高中数学知识点总结大全.pdf

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1、高中数学知识点复习大全高中数学知识点复习大全一、集合与逻辑一、集合与逻辑1 1研究集合必须注意集合元素的特征即三性研究集合必须注意集合元素的特征即三性(确定确定,互异互异,无序无序)，特别注意区分集合中，特别注意区分集合中元素的形式：元素的形式：如：如：（1 1）已知集合已知集合P P y y|y y x x2 2 1 1,Q Q x x|y y ln(ln(x x 2 2),则则P P Q Q=_=_（2 2）设设M a|a(1,2)MM N N (2 2,2 2)(3,4),R，N a|a(2,3)(4，,R，则则2 2 应注意到应注意到“极端”“极端”情况：情况：集合集合A A B B

2、时，时，你是否忘记你是否忘记A A 或或B B ；条件为条件为A A B B时，时，在讨论的时候不要遗忘了在讨论的时候不要遗忘了A 的情况。的情况。如如（1 1）a a 2 2 x x2 2 2 2 a a 2 2 x x 1 1 0 0对一切对一切x x R R恒成立，求恒成立，求 a a 的取植范围，你讨论的取植范围，你讨论 a a2 2 的情况了吗？的情况了吗？（2 2）A A x x|axax2 2 2 2x x 1 1 0 0，若，若（答：（答：a a0 0）不要遗忘了）不要遗忘了A A A A R R ，求，求a a的取值。的取值。3 3对于含有对于含有 n n 个元素的有限集合个

3、元素的有限集合 M,M,其子集、真子集、非空子集、非空真子集的个数依其子集、真子集、非空子集、非空真子集的个数依M 次为次为2 2n n，2 2n n 1 1，2 2n n 1 1，2 2n n 2 2.如如满足满足1,21,2,3集合集合,4MM 有有_7_7_个。个。4 4你是否了解你是否了解 C CU U(A(AB)=CB)=CU UA AC CU UB;CB;CU U(A(AB)=CB)=CU UA AC CU UB;card(AB;card(AB)=?B)=?A AB=AB=AA AB=BB=BA AB BC CU UB BC CU UA AA AC CU UB=B=C CU UA

4、AB=UB=UA A 是是 B B 的子集（的子集（A B）A AB=BB=BA B A5 5补集思想补集思想常运用于解决否定型或正面较复杂的有关问题。常运用于解决否定型或正面较复杂的有关问题。如：如：（1 1）已知函数已知函数f f(x x)4 4x x2 2 2 2(p p 2 2)x x 2 2p p2 2 p p 1 1在区间在区间 1 1,1 1 上至少存在一个实数上至少存在一个实数c c，使使f f(c c)0 0，求实数，求实数p的取值范围。的取值范围。（答：（答：(3,)）（2 2）设关于）设关于x的不等式的不等式axax 5 5x x a a2 232 0 0的解集为的解集为

5、A，已知，已知3 3 A A且且5 5 A A，求实数，求实数a的取值范围。的取值范围。6.6.对逻辑联结词“或”对逻辑联结词“或”，“且”“且”，“非”的含义和表示符号还模糊吗，你是否熟悉含有逻辑联“非”的含义和表示符号还模糊吗，你是否熟悉含有逻辑联结词的命题真假判断的准则？结词的命题真假判断的准则？“或”“或”、“且”“且”、“非”的真值判断“非”的真值判断（1 1）“非“非 p p”形式复合命题的真假与”形式复合命题的真假与 F F 的真假相反；的真假相反；（2 2）“p p 且且 q q”形式复合命题当”形式复合命题当 P P 与与 q q 同为真时为真，其他情况时为假；同为真时为真，

6、其他情况时为假；（3 3）“p p 或或 q q”形式复合命题当”形式复合命题当 p p 与与 q q 同为假时为假，其他情况时为真同为假时为假，其他情况时为真如：如：已知命题已知命题p:所有有理数都是实数，命题所有有理数都是实数，命题q:正数的对数都是负数，则下列命题中为正数的对数都是负数，则下列命题中为真命题的是（真命题的是（）A A(p)qB Bp qC C(p)(q)D D(p)(q)互 逆互为为互否7 7四种命题间的关系清楚了吗？四种命题间的关系清楚了吗？一个命题的真假与其他三个命题的真假有如下三条关一个命题的真假与其他三个命题的真假有如下三条关系：系：(原命题原命题逆否命题逆否命题

