高中数学易错题集锦.pdf

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1、高中数学易错题集锦高中数学易错题集锦指导教师：任宝安指导教师：任宝安参加学生：路栋胡思敏参加学生：路栋胡思敏李梅张大山李梅张大山高中数学中有许多题目，求解的思路不难，但解题时，对某些特殊情形的讨论，却很容易被忽略。也就是在转化过程中，没有注意转化的等价性，会经常出现错误。本文通过几个例子，剖析致错原因，希望能对读者的学习有所帮助，加强思维的严密性训练。忽视等价性变形，导致错误。忽视等价性变形，导致错误。，但与不等价。【例 1】已知 f(x)=ax+，若3 f(1)0,3 f(2)6,求f(3)的范围。3 a b 0错误解法错误解法由条件得b3 2a 6226 a 152得8b2 33310b4

2、31043+得 3a,即 f(3).33333x，其值是同时受ba和b制约的。当a取最大（小）值时，b不一定取最大（小）值，因而整个解题思路是错误的。错误分析错误分析采用这种解法，忽视了这样一个事实：作为满足条件的函数f(x)ax f(1)a b正确解法正确解法由题意有b,解得：f(2)2a 2b1651637f(2)f(1).把f(1)和f(2)的范围代入得 f(3).39933在本题中能够检查出解题思路错误，并给出正确解法，就体现了思维具有反思性。只有牢固地掌握基础知识，才能反思性地看问题。忽视隐含条件，导致结果错误。忽视隐含条件，导致结果错误。【例 2】解下列各题】解下列各题 f(3)3

3、a(1)设、是方程x2 2kx k 6 0的两个实根，则(1)2(1)2的最小值是思路分析思路分析本例只有一个答案正确，设了 3 个陷阱，很容易上当。利用一元二次方程根与系数的关系易得：2k,k 6,有的学生一看到49，常受选择答案（A）的诱惑，盲从附和，这正是思维缺乏反思性的体现。如4果能以反思性的态度考察各个选择答案的来源和它们之间的区别，就能从中选出正确答案。原方程有两个实根、4k2 4(k 6)0k 2或 k 3.当k 3时，(1)2(1)2的最小值是 8；当k 2时，(1)2(1)2的最小值是 18这时就可以作出正确选择，只有（B）正确。(2)已知(x+2)2+=1,求 x2+y2的

4、取值范围。828错解错解由已知得 y2=4x216x12，因此 x2+y2=3x216x12=3(x+)2+33当 x=时，x2+y2有最大值，即 x2+y2的取值范围是(,。分析分析没有注意 x 的取值范围要受已知条件的限制，丢掉了最小值。事实上，由于(x+2)2+=1(x+2)2=113x1，从而当 x=1 时 x2+y2有最小值 1 x2+y2的取值范围是1,。注意有界性：偶次方注意有界性：偶次方 x x2 20 0，三角函数，三角函数1 1sinxsinx1 1，指数函数，指数函数 a ax x00，圆锥曲线有界性等。，圆锥曲线有界性等。忽视不等式中等号成立的条件，导致结果错误。忽视不

5、等式中等号成立的条件，导致结果错误。【例 3】已知：a0,b0,a+b=1,求(a+)2+(b+)2的最小值。11111211错解错解(a+)2+(b+)2=a2+b2+2+2+42ab+44ab+4=8,(a+)2+(b+)2的最小ababababab值是 8.1分析分析上面的解答中，两次用到了基本不等式 a2+b22ab，第一次等号成立的条件是 a=b=,第二21次等号成立的条件是 ab=，显然，这两个条件是不能同时成立的。因此，8 不是最小值。ab1111112原式=a2+b2+2+2+4=(a2+b2)+(2+2)+4=(a+b)22ab+(+)2+4abababab1=(12ab)(

