高中集合知识点总结.pdf

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1、一、集合的相关概念1.知足一路属性的对象的全部叫做集合，集合的研究对象叫元素.例：军训前学校通知:8 月 15 日 8 点,高一年级学生到操场集合进行军训.试问那个通知的对象是全部的高一学生仍是个别学生？每一个学生与全部高一学生之间的关系？问题：世界上最高的山能不能组成一个集合？世界上的高山能不能组成一个集合？咱们把研究的对象统称为“元素”,那么把一些元素组成的整体叫“集合”.2.元素与集合的关系有两种：属于，不属于元素的特性（判断是不是为集合的依据）：（1）肯定性：给定的集合,它的元素必需是明确的,即任何一个元素要么在那个集合中,要么不在那个集合中,这就是集合的肯定性.（2）无序性：即集合中

2、的元素是没有顺序的.（3）互异性：一个给定集合的元素是互不相同的,即集合中的元素是不重复出现的,这就是集合的互异性.结论：一、一般地，指定的某些对象的全部称为集合，标记：A，B，C，D，集合中的每一个对象叫做那个集合的元素，标记：a，b，c，d，二、元素与集合的关系a 是集合 A 的元素，就说 a 属于集合 A，记作 aA，a 不是集合 A 的元素，就说 a 不属于集合 A，记作 aA3、集合的中元素的三个特性：（1）元素的肯定性：对于一个给定的集合，集合中的元素是肯定的，任何一个对象或是或不是那个给定的集合的元素。（2）元素的互异性：任何一个给定的集合中，任何两个元素都是不同的对象，相同的对

3、象归入一个集合时，仅算一个元素。比如：book 中的字母组成的集合（3）元素的无序性：集合中的元素是平等的，没有前后顺序，因此判定两个集合是不是一样，仅需比较它们的元素是不是一样，不需考查排列顺序是不是一样。3.有限集、无穷集、空集、单元素集4.常常利用数集及其记法:自然数集记作N,正整数集记作N*或N，整数集记作,有理数集记作Q,实数集记作 R.注意：（1）a,(a,b)都是单元素集（2）0,的区别（3）具有全部之意例 1 判断以下元素的全部是不是组成集合：1（1）大于 3 小于 11 的偶数；（）（2）我国的小河流；()（3）非负奇数；（）（4）本校 2009 级新生；（）（5）血压很高的

4、人；（）（6）著名的数学家；（）例题 2 下列各组对象不能组成集合的是()A.大于 6 的所有整数 B.高中数学的所有难题1C.被 3 除余 2 的所有整数 D.函数 y=x图象上所有的点练习1.下列条件能形成集合的是(D)A.充分小的负数全部B.爱好足球的人C.中国的富翁D.某公司的全部员工2下列结论中，不正确的是()2A.若 aN，则-aN B.若 aZ，则 a ZC.若 aQ，则aQD.若 aR，则3a R3、你可否肯定，你所在班级中，高个子同窗组成的集合？并说明理由。你可否肯定，你所在班级中，最高的3 位同窗组成的集合？4、用符号或填空：（1）-3 N；（2）Q；（3）（5）3Q；（6

5、）1 Q；（4）0；31R；（7）1N+；（8）R。2五、下列对象可否组成集合:(1)数组一、3、五、7;(2)到两定点距离的和等于两定点间距离的点;(3)知足 3x-2x+3 的全部实数;(4)所有直角三角形;(5)美国 NBA 的著名篮球明星;(6)所有绝对值等于 6 的数;(7)所有绝对值小于 3 的整数;(8)中国男子足球队中技术很差的队员;(9)参加 2008 年奥运会的中国代表团成员.六、说出下面集合中的元素:(1)大于 3 小于 11 的偶数;(2)平方等于 1 的数;(3)15 的正约数.7、用符号或填空:(1)1_N N,0_N N,-3_N N,2_N N;(2)1_Z Z

