高等数学课后习题答案--第一章函数与极限.pdf
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1、第一章第一章函数与极限函数与极限1.设1()sin66|sin x|,|x|3(x)0,|x|3,求、(2).644222()sin4422()sin()42 0422.设fx的定义域为0,1,问:fx;fsin x;fx a a 0;fx a fx aa 0的定义域是什么?1;(1)0 x 1知 1 x 1,所以f(x)的定义域为1,22(2)由0 sin x 1知2k x (2k 1)(k Z),2k,(2k 1)所以f(sin x)的定义域为a,1a所以f(x a)的定义域为0 x a 1a x 1 a(4)由知从而得0 x a 1a x 1 a1a,1 a当0 a 时,定义域为21当a
2、 时,定义域为2(3)由0 x a 1知a x 1a3.设1fx01x 1x 1x 1,gx e,求fgx和gfx,并x做出这两个函数的图形。1,g(x)11,x 01.)fg(x)0,g(x)1 从而得fg(x)0,x 01,x 01,g(x)12.)g f(x)ef(x)e,x 11,x 11e,x 14.设数列x有界,又limynnn 0,证明:Mlimxnyn 0.nxn有界,M 0,对n,有 xn M又lim yn 0,即 0,N(自然数),当n N时,有 ynn从而xnyn0 xn.yn M.M结论成立。5.根据函数的定义证明:lim3x18x3 0,要使3x 18 3x 3,只要
3、x 3 即可。3故 0,取,当0 x 3 时,恒有3x 18 成立3所以lim(3x 1)8x3(2)xlimsin xx 01 0,要使sin xxx,只要x sin xx即可。故取X 2sin xx 012,当x X时,恒有0 成立,所以limx36.根据定义证明:当x 0时,函数y 1x2x是无穷大.问x应满足什么条件时,才能使y 10?4M 0,要使故取1 2x111 22 M,只要x 即可。xxxM 2,当0 x 时,有1 2x M成立xM 21 2x所以lim x0 x要使 y 104,只要x 1即可。410 27.求极限:x2 3limx3x21=0=limh(2xh h)2xh
4、02x h x2limh0hx2 xlim4xx 3x21=0=n(n1)12limn2n2(4)(5)(6)lim1 2 n 1nn231lim3x11 x1 x=1 x x23lim 12x1(1 x)(1 x x)limx3 2x2x2x22=8.计算下列极限:lim x2sinx01x=0=lim1.arctan x 0 xxlimarctan xxx9.计算下列极限:limsinxx0 xx=limsin.xx0limtan3xx0 x1=limsinx3x.cos 33xx0(4)1 cos2xlimx0 xsin x3x=2sin2xlim 2x0 x.sin xx22lim(1
5、)x0 x e62lim1xx=1x6(5)lim1 2x=lim(1 2x)x01.22xx0 e2 e2(6)3 xlimx1 xx=2lim(1)x1 x1x.(2)1210.利用极限存在准则证明:111limn222 1nn n 2n nn211n212 n222 2n nn n 2n nn n2n2又lim21,lim21nn nnn 的极限存在,并故原式1 数列求其极限.解:10.先证单调。2,22,222,xn2 xn1,n 2,3,.x22 x122 2 x1,假设xk xk1,则xk12 xk2 xk1 xk故xn单调递增。20.再证有界。x12 2,假设xk1 2,则xk2
6、 xk12 2 2故xn有界。所以lim xn,设lim xn a,由xn2 xn1知a 2 ann所以a 2,a 1(舍去)lim xn 2n11.当x 0时,2x x与x高阶的无穷小?22 x3相比,哪一个是较x x2 2 x x3 3x x2 2(1(1 x x)limlim limlim 0 0 x x0 02 2x x x x2 2x x0 0 x x(2(2 x x)2当当x x 0 0时,时,x x2 2 x x3 3是较高阶的无穷小。是较高阶的无穷小。12.当x 1时,无穷小1 x和11 x是否同阶?是2否等价?1 1(1-1-x x2 2)(1(1 x x)(1)(1 x x
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- 高等数学课后习题答案-第一章 函数与极限 高等数学 课后 习题 答案 第一章 函数 极限
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