本科-高等数学知识点.pdf

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1、下方是正文一、参考书目一、参考书目高等数学（上）（第一分册）（柳重堪主编，中央广播电视大学出版社出版。二、内容要求二、内容要求一元函数微分学、一元函数积分学两个部分，包括函数、极限与连续、导数与微分、导数的应用、不定积分、定积分及其应用等方面的知识。试题类型分为单项选择题、填空题和解答题。单项选择题的形式为四选一，即在每题的四个备选答案中选出一个正确答案；填空题只要求直接填写结果，不必写出计算过程和推理过程；解答题要求写出文字说明、演算步骤。三种题型分数的百分比大约为：单项选择题与填空题 40%，解答题 60%。水平测试试题按其难度分为容易题、中等题和较难题，其分值在试卷中的比例为：4:4:2

2、。水平测试采用闭卷笔试形式，卷面满分为 150 分，考试时间为 90 分钟。（一）（一）函数函数1 1 理解函数的概念；掌握函数y f(x)中符号 f()的含义；了解函数的两要素；会求函数的定义域及函数值；会判断两个函数是否相等。两个函数相等的充分必要条件是定义域相等且对应关系相同。2 2了解函数的主要性质，即单调性、奇偶性、有界性和周期性若对任意x，有f(x)f(x)，则f(x)称为偶函数，偶函数的图形关于y轴对称。若对任意x，有f(x)f(x)，则f(x)称为奇函数，奇函数的图形关于原点对称。3 3熟练掌握基本初等函数的解析表达式、定义域、主要性质和图形。基本初等函数是指以下几种类型：常数

3、函数：y c 幂函数：y x 指数函数：y ax(为实数)(a 0,a 1)对数函数：y logax(a 0,a 1)三角函数：sin x,cos x,tan x,cot x 反三角函数：arcsin x,arccos x,arctan x4 4 了解复合函数、初等函数的概念，会把一个复合函数分解成较简单的函数。如函数y earctan2(1x),可以分解y eu，u v2，v arctanw，w 1 x。分解后的函数前三个都是基本初等函数，而第四个函数是常数函数和幂函数的和。5 5 会列简单的应用问题的函数关系式。（二）（二）极限与连续极限与连续1 1 了解极限的概念，会求左右极限极限xx0

4、lim f(x)存在的充分必要条件是左、右极限存在且相等2 2 了解无穷小量的概念，了解无穷小量的运算性质（1）若函数f(x)有lim f(x)0,则称f(x)是当x x0时的无穷小量xx0（2）有界变量与无穷小量的乘积仍是无穷小3 3 掌握极限的四则运算法则，掌握两个重要极限，掌握求简单极限的常用方法(1)极限的四则运算法则设lim f(x)Alimg(x)B，则lim f(x)g(x)lim f(x)lim g(x)A Blim f(x).g(x)lim f(x).lim g(x)A.Blimf(x)lim f(x)A,其中B 0g(x)limg(x)B。(2)两个重要极限sin x1x0

5、 x第一重要极限：lim1lim(1)x e,其他变形形式 lim(1 x)x ex0 x第二重要极限：x14 4 了解函数连续性的定义，会判断函数的连续性(1)函数连续性的定义lim f(x)f(x0)xx0(2)初等函数在其定义域内连续（三）（三）导数与微分导数与微分1 1 理解导数与微分概念（微分用dy ydx定义），了解导数的几何意义，会求曲线的切线和法线方程，知道可导与连续的关系（1）f(x)在点x x0处可导是指极限x0limf(x0 x)f(x0)x存在，且该点处的导数就是这个极限。导数极限还可写成limf(x)f(x0)x x0 xx0（2）f(x)在点x x0处的导数f(x0

6、)的几何意义是曲线y f(x)上点(x0,f(x0)处的切线斜率。曲线y f(x)在点(x0,f(x0)处的切线方程为y f(x0)(x x0)f(x0)函数y f(x)在x0点可导，则在x0点连续。反之函数y f(x)在x0点连续，在x0点不一定可导。2 2 熟记导数与微分的基本公式，熟练掌握导数与微分的四则运算法则(u v)uv(uv)vuuv()uvvuuv(v 0)2vuvdu udvd(u v)du dvd(uv)vdu udvd()vv23 3 熟练掌握复合函数的求导法则(v 0)dydy dudxdu dx4 4 了解高阶导数概念，掌握求显函数的二阶导数的方法d2yy dx2（四