7、)、原命题为真，它的逆命题不一定为真。、原命题为真，它的逆命题不一定为真。、原命题为真，它的否命题不一定为真。、原命题为真，它的否命题不一定为真。、原命题为真，它的逆否命题一定为真。、原命题为真，它的逆否命题一定为真。原 命 题若 p则 q互否否 命 题若 p则 q逆 命 题若 q则 p互否逆 否 命 题若 q则 p逆逆否互逆1如：已知如：已知x,yR，“若“若xy 0，则，则x 0或或y 0”的逆否命题是“若”的逆否命题是“若x 0且且y 0则则xy 0”8 8注意命题注意命题p q的否定与它的否命题的区别的否定与它的否命题的区别:命题命题p q的否定是的否定是p q；否命题是；否命题是p

8、q原结论原结论否定否定原结论原结论否定否定是是不是不是至少有一个至少有一个一个也没有一个也没有都是都是不都是不都是至多有一个至多有一个至少有两个至少有两个大于大于不大于不大于至少有至少有n个个至多有至多有n 1个个小于小于不小于不小于至多有至多有n个个至少有至少有n 1个个对所有对所有x,成立成立存在某存在某x,不成立不成立p或或qp且且q对任何对任何x,不成立不成立存在某存在某x,成立成立p且且qp或或q原结论原结论否定否定原结论原结论否定否定是是不是不是至少有一个至少有一个一个也没有一个也没有都是都是不都是不都是至多有一个至多有一个至少有两个至少有两个大于大于不大于不大于至少有至少有n个个

9、至多有至多有n 1个个小于小于不小于不小于至多有至多有n个个至少有至少有n 1个个对所有对所有x,成立成立存在某存在某x,不成立不成立p或或qp且且q对任何对任何x,不成立不成立存在某存在某x,成立成立p且且qp或或q原结论原结论否定否定原结论原结论否定否定是是不是不是至少有一个至少有一个一个也没有一个也没有都是都是不都是不都是至多有一个至多有一个至少有两个至少有两个大于大于不大于不大于至少有至少有n个个至多有至多有n 1个个小于小于不小于不小于至多有至多有n个个至少有至少有n 1个个对所有对所有x,成立成立存在某存在某x,不成立不成立p或或qp且且q对任何对任何x,不成立不成立存在某存在某x

10、,成立成立p且且qp或或q命题“命题“p p 或或 q q”的否定是“P”的否定是“P 且Q”且Q”，“p p 且且 q q”的否定是“P”的否定是“P 或Q”或Q”常见结论的否定形式常见结论的否定形式原结论原结论否定否定原结论原结论否定否定2是是都是都是大于大于小于小于对所有对所有x,成立成立对任何对任何x,不成立不成立不是不是不都是不都是不大于不大于不小于不小于存在某存在某x,不成立不成立存在某存在某x,成立成立至少有一个至少有一个至多有一个至多有一个至少有至少有n个个至多有至多有n个个一个也没有一个也没有至少有两个至少有两个至多有至多有n 1个个至少有至少有n 1个个p或或qp且且qp且

11、且qp或或q如如：“若“若a和和b都是偶数，都是偶数，则则a b是偶数”是偶数”的否命题是的否命题是“若“若a和和b不都是偶数，不都是偶数，则则a b是奇数”否定是“若是奇数”否定是“若a和和b都是偶数，则都是偶数，则a b是奇数”是奇数”9 9充分条件充分条件,必要条件和充要条件的概念记住了吗必要条件和充要条件的概念记住了吗?会从集合角度解释吗，会从集合角度解释吗，若若A A B B，则则 A A 是是 B B 的充分条件；的充分条件；B B 是是 A A 的必要条件；的必要条件；若若 A=BA=B，|4x3|1；则则 A A 是是 B B 的充要条件。的充要条件。若若A A B B，则则

12、A A 是是 B B 的充分不必要条件的充分不必要条件如如；（1 1）设命题设命题 p p：命题命题 q:q:x x2 2 (2 2a a 1 1)x x a a(a a 1 1)0 0。若。若p p 是是q q 的必要而不充分的条件，则实数的必要而不充分的条件，则实数 a a 的取值的取值范围是范围是（答：（答：0,）（2 2）“a 121a”是“对任意的正数”是“对任意的正数x，2x1”的（”的（）8xA A充分不必要条件充分不必要条件B B必要不充分条件必要不充分条件C C充要条件充要条件D D既不充分也不必要条件既不充分也不必要条件二、函数与导数二、函数与导数1010你对幂的运算，对数

