高中数学选修知识点总结(版).pdf

《高中数学选修知识点总结(版).pdf》由会员分享，可在线阅读，更多相关《高中数学选修知识点总结(版).pdf（5页珍藏版）》请在淘文阁 - 分享文档赚钱的网站上搜索。

1、材料仅供参考高中数学选修高中数学选修 2-22-2 知识点总结知识点总结第一章、导数第一章、导数1 1函数的平均变化率为函数的平均变化率为f(x2)f(x1)f(x1 x)f(x1)yfx2 x1xxx注注 1 1：其中：其中x是自变量的改变量，平均变化率是自变量的改变量，平均变化率 可正，可负，可零。可正，可负，可零。注注 2 2：函数的平均变化率可以看作是物体运动的平均速度。：函数的平均变化率可以看作是物体运动的平均速度。2 2、导函数的概念、导函数的概念:函数函数y f(x)在在x x0处的瞬时变化率是处的瞬时变化率是limx 0f(x0 x)f(x0)y lim，xx 0 x则称函数则

2、称函数y f(x)在点在点x0处可导，并把这个极限叫做处可导，并把这个极限叫做y f(x)在在x0处的导数，记作处的导数，记作f(x0)或或y|xx0，即，即f(x0)=limx0f(x0 x)f(x0)y lim.xx0 x3.3.函数的平均变化率的几何意义是割线的斜率；函数的平均变化率的几何意义是割线的斜率；函数的导数的几何意义是切线的斜率。函数的导数的几何意义是切线的斜率。4 4 导数的背景导数的背景1 1切线的斜率；切线的斜率；2 2瞬时速度；瞬时速度；5 5、常见的函数导数、常见的函数导数函数函数导函数导函数(1)(1)y c(2)(2)y xnnN*(3)(3)y axa 0,a

3、1(4)(4)y ex(5)(5)y logaxa 0,a 1,x 0(6)(6)y ln x(7)(7)y sin x(8)(8)y cosxy0 0y nxn1y axlnay exy 1xlna1y xy cos xy sin x6 6、常见的导数和定积分运算公式、常见的导数和定积分运算公式:假设假设fx，gx均可导可积，则有：均可导可积，则有：和差的导数运算和差的导数运算积的导数运算积的导数运算f(x)g(x)f(x)g(x)f(x)g(x)f(x)g(x)f(x)g(x).材料仅供参考特别地：特别地：CfxCf x f(x)f(x)g(x)f(x)g(x)(g(x)0)g(x)2g(

4、x)商的导数运算商的导数运算1g(x)特别地：特别地：2g xgx 复合函数的导数复合函数的导数yx yuux微积分根本定理微积分根本定理fxdx F(a)-F(b)F(a)-F(b)ab其中其中Fx fx和差的积分运算和差的积分运算f(x)f(x)dxa12bbaf1(x)dxf2(x)dxabab特别地：特别地：积分的区间可加性积分的区间可加性bakf(x)dx kf(x)dx(k为常数)cbacbaf(x)dx f(x)dxf(x)dx(其中a c b).用导数求函数单调区间的步骤用导数求函数单调区间的步骤:求函数求函数 f f(x x)的导数的导数f(x)令令f(x)0,0,解不等式，

5、得解不等式，得 x x 的范围就是递增区间的范围就是递增区间.令令f(x)0,0,解不等式，得解不等式，得 x x 的范围，就是递减区间；的范围，就是递减区间；注注：求单调区间之前肯定要先看原函数的定义域。：求单调区间之前肯定要先看原函数的定义域。7.7.求可导函数求可导函数 f f(x x)的极值的步骤：的极值的步骤：(1)(1)确定函数的定义域。确定函数的定义域。(2)(2)求函数求函数 f f(x x)的导数的导数f(x)(3)(3)求方程求方程f(x)=0=0 的根的根(4)(4)用函数的导数为用函数的导数为 0 0 的点，的点，顺次将函数的定义区间分成假设干小开区间，顺次将函数的定义

