高中数学知识点总结(精华版).pdf

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1、高中数学知识点总结高中数学知识点总结1.元素与集合的关系x A xCUA,xCUA x A.2.德摩根公式CU(AB)CUACUB;CU(AB)CUACUB.3.包含关系AB A AB B A B CUB CUA ACUB CUAB R4.容斥原理card(AB)cardAcardB card(AB)card(ABC)cardAcardBcardC card(AB)card(AB)card(BC)card(CA)card(ABC).5 集合a1,a2,an的子集个数共有2n个；真子集有2n1 个；非空子集有2n1个；非空的真子集有22 个.6.二次函数的解析式的三种形式(1)一般式f(x)ax

2、 bxc(a 0);(2)顶点式f(x)a(xh)k(a 0);(3)零点式f(x)a(x x1)(x x2)(a 0).7.解连不等式N f(x)M常有以下转化形式22nN f(x)M f(x)M f(x)N 0f(x)NM NM N 0|f(x)M f(x)2211.f(x)NM N8.方程f(x)0在(k1,k2)上有且只有一个实根,与f(k1)f(k2)0不等价,前者是后2者的一个必要而不是充分条件.特别地,方程ax bx c 0(a 0)有且只有一个实根在k k2b(k1,k2)内,等价于f(k1)f(k2)0,或f(k1)0且k1 1,或f(k2)0且2a2k1 k2b k2.22

3、a9.闭区间上的二次函数的最值二次函数f(x)ax bx c(a 0)在闭区间p,q上的最值只能在x 2b处及区2a间的两端点处取得，具体如下：(1)当 a0 时，若x bb则f(x)min f(p,q，),f(x)maxmaxf(p),f(q)；2a2ax bp,q，f(x)maxmaxf(p),f(q)，f(x)minminf(p),f(q).2a(2)当a0)（1）f(x)f(x a)，则f(x)的周期 T=a；（2）f(x)f(x a)0，1(f(x)0)，f(x)1或f(xa)(f(x)0),f(x)12或f(x)f(x)f(xa),(f(x)0,1),则f(x)的周期 T=2a；2

4、1(f(x)0)，则f(x)的周期 T=3a；(3)f(x)1f(x a)f(x1)f(x2)(4)f(x1 x2)且f(a)1(f(x1)f(x2)1,0|x1 x2|2a)，则1 f(x1)f(x2)f(x)的周期 T=4a；(5)f(x)f(xa)f(x2a)f(x3a)f(x4a)或f(x a)f(x)f(xa)f(x2a)f(x3a)f(x4a),则f(x)的周期 T=5a；(6)f(x a)f(x)f(x a)，则f(x)的周期 T=6a.30.分数指数幂(1)a(2)amn1nmnam1mn（a 0,m,nN，且n 1）.（a 0,m,nN，且n 1）.a31根式的性质n（1）(

5、na)a.（2）当n为奇数时，nan a；当n为偶数时，nan|a|32有理指数幂的运算性质(1)a a arsrrsrrrsrsa,a 0.a,a 0(a 0,r,sQ).(2)(a)a(a 0,r,sQ).(3)(ab)a b(a 0,b 0,rQ).注：若 a0，p 是一个无理数，则 ap表示一个确定的实数上述有理指数幂的运算性质，对于无理数指数幂都适用.33.指数式与对数式的互化式logaN b ab N(a 0,a 1,N 0).34.对数的换底公式logmN(a 0,且a 1,m 0,且m 1,N 0).logmann推论logamb logab(a 0,且a 1,m,n 0,且m

6、 1,n 1,N 0).mlogaN 35对数的四则运算法则若 a0，a1，M0，N0，则(1)loga(MN)logaM logaN;M logaM logaN;Nn(3)logaM nlogaM(nR).(2)loga2236.设函数f(x)logm(ax bx c)(a 0),记 b 4ac.若f(x)的定义域为R,则a 0，且 0;若f(x)的值域为R,则a 0，且 0.对于a 0的情形,需要单独检验.37.对数换底不等式及其推广1,则函数y logax(bx)a11 (1)当a b时,在(0,)和(,)上y logax(bx)为增函数.aa11，(2)当a b时,在(0,)和(,)上