13、运算的法则熟练掌握了吗？你对幂的运算，对数运算的法则熟练掌握了吗？logloga ab b的值的大小会判断么？的值的大小会判断么？0a 1，loga1 0，logaa 1，lg2lg5 1，1manab N logaN b(a 0,a 1,N 0)，alogaN N。1log81如：如：()2的值为的值为_(_(答答：)264aamnnm，amn如如:.:.已知已知f(3x)4xlog23233，则，则f(2)f(4)f(8)f(28)=2 21111二次函数问题三种形式二次函数问题三种形式:一般式一般式 f(x)=axf(x)=ax+bx+c(+bx+c(轴轴-b/2a,a-b/2a,a0,

14、0,顶点顶点?);?);顶点式顶点式2 2f(x)=a(x-h)f(x)=a(x-h)+k;+k;零点式零点式 f(x)=a(x-xf(x)=a(x-x1 1)(x-x)(x-x2 2)()(轴轴?)?);b=0;b=0 偶函数偶函数;三个二次问题熟悉了么？三个二次问题熟悉了么？0 0 03二次函数二次函数y ax2bxc（a 0）的图象）的图象一元二次方程一元二次方程有两相异实根有两相异实根有两相等实根有两相等实根ax bxc 02无实根无实根a 0的根ax2bxc 0(a 0)的解集ax2bxc 0(a 0)的解集x1,x2(x1 x2)x1 x2 b2ab x x x1或x x2x x

15、2a R Rx x1 x x21212反比例函数反比例函数:y y 1313函数函数y y x x c cc c(中心为中心为(b,a)(b,a)(x x 0 0)平移平移y y a a x xx x b ba a(，0 0),),(0 0，)上为增函数上为增函数是奇函数是奇函数,a a 0 0时时,在区间在区间x xa a 0 0时时,在在(0 0，a a,a a,0 0)递减递减在在(，a a,a a,)递增递增1414分段函数在近几年的高考中出现的频率比较高，你能正确理解分段函数的含义吗？分段函数在近几年的高考中出现的频率比较高，你能正确理解分段函数的含义吗？2x1，1 x，如：设函数如

16、：设函数f(x)2则则x x2，x 1，1f的值为（的值为（）f(2)D D18A A1516B B2716C C891515函数的图象是每年高考的一个热点，你会知式选图，知图选式，图象变换，以及自函数的图象是每年高考的一个热点，你会知式选图，知图选式，图象变换，以及自觉的运用图象解决一些方程，不等式的问题吗？觉的运用图象解决一些方程，不等式的问题吗？如：如：（1 1）函数）函数y lncosxyy x 的图象是（的图象是（）22yy2OAx22OBx2232OCx22ODx2（2 2）函数）函数y f(x)在定义域在定义域(,3)内可导，其内可导，其/图象如图，记图象如图，记y f(x)的导

17、函数为的导函数为y f(x)，41 1则不等式则不等式f/(x)0的解集为的解集为_ ,1 1 2 2,3 3)3 31616函数的单调性会判断吗定义法函数的单调性会判断吗定义法;单调性的定义：单调性的定义：f f(x x)在区间在区间MM上是增上是增（减）（减）函数函数 x x1 1,x x2 2 MM,当当x1 x2时时f f(x x1 1)f f(x x2 2)0 0(0 0)(x x1 1 x x2 2)f f(x x1 1)f f(x x2 2)0 0(0 0)f f(x x1 1)f f(x x2 2)0 0(0 0)；x x1 1 x x2 2导数法导数法.如：如：已知函数已知函

18、数f(x)x3ax在区间在区间1,)上是增函数，则上是增函数，则a的取值范围是的取值范围是_(_(答：答：(,3)；注意注意：f f (x x)0 0能推出能推出f f(x x)为增函数，为增函数，但反之不一定。但反之不一定。如函数如函数f f(x x)x x3 3在在(,)上单调递增，但上单调递增，但f f (x x)0 0，f f (x x)0 0是是f f(x x)为增函数的充分不必要条件。注意：函数为增函数的充分不必要条件。注意：函数单单调调性性与与奇奇偶偶性性的的逆逆用用了了吗吗?.?.如如：已已知知奇奇函函数数f f(x x)是是定定义义在在(2 2,2 2)上上的的减减函函数数,

19、若若f f(m m 1 1)f f(2 2m m 1 1)0 0，求实数，求实数m m的取值范围。的取值范围。（答：（答：12 m）231717奇偶性：奇偶性：f(x)f(x)是偶函数是偶函数f(-x)=f(x)=f(|x|);f(x)f(-x)=f(x)=f(|x|);f(x)是奇函数是奇函数f(-x)=-f(x);f(-x)=-f(x);定义定义域含零的奇函数过原点域含零的奇函数过原点(f(0)=0);(f(0)=0);定义域关于原点对称是为奇函数或偶函数的必要而不充定义域关于原点对称是为奇函数或偶函数的必要而不充分的条件。分的条件。1 1如：如：（1 1）设设 f(x)f(x)是定义在是

