高中数学知识点(整理版).pdf

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1、高中数学知识点（整理版）高中数学知识点（整理版）1 11 1、含有、含有n个元素的有限集合个元素的有限集合M，其子集、真子集、非空子集、非空真子集的个数依次为n2、指数式、对数指数式、对数loga1，logaa，logab logcb，logambnlogabmlogca3、函数图像与x轴垂线至多一个公共点，但与y轴垂线的公共点可能没有，也可任意个（3）函数图像一定是坐标系中的曲线，但坐标系中的曲线不一定能成为函数图像单调性和奇偶性单调性和奇偶性（1）奇函数在关于原点对称的区间上若有单调性，则其单调性完全相同偶函数在关于原点对称的区间上若有单调性，则其单调性恰恰相反注意：（1）确定函数的奇偶性

2、，务必先判定函数定义域是否关于原点对称确定函数奇偶性的常用方法有：定义法、图像法等等 对于偶函数而言有：f(x)f(x)f(|x|)（2）若奇函数定义域中有0，则必有f(0)0即0 f(x)的定义域时，f(0)0是f(x)为奇函数的必要非充分条件（3）确定函数的单调性或单调区间，在解答题中常用：定义法（取值、作差、鉴定）、（4）既奇又偶函数有无穷多个（f(x)0，定义域是关于原点对称的任意一个数集）4 4对称性与周期性（以下结论要消化吸收，不可强记）对称性与周期性（以下结论要消化吸收，不可强记）（1）函数y fx与函数y f x的图像关于直线x 0（y轴）对称推广一：如果函数y fx对于一切x

3、R R，都有fa x fb x成立，那么y fx的图像关于直线x a b(a x)(b x)（由“x和的一半x 确定”）对称22ba（由2推 广 二：函 数y fa x，y fbx的 图 像 关 于 直 线x a x b x确定）对称（2）函数y fx与函数y fx的图像关于直线y 0（x轴）对称（3）函数y fx与函数y fx的图像关于坐标原点中心对称若f(x a)f(x)(a 0)恒成立，则T 2a若f(x a)1(a 0)恒成f(x)立，则T 2a若f(x a)1(a 0)恒成立，则T 2af(x)1 1数列的通项数列的通项、数列项的项数，递推公式与递推数列，数列的通项与数列的前n项和公

4、式的关系：anS1,(n 1)（必要时请分类讨论）Sn Sn1,(n 2)2 2等差数列等差数列an中：中：（1）等差数列公差的取值与等差数列的单调性（2）an a1(n 1)d am(n m)d；p q m n ap aq am an（3）an1(k1)m、kan也成等差数列（4）两等差数列对应项和（差）组成的新数列仍成等差数列（5）a1 a2（6）Sn am,ak ak1 akm1,仍成等差数列n(a1 an)n(n 1)dd，Sn na1d，Snn2(a1)n2222（8）“首正首正”的递减等差数列中，前的递减等差数列中，前n项和的最大值是所有非负项之和；项和的最大值是所有非负项之和；“

5、首负首负”的递增等差数列中，前的递增等差数列中，前n项和的最小值是所有非正项之和；项和的最小值是所有非正项之和；3 3等比数列等比数列an中：中：（1）等比数列的符号等比数列的符号特征（全正或全负或一正一负全正或全负或一正一负），等比数列的首项、公比与等比等比数列的首项、公比与等比数列的单调性数列的单调性n1nm（2）an a1q amq；p q m n bpbq bmbn（4）两等比数列对应项积（商）组成的新数列仍成等比数列（5）a1 a2 am,ak ak1 akm1,成等比数列na1 (q 1)na1 (q 1)a1n（6）Sna1 anqa1(1qn)a1q (q 1)1 q1 q (

6、q 1)1 q1 q（8）“首大于 1”的正值递减等比数列中，前n项积的最大值是所有大于或等于1 的项的积；“首小于 1”的正值递增等比数列中，前n项积的最小值是所有小于或等于1 的项的积；4 4等差数列与等比数列的联系等差数列与等比数列的联系a（1）如果数列an成等差数列，那么数列An（An总有意义）必成等比数列a（2）如果数列an成等比数列，那么数列loga|an|(a 0,a 1)必成等差数列（3）如果数列an既成等差数列又成等比数列，那么数列an是非零常数数列；但数列an是常数数列仅是数列既成等差数列又成等比数列的必要非充分条件5 5数列求和的常用方法：数列求和的常用方法：（1）公式法

7、公式法：等差数列求和公式（三种形式），等比数列求和公式（三种形式），1 23 n 1n(n 1)，12 22322 n21n(n 1)(2n 1)，6135(2n 1)n2，135(2n 1)(n 1)2（2）分组求和法分组求和法：在直接运用公式法求和有困难时，常将“和式”中“同类项”先合并在一起，再运用公式法求和（3）倒序相加法倒序相加法：在数列求和中，若和式中到首尾距离相等的两项和有其共性或数列的通项与组合数相关联，则常可考虑选用倒序相加法，发挥其共性的作用求和（这也是等差数列前n和公式的推导方法）（4）错位相减法错位相减法：如果数列的通项是由一个等差数列的通项与一个等比数列的通项相乘构成