7、y logax(bx)为减函数.aa若a 0,b 0,x 0,x 推论:设n m 1，p 0，a 0，且a 1，则（1）logm p(n p)logmn.（2）logamlogan loga2mn.238.平均增长率的问题如果原来产值的基础数为N，平均增长率为p，则对于时间x的总产值y，有y N(1 p)x.39.数列的同项公式与前n 项的和的关系n 1s1,(数列an的前 n 项的和为sn a1a2ans s,n 2nn140.等差数列的通项公式an).an a1(n1)d dn a1d(nN*)；其前 n 项和公式为n(a1an)n(n1)na1d22d1n2(a1d)n.22sn41.等

8、比数列的通项公式an a1qn1a1nq(nN*)；q其前 n 项的和公式为a1(1qn),q 1sn1qna,q 11a1anq,q 1或sn1q.na,q 1142.等比差数列an:an1 qand,a1 b(q 0)的通项公式为b(n1)d,q 1anbqn(d b)qn1d；,q 1q1其前 n 项和公式为nbn(n1)d,(q 1)sn.d1qnd(b)n,(q 1)1qq11q43.分期付款(按揭贷款)ab(1b)n每次还款x 元(贷款a元,n次还清,每期利率为b).(1b)n144常见三角不等式（1）若x(0,(2)若x(0,2)，则sin x x tanx.2(3)|sin x

9、|cosx|1.)，则1 sin xcosx 2.45.同角三角函数的基本关系式sin2cos21，tan=46.正弦、余弦的诱导公式sin，tancot1.cos(n 为偶数)(n 为奇数)(n 为偶数)(n 为奇数)nn(1)2sin,sin()n12(1)2cos,nn(1)2cos,cos()n12(1)2sin,47.和角与差角公式sin()sincoscossin;cos()coscossinsin;tan tantan().1tantansin()sin()sin2sin2(平方正弦公式);cos()cos()cos2sin2.asinbcos=a2b2sin()(辅助角所在象限

10、由点(a,b)的象限决b定,tan).a48.二倍角公式sin2sincos.cos2 cos2sin2 2cos2112sin2.2tan.tan221tan49.三倍角公式sin3 3sin4sin3 4sinsin()sin().33cos3 4cos33cos 4coscos()cos()333tantan3tan3 tantan()tan().13tan23350.三角函数的周期公式函数y sin(x)，xR 及函数y cos(x)，xR(A,为常数，且 A0，.0)的周期T 2；函数y tan(x)，x k2,kZ(A,为常数，且 A0，0)的周期T 51.正弦定理.abc 2R.

11、sin Asin BsinC52.余弦定理a2 b2c22bccos A;b2 c2a22cacosB;c2 a2b22abcosC.53.面积定理111ahabhbchc（ha、hb、hc分别表示 a、b、c 边上的高）.222111（2）S absinC bcsin A casin B.2221(3)SOAB(|OA|OB|)2(OAOB)2.2（1）S 54.三角形内角和定理在ABC 中，有A BC C(A B)CA B 2C 22(A B).222k55.简单的三角方程的通解sin x a x k(1)arcsina(k Z,|a|1).cosx a x 2karccosa(k Z,|

12、a|1).tan x a x karctana(k Z,aR).特别地,有sin sin k(1)k(k Z).cos cos 2k(kZ).tan tan k(kZ).56.最简单的三角不等式及其解集sin x a(|a|1)x(2karcsina,2karcsina),k Z.sin x a(|a|1)x(2karcsina,2karcsina),k Z.cosx a(|a|1)x(2karccosa,2karccosa),k Z.cosx a(|a|1)x(2karccosa,2k2arccosa),kZ.tan x a(aR)x(karctana,k2),k Z.tan x a(aR)

13、x(k2,karctana),k Z.57.实数与向量的积的运算律设、为实数，那么(1)结合律：(a a)=()a a;(2)第一分配律：(+)a a=a a+a;a;(3)第二分配律：(a a+b b)=a a+b b.58.向量的数量积的运算律：(1)a ab=bb=ba a（交换律）;(2)（a a）b=b=（a ab b）=a ab b=a a（b b）;(3)（a a+b+b）c=c=a ac+bc+bc.c.59.平面向量基本定理如果 e e1 1、e e2 2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量，有且只有一对实数1、2，使得 a=a=1e e1+2e e2不