20、定义在 R R 上的偶函数，上的偶函数，f f(x x 3 3)，又当，又当 3 3 x x 2 2时，时，f f(x x)f f(x x)2 2x x，则，则f f(113113.5 5)的值为（的值为（）A.15B.15C.27D.27（2 2）设设f(x)是连续的偶函数，是连续的偶函数，且当且当 x x00 时时f(x)是单调函数，是单调函数，则满足则满足f(x)f所有所有 x x 之和为（之和为（）A A3B B3C C8D D8 x3的的x4)上为增函数，且上为增函数，且f(1)0，则不等式，则不等式（3 3）设奇函数）设奇函数f(x)在在(0，解集为解集为，0)(1，)A A(1f

21、(x)f(x)0的的x1)(0，1)B B(，1)(1，)，0)(01)，C C(，D D(11818函数的函数的周期性的判断掌握了吗。周期性的判断掌握了吗。若若 函函 数数f(x)满满 足足 f f x x f f a a x x，则则f(x)的的 周周 期期 为为2 2a；若若f(x a)11(a 0)恒成立，则恒成立，则T 2a；若；若f(x a)(a 0)恒成立，则恒成立，则f(x)f(x)T 2a.（f f x x T T f f x x 1 1）如如(1)(1)定义在定义在R R上的偶函数上的偶函数f(x)满足满足f(x2)f(x)，且在，且在3,2上是减函数，若上是减函数，若,是

22、锐角三角形的两个内角，则是锐角三角形的两个内角，则f(sin),f(cos)的大小关系为的大小关系为 _(_(答答：f(sin)f(cos)；（2 2）已知定义在已知定义在R上的函数上的函数f(x)是以是以 2 2 为周期的奇函数，为周期的奇函数，则方程则方程f(x)0在在2,2上至上至少有少有_个实数根（答：个实数根（答：5 5）1919常见的图象变换掌握了吗？常见的图象变换掌握了吗？如（如（1 1）要得到要得到y y lg(lg(3 3 x x)的图像，只需作的图像，只需作y y lg lg x x关于关于_轴对称的图像，再向轴对称的图像，再向 _平移平移 3 3 个单位而得到个单位而得到

23、(答：答：y；右；右)；5b b a a的图象向右平移的图象向右平移 2 2 个单位后又向下平移个单位后又向下平移 2 2 个单位个单位,所得图象如果与所得图象如果与x x a a原图象关于直线原图象关于直线y y x x对称对称,那么那么(A A)a a 1 1,b b 0 0(B B)a a 1 1,b b R R(C C)a a 1 1,b b 0 0(D D)a a 0 0,b b R R(答：答：C)C)（2 2）将函数）将函数y y 1（纵坐标不变）（纵坐标不变），再将此图像，再将此图像3沿沿x轴方向向左平移轴方向向左平移 2 2 个单位，所得图像对应的函数为个单位，所得图像对应的

24、函数为_(_(答：答：f(3x6)；（3 3）将函数将函数y f(x)的图像上所有点的横坐标变为原来的的图像上所有点的横坐标变为原来的2020函数的对称性掌握了吗？函数的对称性掌握了吗？。（1 1）函数）函数y y f f x x 关于关于y轴的对称曲线方程为轴的对称曲线方程为y y f f x x；（2 2）函数）函数y y f f x x 关于关于x轴的对称曲线方程为轴的对称曲线方程为y y f f x x；（3 3）函数）函数y y f f x x 关于原点的对称曲线方程为关于原点的对称曲线方程为y y f f x x；（4 4）曲线）曲线f(x,y)0关于直线关于直线y x a的对称曲

25、线的方程为的对称曲线的方程为f(y a),xa)0。曲曲 线线f(x,y)0关关 于于 直直 线线y x的的 对对 称称 曲曲 线线 的的 方方 程程 为为f(y,x)0；曲线；曲线f(x,y)0关于直线关于直线y x的对称曲线的方程为的对称曲线的方程为f(y,x)0。如：如：x33,(x),若若y y f f(x x 1 1)的图像是的图像是C C1 1,它关于直线它关于直线y x对称图像对称图像己知函数己知函数f(x)2x32是是C C2 2,C C2 2关关于于原原点点对对称称的的图图像像为为C C3 3,则则C C3 3对对应应的的函函数数解解析析式式是是_（答答：y x2）；2x1（