7、）（四）导数的应用导数的应用1 掌握洛比塔法则，能用它求“0”、“”型不定式极限；02 掌握用一阶导数求函数单调区间、极值与极值点（包括判别）的方法，了解可导函数极值存在的必要条件，知道极值点与驻点的区别与联系；3 掌握求解一些简单的实际问题中最大值和最小值的方法，以几何问题为主。（五）（五）不定积分不定积分1 理解原函数与不定积分概念，了解不定积分的性质以及积分与导数（微分）的关系；（1）若F(x)f(x)，则F(x)是f(x)的一个原函数；f(x)的全体原函数是F(x)c。（2）k1f1(x)k2f2(x)dx k1f1(x)dx k2f2(x)dx（3）df(x)dx f(x)dx（4）

8、df(x)dx f(x)dx（5）f(x)dx d f(x)f(x)c2 熟练掌握积分基本公式和直接积分法；3 熟练掌握第一换元积分法和分部积分法；（1）fg(x)g(x)dx fg(x)dg(x)Fg(x)c（2）udv uvvdu（六）（六）定积分及其应用定积分及其应用1了解定积分的性质baf(x)dx f(x)dxba若G(x)(x)abaf(x)dx f(x)dx f(x)dxaccb2会求变上限定积分的导数f(t)dt，则G(x)f(x)(x)3 熟练掌握牛顿莱布尼兹公式，掌握定积分的换元积分法和分部积分法（1）f(x)dx F(x)|ba F(b)F(a)ab（2）udv uv|v

9、duaabbab4 了解无穷积分收敛性概念，会判断无穷积分的收敛性或计算无穷积分dxaxp当p 1时收敛，当p 1时发散；1dx0 xp当p 1时收敛，当p 1时发散。6 会用定积分计算简单的平面曲线围成图形的面积（直角坐标系）（1）由曲线y f(x)和y g(x)及直线x a,x b围成的面积S，有S f(x)g(x)dxab（2）当f(x)为奇函数时有（3）当f(x)为偶函数时有aaaf(x)dx 0f(x)dx 2f(x)dx 20a0aaf(x)dx三、三、综合练习答案综合练习答案（一）单选题（一）单选题1设函数f(x)loga(x x21)，(a 0,a 1)，则该函数是（A奇函数

10、B偶函数C非奇非偶函数 D既是奇函数又是偶函数2下列函数中，（）是偶函数 Af(x)ax ax Bf(x)x31）Cf(x)x3sin x Df(x)x2sin(1 x)3当x 0时，下列变量中，无穷小量是(1)sin x1 A Bln(1 x2)Cex Dsinxxf(1 x)f(1)=（）x0 x11A.2e B.eC.e D.e424.设f(x)ex，则lim5xf(x)dx=（）Axf(x)f(x)C Bxf(x)C1Cx2f(x)C D(x1)f(x)C26下列无穷限积分收敛的是（）A（二）填空题（二）填空题11 x211若函数f(x)，则f()xx11dxDcosxdxBexdxC

11、310 xx12极限limsin3xx0tan5x1k3设lim(1)x e2，则 k=xx 4曲线y x31在点（1，0）处的切线是5.若函数f(x)ln(1 x)，则f(0)16已知函数f(x)asin x sin3x的驻点是x，则a 337函数f(x)xln(1 x)的单调减少区间是8经过点(2,10)，且在每一点的切线斜率都等于 3x的曲线方程是9.df(x)dx _.（三）计算题（三）计算题1 1 求函数的极限求函数的极限（1）lim(x0sin2xx 11 cosx)(2)limx13 x 1 xx21excosx 1 xcosx 1lim(3)lim（4）2xxx0 x0e ex

12、 22 xx1)(5)lim(x0212 2求函数的导数或微分求函数的导数或微分（1）已知y 2xcosxsin x，求y(x)(2)设y，求y()1 x1cosx3（3）设y sin2(3x 5)，求dy（4）设y x exsin x，求dy（5）设y ln(x x21)，求y(3)3 3求函数的不定积分求函数的不定积分exln3xdxdx（2）（1）x1excos（3）13xdx（4）2x x sinxdxxx2x3dx（5）24 x4 4 求函数的定积分求函数的定积分（1）(x xe-113x2 x)dx（2）2e1(2ln x)2dxx0（3）xcosxdx (4)xsin xdx01

13、（5）e1x lnxdx参考答案参考答案（一）（一）单项选择题单项选择题1A 2.C 3.B 4.D 5.A 6.C（二）填空题（二）填空题311.xx21 2.3.4.3x3525.-1 6.2 7（-1，0）8y 9.f(x)dx32x 42（三）计算题（三）计算题1 1求函数的极限求函数的极限（1）解：解：lim(x0sin2xsin2xcosx)limlimcos x)x0 x11x11x0 lim limsin2xsin2x(x11)(x11)11 limx0(x1)212)x0(x11)(x11)sin2xsin2x(x11)1 2lim(x11)1x0 x0 x2x 221 5（