6、区间分成假设干小开区间，并列成表格，并列成表格，检查检查f/(x)在方程根左右的值的符号，如果左正右负，那么在方程根左右的值的符号，如果左正右负，那么 f f(x x)在这个根处取得极大值；如在这个根处取得极大值；如果左负右正，那么果左负右正，那么 f f(x x)在这个根处取得极小值；如果左右不改变符号，那么在这个根处取得极小值；如果左右不改变符号，那么f f(x x)在这个根处在这个根处无极值无极值8.8.利用导数求函数的最值的步骤利用导数求函数的最值的步骤:求求f(x)在在a,b上的最大值与最小值的步骤如下：上的最大值与最小值的步骤如下：求求f(x)在在a,b上的极值；上的极值；.材料仅

7、供参考将将f(x)的各极值与的各极值与f(a),f(b)比拟，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值。比拟，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值。注注：实际问题的开区间唯一极值点就是所求的最值点；：实际问题的开区间唯一极值点就是所求的最值点；9 9 求曲边梯形的思想和步骤求曲边梯形的思想和步骤:分割分割近似替代近似替代求和求和取极限取极限“以直代曲的思想以直代曲的思想10.10.定积分的性质定积分的性质依据定积分的定义，不难得出定积分的如下性质：依据定积分的定义，不难得出定积分的如下性质：性质性质 1 11dx b aababb性质性质 5 5 假设假设f(x)0,xa,b，则，则f

8、(x)dx 0推广：推广：f1(x)f2(x)a fm(x)dx f1(x)dxf2(x)dxaabbfm(x)ab推广推广:f(x)dx f(x)dxf(x)dxaac1bc1c2f(x)dxckb1111 定积分的取值情况定积分的取值情况:定积分的值可能取正值，也可能取定积分的值可能取正值，也可能取负值，还可能是负值，还可能是 0.0.(l)(l)当对应的曲边梯形位于当对应的曲边梯形位于 x x 轴上方时，轴上方时，定积分的值定积分的值取正值，且等于取正值，且等于 x x 轴上方的图形面积；轴上方的图形面积；2 2当对应的曲边梯形位于当对应的曲边梯形位于 x x 轴下方时，定积分的轴下方时

9、，定积分的值取负值，且等于值取负值，且等于 x x 轴上方图形面积的相反数；轴上方图形面积的相反数；（3 3）当位于）当位于 x x 轴上方的曲边梯形面积等于位于轴上方的曲边梯形面积等于位于x x轴下方的曲边梯形面积时，定积分的值为轴下方的曲边梯形面积时，定积分的值为 0 0，且等于，且等于x x 轴轴上方图形的面积减去下方的图形的面积上方图形的面积减去下方的图形的面积1212物理中常用的微积分知识物理中常用的微积分知识1 1位移的导数为速度，位移的导数为速度，速度的导数为加速度。速度的导数为加速度。2 2力的积分为功。力的积分为功。第二章、推理与证明知识点第二章、推理与证明知识点13.13.

10、归纳推理的定义：归纳推理的定义：从个别事实从个别事实中推演出一般性中推演出一般性的结论，像这样的推理通常称为归的结论，像这样的推理通常称为归纳推理。纳推理。归纳推理是由局部到整体归纳推理是由局部到整体，由个别到一般，由个别到一般的推理。的推理。14.14.归纳推理的思维过程大致如图：归纳推理的思维过程大致如图：实验、观察概括、推广猜测一般性结论15.15.归纳推理的特点归纳推理的特点:归纳推理的前提是几个已知的特别现象，归纳所得的结论是尚属未知的一般现象。归纳推理的前提是几个已知的特别现象，归纳所得的结论是尚属未知的一般现象。由归纳推理得到的结论具有猜测的性质，由归纳推理得到的结论具有猜测的性