14、共线的向量 e e1、e e2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底基底60向量平行的坐标表示设 a a=(x1,y1),b b=(x2,y2)，且 b b0 0，则 a a b(bb(b0)0)x1y2 x2y1 0.53.a a与 b b 的数量积(或内积)a ab b=|a a|b b|cos61.a ab b 的几何意义数量积 a ab b 等于 a a 的长度|a a|与 b b 在 a a 的方向上的投影|b b|cos的乘积62.平面向量的坐标运算(1)设 a a=(x1,y1),b b=(x2,y2)，则 a+b=a+b=(x1 x2,y1 y2).(2)设 a a=(x1,y1

15、),b b=(x2,y2)，则 a-b=a-b=(x1 x2,y1 y2).(3)设 A(x1,y1)，B(x2,y2),则AB OBOA(x2 x1,y2 y1).(4)设 a a=(x,y),R，则a=a=(x,y).(5)设 a a=(x1,y1),b b=(x2,y2)，则 a ab=b=(x1x2 y1y2).63.两向量的夹角公式公式cosx1x2 y1y2x y x y21212222(a a=(x1,y1),b b=(x2,y2).64.平面两点间的距离公式dA,B=|AB|AB AB(x2 x1)2(y2 y1)2(A(x1,y1)，B(x2,y2).65.向量的平行与垂直设

16、 a a=(x1,y1),b b=(x2,y2)，且 b b0 0，则A A|b bb b=a a x1y2 x2y1 0.a ab(ab(a0)0)a ab=b=0 x1x2 y1y2 0.66.线段的定比分公式设P1P2的分点,是实数，且PP1(x1,y1)，P2(x2,y2)，P(x,y)是线段P1PP2，则x1x2OP OP21OP 1y1y2111（）.t(1t)OPOP tOP121x y 67.三角形的重心坐标公式ABC 三个顶点的坐标分别为A(x1,y1)、B(x2,y2)、C(x3,y3),则ABC 的重心的坐标是G(x1 x2 x3y1 y2 y3,).3368.点的平移公

17、式x xhx x h OP OP PP.y y ky y k注:图形 F 上的任意一点 P(x，y)在平移后图形F上的对应点为P(x,y)，且PP的坐标为(h,k).69.“按向量平移”的几个结论（1）点P(x,y)按向量 a a=(h,k)平移后得到点P(xh,y k).(2)函数y f(x)的图象C按向量 a a=(h,k)平移后得到图象C,则C的函数解析式为y f(xh)k.(3)图象C按向量 a a=(h,k)平移后得到图象C,若C的解析式y f(x),则C的函数解析式为y f(xh)k.(4)曲线C:f(x,y)0按向量 a a=(h,k)平移后得到图象C,则C的方程为f(xh,y

18、k)0.(5)向量 m m=(x,y)按向量 a a=(h,k)平移后得到的向量仍然为m m=(x,y).70.三角形五“心”向量形式的充要条件设O为ABC所在平面上一点，角A,B,C所对边长分别为a,b,c，则（1）O为ABC的外心 OA OB OC.（2）O为ABC的重心 OAOB OC 0.（3）O为ABC的垂心 OAOB OBOC OCOA.（4）O为ABC的内心 aOAbOBcOC 0.（5）O为ABC的A的旁心 aOA bOBcOC.71.常用不等式：（1）a,bRa b 2ab(当且仅当 ab 时取“=”号)22222abab(当且仅当 ab 时取“=”号)2333（3）a b

19、c 3abc(a 0,b 0,c 0).（2）a,bR（4）柯西不等式(a2b2)(c2d2)(ac bd)2,a,b,c,d R.（5）a b a b a b.72.极值定理已知x,y都是正数，则有（1）若积xy是定值p，则当x y时和x y有最小值2 p；（2）若和x y是定值s，则当x y时积xy有最大值推广 已知x,yR，则有(x y)(x y)2xy（1）若积xy是定值,则当|x y|最大时,|x y|最大；当|x y|最小时,|x y|最小.（2）若和|x y|是定值,则当|x y|最大时,|xy|最小；当|x y|最小时,|xy|最大.73.一元二次不等式ax bx c 0(或

20、0)(a 0,b 4ac 0)，如果a与2212s.422ax2bxc同号，则其解集在两根之外；如果a与ax2bxc异号，则其解集在两根之间.简言之：同号两根之外，异号两根之间.x1 x x2(x x1)(x x2)0(x1 x2)；x x1,或x x2(x x1)(x x2)0(x1 x2).74.含有绝对值的不等式当 a 0 时，有x a x2 a a x a.2x a x2 a2 x a或x a.75.无理不等式（1）（2）（3）f(x)0.f(x)g(x)g(x)0f(x)g(x)f(x)0 f(x)0.f(x)g(x)g(x)0或g(x)0f(x)g(x)2 f(x)0.f(x)g(

