高数(上)习题及答案(极限).pdf

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1、复习题（一）一、定义域1+lg(x2)的定义域3x（2）函数y=21+x+1的定义域x4（1）函数y=（3）函数f(x)的定义域为0，1，则g(x)=11fx+fx定义域为44二、求极限323x11（1）lim+xsin=lim+xsinx0sin2xxx0sin 2xx2x31=lim2+limxsinx0sin 2xx0 x2x3x02=sin 2xlimx02x3=2limxmammxm1limn(a0)=limxaxanxanxn1m=limxmnxanm=amnnx222lim1+=lim1+xxxxx21x22=lim1+xx2=e2lnx1lim=lim=0 xxxxx26x+8

2、x22lim2=lim=x4x5x+4x4x13sin2xsinx1sin2xtanxlim=lim2limx0 x0 x0 xx2xxcosx=2lim=1x0sin2xsinx1limlimx0 x02xxx0cosxlim+x1+x12=lim+x0(1+x2+1)=2limsinxcosx=lim=1x0ex1x0exlimlnx111=lim=；xexexexelimx2+1x21=limxx()2x+1+x122=0；limxsinx1=limxx1x2xsin1x=1；1lim1xx1x=lim1=e2xx2limx25sin 5xcos5x5=lim=cos3xx3sin 3x

3、3222sinxxlim2lnsinxxxxlim0+x=e0+xxxcosxsin=elim 2x0+sinxxx2=e2 limxsinxx0+2x=1lim 11 x1lnxx1lnxx1=limx1lnx(x1)11=limxx1x1x+lnx=limx1x1x1+xlnx=lim1x12+lnx=12lim1ex1x01xxex1=limx0 x(ex1)=limex1x0ex1+xexex=limx02ex+xex=lim1x02+x=12x+1lim 2xx+11+3 x+32x+1=limx2x1+12x3解法 2：原式解法 1：解法 2：x+11+3=lim2xx1x+11+

4、2x32x21+3 31+3=lim2x2xx11 2x21+2x1+1 2x=ex+1=limx1+22x+12x+1=lim22+12x1+2x+12x+11=lim2222x1+2x+11+2x+1=elim1sinx 1xxsinxx0sin3x=limx0sin3x(1sinx+1x)=1xsinx2limx0sin3x=11cosx2limx03sin2xcosx12=1x2lim2x03x2=1121sinx1lim1sinx 1x+xx0sin3x=lim2x0 x32=1sinx+x2limx0 x341cosx+1=lim2x03x212x112=lim2=2x03x121

5、arctanx1+x2(洛比达法则)lim2=limx+x+111sin2cosxxxx2=limx+1+x2=1arctanx不存在lim2x1sinxlim(sinx)x2tanx解：令y=sinxtanx，则lny=tanxlnsinxlimlny=limtanxlnsinxx2x2lnsinx1x2tanxcosx=limsinxsec2xx2tan2x=lim=limx2cosxsin2xsinx=1limsin2x2x2=0lnlimy=lne0,limy=1x2x25解：limxx0+x0sinx=lim+ex0sinxlnx=ex0+lim sinxlnxlim+sinxlnx

6、=lim+lnxx01sinx1=lim+x0cosxxsin2xsin2x=lim+x0 xcosx=lim+sinxx0=0sinxlimx=1+x0limsinxtan3x6x6解：令t=sinxtan3x=limsintcot3tx，则limt066x6=limsintt0cos3tsin3t=limt0sintsin3t=sin3xsinxx0sin5xsin3xsinx2sin 2xcosx解：lim=limx0 x0sin5xsin5x2sin 2x=limx0sin5x4=5lim136212limxcos+x0 xx2sin2；22x2=limxcos+x0 xx2sin22

7、212解：limxcos+x0 xx2sin22x2=limxcos+limx0 xx0 x2sin2x22=limx2cos+lim222x0 xxx0sin2=0limx01+tanx 1+sinxx311tanxsinx1+tanx 1+sinx2解：lim=lim233x0 x0 xx1tanxsinx=lim2x0 x3=sinx(1cosx)1lim2x0 x3cosx11cosxlim2x0 x21sinx=lim2x02x1=4limx011cosxcos2x；2x()7解：limx011cosxcos2xx2()x0ln(ex1)limx；+1(解：limxx0+1xlne1

8、)=limeln(ex1)x0+x0+lnlnxlim=e=e=e=e=ex(ex1)lnxex1xx0+xelimexxxx0+e+xelimlim1x0+1+xx+k（2）lim=3，则k=（xx2k）（d d）ln313（a）e2（b）1e2k（c）2xkk1+kxe13k=3e=3k=ln3分析：lim=32kxx2ke32k2k1x（12）数列xn=（a a）1n+cosn的极限是（n）（b）-1（c）0（d）不存在分析：limxn=limnn+cosn1=lim1+cosn=1nnnn（16）lim(n+1)(n+32)(n+3)=（nn）（d）68（a）0（b）1（c）3分析：l

9、imn(n+1)(n+2)(n+3)=lim1+1 1+21+3=1n3nnnnsin5x）=（xsin3x（a）4（b）-1（c）13sin5x5cos5x5分析：lim=lim=xsin3xx3cos3x3（18）lim（d d）53（22）lim（a）-1x+x2+13x=（x+sinx）（c）1（d）2（b b）-22分析：limx+132x+13xx=lim=2x+sinxx+sinx1+x1+x2+ax+b（23）若lim=5，则（x1sin(x1)）（a）a=5,b=3（c c）a=3,b=4（b）a=7,b=6（d）a=0,b=1x2+ax+b分析：由lim=5，可知lim(x

