必修五基本不等式题型归纳.pdf

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1、高中数学高中数学基本不等式培优专题基本不等式培优专题培优（培优（培优（培优（培优（培优（培优（培优（培优（培优（培优（培优（培优（培优（培优（培优（培优（培优（培优（培优（培优（培优（1 1）2 2）3 3）4 4）5 5）6 6）7 7）8 8）9 9）1010）1111）目录目录常规配凑法常规配凑法1 1”的代换”的代换换元法换元法和、积、平方和三量减元和、积、平方和三量减元轮换对称与万能轮换对称与万能 k k 法法消元法（必要构造函数求异）消元法（必要构造函数求异）不等式算两次不等式算两次齐次化齐次化待定与技巧性强的配凑待定与技巧性强的配凑多元变量的不等式最值问题多元变量的不等式最值问题

2、不等式综合应用不等式综合应用1“培优（培优（1 1）常规配凑法常规配凑法1.1.（20182018 届温州届温州 9 9 月模拟）已知月模拟）已知2a 4b 2（a,ba,bR R）,则则 a+2ba+2b 的最小值为的最小值为_y21，则，则x 2 y2的最大值为的最大值为_2.2.已知实数已知实数 x,yx,y 满足满足x 162113.3.（20182018 春湖州模拟）已知不等式春湖州模拟）已知不等式(x my)()9对任意正实数对任意正实数 x,yx,y 恒成立，则正实数恒成立，则正实数 m m 的最小值的最小值xy是（是（）A.2 B.4 C.6 D.8A.2 B.4 C.6 D.

3、84.4.（20172017 浙江模拟）已知浙江模拟）已知 a,ba,bR,R,且且 a a1,1,则则a b 1b的最小值是的最小值是_a 15.5.（20182018 江苏一模）已知江苏一模）已知 a a0,b0,b0,0,且且6.6.（诸暨市（诸暨市 20162016 届高三届高三 5 5 月教学质量检测）已知月教学质量检测）已知 a ab b0,a+b=1,0,a+b=1,则则7.7.（20182018 届浙江省部分市学校高三上学期联考）已知届浙江省部分市学校高三上学期联考）已知 a a0,b0,b0,0,是（是（）A.A.3 2 B.B.2 2 C.3 D.2 C.3 D.2111，

4、则，则 a+2ba+2b 的最小值的最小值a 1b 123ab，则，则 abab 的最小值是的最小值是_ab41的最小值是的最小值是_a b2b1培优（培优（2 2）“1 1”的代换”的代换8.8.（20192019 届温州届温州 5 5 月模拟月模拟 1313）已知正数）已知正数 a,ba,b 满足满足 a+b=1,a+b=1,则则9.9.（20182018 浙江期中）已知正数浙江期中）已知正数 a,ba,b 满足满足2a 121则则 b的最小值为（的最小值为（）bab1的最小值为的最小值为_此时此时 a=a=_abA.A.4 2 B.B.8 2 C.8 D.9 C.8 D.910.10.（

5、20172017 西湖区校级期末）西湖区校级期末）已知实数已知实数 x,yx,y 满足满足 x xy y0,0,且且 x+y=2x+y=2，则则14的最小值是的最小值是_x-yx 3y11.11.（1818 届金华十校高一下期末）届金华十校高一下期末）记记 maxmax x,y,zx,y,z 表示表示 x,y,zx,y,z 中的最大数，中的最大数，若若 a a0,b0,b0,0,则则 maxmax a,b,a,b,的最小值为（的最小值为（）A.A.2 B.B.3 C.2 D.3 C.2 D.3a2 2b2 2的最小值为的最小值为_12.12.已知已知 a,ba,b 为正实数为正实数,且且 a+

6、b=2a+b=2，则，则ab 113ab121，则，则 abab 的最大值为的最大值为_13.13.已知正实数已知正实数 a,ba,b 满足满足（2a b）b(2b a)a1（补充题）已知（补充题）已知 x,yx,y0,0,则则6xy2xyx2 9y2x2 y2的最大值是的最大值是_培优（培优（3 3）换元法换元法14.14.（20192019 届超级全能生届超级全能生 2 2 月）已知正数月）已知正数 x,yx,y 满足满足 x+y=1,x+y=1,则则11 x11 2y的最小值是（的最小值是（）A.A.333 2 228 B.B.76 C.C.5 D.D.6515.15.（20192019