26、5 5）曲线）曲线f(x,y)0关于点关于点(a,b)的对称曲线的方程为的对称曲线的方程为f(2a x,2b y)0。如如若函若函2x 7x6）数数y x2 x与与y g(x)的图象关于点的图象关于点（-2-2，3 3）对称，对称，则则g(x)_（答：（答：如果函数如果函数y fx对于一切对于一切x R，都有都有fa x fa x，或或fx f2a x那那么函数么函数y fx的图象关于直线的图象关于直线x a对称对称y fxa是偶函数；是偶函数；f（a x）2b，那么函数，那么函数 如果函数如果函数y fx对于一切对于一切x R，都有，都有f（a x）y fx的图象关于点（的图象关于点（a，b

27、）对称）对称.y=f(x)y=f(x)满足满足 f(x+a)=f(xf(x+a)=f(xa)a)或或 f(xf(x2a)=f(x)2a)=f(x)恒成立恒成立,2a,2a 为周期为周期;2121你能画指数函数和对数函数的图象吗你能画指数函数和对数函数的图象吗?理解指数函数，对数函数的图象通过的特殊点理解指数函数，对数函数的图象通过的特殊点吗？吗？如：如：（1 1）已知实数已知实数a a,b b满足等式满足等式2 2a a 3 3b b，下列五个关系式：，下列五个关系式：0 0 b b a a;a a b b 0 0;0 0 a a b b;b b a a 0 0;a a b b.其中可能成立的

28、关系式有（其中可能成立的关系式有（）A AB B C CD D 1 1 1 1（2 2）设）设a a,b b,c c均为正数，且均为正数，且2 2 loglog1 1a a，loglog1 1b b，loglog2 2c c.则（则（）2 2 2 2 2 22 2a ab bc cA.A.a a b b c c B.B.c c b b a a C.C.c c a a b b D.D.b b a a c c2222你对函数的最大值或最小值的概念正确理解了吗你对函数的最大值或最小值的概念正确理解了吗?如：如：（1 1）设函数）设函数f f(x x)的定义域为的定义域为R R，有下列三个命题：，有下

29、列三个命题：若存在常数若存在常数MM，使得对任意，使得对任意x x R R,有有f f(x x)MM,则则MM是函数是函数f f(x x)的最大值；的最大值；若存在若存在x x0 0 R R,使得对任意使得对任意x x R R,x x x x0 0,有有f f(x x)f f(x x0 0),),则则f f(x x0 0)是函数是函数f f(x x)的最大的最大值；值；若存在若存在x x0 0 R R,使得对任意使得对任意x x R R,有有f f(x x)f f(x x0 0),),则则f f(x x0 0)是函数是函数f f(x x)的最大值的最大值.这些命题中这些命题中,真命题的个数是（

30、真命题的个数是（）A.0 B.1 C.2 D.3A.0 B.1 C.2 D.332（2 2）已知函数）已知函数f(x)x ax 7x 1,若若f(x)f(1)对对x 0恒成立，则恒成立，则a的值为的值为A.A.3B.B.2C.C.1D.D.12323什么是函数的零点什么是函数的零点?函数零点有什么性质函数零点有什么性质?你能正确运用函数零点的性质解决有关方你能正确运用函数零点的性质解决有关方6程的根的分布问题吗程的根的分布问题吗?9 9的零点所在的大致区间是（的零点所在的大致区间是（）x xA.A.(6 6,7 7)B.B.(7 7,8 8)C.C.(8 8,9 9)D.D.(9 9,1010

31、)练习练习 函数函数y y lnln x x 24.24.你理解导数的几何意义吗你理解导数的几何意义吗?会求经过一点的曲线的切线方程吗会求经过一点的曲线的切线方程吗?过某点的切线过某点的切线不一定不一定只有一条只有一条如：已知函数如：已知函数f(x)x33x.（1 1）求曲线）求曲线y f(x)在点在点x 2处的切线方程；处的切线方程；（2 2）若过点）若过点A(1,m)(m 2)可作曲线可作曲线y f(x)的三条切线，求实数的三条切线，求实数m的取值范围的取值范围.25.25.你理解函数的单调性和导数的关系吗你理解函数的单调性和导数的关系吗?在应用导数研究函数的单调性时在应用导数研究函数的单

32、调性时,往往需要解往往需要解含有参数的二次不等式含有参数的二次不等式,在进行讨论时在进行讨论时,你考虑的全面吗你考虑的全面吗,注意到特殊情况了吗注意到特殊情况了吗?你是否注意二你是否注意二次项系数为零的情况次项系数为零的情况?如；已知函数如；已知函数f(x)x3ax2 x1，aR R（）讨论函数（）讨论函数f(x)的单调区间；的单调区间；（）设函数（）设函数f(x)在区间在区间，内是减函数，求内是减函数，求a的取值范围的取值范围2626。对于形如。对于形如f(ax b)的复合函数导数的求法的复合函数导数的求法,你掌握了吗你掌握了吗?这是正确应用导数解决问题这是正确应用导数解决问题的前提的前提.