10、2+ax+b)=0，即b=a1x1sin(x1)x1将b=a1代入lim(x1)(x+a+1)=5x1sin(x1)得lim(x+a+1)=5，即a=3x112x2+x+1（26）limcosx+=（2xxx1）（d）3（a）0（b）1（c c）2912x2+x+112x2+x+1分析：limcosx+cosx+lim=lim2xxxxx1xx21112+21xx=limcosx+limxxx112x=2（28）如果lim3sinmx=2，则m=（x02x3）（d）9/4（a）1分析：lim（b）2（c）4/93msinmx23msinmx23m24=lim=m=x02mx32x0mx3239

11、12n（29）lim+=（222nnnn）（d）1（a）0（b）（c c）1/21n(n+1)2n1 12分析：lim2+2+2=lim=nnnnnn22 4x2+3（30）若lim+ax+b=2，则（xx1）（a）a=2,b=6（c）a=3,b=1（b b）a=4,b=2（d）a=0,b=2 4x2+3分析：由lim+ax+b=2，可知4+a=0a=4xx1limx(4+b)xb+3=2 4+b=2b=2x1（31）limx0 x2sinsinx1x的值为（）（d d）0（a）1（b）（c）不存在1011xsinx=limx=0=0分析：limx0sinxx0sinx1xsin2mx（32）

12、lim）=（x2x2x2sin（a）0（b）m（c）2m2（d）2sin2mx1分析：lim=limsin2mx=022xx2x2x三、函数连续（5）已知函数1(12x)x,x 0在x=0连续，则b=（f(x)=b,x=0）分析：函数在一点连续的充分必要条件是 limf(x)=f(0)x0而limf(x)=lim(12x)=e2x0 x0f(0)=bb=e21xln(1+2x),x 0在x=0连续，则b=（6）已知函数g(x)=xb,x=0）1x解：limf(x)=limx0 x0ln(1+2x)x=limln(1+2x)=lnlim(1+2x)=2x0 x01xf(0)=bb=2sin2x,

13、x 0在(,+)内连续，则a=（f(x)=xax=0（11）已知函数）11解：sin2xsin2x,x 0，当x 0时,是连续函数要使f(x)=x在(，+)内连续ax=0sin2x只要使f(x)=x,x 0在x=0处连续ax=0即只要使limx0f(x)=f(0)lim2sin2xx02x=aa=2x320）已知函数f(x)=1,x1在x=1连续，则a=x1x+ax=1（a a）2（b）-2（c）1（d）-1x31分析：要使f(x)=x1,x1有意义x+ax=1须使limx1f(x)=f(1)即limx31x1x1=1+a3=1+aa=2134）若xsinxx 0a）a=1,b=1（b b）a

14、=1,b=1c）a=1,b=1（d）a=1,b=112x）（1sinxx 0 x只要使limf(x)=limf(x)=f(0)+x0 x0只要使 limx011sinx=limxsin+b=a+x0 xx即a=1,b=1（36）已知a+bx2x 0在x=0连续，则（f(x)=sinbxx 0 2x）（a）a=0,b=1（c）a=2bx0（b）a=1,b=0（d）b=2a由题意，只要使 lima+bx2=lim+x0 x02lima+bx=a()sinbx=a2x()x0lim+bsinbxb=a=a2bx2四、无穷小（1）函数y=e1在哪个变化过程中是无穷小量（a）x+0（b）x 0（c c）

15、x）1x）（d）x+1（2）当x0时，ex1是x的（a）高阶（b）低阶无穷小（c）同阶无穷小（d d）等价无穷小ex1ex分析：lim=lim=1x0 x01x（3）当x 0时，x2sinx是x的（）（a）高阶无穷小（b）低阶（c c）同阶无穷小（d）等价无穷小13（4）已知当x0时，f(x)为无穷大量，则当x0时，下列变量必为无穷小量是（a）xf(x)）f(x)（b b）x（c）11+f(x)x（d）f(x)1x（6）x 0时的无穷小量（a a）2xsin1x）（c）sinxx（b）sin1x1x（d）arcsinx2x（7）曲线y=4的垂直渐进线是（x22x3（a）仅有一条x=3（c c）

16、有两条x=3，x=1（b）仅有一条x=1（d）不存在）（19）当x 0时，(1+kx1)与sin2x是等价无穷小，则k=（a）1（b）21+kx1sin2x（c）3k2xk=4x0sin2x41x（d d）4(分析：limx0)=1lim（21）当x0时，y=sin为（）（a a）有界变量（b）无穷大量（c）无穷小量（d）无界变量（25）函数f(x)=lnx+x2+1是（()）（a a）奇函数（b）偶函数（c）非奇非偶（d）有界函数（33）当x1时与sin(x21)等价的无穷小量是（a）x2（b b）x21（c）x114）（d）x（35）当x1时，sin(x21)与x1比较是（a）较高阶的无穷小（c c）同阶无穷小五、渐近线（5）曲线y=6的垂直渐进线是（2x+8x9）（b）较低阶的无穷小（d）等价无穷小）（a）仅有一条x=9（c c）有两条x=9x=1（b）仅有一条x=1（d）不存在）（d d）不存在e3x（27）曲线y=的水平渐进线是（3x（a）y=0（b）y=1（c）y=3六、间段点：六、间段点：（37）指出y=11ex1x的间断点，并判断类型.（24）函数1exx 0）（a）连续点（b）第一类可去间断点（c）第二类无穷间断点（d d）第一类跳跃间断点15