7、 届模拟届模拟 7 7）已知）已知2 2(a-2)+(a-2)+2 2(b-1)(b-1)1 1，则，则 2a+b2a+b 取到最下值时取到最下值时 ab=ab=（）A.3 B.4 C.6 D.9A.3 B.4 C.6 D.916.16.（20182018 温州期中）已知实数温州期中）已知实数 x,yx,y 满足满足 2x2xy y0,0,且且12x y1x 2y1，则，则 x+yx+y 的最小值为（的最小值为（A.A.3 2 34 2 32 4 35 B.B.3 4 35 C.C.5 D.D.517.17.（20182018 杭州期末）若正数杭州期末）若正数 a,ba,b 满足满足 a+b=

8、1,a+b=1,则则ab1 a1b的最大值是的最大值是_1）4x2y218.18.（20172017 湖州期末）若正实数湖州期末）若正实数 x,yx,y 满足满足 2x+y=2,2x+y=2,则则y 12x 2的最小值是的最小值是_19.19.（20182018 河北区二模）若正数河北区二模）若正数 a,ba,b 满足满足1a1b1，则，则1a 19b 1的最小值为（的最小值为（）A.1 B.6 C.9 D.16A.1 B.6 C.9 D.1620.20.（温岭市（温岭市 20162016 届高三届高三 5 5 月高考模拟）月高考模拟）已知实数已知实数 x,yx,y 满足满足 xy-3=x+y

9、,xy-3=x+y,且且 x x1 1，则则 y(x+8)y(x+8)的最小值是的最小值是（A.33 B.26 C.25 D.21A.33 B.26 C.25 D.2121.21.若正数若正数 x,yx,y 满足满足11xy1，则，则4xx 19yy 1的最小值为的最小值为_22.22.（20182018 届嘉兴期末）已知实数届嘉兴期末）已知实数 x,yx,y 满足满足4x 9y1，则，则2x1 3y1的取值范围是的取值范围是_23.23.（20182018 上海二模）若实数上海二模）若实数 x,yx,y 满足满足4x 4y 2x1 2y1，则，则 S=S=2x 2y的取值范围是的取值范围是_

10、培优（培优（4 4）和、积、平方和三量减元和、积、平方和三量减元24.24.（20192019 届台州届台州 4 4 月模拟）实数月模拟）实数 a,ba,b 满足满足 a+b=4,a+b=4,则则 abab 的最大值为的最大值为_，则则(a21)(b21)的最小值是的最小值是_25.(201925.(2019 届镇海中学考前练习届镇海中学考前练习 14)14)已知正数已知正数 x,yx,y 满足满足 xy(x+y)=4,xy(x+y)=4,则则 xyxy 的最大值为的最大值为_，1）2x+y2x+y 的最小值为的最小值为_26.26.（20182018 春台州期末）已知春台州期末）已知 a,b

11、a,bR，a+b=2,a+b=2,则的最大值为（则的最大值为（）2 16 C.C.D.2 D.225A.1 B.A.1 B.27.27.（20162016 宁宁 2 2 波期末波期末 1414）若正数）若正数 x,yx,y 满足满足x2 4y2 x 2y 1，则，则 xyxy 的最大值是的最大值是_28.28.（20182018 届诸暨市期中）已知实数届诸暨市期中）已知实数 x,yx,y 满足满足x4y12xy 2，则，则的最大值为（的最大值为（）yxxyx 2y 1A.A.33 12 32 31 D.D.B.B.C.C.223329.29.（20182018 台州一模）非负实数台州一模）非负

12、实数 x,yx,y 满足满足x2 4y2 4xy 4x2y2 32,则则 x+2yx+2y 的最小值为的最小值为_，7(x 2y)2xy的最大值是的最大值是_30.30.（20182018 春南京）若春南京）若 x,yx,y(0,+(0,+),),x xy 1y的取值范围是的取值范围是_ xy 4,则则22x y 2xy 17231.31.（20172017 武进区模拟）已知正实数武进区模拟）已知正实数 x,yx,y 满足满足 xy+2x+3y=42,xy+2x+3y=42,则则 xy+5x+4yxy+5x+4y 的最小值为的最小值为_32.32.（20172017 宁波期末）若正实数宁波期末

