小值解析：(1)由xy3xy50，得xy53xy.2xy5xy53xy.3xy2xy50.(xy1)(3xy5)0.xy5253，即xy9，等号成立的条件是xy.此时xy5253，故xy的最小值是9.(2)方法一：xy53xy3xy2234(xy)2，34(xy)2(xy)50.即 3(xy)24(xy)200.即(xy)23(xy)100.xy103.等号成立的条件是xy，即xy53时取得故xy的最小值为103.方法二：由(1)知，xy53xy，且(xy)25min9，3(xy)25min3.(xy)25105min353，此时xy3.