11、质，结论是否真实，结论是否真实，还需经过逻辑证明和实验检验，还需经过逻辑证明和实验检验，因此，它不能作为数学证明的工具。因此，它不能作为数学证明的工具。归纳推理是一种具有制造性的推理，归纳推理是一种具有制造性的推理，通过归纳推理的猜测，通过归纳推理的猜测，可以作为进一步研究的起点，可以作为进一步研究的起点，援助人们发觉问题和提出问题。援助人们发觉问题和提出问题。16.16.类比推理的定义：类比推理的定义：依据两个或两类对象之间在某些方面的相似或相同，推演出它们在其他方面也相似或依据两个或两类对象之间在某些方面的相似或相同，推演出它们在其他方面也相似或相同，这样的推理称为类比推理。类比推理是由特

12、别相同，这样的推理称为类比推理。类比推理是由特别到特别到特别的推理。的推理。17.17.类比推理的思维过程类比推理的思维过程.材料仅供参考观察、比拟联想、类推推测新的结论18.18.演绎推理的定义：演绎推理的定义：演绎推理是依据已有的事实和正确的结论包含定义、公理、定理等按照严格的逻辑法演绎推理是依据已有的事实和正确的结论包含定义、公理、定理等按照严格的逻辑法则得到新结论的推理过程。演绎推理是由一般则得到新结论的推理过程。演绎推理是由一般到特别到特别的推理。的推理。1919演绎推理的主要形式：三段论演绎推理的主要形式：三段论20.20.“三段论可以表示为：大前题：“三段论可以表示为：大前题：M

13、 M 是是 P P小前提：小前提：S S 是是 M M结论：结论：S S 是是 P P。其中是大前提，它提供了一个一般性的原理；是小前提，它指出了一个特别对象；其中是大前提，它提供了一个一般性的原理；是小前提，它指出了一个特别对象；是结论，它是依据一般性原理，对特别情况做出的推断。是结论，它是依据一般性原理，对特别情况做出的推断。21.21.直接证明是从命题的条件或结论出发，依据已知的定义、公理、定理，直接推证结论的直接证明是从命题的条件或结论出发，依据已知的定义、公理、定理，直接推证结论的真实性。直接证明包含综合法和分析法。真实性。直接证明包含综合法和分析法。22.22.综合法就是“由因导果

14、，从已知条件出发，不断用必要条件替代前面的条件，直至推综合法就是“由因导果，从已知条件出发，不断用必要条件替代前面的条件，直至推出要证的结论。出要证的结论。23.23.分析法就是从所要证明的结论出发，不断地用充分条件替换前面的条件或者肯定成立的分析法就是从所要证明的结论出发，不断地用充分条件替换前面的条件或者肯定成立的式子，可称为“由果索因。式子，可称为“由果索因。要注意表达的形式：要注意表达的形式：要证要证 A A，只要证只要证 B B，B B 应是应是 A A 成立的充分条件成立的充分条件.分析法和综合法常结合分析法和综合法常结合使用，不要将它们割裂开。使用，不要将它们割裂开。2424 反

15、证法：反证法：是指从否认的结论出发，是指从否认的结论出发，经过逻辑推理，经过逻辑推理，导出矛盾，导出矛盾，证实结论的否认是错误的，证实结论的否认是错误的，从而肯定原结论是正确的证明方法。从而肯定原结论是正确的证明方法。25.25.反证法的一般步骤反证法的一般步骤1 1假设命题结论不成立，即假设结论的反面成立；假设命题结论不成立，即假设结论的反面成立；2 2从假设出发，经过推理论证，得出矛盾；从假设出发，经过推理论证，得出矛盾；3 3从矛盾判定假设不正确从矛盾判定假设不正确，即所求证命题正确。，即所求证命题正确。2626 常见的“结论词与“反义词常见的“结论词与“反义词原结论词原结论词反义词反义

16、词至少有一个至少有一个至多有一个至多有一个至少有至少有 n n 个个至多有至多有 n n 个个一个也没有一个也没有至少有两个至少有两个至多有至多有 n-1n-1 个个至少有至少有 n+1n+1 个个原结论词原结论词对任意对任意 x x 不成立不成立p p 或或 q qp p 且且 q q反义词反义词存在存在 x x 使成立使成立对全部的对全部的 x x 都成立都成立 存在存在 x x 使不成立使不成立p且且qp或或q27.27.反证法的思维方法反证法的思维方法:正难则反正难则反28.28.归缪矛盾归缪矛盾1 1与已知条件与已知条件矛盾矛盾:2 2与已有公理、定理、定义与已有公理、定理、定义矛盾