33、如：若如：若f(x)231312x bln(x2)在(-1,+)上是减函数，则上是减函数，则b的取值范围是（的取值范围是（）2A.A.1,)B.B.(1,)C.C.(,1D.D.(,1)27.27.你理解函数在某点取得极值的必要条件和充分条件吗你理解函数在某点取得极值的必要条件和充分条件吗?函数函数f f(x x)的导函数的导函数f f(x x),则则f f(a a)0 0是是f f(a a)为函数为函数f f(x x)极值的必要不充分条件极值的必要不充分条件.给出函数极大给出函数极大(小小)值的条件，一定要值的条件，一定要既考虑既考虑f(x0)0，又要考虑检验“左正右负”，又要考虑检验“左正

34、右负”(“左负右正”“左负右正”)的转化，否则条件没有用完，的转化，否则条件没有用完，这一点一定要切记。如：设函数这一点一定要切记。如：设函数f(x)ax2blnx，其中，其中ab 0证明：当证明：当ab 0时，时，函数函数f(x)没有极值点；当没有极值点；当ab 0时，函数时，函数f(x)有且只有一个极值点，并求出极值有且只有一个极值点，并求出极值2828.在应用导数求参数的范围时在应用导数求参数的范围时,你注意到端点的取舍吗你注意到端点的取舍吗?讨论时遗漏特殊情况了吗讨论时遗漏特殊情况了吗?设函数设函数f(x)a332x x(a1)x1,其中a为实数。为实数。32（1 1）已知函数）已知函

35、数f(x)在在x 1处取得极值，求处取得极值，求a的值；的值；（2 2）已知不等式已知不等式f(x)x2 xa1对任意对任意a(0,)都成立，都成立，求实数求实数x的取值范围。的取值范围。29.29.你理解存在性问题和恒成立问题的区别与联系吗你理解存在性问题和恒成立问题的区别与联系吗?在解题时切不可把二者混为一谈在解题时切不可把二者混为一谈.遇到含参不等式恒成立求参变量的范围问题，通常采用遇到含参不等式恒成立求参变量的范围问题，通常采用分离参数法分离参数法，转化为求某函数，转化为求某函数的最大值的最大值（或最小值）（或最小值）；具体地：具体地：g(a)f(x)g(a)f(x)在在 x x A

36、A 上恒成立上恒成立g(a)f(x)g(a)f(x)maxmax，g(a)f(x)g(a)f(x)在在 x x A A上恒成立上恒成立g(a)f(x)g(a)0f(a,x)0 在在 x x A A 上恒上恒成立成立f(a,x)f(a,x)minmin0,(x0,(x A)A)及及 f(a,x)0f(a,x)0,(x0,(x A)A)来转化；来转化；还可以还可以借助于函数图象解决问题。特别关注：借助于函数图象解决问题。特别关注：“不等式“不等式 f(a,x)f(a,x)0 0 对所有对所有 x xMM 恒成立”与恒成立”与“不等“不等式式 f(a,x)f(a,x)0 0 对所有对所有 a aMM

37、 恒成立”是两个不同的问题，前者是关于恒成立”是两个不同的问题，前者是关于 x x 的不等式，而后者则的不等式，而后者则应视为是关于应视为是关于 a a 的不等式。特别提醒：的不等式。特别提醒：“判别式”只能用于“二次函数对一切实数恒成立”“判别式”只能用于“二次函数对一切实数恒成立”的问题，其它场合，概不适用。的问题，其它场合，概不适用。a af(x)f(x)恒成立恒成立a af(x)f(x)max,max,;a;af(x)f(x)恒成立恒成立a af(x)f(x)minmin;如：如：函数函数f f(x x)x x2 2 x x a a,x x 0 0,1 1.(1).(1).若关于若关于