13、）若正实数 a,ba,b 满足满足(2a b)216ab,则则ab的最大值为的最大值为_2a b 11培优（培优（5 5）轮换对称与万能轮换对称与万能 k k 法法33.33.（20192019 嘉兴嘉兴 9 9 月基础测试月基础测试 1717）已知实数）已知实数 x,yx,y 满足满足x2 xy 4y21，则，则 x+2yx+2y 的最大值为的最大值为_34.34.（20162016 暨阳联谊）已知正实数暨阳联谊）已知正实数 x,yx,y 满足满足 2x+y=2,2x+y=2,则则x x2 y2的最小值为的最小值为_35.35.已知正实数已知正实数 a,ba,b 满足满足9a2 b21，则，

14、则36.36.已知实数已知实数 a,b,ca,b,c 满足满足 a+b+c=0,a+b+c=0,a2b2c21则则 a a 的最大值为的最大值为_37.37.（20182018 届杭二高三下开学）若届杭二高三下开学）若9x2 4y2 6xy 1，x xR R，y yR R，则，则 9x+6y9x+6y 的最大值为的最大值为_ab的最大值为的最大值为_3a b培优（培优（6 6）消元法（必要构造函数求异）消元法（必要构造函数求异）38.38.（20162016 十二校联考十二校联考 1313）若存在正实数）若存在正实数 y,y,使得使得xy1，则实数，则实数 x x 的最大值为的最大值为_y x

15、5x 4y39.39.（20192019 届镇海中学届镇海中学 5 5 月模拟月模拟 1313）已知）已知 a,ba,bR，且且 a+2b=3,a+2b=3,则则12的最小值是的最小值是_22ab12的最小值是的最小值是_，ab140.40.（20192019 届金华一中届金华一中 5 5 月模拟月模拟 9 9）已知正实数）已知正实数 a,ba,b 满足满足 a+b=1,a+b=1,则的最大值是（则的最大值是（）2 33 2 21 D.D.32A.2 B.A.2 B.12 C.C.41.41.（20172017 西湖区校级模拟）已知正实数西湖区校级模拟）已知正实数 a,ba,b 满足满足a2b

16、 4 0，则，则u A.A.有最大值为有最大值为42.42.（20182018 湖州期末）已知湖州期末）已知 a,ba,b 都为正实数，且都为正实数，且1b的最大值是的最大值是_ab2a 3b（）a b1414 B.B.有最小值为有最小值为 C.C.没有最小值没有最小值 D.D.有最大值为有最大值为 3 35511 3，则，则 abab 的最小值是的最小值是_ab培优（培优（7 7）不等式算两次不等式算两次43.43.设设 a ab b0,0,那么那么a21的最小值为（的最小值为（）b(a b)A.2 B.3 C.4 D.5A.2 B.3 C.4 D.544.44.设设 a a2b2b0 0，

17、则，则(a b)29的最小值为的最小值为_b(a 2b)a4 4b4145.45.（20172017 天津）若天津）若 a,ba,bR,abR,ab0 0，则，则的最小值为的最小值为_ab1121)(y)2的最小值是的最小值是_2y2x46.46.若若 x,yx,y 是正数，则是正数，则(x(a2b2 c2)2547.47.已知已知 a,b,ca,b,c(0,+(0,+),),则则的最小值为的最小值为_2bc ac48.48.（20182018 天津一模）已知天津一模）已知 a ab b0 0，则，则2a 49.49.（20172017 西湖区校级模拟）已知正实数西湖区校级模拟）已知正实数 a

18、,ba,b 满足满足a2b 4 0，则，则u A.A.有最大值为有最大值为accc5的最小值是的最小值是_bab2c 232的最小值为的最小值为_a ba b2a 3b（）a b1414 B.B.有最小值为有最小值为 C.C.没有最小值没有最小值 D.D.有最大值为有最大值为 3 35550.50.已知已知 a a0 0，b b0 0，c c0 0 且且 a+b=2,a+b=2,则则1培优（培优（8 8）齐次化齐次化51.51.（20192019 届杭高高三下开学考届杭高高三下开学考 T17T17）若不等式）若不等式x2 2y2 cx(y x)对满足对满足 x xy y0 0 的任意实数的任意