6、1+22)+4，a ba b211111由 ab()=得：12ab1=,且2216，1+2217，2422a ba b1251原式17+4=(当且仅当 a=b=时，等号成立)，22211(a+)2+(b+)2的最小值是。ab不进行分类讨论，导致错误不进行分类讨论，导致错误【例 4】已知数列an的前n项和Sn 2n1，求an.错误解法错误解法an Sn Sn1(2n1)(2n11)2n 2n1 2n1.错误分析错误分析显然，当n 1时，a1 S1 3 2111。错误原因：没有注意公式an Sn Sn1成立的条件是。S1(n 1)因此在运用an Sn Sn1时，必须检验n 1时的情形。即：an。S

7、n(n 2,nN)以偏概全，导致错误以偏概全，导致错误以偏概全是指思考不全面，遗漏特殊情况，致使解答不完全，不能给出问题的全部答案，从而表现出思维的不严密性。【例 5】(1)设等比数列an的全n项和为Sn.若S3 S6 2S9，求数列的公比q.a1(1 q3)a1(1 q6)a1(1 q9)2错误解法错误解法S3 S6 2S9,，1 q1 q1 q由q 0得方程2q q 1 0.(2q 1)(q 1)0,q 6333342或q 1。a1(1 q3)a1(1 q6)a1(1 q9)2错误分析错误分析在错解中，由，1 q1 q1 q整理得q3(2q6q31）0时，应有a1 0 和 q 1。在等比数

8、列中，a1 0是显然的，但公比q 完全可能为 1，因此，在解题时应先讨论公比q 1的情况，再在q 1的情况下，对式子进行整理变形。正确解法正确解法 若q 1，则有S3 3a1,S6 6a1,S9 9a1.但a1 0，即得S3 S6 2S9,与题设矛盾，故q 1.又 依 题 意S3S6 2S9a1(1 q3)a1(1 q6)a1(1 q9)2）0,即q3(2q6q311 q1 q1 q333(2q 1)(q 1)0,因为q 1，所以q 1 0,所以2q 1 0.解得q 334.2说明说明此题为 1996 年全国高考文史类数学试题第（21）题，不少考生的解法同错误解法，根据评分标准而痛失 2 分。

9、(2)求过点(0,1)的直线，使它与抛物线y2 2x仅有一个交点。错误解法错误解法设所求的过点(0,1)的直线为y kx 1，则它与抛物线的交点为y kx1，消去y得(kx 1)2 2x 0.整理得k2x2(2k 2)x 1 0.2y 2x直线与抛物线仅有一个交点，0,解得k 11.所求直线为y x 1.22错误分析错误分析此处解法共有三处错误：第一，设所求直线为y kx 1时，没有考虑k 0与斜率不存在的情形，实际上就是承认了该直线的斜率是存在的，且不为零，这是不严密的。第二，题中要求直线与抛物线只有一个交点，它包含相交和相切两种情况，而上述解法没有考虑相切的情况，只考虑相交的情况。原因是对

10、于直线与抛物线“相切”和“只有一个交点”的关系理解不透。第三，将直线方程与抛物线方程联立后得一个一元二次方程，要考虑它的判别式，所以它的二次项系数不能为零，即k 0,而上述解法没作考虑，表现出思维不严密。正确解法正确解法当所求直线斜率不存在时，即直线垂直x轴，因为过点(0,1)，所以x 0,即y轴，它正好与抛物线y2 2x相切。当所求直线斜率为零时，直线为 y=1 平行x轴，它正好与抛物线y2 2x只有一个交点。y kx1一般地，设所求的过点(0,1)的直线为y kx 1(k 0),则2，y 2xk2x2(2k 2)x 1 0.令 0,解得 k=,所求直线为y 1x 1.21x 1.2综上，满

11、足条件的直线为：y 1,x 0,y 章节易错训练题章节易错训练题1、已知集合 M=直线，N=圆，则 MN 中元素个数是 A(A(集合元素的确定性集合元素的确定性)(A)0(B)0 或 1(C)0 或 2(D)0 或 1 或 22、已知 A=，若 AR*=，则实数 t 集合 T=_。t t 2(空集空集)3、如果 kx2+2kx(k+2)0 恒成立，则实数 k 的取值范围是 C(C(等号等号)(A)1k0(B)1k0(C)1k0(D)1k04、命题A:x13，命题B:(x2)(xa)0，若 A 是 B 的充分不必要条件，则a的取值范围是C(C(等号等号)（A）(4,)（B）4,（C）(,4)（D