38、x的不等式的不等式f f(x x)0 0有解有解,则实数则实数a的取值的取值范围是范围是;(2);(2)若关于若关于x的不等式的不等式f f(x x)0 0恒成立恒成立,则实数则实数a a的取值范围是的取值范围是.3030几类常见的抽象函数几类常见的抽象函数：正比例函数型：正比例函数型：f(x)kx(k 0)-f(x y)f(x)f(y)；7f(x)；f(y)f(x)指数函数型：指数函数型：f(x)ax-f(x y)f(x)f(y)，f(x y)；f(y)x对数函数型：对数函数型：f(x)logax-f(xy)f(x)f(y)，f()f(x)f(y)；yf(x)f(y)三角函数型：三角函数型：

39、f(x)tan x-f(x y)。1 f(x)f(y)如：如：（1 1）已知已知f(x)是定义在是定义在 R R 上的奇函数，且为周期函数，若它的最小正周期为上的奇函数，且为周期函数，若它的最小正周期为T T，则，则Tf()_（答：（答：0 0）y2（2 2）已知已知f(x)是定义在是定义在(3,3)上的奇函数，当上的奇函数，当0 x 3时，时，f(x)的图像如右图所示，那么不等式的图像如右图所示，那么不等式f(x)cos x 0的解集的解集O123是是_（答：（答：(,1)(0,1)(,3)）；22x幂函数型：幂函数型：f(x)x2-f(xy)f(x)f(y)，f()三、数列问题三、数列问题

40、3131a an n=S S1 1(n n 1 1)S Sn n S Sn n 1 1(n n 2 2,n n N N*)xy注意验证注意验证 a a1 1是否包含在是否包含在 a an n的公式中。的公式中。3232等差数列等差数列an中中 a an n=a=a1 1+(n-1)d;a+(n-1)d;an n=a=am m+(n+(nm)d,m)d,d S Sn n=nana1 1 ana1aman(m n)n1mnd n n(n n 1 1)n n(n n 1 1)n n(a a1 1 a an n)d。Sn An2Bn n2a1nd d=nanan n d d=22 22 22 22;当

41、当 m+n=p+q,am+n=p+q,am m+a+an n=a=ap p+a+aq q；n-mn-m等比数列等比数列an中，中，a an n=a=am mq q;当当 m+n=p+qm+n=p+q，a am ma an n=a=ap pa aq q；(q 1)na1nsna1(1q)a1anq1q1q(q 1)an am(nm)d，d anam；在等比数；在等比数nm列中，列中，an amqnm,q nman;am如：如：（1 1）如果）如果 1 1,a a,b b,c c,9 9成等比数列，那么（成等比数列，那么（）A.A.b b 3 3,acac 9 9 B.B.b b 3 3,acac

42、 9 9 C.C.b b 3 3,acac 9 9 D.D.b b 3 3,acac 9 9（2 2）在等比数列在等比数列an中，中，a3a8124,a4a7 512，公比，公比q q 是整数，则是整数，则a10=_=_（答：（答：512512）；）；（3 3）各各 项项 均均 为为 正正 数数 的的 等等 比比 数数 列列an中中，若若a5a6 9，则则log3a1 log3a2 log3a10（答：（答：1010）。3333你能求一般数列中的最大或最小项吗？你能求一般数列中的最大或最小项吗？如（如（1 1）等差数列等差数列an中，中，a1 25，S9 S17，问此数列前多少项和最大？并求此

43、最大值。问此数列前多少项和最大？并求此最大值。（答：（答：前前 1313 项和最大，项和最大，最大值为最大值为 169169）；（2 2）若若an是等差数列，首项是等差数列，首项a1 0,a2003 a2004 0，a2003a2004 0，则使前，则使前n n 项和项和Sn 0成立的最大成立的最大正整数正整数 n n 是是（答：（答：40064006）34.34.等差数列等差数列aan n 的任意连续的任意连续 mm 项的和构成的数列项的和构成的数列 S Smm、S S2m2m-S-Smm、S S3m3m-S-S2m2m、S S4m4m-S-S3m3m、仍为等差数列。仍为等差数列。8等比数列

44、等比数列aan n 的任意连续的任意连续 mm 项的和且不为零时构成的数列项的和且不为零时构成的数列 S Smm、S S2m2m-S-Smm、S S3m3m-S-S2m2m、S S4m4m-S S3m3m、仍为等比数列。、仍为等比数列。如：公比为如：公比为-1-1 时，时，S4、S8-S4、S12-S8、不成等比数列、不成等比数列35.35.求和常用方法求和常用方法:公式、分组、裂项相消、错位相减、倒序相加公式、分组、裂项相消、错位相减、倒序相加.关键找通项结构关键找通项结构.由数由数列的前列的前n项和的公式求数列的通项公式项和的公式求数列的通项公式an时时,你注意验证你注意验证n 1的情况了

