高中数学教学设计：等比数列的前n项和.pdf

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1、等比数列的前等比数列的前n n项和（第一课时）项和（第一课时）教材：人民教育出版社全日制普通高级中学教科书（必修）数学第一册（上）一、教材分析从教材的编写顺序上来看，等比数列的前 n 项和是第三章“数列”第五节的内容，一方面它是“等差数列的前 n 项和”与“等比数列”内容的延续、与前面学习的函数等知识也有着密切的联系，另一方面它又为进一步学习“数列的极限”等内容作准备.就知识的应用价值上来看，它是从大量数学问题和现实问题中抽象出来的一个模型，在公式推导中所蕴涵的数学思想方法如分类讨论等在各种数列求和问题中有着广泛的应用；另外它在如“分期付款”等实际问题的计算中也经常涉及到.就内容的人文价值上来

2、看，等比数列的前 n 项和公式的探究与推导需要学生观察、分析、归纳、猜想，有助于培养学生的创新思维和探索精神,是培养学生应用意识和数学能力的良好载体教师教学用书安排“等比数列的前 n 项和”这部分内容授课时间 2 课时，本节课作为第一课时，重在研究等比数列的前 n 项和公式的推导及简单应用，教学中注重公式的形成推导过程并充分揭示公式的结构特征和内在联系.二、教学目标二、教学目标依据课程标准，结合学生的认知水平和年龄特点，确定本节课的教学目标如下：知识与技能目标：理解等比数列的前 n 项和公式的推导方法；掌握等比数列的前 n 项和公式并能运用公式解决一些简单问题过程与方法目标：通过公式的推导过程

3、，提高学生的建模意识及探究问题、分析与解决问题的能力，体会公式探求过程中从特殊到一般的思维方法，渗透方程思想、分类讨论思想及转化思想，优化思维品质情感与态度目标：通过经历对公式的探索，激发学生的求知欲，鼓励学生大胆尝试、勇于探索、敢于创新，磨练思维品质，从中获得成功的体验，感受思维的奇异美、结构的对称美、形式的简洁美、数学的严谨美三、教学重点和难点重点：等比数列的前n项和公式的推导及其简单应用从教材体系来看，它为后继学习提供了知识基础，具有承上启下的作用；从知识特点而言，蕴涵丰富的思想方法；就能力培养来看，通过公式推导教学可培养学生的运用数学语言交流表达的能力.突出重点方法：“抓三线、突重点”

4、，即(一)知识技能线：问题情境公式推导公式运用；（二）过程与方法线:特殊到一般、猜想归纳 错位相减法等转化、方程思想；（三）能力线：观察能力数学思想解决问题能力灵活运用能力及严谨态度.第1页共5页难点：等比数列的前n项和公式的推导从学生认知水平来看，学生的探究能力和用数学语言交流的能力还有待提高.从知识本身特点来看，等比数列前n项和公式的推导方法和等差数列的的前n项和公式的推导方法可比性低，无法用类比的方法进行，它需要对等比数列的概念和性质能充分理解并融会贯通，而知识的整合对学生来说恰又是比较困难的，而且错位相减法是第一次碰到，对学生来说是个新鲜事物.突破难点手段：“抓两点，破难点”,即一抓学

5、生情感和思维的兴奋点，激发他们的兴趣，鼓励学生大胆猜想、积极探索，及时地给以鼓励，使他们知难而进；二抓知识选择的切入点，从学生原有的认知水平和所需的知识特点入手，教师在学生主体下给予适当的提示和指导.四、教学方法利用计算机和实物投影等辅助教学，采用启发和探究-建构教学相结合的教学模式.五、教学过程教学过程【漫画演示】话说猪八戒自西天取经回到了高老庄，从高员外手里接下了高老庄集团，摇身变成了 CEO可好景不长，便因资金周转不灵而陷入了窘境，急需大量资金投入，于是就找孙悟空帮忙悟空一口答应：“行！我每天投资 100 万元，连续一个月（30 天），但是有一个条件是：作为回报，从投资的第一天起你必须返

6、还给我 1 元，第二天返还 2 元，第三天返还 4元即后一天返还数为前一天的 2 倍”八戒听了，心里打起了小算盘：“第一天：支出 1 元，收入 100 万；第二天：支出 2 元，收入 100 万，第三天：支出 4 元，收入 100 万元；哇，发财了”心里越想越美再看看悟空的表情，心里又嘀咕了：“这猴子老是欺负我，会不会又在耍我？”【教师提问】(1)假如你是高老庄集团企划部的高参，请你帮八戒分析一下，按照悟空的投资方式，30 天后，八戒能吸纳多少投资？又该返还给悟空多少钱？(2)S301 2 22 23 229(观察数字特征，引出课题)探领悟数学应1.学生自主探究：S301 2 2 2 2用价值