19、实数 x,yx,y 恒成立，恒成立，则实数则实数 c c 的最大值为的最大值为_x23y52.52.（20192019 届绍兴一中届绍兴一中 4 4 月模拟）已知月模拟）已知 x x0 0，y y0 0，x+2y=3x+2y=3，则，则的最小值为（的最小值为（）xyA.A.32 2 B.B.2 2 1 C.C.2 1 D.D.2 153.53.（20182018 浙江模拟）已知浙江模拟）已知 a a0,b0,b0 0，则，则6ab2ab的最大值为的最大值为_2222a 9ba b若若4x2 xy y2 25，则，则3x2 y2的取值范围是的取值范围是_54.54.（20162016 新高考研究

20、联盟二模）实数新高考研究联盟二模）实数 x,yx,y 满足满足x2 2xy 2y2 2，则，则x2 2y2的最小值是的最小值是_1培优（培优（9 9）待定与技巧性强的配凑待定与技巧性强的配凑55.55.（20162016 大联考）若正数大联考）若正数 x,y,zx,y,z 满足满足 3x+4y+5z=63x+4y+5z=6，则，则14y 2z的最小值为的最小值为_2y zx z56.56.（20162016 杭二最后一卷）若正数杭二最后一卷）若正数 x,yx,y 满足满足111，则，则x210 xy y2的最小值为的最小值为_xy57.57.（20162016 宁波二模）已知正数宁波二模）已知

21、正数 x,yx,y 满足满足 xyxy1 1，则，则 M=M=11的最小值为的最小值为_x 12y 11158.58.（20162016 浙江模拟）已知实数浙江模拟）已知实数 a,b,ca,b,c 满足满足a2b2c21，则，则 ab+2bc+2caab+2bc+2ca 的取值范围是（的取值范围是（）444 B.B.4，4 C.C.2，4 D.D.1，4A.A.，59.59.（20192019 江苏模拟）已知江苏模拟）已知 x,y,zx,y,z(0,+(0,+)且且a2b2c21，则，则 3xy+yz3xy+yz 的最大值为的最大值为_60.60.（20162016 大联考）已知大联考）已知a

22、2b2 c2 d21，则，则 ab+2bc+cdab+2bc+cd 的最大值为的最大值为_61.61.（20172017 学年杭二高三第三次月考）已知学年杭二高三第三次月考）已知T min(x y)2，(z y)2，(x z)2，且，且 x+y+z=2x+y+z=2，则则T的最大值是（的最大值是（）842A.A.B.8 C.B.8 C.D.D.333a2b2c262.62.已知已知 a,b,ca,b,cR,则则的最小值是的最小值是_ab 2bc163.63.已知已知 a,b,ca,b,cR，且，且a2b2 c2 4，则则5ab 2bc的最大值是的最大值是_64.64.已知已知 a,b,ca,b

23、,cR，且，且a2b2 c2 4，则则 ac+bcac+bc 的最大值为的最大值为_,_,又若又若 a+b+c=0,a+b+c=0,则则 c c 的最大值是的最大值是_培优（培优（1010）多元变量的不等式最值问题多元变量的不等式最值问题65.65.（20192019 届浙江名校新高考研究联盟第届浙江名校新高考研究联盟第 9 9 题）已知正实数题）已知正实数 abcdabcd 满足满足 a+b=1,c+d=1a+b=1,c+d=1，则则11的最小值是（的最小值是（）abcdA.10 B.9 C.A.10 B.9 C.4 2 D.D.3 3xy2z 166.66.（20192019 届杭四仿真卷

24、）已知实数届杭四仿真卷）已知实数 x,y,zx,y,z 满足满足2，则，则 xyzxyz 的最小值为的最小值为_22x y z 567.67.（20192019 届慈溪中学届慈溪中学 5 5 月模拟）若正实数月模拟）若正实数 a,b,ca,b,c 满足满足 a(a+b+c)=bca(a+b+c)=bc，则，则ba c22a的最大值为的最大值为_b c68.68.（20172017 浙江期末）已知实数浙江期末）已知实数 a,b,ca,b,c 满足满足 a+b+c=0,aa+b+c=0,ab bc,c,则则的取值范围是（的取值范围是（）A.A.(5551 1,)B.B.(,)C.C.(2,2)D.