21、x)g(x)0f(x)g(x)276.指数不等式与对数不等式(1)当a 1时,af(x)ag(x)f(x)g(x);f(x)0logaf(x)logag(x)g(x)0.f(x)g(x)(2)当0 a 1时,af(x)ag(x)f(x)g(x);f(x)0logaf(x)logag(x)g(x)0f(x)g(x)77.斜率公式k y2 y1（P1(x1,y1)、P2(x2,y2)）.x2 x178.直线的五种方程（1）点斜式y y1 k(x x1)(直线l过点P1(x1,y1)，且斜率为k)（2）斜截式y kxb(b 为直线l在 y 轴上的截距).y y1x x1(y1 y2)(P1(x1,y

22、1)、P2(x2,y2)(x1 x2).y2 y1x2 x1xy(4)截距式1(a、b分别为直线的横、纵截距，a、b 0)ab（5）一般式Ax ByC 0(其中 A、B 不同时为 0).（3）两点式79.两条直线的平行和垂直(1)若l1:y k1xb1，l2:y k2xb2l1|l2 k1 k2,b1 b2;l1 l2 k1k2 1.(2)若l1:A1x B1y C1 0,l2:A2x B2y C2 0,且 A1、A2、B1、B2都不为零,A1B1C1；A2B2C2l1 l2 A1A2 B1B2 0；l1|l280.夹角公式k2k1|.1k2k1(l1:y k1xb1，l2:y k2xb2,k

23、1k2 1)AB A2B1|.(2)tan|12A1A2 B1B2(l1:A1x B1y C1 0,l2:A2x B2y C2 0,A1A2 B1B2 0).(1)tan|直线l1 l2时，直线 l1与 l2的夹角是81.l1到l2的角公式.2k2k1.1k2k1(l1:y k1xb1，l2:y k2xb2,k1k2 1)AB A2B1(2)tan12.A1A2 B1B2(l1:A1x B1y C1 0,l2:A2x B2y C2 0,A1A2 B1B2 0).(1)tan直线l1 l2时，直线 l1到 l2的角是.282四种常用直线系方程(1)定点直线系方程：经过定点P0(x0,y0)的直线

24、系方程为y y0 k(x x0)(除直线x x0),其 中k是 待 定 的 系 数;经 过 定 点P0(x0,y0)的 直 线 系 方 程 为A(x x0)B(y y0)0,其中A,B是待定的系数(2)共点直线系方程：经过两直线l1:A1x B1y C1 0,l2:A2x B2y C2 0的交点的直线系方程为(A1x B1y C1)(A2x B2y C2)0(除l2)，其中是待定的系数(3)平行直线系方程：直线y kxb中当斜率 k 一定而 b 变动时，表示平行直线系方程与直线Ax ByC 0平行的直线系方程是Ax By 0(0)，是参变量(4)垂直直线系方程：与直线Ax ByC 0(A0，B

25、0)垂直的直线系方程是Bx Ay 0,是参变量83.点到直线的距离A B84.Ax ByC 0或0所表示的平面区域设直线l:Ax ByC 0，则Ax ByC 0或0所表示的平面区域是：若B 0，当B与Ax By C同号时，表示直线l的上方的区域；当B与Ax By C异号时，表示直线l的下方的区域.简言之,同号在上,异号在下.若B 0，当A与Ax By C同号时，表示直线l的右方的区域；当A与Ax By Cd|Ax0 By0C|22(点P(x0,y0),直线l：Ax ByC 0).异号时，表示直线l的左方的区域.简言之,同号在右,异号在左.85.(A1x B1y C1)(A2x B2y C2)0

26、或0所表示的平面区域设曲线C:(A1x B1y C1)(A2x B2y C2)0（A1A2B1B2 0），则(A1x B1y C1)(A2x B2y C2)0或0所表示的平面区域是：(A1x B1y C1)(A2x B2y C2)0所表示的平面区域上下两部分；(A1x B1y C1)(A2x B2y C2)0所表示的平面区域上下两部分.86.圆的四种方程（1）圆的标准方程(xa)(y b)r.（2）圆的一般方程x y Dx Ey F 0(D2 E24F0).22222x arcos.y brsin（4）圆的直径式方程(x x1)(x x2)(y y1)(y y2)0(圆的直径的端点是A(x1,