7、2.解决情境问题从特殊到一3.师生共同探讨一般等比数列前 n 项和：Sn a1a2a3 an1an?般,从模仿即Sn a1 a1q a1q2 a1qn2 a1qn1?到创新，有利于学生的方法 1：错位相减法知识迁移和2329设计意图创设情境依托市场经济背景，运用学生熟悉的人物编拟故事，以趣引思,激发学生学习热情.第2页共5页究问题辨析质疑能力提高通过学生个(1 q)Sn a1 a1qn别学习，互a1(1 qn)相讨论，揭q 11 qSn示知识的内naq 1在联系.通1过生生、师方法 2：提取公比 q生 间 的 探Sn a1 a1q a1q2 a1qn2 a1qn1讨、合作，n2 a1 q（a1

8、 a1q a1q）培养学生的n1 a1 q（Sn a1q）洞察力增(1 q)Sn a1 a1qn强学生思维的严谨性.方法 3：利用等比定理通过实物展anaa2a q34a3a1a2an1示学生解决a2 a3 anS a1问 题 的 方 q n(1q)Sn a1anqSn ana1 a2 an1法，破除思维定势.1口答：在公比为 q 的等比数列an中(1)若a12,q1，则Sn_33（2）若a11,q1，则Sn_剖析公式中2判断是非：的基本量及nn11(12)12 48(2)（）结构特征，12n识记公式.23n1(12)1 2 2 2 2（）2n2 a1qn1Sn a1 a1q a1q a1q2

9、3n1 a1qnqSn a1q a1q a1q a1q12若c 0且c 1，则c c c c2462nc21(c2)n1 c2（）3对公式的再认识(1)、对公比 q 的分类讨论(2)、公式中 n 的理解巩固例 1已知an是等比数列，请完成下表：题号(1)(2)a112q1223n8anSn8962763(3)2熟练公式运用，着重强调公式的选择.第3页共5页提高例 2求等比数列,的例题改编方法 2：此等比数列的连续项从第 5 项到第 10 项构成而成，一题一个新的等比数列：首项为a516，公比为多 解 及 变式,有利于q 2，项数为n 6提高思维的变式 1：求11,21,31,41,51的前 n

10、 项和2481632灵活性和梯变式 2：求1,2,3,4,5的前 n 项和（留作思考）度.2 4 8 16 32方法 1：观察、发现：a5 a6 a10 S10 S41 1 11,的第 5 项到第 10 项的和2 4 8 16本例由书中反（二）思考“神舟六号”发射成功，某移动公司立即发出短信：“请你思把中国神六发射成功的消息转发给 10 位朋友，并且注明您是拓第 x 位接收此消息的”假定这家公司发出的 10 条短信中的 x 值均为 1，以后每一位收到短信后将x 值都增加 1，再将广短信发出据统计，所发短信中 x 的最大值为 10试问通过这家公司最多发了多少条短信？作业布置（一）小结引导学生从知

11、识、思想、方法三个方面进行总结从知识的归纳进一步延伸到思想方法提炼，把数学的学习作为提高学生数学素养和文化水平的 有 效 途径.(1)书面作业：必做题：课本 P129练习 3(1)习题 3.51布置弹性作选做题：画一个边长为 2cm 的正方形,再将这业以使各个个正方形各边的中点相连得到第 2 个正方形,层次的学生依此类推,这样一共画了 10 个正方形,求这10都 有 所 发展.提供参个正方形的面积的和(2)研究性作业：查阅“芝诺悖论”,并从数列求和的角度加考网站，便于学生开展以解释自主学习.(参考网站:http:/ 1 采用表格形式,突出表现五个基本量“知三求二”的关系，通过公式的正用和逆用进一步提高学生运用知识的能力；例 2 由教科书中的例题改编而成，并进行适当的变式,可以提高学生的模式识别的能力，培养学生思维的深刻性和灵活性.5思路拓广数学化从整理知识提升到强化方法，由课内巩固延伸到课外思考，变“知识本位”为“学生本位”，使数学学习成为提高学生素质的有效途径.以生活中的实例作为思考，让学生认识到数学来源于生活并应用于生活，生活中处处有数学6作业布置弹性化通过布置弹性作业，为学有余力的学生提供进一步发展的空间介绍相关网站让学生查阅有关资料，有利于丰富学生的知识，拓展学生的视野，提高学生的数学素养第5页共5页