17、；矛盾；3 3自相自相矛盾矛盾2929数学归纳法只能证明与正整数数学归纳法只能证明与正整数有关的数学命题的步骤有关的数学命题的步骤(1)(1)证明：当证明：当 n n 取第一个值取第一个值nn N时命题成立；时命题成立；00(2)(2)假设当假设当 n=k(n=k(k kN N*，且，且 k k n n0 0)时命题成立，证明当时命题成立，证明当 n=k+1n=k+1 时命题也成立时命题也成立.由由(1)(1)，(2)(2)可知，命题对于从可知，命题对于从 n n0 0开始的全部正整数开始的全部正整数 n n 都正确都正确 注注：常用于证明不完全归纳法推测所得命题的正确性的证明。：常用于证明不

18、完全归纳法推测所得命题的正确性的证明。.材料仅供参考第三章、数系的扩充和复数的概念知识点第三章、数系的扩充和复数的概念知识点30.30.复数的概念：形如复数的概念：形如 a+bia+bi 的数叫做复数，其中的数叫做复数，其中 i i 叫虚数单位，叫虚数单位，a叫实部，叫实部，b叫虚部，数叫虚部，数 集集C a bi|a,bR叫做复数集。叫做复数集。规定：规定：abi cdi a=ca=c 且且，b=db=d 强调：两复数不能比拟大小，只有相等或不相等。强调：两复数不能比拟大小，只有相等或不相等。实数(b 0)3131数集的关系：数集的关系：复数Z一般虚数(a 0)虚数(b 0)纯虚数(a 0)

19、32.32.复数的几何意义：复数与平面内的点或有序实数对一一对应。复数的几何意义：复数与平面内的点或有序实数对一一对应。33.33.复平面：复平面：依据复数相等的定义，依据复数相等的定义，任何一个复数任何一个复数z a bi，都可以由一个有序实数对都可以由一个有序实数对(a,b)唯一确定。唯一确定。由于有序实数对由于有序实数对(a,b)与平面直角坐标系中的点一一对应，因此复数集与平面直角坐标与平面直角坐标系中的点一一对应，因此复数集与平面直角坐标系中的点集之间可以建立一一对应。系中的点集之间可以建立一一对应。这个建立了直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面，这个建立了直角坐标系来表示复数的平面叫

20、做复平面，x轴叫做实轴，轴叫做实轴，y轴叫做虚轴。实轴上的点都表示实数，除了原点外，虚轴上的点都表示轴叫做虚轴。实轴上的点都表示实数，除了原点外，虚轴上的点都表示纯虚数。纯虚数。34.34.求复数的模求复数的模(绝对值绝对值)与复数与复数z对应的向量对应的向量OZ的模的模r叫做复数叫做复数z abi的模的模(也叫绝对也叫绝对值值)记作记作z或a bi。由模的定义可知：。由模的定义可知：z a bi a2b235.35.复数的加、减法运算及几何意义复数的加、减法运算及几何意义复数的加、减法法则：复数的加、减法法则：z1 a bi与z2 c di，则，则z1 z2 a c (b d)i。注：复数的

21、加、减法运算也可以按向量注：复数的加、减法运算也可以按向量的加、减法来进行。的加、减法来进行。复数的乘法法则：复数的乘法法则：(a bi)(c di)ac bdad bci。复数的除法法则：复数的除法法则：a bi(a bi)(c di)ac bdbc adi其中其中cdi叫做实数化因子叫做实数化因子c di(c di)(c di)c2 d2c2 d236.36.共轭复数共轭复数:两复数两复数a bi与a bi互为共轭复数，当互为共轭复数，当b 0时，它们叫做共轭虚数。时，它们叫做共轭虚数。常见的运算规律常见的运算规律(9)设设13i3n12,3n2,3n31是是 1 1 的立方虚根，则的立方虚根，则1 0，2.