45、吗的情况了吗?在利用等比数在利用等比数列的前列的前 n n 项和公式时项和公式时,你注意讨论公比等于你注意讨论公比等于 1 1 了吗了吗?.常用结论常用结论n(n 1)22 2）1+3+5+.+(2n-1)=1+3+5+.+(2n-1)=n211111 11()3 3），n(n 1)nn 1n(n 2)2 nn 21111()(p q)4 4）pqq p pq1 1）:1+2+3+.+n=:1+2+3+.+n=111x2f(1)f(2)f(3)f(4)f()f()f()如：如：（1 1）已知）已知f(x)，则，则2341 x27_（答：（答：）2（2 2）.设等比数列设等比数列an的公比为的公

46、比为q,前前 n n 项和项和Sn,若若Sn1,Sn,Sn2成等差数列成等差数列.则则q的值的值是是.（3 3）设等比数列）设等比数列an的公比为的公比为q,前前 n n 项和项和Sn 0(n N),则则q的取值范围是的取值范围是.（4 4）.已知数列已知数列an的各项均为正数的各项均为正数,Sn为其前为其前n项和，对于任意的项和，对于任意的nN满足关系式满足关系式2Sn3an3.（1 1）求数列）求数列an的通项公式；的通项公式；1，前，前n项和为项和为Tn，求，求Tn.log3anlog3an11（5 5）已知数列）已知数列an的前的前n项和为项和为Snn(n 1).（）求数列（）求数列a

47、n的通项公式；的通项公式；2（2 2）设数列）设数列bn的通项公式是的通项公式是bn（）若（）若b11,2bnbn1 0(n 2,n N),cn anbn,数列数列cn的前项和为的前项和为Tn，求证求证Tn 4.3636求通项公式常用方法求通项公式常用方法-“迭代法”“迭代法”，转化为等差数列，等比数列法。倒数法等会用转化为等差数列，等比数列法。倒数法等会用吗？，吗？，anan1a2a1an1an2a111114,n 1如：如：（1 1）数列数列an满足满足a12a2nan 2n5，求，求an（答：（答：ann1）2,n 22221an1如（如（2 2）已知已知a11,an，求，求an（答：（

48、答：an）；（3 3）已知数列满足已知数列满足a1=1=1，3n23an111an1ananan1，求，求an（答：（答：an2）na an n（a an na an-1n-1）+(a+(an-1n-1a an-2n-2)+)+（a a2 2a a1 1）a a1 1；a an n（4 4）已已 知知 数数 列列an的的 通通 项项 公公 式式an 3n1,设设 数数 列列bn对对 任任 意意 自自 然然 数数n有有9bb1b2n 2n1,则则b1b2b2009.a1a2an（5 5）已知数列已知数列an的前的前n项和为项和为Sn，a11,an1 2Sn(nN N*).求数列求数列an的通项的

49、通项an.四、三角问题四、三角问题23737弧长公式弧长公式：l|R，扇形面积公式：，扇形面积公式：S 1lR 1|R，1 1 弧度弧度(1rad)(1rad)57.3.22如：如：已知扇形已知扇形 AOBAOB 的周长是的周长是 6cm6cm，该扇形的中心角是该扇形的中心角是 1 1 弧度，弧度，求该扇形的面积。求该扇形的面积。（答：（答：2 2cm）3838你能迅速画出或得到函数你能迅速画出或得到函数y Asin(x)图象的简图吗图象的简图吗?你了解你了解A,对函数图对函数图象变化的影响吗象变化的影响吗?你熟练掌握函数你熟练掌握函数y Asin(x)的性质吗的性质吗?（单调性，奇偶性，值域

50、，（单调性，奇偶性，值域，对称轴方程，对称中心）对称轴方程，对称中心）25；（2 2）已知函数已知函数2x的奇偶性是的奇偶性是 _（答：偶函数）（答：偶函数）2，且，且f(5)7，则，则f(5)_（答：（答：5 5）；（3 3）f(x)axbsin3x1(a,b为常数）为常数）函函 数数y 2cosx(sin xcosx)的的 图图 象象 的的 对对 称称 中中 心心 和和 对对 称称 轴轴 分分 别别 是是 _、kk,1)(k Z)、x(k Z)）_（答：（答：(；2828（4 4）已已 知知f(x)sin(x)3cos(x)为为 偶偶 函函 数数，求求的的 值值。（答答：k(k Z)）6（