12、）,45、若不等式 x2loglogax0 在(0,)内恒成立，则实数a的取值范围是 A(A(等号等号)(A),1)(B)(1,+)(C)(,1)(D)(,1)(1,2)6、若不等式(1)na2+对于任意正整数 n 恒成立，则实数a的取值范围是 A(A(等号等号)(A)2，)(B)(2，)(C)3，)(D)(3，)7、已知定义在实数集R R上的函数f(x)满足：f(1)1；当x 0时，f(x)0；对于任意的实数x、y都有f(x y)f(x)f(y)。证明：f(x)为奇函数。(特殊与一般关系特殊与一般关系)8、已知函数 f(x)=，则函数f(x)的单调区间是_。递减区间递减区间(，1)1)和和(

13、1 1，+)（单调性、单调区间）（单调性、单调区间）9、函数 y=的单调递增区间是_。，1 1）（定义域）（定义域）10、已知函数 f(x)=，f(x)的反函数 f1(x)=。（漏反函数定义域即原函数值域）（漏反函数定义域即原函数值域）11、函数 f(x)=loglog(x2+ax+2)值域为 R R，则实数 a 的取值范围是 D(D(正确使用正确使用0 0 和和0)0,b0,a+b=1，则(a+)2+(b+)2的最小值是_。(三相等三相等)22、已知 xk(kZ)，函数 y=sin2x+的最小值是_。5 5（三相等）（三相等）2823、求y 的最小值。22sin xcos x错解错解 1 1

14、y 错解错解 2 2错误分析错误分析在解法 1 中，y 16的充要条件是即|tanx|28且|sin2x|1.22sin xcos x28288 22222sin xcos xsin x cos x|sin xcosx|1且|sin x|1.这是自相矛盾的。ymin16.2在解法 2 中，y 1 6 2的充要条件是282 sin x且 cos2x，即sin2x 2，cos2x 2 2,这是不可能的。22sin xcos x正确解法正确解法 1 1y 2csc2x 8sec2x其中，当cot2x 4tan2x，即cot2x 2时，y 18.ymin18.正确解法正确解法 2 2 取正常数k，易得

15、其中“”取“”的充要条件是1因此，当tan2x 时，y 62k k 18,ymin18.224、已知 a1=1，an=an1+2n1(n2)，则 an=_。2 2n n1(1(认清项数认清项数)25、已知9、a1、a2、1 四个实数成等差数列，9、b1、b2、b3、1 五个实数成等比数列，则 b2(a2a1)=A(A(符号符号)(A)8(B)8(C)(D)26、已知an是等比数列，Sn是其前 n 项和，判断 Sk，S2kSk，S3kS2k成等比数列吗？当当 q=q=1 1，k k 为偶数时，为偶数时，S Sk k=0=0，则，则 S Sk k，S S2k2kS Sk k，S S3k3kS S2

16、k2k不成等比数列；不成等比数列；当当 q q1 1 或或 q=q=1 1 且且 k k 为奇数时，则为奇数时，则 S Sk k，S S2k2kS Sk k，S S3k3kS S2k2k成等比数列。成等比数列。（忽视公比（忽视公比 q=q=1 1）27、已知定义在 R 上的函数f(x)和数列an满足下列条件：a1 a,an f(an1)(n 2,3,4,.),a2 a1，f(an)f(an1)=k(anan1)(n=2,3,)，其中 a 为常数，k 为非零常数。（1）令bn an1 an(n N*)，证明数列bn是等比数列；（2）求数列an的通项公式；（3）当|k|1时，求liman。(200

17、4 天津)n（等比数列中的（等比数列中的 0 0 和和 1 1，正确分类讨论），正确分类讨论）28、不等式m2(m23m)i，误认短轴是，误认短轴是 b=2b=2；要分析直线；要分析直线 PQPQ 斜率是否存在斜率是否存在(有时也可以设为有时也可以设为 x=ky+b)x=ky+b)先；对一元二次方程要先看二次项系数为先；对一元二次方程要先看二次项系数为 0 0 否，再考虑否，再考虑00，后韦达定理。，后韦达定理。)41、已知双曲线的右准线为x 4，右焦点F(10,0),离心率e 2,求双曲线方程。a2x2y22222 4,c 10,a 40,b c a 60.故所求的双曲线方程为1.错解错解