14、2 2）解：）解：limx13 x 1 x(3 x 1 x)(3 x 1 x)limx1x21(x 1)(x 1)(3 x 1 x)(3 x)2(1 x)2(3 x)(1 x)lim limx1(x1)(x1)(3 x 1 x)x1(x1)(x1)(3 x 1 x)lim2(1 x)(x1)2limx1(x1)(x1)(3 x 1 x)x1(x1)(x1)(3 x 1 x)2lim122 x1(x1)(3 x 1 x)44 2（3 3）解：）解：连续利用罗比塔法则两次limcosx1sin xcosx1 lim lim x0exex2x0ex-exx0ex+ex2（4 4）解：）解：连续利用罗

15、比塔法则两次excosx1 xexcosxexsin x1lim limx0 x0 x22xxxxxe cosxe sin x(e sin xe cos x)limx02x2exsin x lim 0 x02(5)(5)解：解：利用第二重要极限公式11)2 xx1x1xx2x(1x2lim()=lim(1)lim(1)=lim(1)=e2x0 x0 x0 x022222 2求函数的导数或微分求函数的导数或微分（1 1）解：解：y(x)=(2x(1 x)sin x(1)cosxcosx)=2xln2(1 x)21 xcosx(1 x)sin x2(1 x)=2xln2(2)(2)解：解：y(si

16、n x)(1cosx)sin x(1cos x)cos x(1cos x)sin x(sin x)(1cosx)2(1cosx)2cosx11，2(1cosx)1cosx1112y()|31 cos xx31cos11332（3 3）解：解：y sin2(3x 5)2sin(3 x 5)sin(3x 5)2sin(3 x 5)cos(3 x 5)(3x 5)6sin(3 x 5)cos(3 x 5)3sin(6 x 10)dy ydx 3sin(6 x 10)dx（4 4）解：）解：y (x exsin x)12x exsin x(x exsin x)=1 exsin x excos x2x

17、esin xxdy ydx（5 5）解：）解：1 ex(cos x sin x)2x e sin x)xdxy ln(xx21)1xx21x(x21)1xx 1212x2 x 121x x 12x x21x 12 1x 12，y(3)1(3)21123 3 求函数的不定积分求函数的不定积分（1 1）解：解：利用不定积分的第一换元法ex11xxdx e dx(exxx1 e1 e+1)dx1 e1xxd(e+1)ln(e+1)+Cx1 e（2 2）解：）解：利用不定积分的第一换元法lnx3dx1ln4x333xln xxdx ln x(lnx)dx ln xd(lnx)4 C（3 3）解：解：利

18、用不定积分的第一换元法cos1xdx cos11dx cos1(1)dxxx2xxx2111d()sin Cxxx cos（4 4）解：解：先整理被积函数后，再用积分基本公式和第一换元法2x3x sinx1x3x sinxdx 2dxdxdxxxxx 21xdxx32312dxxsinxx1dx 2ln xsinx dx1xxx1232112 2ln x2x12x2sinx dx 2ln x2sinx(x)dx332 x3232 2ln x2x2x2sinx d(x)2ln x2cosx C33（5 5）解：解：利用不定积分的第一换元法x3x2x1x21x224 x2dx 4 x2dx 24

19、x22xdx 24 x2(x)dx1x214 x2 414 x2142222d(x)d(x)d(x)d(x)222224 x24 x24 x24 xx21122 2ln(4 x2)C=d(x)2)d(4+x)=2224 x4 4求函数的定积分求函数的定积分（1 1）解：解：利用到：奇函数在以原点为心的对称区间上的积分是零1-1(x3 xex x2)dx x3dx xexdx x2dx-1-1-121121x31112 0 0|1()3333（2 2）解：解：利用牛顿莱布尼兹公式e1ee(2 ln x)221dx(2 ln x)dx(2 ln x)2(2 ln x)dx11xxe1(2 ln x

20、)3e819(2 ln x)d(2 ln x)|1 9 3332（3 3）解：解：利用定积分的分部积分公式设u x,v sin x,有v vdx sin xdx cos x,000 xsinxdx xd(-cosx)xcosx|0cosxdx sinx|0（4 4）解：解：利用定积分的分部积分公式设u x,v cosx,有v vdx cosxdx 1cosxd(x)xsinxsinxsinx,dx210 x cosxdx xd(01sinx)|10|21010cos 0 1210sinxd(x)cosxcosx22 2（5 5）解：解：利用定积分的分部积分公式设u ln x,v x,有v vdx ex23xdx x dx x2113233e2322eln xd(x2)ln xx2|1x2d(ln x)333112112e1x ln xdx 1232e31232e222e x dx e xdx331x33133234424e2e2e239999