27、y1)、B(x2,y2).（3）圆的参数方程87.圆系方程(1)过点A(x1,y1),B(x2,y2)的圆系方程是(x x1)(x x2)(y y1)(y y2)(x x1)(y1 y2)(y y1)(x1 x2)0(x x1)(x x2)(y y1)(y y2)(axby c)0,其 中axby c 0是 直 线AB的方程,是待定的系数22(2)过直线l:Ax ByC 0与圆C:x y Dx Ey F 0的交点的圆系方程是x y Dx Ey F(Ax By C)0,是待定的系数2222(3)过圆C1:x y D1x E1y F1 0与圆C2:x y D2x E2y F2 0的交222222点

28、的圆系方程是x y D1x E1y F1(x y D2x E2y F2)0,是待定的系数88.点与圆的位置关系点P(x0,y0)与圆(x a)(y b)r的位置关系有三种若d(a x0)(b y0)，则22222d r 点P在圆外;d r 点P在圆上;d r 点P在圆内.89.直线与圆的位置关系直线Ax By C 0与圆(x a)(y b)r的位置关系有三种:222d r 相离 0;d r 相切 0;d r 相交 0.其中d Aa BbCA B22.90.两圆位置关系的判定方法设两圆圆心分别为 O1，O2，半径分别为 r1，r2，O1O2 dd r1 r2 外离 4条公切线;d r1 r2 外

29、切 3条公切线;r1r2 d r1r2 相交 2条公切线;d r1r2内切 1条公切线;0 d r1r2内含 无公切线.91.圆的切线方程(1)已知圆x y Dx Ey F 0若已知切点(x0,y0)在圆上，则切线只有一条，其方程是22D(x0 x)E(y0 y)F 0.22D(x0 x)E(y0 y)当(x0,y0)圆外时,x0 x y0y F 0表示过两个切点22x0 x y0y 的切点弦方程过圆外一点的切线方程可设为y y0 k(x x0)，再利用相切条件求k，这时必有两条切线，注意不要漏掉平行于y 轴的切线斜率为 k 的切线方程可设为y kxb，再利用相切条件求b，必有两条切线(2)已

30、知圆x y r2过圆上的P0(x0,y0)点的切线方程为x0 x y0y r;222斜率为k的圆的切线方程为y kxr 1k2.x acosx2y292.椭圆221(a b 0)的参数方程是.aby bsinx2y293.椭圆221(a b 0)焦半径公式aba2a2PF1 e(x)，PF2 e(x).cc94椭圆的的内外部x2y2（1）点P(x0,y0)在椭圆221(a b 0)的内部abx2y2（2）点P(x0,y0)在椭圆221(a b 0)的外部ab95.椭圆的切线方程22x0y01.a2b222x0y021.2abx2y2x xy y(1)椭圆221(a b 0)上一点P(x0,y0

31、)处的切线方程是02021.ababx2y2（2）过椭圆221(a b 0)外一点P(x0,y0)所引两条切线的切点弦方程是abx0 xy0y21.a2bx2y2（3）椭 圆221(a b 0)与 直 线Ax ByC 0相 切 的 条 件 是ab22222A a B b c.x2y296.双曲线221(a 0,b 0)的焦半径公式aba2a2PF1|e(x)|，PF2|e(x)|.cc97.双曲线的内外部x2y2(1)点P(x0,y0)在双曲线221(a 0,b 0)的内部abx2y2(2)点P(x0,y0)在双曲线221(a 0,b 0)的外部ab98.双曲线的方程与渐近线方程的关系22x0

32、y021.2ab22x0y01.a2b2x2y2x2y2b(1）若双曲线方程为221渐近线方程：22 0 y x.ababax2y2xyb (2)若渐近线方程为y x 0双曲线可设为22.ababax2y2x2y2(3)若双曲线与221有公共渐近线，可设为22（0，焦点在 xabab轴上，0，焦点在 y 轴上）.99.双曲线的切线方程x2y2x xy y(1)双曲线221(a 0,b0)上一点P(x0,y0)处的切线方程是02021.ababx2y2（2）过双曲线221(a 0,b0)外一点P(x0,y0)所引两条切线的切点弦方程是abx0 xy0y21.a2bx2y2（3）双 曲 线221(