25、D.(2,)5555 569.69.（20182018 浦江县模拟）已知实数浦江县模拟）已知实数 a,b,ca,b,c 满足满足a2b2c21，则，则 ab+cab+c 的最小值为（的最小值为（）A.-2 B.A.-2 B.31 C.-1 D.-C.-1 D.-22170.70.（20162016 秋湖州期末）已知实数秋湖州期末）已知实数 a,b,ca,b,c 满足满足a2 2b23c21，则，则 a+2ba+2b 的最大值为（的最大值为（）A.A.3 B.2 C.B.2 C.5 D.3 D.371.71.（20192019 江苏一模）若正实数江苏一模）若正实数 a,b,ca,b,c 满足满足

26、 ab=a+2bab=a+2b，abc=a+2b+cabc=a+2b+c，则，则 c c 的最大值为的最大值为_72.72.（20182018 秋辽宁期末）设秋辽宁期末）设 a,b,ca,b,c 是正实数且满足是正实数且满足 a+ba+bc c，则，则111173.73.（20172017 秋苏州期末）已知正实数秋苏州期末）已知正实数 a,b,ca,b,c 满足满足1，1，则，则 c c 的取值范围是的取值范围是_a bcabba的最小值为的最小值为_ab c74.74.（20192019 届浙江名校协作体高三下开学考届浙江名校协作体高三下开学考 1717）若正数）若正数 a,b,ca,b,c

27、 满足满足a2 b2 c2 ab bc 1，则，则 c c 的的最大值为最大值为_75.75.（20182018 届衢州二中届衢州二中 5 5 月模拟月模拟 1212）已知非负实数）已知非负实数 a,b,ca,b,c 满足满足 a+b+c=1,a+b+c=1,则则(c-a)(c-b)(c-a)(c-b)的取值范围的取值范围是是_76.76.（20182018 届上虞届上虞 5 5 月模拟月模拟 1616）若实数）若实数 x,y,zx,y,z 满足满足 x+2y+3z=1,x+2y+3z=1,x2 4y2 9z21,则则 z z 的最小值的最小值为为_培优（培优（1111）不等式综合应用不等式综

28、合应用77.77.（20182018 春衢州期末）已知春衢州期末）已知 x,yx,y0 0，若，若x 4y 6 4141,则则的最小值是（的最小值是（）xyxyA.6 B.7 C.8 D.9A.6 B.7 C.8 D.9114（8 x,y0）,则则 x+yx+y 的最小值为（的最小值为（）xy78.78.（20182018 嘉兴模拟）已知嘉兴模拟）已知x y A.A.5 3 B.9 C.B.9 C.4 2 26 D.10 D.10111937,则则的最小值是的最小值是_x2y4x16y79.79.（20182018 越城区校级）已知越城区校级）已知 x,yx,y0 0，且，且x y 80.80

29、.（20162016 台州期末）已知台州期末）已知 a,b,ca,b,c(0,1),(0,1),设设则则 M M 的最小值为（的最小值为（）212121这三个数的最大值为这三个数的最大值为 M M，,a1b b1c c1aA.5 B.A.5 B.3 2 2 C.C.32 2 D.D.不存在不存在1111的最大值的最大值11,则则x-1yx 1y81.81.（20192019 乐山模拟）已知实数乐山模拟）已知实数 x,yx,y 满足满足 x x1 1，y y0,0,x 4y 为为_2（xy 1）(3y 2)(y 2)，则，则x 82.82.（20192019 乐山模拟）已知乐山模拟）已知 x,yx,y 为正实数，且满足为正实数，且满足1的最大值的最大值y为为_83.83.（20192019 届镇海中学最后一卷）已知届镇海中学最后一卷）已知 x,yx,y0 0，且，且811，则，则 x+yx+y 的最小值为的最小值为_2yx1