6、,0_Z Z,-3_Z Z,2_Z Z;(3)1_Q Q,0_Q Q,-3_Q Q,2_Q Q;2(4)1_R R,0_R R,-3_R R,2_R R.八、判断正误:(1)所有属于 N N 的元素都属于 N*.()(2)所有属于 N N 的元素都属于 Z Z.()(3)所有不属于 N N*的数都不属于 Z Z.()(4)所有不属于 Q Q 的实数都属于 R R.()(5)不属于 N N 的数不能使方程 4x=8 成立.()二、集合的表示方式1.列举法：即把集合的元素一一列举出来，并用花括号“”括起来，大体形式为a1,a2,a3,a4，适用于有限集或元素间存在规律的无穷集.如“中国的直辖市”组

7、成的集合，写成北京,天津,上海,重庆由“maths 中的字母”组成的集合，写成m,a,t,h,s由“book 中的字母”组成的集合，写成b,o,k注：（1）有些集合亦可如下表示：从 51 到 100 的所有整数组成的集合：51，52，53，100所有正奇数组成的集合：1，3，5，7，（2）a 与a不同：a 表示一个元素，a表示一个集合，该集合只有一个元素.（3）集合中的元素具有无序性，所以用列举法表示集合时没必要考虑元素的顺序.2.描述法：用集合所含元素的一路特征来表示，即用肯定的条件表示某些对象是不是属于那个集合，并把那个条件写在大括号内表示集合的方式，如x|xP“中国的直辖市”组成的集合，

8、写成x|x为中国的直辖市；“方程 x+5x-6=0 的实数解”xR|x+5x-6=0=-6，1223.图示法（Venn 图或数轴）4.区间法：设a,bR,且a b，规定a,b,(a,b,a,b),(a,b),(a,),(,a)表示例 1.用列举法表示下列集合:(1)小于 5 的正奇数组成的集合;(2)能被 3 整除且大于 4 小于 15 的自然数组成的集合;(3)方程 x2-9=0 的解组成的集合;(4)15 之内的质数;(5)x|6Z Z,xZ Z.3 x例 2 已知M 2,a,b,N 2a,2,b2,且M N,求实数a,b的值.例 3 下列关系错误的是（）3A.,A,B,CB.00C.0D

9、.0练习1下列说法正确的是（）（A）所有著名的作家能够形成一个集合（B）0 与0的意义相同1（C）集合A x x,nN是有限集n（D）方程x2 2x 1 0的解集只有一个元素2下列四个集合中，是空集的是Ax|x 3 3Cx|x2 0（）B(x,y)|y2 x2,x,y RDx|x2 x 1 0（）D1.x y 23方程组的解组成的集合是x y 0A(1,1)B1,1C(1,1)4已知A 2,1,0,1，B y|y|x|x A，则 B5若A 2,2,3,4，B x|x t2,t A，用列举法表示 B=.6.用列举法表示下列集合:(1)x2-4 的一次因式组成的集合;(2)y|y=-x2-2x+3

10、,xR R,yN N;(3)方程 x2+6x+9=0 的解集;(4)20 之内的质数;(5)(x,y)|x2+y2=1,xZ Z,yZ Z;(6)大于 0 小于 3 的整数;(7)xR R|x2+5x-14=0;(8)(x,y)|xN N 且 1x4,y-2x=0;(9)(x,y)|x+y=6,xN N,yN N.7.用列举法表示下列集合x N|x是15的约数._;*x,y|x1,2,y 1,2;_;nx|x (1),n N_;4_;数字和为5的两位数(x,y)|3x 2y 16,x N,y N_;三、集合间的大体关系问题：观察下面几个例子，你能发觉两个集合间有什么关系了吗？（1）A 1,2,

11、3,B 1,2,3,4,5；(2)设 A 为某中学高一(3)班男生的全部组成的集合，B 为那个班学生的全部组成的集合；(3)设C x|x是两条边相等的三角形,D x|x是等腰三角形;(4)E 2,4,6,F 6,4,2.1.对于两个集合 A、B，若是集合 A 中的任意一个元素都是集合 B 中的元素，则两个集合有包括包括关系，称集合 A 是集合 B 的子集，记作A B（或B A），读作“A 含于 B”（或“B 包括 A”）.若x A，则xB集合 A 是集合 B 的子集注意：空集是任何集合的子集，即 A2.真子集：A B且A B即集合 A 是集合 B 的真子集3.集相等：A B且A B显然,A 的