33、a 0,b0)与 直 线Ax ByC 0相 切 的 条 件 是ab22222A a B b c.2100.抛物线y 2px的焦半径公式p2抛物线y 2px(p 0)焦半径CF x0.2pp过焦点弦长CD x1 x2 x1 x2 p.222y2101.抛物线y 2px上的动点可设为 P(,y)或P(2pt2,2pt)或 P(x,y)，其中2py2 2px.b24acb2)(a 0)的图象是抛物线：102.二次函数y ax bxc a(x（1）顶2a4ab4acb2b4acb21,)；,)；点坐标为(（2）焦点的坐标为(（3）准线方程是2a4a2a4a4acb21y.4a2103.抛物线的内外部2

34、(1)点P(x0,y0)在抛物线y 2px(p 0)的内部 y 2px(p 0).2点P(x0,y0)在抛物线y 2px(p 0)的外部 y 2px(p 0).22(2)点P(x0,y0)在抛物线y 2px(p 0)的内部 y 2px(p 0).点P(x0,y0)在抛物线y 2px(p 0)的外部 y 2px(p 0).(3)点P(x0,y0)在抛物线x 2py(p 0)的内部 x 2py(p 0).222222点P(x0,y0)在抛物线x 2py(p 0)的外部 x 2py(p 0).(4)点P(x0,y0)在抛物线x 2py(p 0)的内部 x 2py(p 0).点P(x0,y0)在抛物线

35、x 2py(p 0)的外部 x 2py(p 0).104.抛物线的切线方程2(1)抛物线y 2px上一点P(x0,y0)处的切线方程是y0y p(x x0).2（2）过抛物线y 2px外一点P(x0,y0)所引两条切线的切点弦方程是y0y p(xx0).222222（3）抛物线y 2px(p 0)与直线Ax ByC 0相切的条件是pB 2AC.105.两个常见的曲线系方程(1)过曲线f1(x,y)0,f2(x,y)0的交点的曲线系方程是22f1(x,y)f2(x,y)0(为参数).x2y221,其中k maxa2,b2.当(2)共焦点的有心圆锥曲线系方程2a kb kk mina2,b2时,表

36、示椭圆;当mina2,b2 k maxa2,b2时,表示双曲线.106.直线与圆锥曲线相交的弦长公式AB(x1 x2)2(y1 y2)2或AB(1k2)(x2 x1)2|x1 x2|1tan2|y1 y2|1cot2（弦 端 点A(x1,y1),B(x2,y2)，由方程y kx b2消去 y 得到ax bx c 0，0,为直线F(x,y)0AB的倾斜角，k为直线的斜率）.107.圆锥曲线的两类对称问题（1）曲线F(x,y)0关于点P(x0,y0)成中心对称的曲线是F(2x0-x,2y0 y)0.（2）曲线F(x,y)0关于直线Ax ByC 0成轴对称的曲线是F(x2A(Ax ByC)2B(Ax

37、 ByC),y)0.A2 B2A2 B2222108.“四线”一方程2对于一般的二次曲线Ax Bxy Cy Dx Ey F 0，用x0 x代x，用y0y代y，用x0y xy0 x xy y代xy，用0代x，用0代y即得方程222x y xy0 x xy yAx0 x B0Cy0y D0 E0 F 0，曲线的切线，切点弦，中点222弦，弦中点方程均是此方程得到.109证明直线与直线的平行的思考途径（1）转化为判定共面二直线无交点；（2）转化为二直线同与第三条直线平行；（3）转化为线面平行；（4）转化为线面垂直；（5）转化为面面平行.110证明直线与平面的平行的思考途径（1）转化为直线与平面无公共

38、点；（2）转化为线线平行；（3）转化为面面平行.111证明平面与平面平行的思考途径（1）转化为判定二平面无公共点；（2）转化为线面平行；（3）转化为线面垂直.112证明直线与直线的垂直的思考途径（1）转化为相交垂直；（2）转化为线面垂直；（3）转化为线与另一线的射影垂直；（4）转化为线与形成射影的斜线垂直.113证明直线与平面垂直的思考途径（1）转化为该直线与平面内任一直线垂直；（2）转化为该直线与平面内相交二直线垂直；（3）转化为该直线与平面的一条垂线平行；（4）转化为该直线垂直于另一个平行平面；（5）转化为该直线与两个垂直平面的交线垂直.114证明平面与平面的垂直的思考途径（1）转化为判断