18、1 1x c4060错解错解 2 2 由焦点F(10,0)知c 10,e x2y21.故所求的双曲线方程为2575c 2,a 5,b2 c2 a2 75.a错解分析错解分析这两个解法都是误认为双曲线的中心在原点，而题中并没有告诉中心在原点这个条件。由于判断错误，而造成解法错误。随意增加、遗漏题设条件，都会产生错误解法。正解正解 1 1 设P(x,y)为双曲线上任意一点，因为双曲线的右准线为x 4，右焦点F(10,0)，离心率e 2，(x 10)2 y2(x 2)2y21.2.整理得由双曲线的定义知1648|x 4|正解正解 2 2 依题意，设双曲线的中心为(m,0),a2 m 4a 4c则c

19、m 10解得c 8,所以b2 c2 a2 64 16 48,m 2.c 2.a故所求双曲线方程为(x 2)y1.16482222y42、求与y轴相切于右侧，并与C:x y 6x 0也相切的圆的圆心的轨迹方程。错误解法错误解法如图 321 所示，已知C 的方程为(x 3)2 y2 9.MPNC(3,0)O设点P(x,y)(x 0)为所求轨迹上任意一点，并且P 与y轴相切于 M 点，与C 相切于 N 点。根据已知条件得|CP|PM|3，即(x 3)y x 3，化简得y 12x222x(x 0).图图 3 32 21 1错误分析错误分析本题只考虑了所求轨迹的纯粹性（即所求的轨迹上的点都满足条件），而

20、没有考虑所求轨迹的完备性（即满足条件的点都在所求的轨迹上）。事实上，符合题目条件的点的坐标并不都满足所求的方程。从动圆与已知圆内切，可以发现以x轴正半轴上任一点为圆心，此点到原点的距离为半径（不等于 3）的圆也符合条件，所以y 0(x 0且x 3)也是所求的方程。即动圆圆心的轨迹方程是 y2=12x(x0)和y 0(x 0且x 3)。因此，在求轨迹时，一定要完整的、细致地、周密地分析问题，这样，才能保证所求轨迹的纯粹性和完备性。43、设椭圆的中心是坐标原点，长轴x在轴上，离心率e 圆上的最远距离是7，求这个椭圆的方程。x2y2错误解法错误解法依题意可设椭圆方程为221(a b 0)abc2a2

21、b2b2312，则e 24aa2a233，已知点P(0,)到这个椭22b21所以2，即a 2b.4a设椭圆上的点(x,y)到点P的距离为d，3则d2 x2(y)221所以当y 时，d2有最大值，从而d也有最大值。2所以4b23 (7)2，由此解得：b21,a2 4.x2 y21.于是所求椭圆的方程为4错解分析尽管上面解法的最后结果是正确的，但这种解法却是错误的。结果正确只是碰巧而已。由1当y 时，d2有最大值，这步推理是错误的，没有考虑y到的取值范围。事实上，由于点(x,y)2在椭圆上，所以有b y b，因此在求d2的最大值时，应分类讨论。即：1，则当y b时，d2（从而d）有最大值。2331

22、1于是(7)2(b)2,从而解得b 7,与b 矛盾。222211所以必有b，此时当y 时，d2（从而d）有最大值，22若b 所以4b23 (7)2，解得b21,a2 4.x2 y21.于是所求椭圆的方程为4数学推理是由已知的数学命题得出新命题的基本思维形式，它是数学求解的核心。以已知的真实数学命题，即定义、公理、定理、性质等为依据，选择恰当的解题方法，达到解题目标，得出结论的一系列推理过程。在推理过程中，必须注意所使用的命题之间的相互关系（充分性、必要性、充要性等），做到思考缜密、推理严密。注：参考资料1，北大学吧2，优化设计3，名校之约4，创新设计5，教与学主题：研究性学习材料总结时间：2009 年 07 月 01 日