8、，那么常选用错位相减法，将其和转化为“一个新的的等比数列的和”求解（注意：一般错位相减后，其中“新等比数列的项数是原数列的项数减一的差”！）（这也是等比数列前n和公式的推导方法之一）（5）裂项相消法裂项相消法：如果数列的通项可“分裂成两项差”的形式，且相邻项分裂后相关联，那么常选用裂项相消法求和常用裂项形式有：111，n(n1)nn111(11)，n(n k)k nn k特别声明：运用等比数列求和公式，务必检查其公比与1 的关系，必要时分类讨论22弧长公式：l|R，扇形面积公式：S 1lR 1|R，1 弧度（1rad）57.322为锐角sin tan5三角函数同角关系中，平方关系的运用中，务必

9、重视“根据已知角的范围和三角函数的取值，精确确定角的范围，并进行定号”；6三角函数诱导公式的本质是：奇变偶不变，符号看象限常值变换主要指“1”的变换：1 sin2x cos2x sec2x tan2x tan xcot x tan sin cos0 42等三角式变换主要有：三角函数名互化（切割化弦）、三角函数次数的降升（降次、升次）、运算结构的转化（和式与积式的互化）“正余弦三兄妹三兄妹sinxcosx、sinxcosx的联系”asinx bcosx（其中角所在的象限由 a,b 的符号确定，角的值由tan起着重要作用尤其是两者系数绝对值之比为1或 3的情形2）正弦定理正弦定理：a2b2sinx

10、 b确定）在求最值、化简时aabc 2R（R 为三角形外接圆的半径）sin Asin BsinC注意：已知三角形两边一对角，求解三角形时，若运用正弦定理，则务必注意可能有两解222(b c)ab c a（3）余弦定理余弦定理：a b c 2bccosA,cos A 1等，2bc2bc22222常选用余弦定理鉴定三角形的类型（4）面积公式：S 1aha1absinC abc224R一个向量在另一向量方向上的投影（一个向量在另一向量方向上的投影（a在在b上的投影是上的投影是 a cos a,b 3两非零向量平行（共线）的充要条件两非零向量平行（共线）的充要条件abbR R）a/b a b(ab)2

11、(|a|b|)2 x1x2 y1y2 0两个非零向量垂直的充要条件两个非零向量垂直的充要条件a b ab 0|a b|a b|x1x2 y1y2 0特别：零向量和任何向量共线a b是向量平行的充分不必要条件!4平面向量的基本定理平面向量的基本定理：如果 e e1和 e e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对该平面内的任一向量 a a，有且只有一对实数1、2，使 a a=1e e12e e2AC共线；5三点A、B、C共线AB、PAPBPC向量PA、B、C共线存在实数、使得：PB、PC中三终点A且16向量的数量积：|a|(a)aa，ab|a|b|cos x1x2 y1y2，22cosab|a|b

12、|x1x2 y1y2x y2121x y2222，a在b上的投影|a|cos a,b abx1x2 y1y222|b|x2 y2b不同向；注意注意：a,b 为锐角ab 0且a、a,b 为直角ab 0且a、b 0；a,b 为钝角ab 0且a、b不反向；ab 0是 a,b 为钝角的必要非充分条件利用重要不等式a b 2 ab以及变式ab (ab)等求函数的最值时，务必注意 a，22bR R（或 a，b 非负），且“等号成立”时的条件是积 ab 或和 ab 其中之一应是定值（一一正二定三等四同时正二定三等四同时）比较大小的方法和证明不等式的方法主要有：差比较法差比较法、商比较法、函数性质法6 6不等

13、式的恒成立不等式的恒成立,能成立能成立,恰成立等问题恰成立等问题（1 1）恒成立问题恒成立问题若不等式fx A在区间D上恒成立,则等价于在区间D上fxmin A若不等式fx B在区间D上恒成立,则等价于在区间D上fxmax B（2 2）能成立问题能成立问题若在区间D上存在实数x使不等式fx A成立,即fx A在区间D上能成立,则等价于在区间D上fxmax A若在区间D上存在实数x使不等式fx B成立,即fx B在区间D上能成立,则等价于在区间D上的fxmin B（3 3）恰成立问题恰成立问题若不等式fx A在区间D上恰成立,则等价于不等式fx A的解集为D若不等式fx B在区间D上恰成立,则等

14、价于不等式fx B的解集为D,1计算异面直线所成角的关键是平移（补形）转化为两直线的夹角计算2计算直线与平面所成的角关键是作面的垂线找射影，或向量法（直线上向量与平面法向量夹角的余角），3空间平行垂直关系的证明，主要依据相关定义、公理、定理和空间向量进行，请重视线面平行关系、线面垂直关系的桥梁作用注意：书写证明过程需规范特别声明：证明计算过程中，若有“中点”等特殊点线，则常借助于“中位线、重心”等知识转化在证明计算过程中常将运用转化思想，将具体问题转化（构造）为特殊几何体（如三棱锥、正方体、长方体、三棱柱、四棱柱等）中问题，并获得去解决如三棱锥中：侧棱长相等（侧棱与底面所成角相等）顶点在底上射影为底面外心，侧棱两两垂直（两对对棱垂直）顶点在底上射影为底面垂心，斜高长相等（侧面与底面所成相等）且顶点在底上在底面内顶点在底上射影为底面内心5求几何体体积的常规方法是：公式法、割补法、等积（转换）法、6多面体是由若干个多边形围成的几何体棱柱和棱锥是特殊的多面体正多面体的每个面都是相同边数的正多边形，以每个顶点为其一端都有相同数目的棱，这样的多面体只有五种，即正四面体、正六面体、正八面体、正十二面体、正二十面体9 球体积公式V R3，球表面积公式S 4R2，是两个关于球的几何度量公式 它们都是球半径及的函数43