39、二面角是直二面角；（2）转化为线面垂直.115.空间向量的加法与数乘向量运算的运算律(1)加法交换律：a ab b=b ba a(2)加法结合律：(a ab b)c c=a a(b bc c)(3)数乘分配律：(a ab b)=a ab b116.平面向量加法的平行四边形法则向空间的推广始点相同且不在同一个平面内的三个向量之和，等于以这三个向量为棱的平行六面体的以公共始点为始点的对角线所表示的向量.117.共线向量定理对空间任意两个向量 a a、b b(b b0 0)，a ab b存在实数使 a a=b bP、A、B三点共线AP|ABAP tABOP (1t)OAtOB.AB|CDAB、CD共

40、线且AB、CD不共线AB tCD且AB、CD不共线.118.共面向量定理向量 p p 与两个不共线的向量a a、b b 共面的存在实数对x,y,使p axby推论空间一点 P 位于平面 MAB 内的存在有序实数对x,y,使MP xMA yMB，或对空间任一定点 O，有序实数对x,y，使OP OM xMA yMB.119.对空间 任一 点O和不共 线的 三点 A、B、C，满 足OP xOA yOB zOC（x y z k），则当k 1时，对于空间任一点O，总有P、A、B、C 四点共面；当k 1时，若O平面 ABC，则 P、A、B、C 四点共面；若O平面 ABC，则 P、A、B、C 四点不共面A、

41、B、C、D四点共面AD与AB、AC共面AD xAB yACOD (1 x y)OA xOB yOC（O平面 ABC）.120.空间向量基本定理如果三个向量 a a、b b、c c 不共面，那么对空间任一向量p p，存在一个唯一的有序实数组x，y，z，使 p pxa ayb bzc c推论设 O、A、B、C 是不共面的四点，则对空间任一点 P，都存在唯一的三个有序实数 x，y，z，使OP xOA yOB zOC.121.射影公式已知向量AB=a a和轴l，e e 是l上与l同方向的单位向量.作 A 点在l上的射影A，作 B点在l上的射影B，则AB|AB|cosa a，e e=a ae e122.

42、向量的直角坐标运算设a a(a1,a2,a3)，b b(b1,b2,b3)则(1)a ab b(a1b1,a2b2,a3b3)；(2)a ab b(a1b1,a2b2,a3b3)；(3)a a(a1,a2,a3)(R)；(4)a ab ba1b1a2b2a3b3；123.设 A(x1,y1,z1)，B(x2,y2,z2)，则AB OBOA=(x2 x1,y2 y1,z2 z1).124空间的线线平行或垂直设a (x1,y1,z1)，b (x2,y2,z2)，则x1x2a ba b(b 0)y1y2；z z21a bab 0 x1x2 y1y2 z1z2 0.125.夹角公式设a a(a1,a2

43、,a3)，b b(b1,b2,b3)，则cosa a，b b=a1b1a2b2a3b3a a a212223b b b212223.2222222推论(a1b1 a2b2 a3b3)(a1a2a3)(b1b2b3)，此即三维柯西不等式.126.四面体的对棱所成的角四面体ABCD中,AC与BD所成的角为,则|(AB2CD2)(BC2 DA2)|cos.2ACBD127异面直线所成角cos|cos a,b|=|ab|a|b|x1x2 y1y2 z1z2|x y zx2 y2 z2212121222b所成角，a,b分别表示异面直线a,b的方向向量）（其中（0 90）为异面直线a,128.直线AB与平

44、面所成角ABm(m为平面的法向量).|AB|m|129.若ABC所在平面若与过若AB的平面成的角,另两边AC,BC与平面成的角分别是1、2,A、B为ABC的两个内角，则 arcsinsin21sin22(sin2Asin2B)sin2.特别地,当ACB 90时,有sin21sin22 sin2.130.若ABC所在平面若与过若AB的平面成的角,另两边AC,BC与平面成的角分别是1、2,A、B为ABO的两个内角，则tan21 tan22(sin2Asin2B)tan2.特别地,当AOB 90时,有sin21sin22 sin2.131.二面角l 的平面角 arccosmnmn或arccos（m，

45、n为平面，的法向量）.|m|n|m|n|132.三余弦定理设 AC 是内的任一条直线，且BCAC，垂足为C，又设AO 与 AB 所成的角为1，AB 与AC 所成的角为2，AO 与 AC 所成的角为则cos cos1cos2.133.三射线定理若夹在平面角为的二面角间的线段与二面角的两个半平面所成的角是1,2,与二面2222角的棱所成的角是，则有sinsin sin1sin22sin1sin2cos;|12|180(12)(当且仅当 90时等号成立).134.空间两点间的距离公式若 A(x1,y1,z1)，B(x2,y2,z2)，则AB AB(x2 x1)2(y2 y1)2(z2 z1)2.13

46、5.点Q到直线l距离1h(|a|b|)2(ab)2(点P在直线l上，直线l的方向向量a a=PA，向量|a|dA,B=|AB|b b=PQ).136.异面直线间的距离d|CDn|(l1,l2是两异面直线，其公垂向量为n，C、D分别是l1,l2上任一点，d为|n|l1,l2间的距离).137.点B到平面的距离|ABn|（n为平面的法向量，AB是经过面的一条斜线，A）.d|n|138.异面直线上两点距离公式d h2m2n22mncos.d h2m2n22mncos EA,AF.d h2m2n22mncos（E AA F）.(两条异面直线 a、b 所成的角为，其公垂线段AA的长度为 h.在直线 a、

47、b 上分别取两点 E、F，AE m,AF n,EF d).139.三个向量和的平方公式(abc)2 a b c 2ab2bc2ca222222 a b c 2|a|b|cos a,b 2|b|c|cos b,c 2|c|a|cos c,a140.长度为l的线段在三条两两互相垂直的直线上的射影长分别为l1、l2、l3，夹角分别为1、2、3,则有l2l12l22l32 cos21cos22cos231 sin21sin22sin23 2.（立体几何中长方体对角线长的公式是其特例）.141.面积射影定理SS.cos(平面多边形及其射影的面积分别是S、S，它们所在平面所成锐二面角的为).142.斜棱柱

48、的直截面已知斜棱柱的侧棱长是l,侧面积和体积分别是S斜棱柱侧和V斜棱柱,它的直截面的周长和面积分别是c1和S1,则S斜棱柱侧 c1l.V斜棱柱 S1l.143作截面的依据三个平面两两相交，有三条交线，则这三条交线交于一点或互相平行.144棱锥的平行截面的性质如果棱锥被平行于底面的平面所截，那么所得的截面与底面相似，截面面积与底面面积的比等于顶点到截面距离与棱锥高的平方比（对应角相等，对应边对应成比例的多边形是相似多边形，相似多边形面积的比等于对应边的比的平方）；相应小棱锥与小棱锥的侧面积的比等于顶点到截面距离与棱锥高的平方比145.欧拉定理(欧拉公式)V F E 2(简单多面体的顶点数 V、棱

49、数 E 和面数 F).（1）E=各面多边形边数和的一半.特别地,若每个面的边数为n的多边形，则面数 F与棱数 E 的关系：E 1nF；21mV.2（2）若每个顶点引出的棱数为m，则顶点数 V 与棱数 E 的关系：E 146.球的半径是 R，则43R,32其表面积S 4R其体积V 147.球的组合体(1)球与长方体的组合体:长方体的外接球的直径是长方体的体对角线长.(2)球与正方体的组合体:正方体的内切球的直径是正方体的棱长,正方体的棱切球的直径是正方体的面对角线长,正方体的外接球的直径是正方体的体对角线长.(3)球与正四面体的组合体:棱长为a的正四面体的内切球的半径为148柱体、锥体的体积66

50、a,外接球的半径为a.1241V柱体Sh（S是柱体的底面积、h是柱体的高）.31V锥体Sh（S是锥体的底面积、h是锥体的高）.3149.分类计数原理（加法原理）N m1 m2 mn.150.分步计数原理（乘法原理）N m1m2mn.151.排列数公式Anm=n(n 1)(n m 1)=注:规定0!1.152.排列恒等式mm1(1）An(nm1)An;n！*.(n，mN N，且m n)(n m)！nmAn1;nmmm1（3）An nAn1;（2）Anmnn1n（4）nAn An1 An;mmm1（5）An1 An mAn.(6)1!22!33!153.组合数公式mnnn!(n1)!1.n！Anm