12、子集除 A 外都是它的真子集.由n个元素组成的集合,其子集个数为2n个,真子集的个数为2n1个.例 1 用适当的符号（、）填空：40,2,4,6114m 3,mZ1，21，2，3，45，66例 2 写出集合a,b的所有子集.例 3B x|x A，A a,b,c列举法写出 B，并说明现在 A、B 的关系.b例 4 设a,bR，集合1,a b,a0,b，则b a（）aA.1B.-1C.2D.-2练习：51.设集合A x|x 2 2，a 11，则a与A的关系是_.2.用列举法x|x小于20的质数_.3.用列举法表示集合y|y 2x2,|x|3,x Z_.4.用描述法表示绝对值小于 4 的所有整数组成

13、的集合：_.65.集合A x|x,xZ,k Z，则A用列举法表示为_.k 16.写出小于 10 的正偶数集合A的所有真子集7.已知集合A x|xZ,x 0，B y|y x2，则A与B的关系是_.8.已知集合A x|1 x 2，B x|x a 0，若A B，则a的取值范围是_.九、讨论下列集合的包括关系A=今年天阴的日子，B=今年天下雨的日子；A=-2，-1，0，1，2，3，B=-1，0，1。（2）写出集合 A=1，2，3的所有非空真子集和非空子集“、”10、用连接下列集合对：A=济南人，B=山东人；A=N，B=R；A=1，2，3，4，B=0，1，2，3，4，5；A=本校田径队队员，B=本校长跑

14、队队员；A=11 月份的公休日，B=11 月份的礼拜六或礼拜天1 一、若 A=a，b，c,则有几个子集，几个真子集？写出 A 所有的子集.61 二、设 A=3m,mZ,B=6k，kZ,则 A、B 之间是什么关系？四、集合的运算问题：(1)考察集合 A=1，2，3,B=2,3,4与集合 C=2,3之间的关系.(2)考察集合 A=1，2，3,B=2,3,4与集合 C=1,2,3,4之间的关系.1.交集：一般地，由所有属于 A 又属于 B 的元素所组成的集合,叫做 A,B 的交集记作 AB（读作A 交 B），即A B x A且xB说明：（1）x A B x A且xB（2）x A B x A或xB（3

15、）A B实质上是A、B的公共部份性质：A A A，A B A，A，AU A,A B A A B2.并集：对于给定的两个集合A,B 把它们所有的元素并在一路所组成的集合,叫做 A,B 的并集记作 AB（读作A 并 B），即A B x A或xB说明：（1）x A B x A或xB（2）x A B x A且xB（3）A B实质上是A、B凑在一路性质：A A A，A B A，A A，AU U,A B B A B3.全集：一般地，若一个集合含有咱们所研究问题中涉及的所有元素，那么称那个集合为全集.通常常利用U表示.4.补集：对于一个集合A，由全集U中不属于A的所有元素组成的集合称为A的补集.记CA xU

16、且x A显然:xCUA x A;xCUA x A性质:CUCUA A,CUU,CUU,ACUA U,ACUA 7考虑补集时,必然要注意全集;但全集因题而异.例 1 设A(x,y)y 4x 6,B(x,y)y 5x 3,求A B.例2 已知集合A x x a 1,B x x25x 4 0,若A B,则实数a的取值范围是_.例 3 设A x x是锐角三角形,B x x是钝角三角形,求A B,A B.例 4 已知:S 1,2,3,4,5,6,7,8,A 1,2,3,B 3,5,4,6求:CSA,CSB例 5CZN,CR(CRQ)练习a 3,2a 1,a21,且A B 3,则a _.1.设A a2,a

17、 1,3,B 2.设U R,A x|x 0,B x|x 1,则ACUB()A.x|0 x 1B.x|0 x 1C.x|x 0D.x|x 113.设集合A x|x 2,B x|x21,则A B()21A.x|1 x 2B.x|x 1C.x|x 2D.x|1 x 221,a2,若A B 0,1,2,4,16,则a的值为()4.集合A 0,2,a,B A.0B.1C.2D.41,3,5,7,9,B 0,3,6,9,12,则ACNB()5.已知集合A 1,5,7B.3,5,7C.1,3,9D.1,2,3A.6.已知CZA xZ|x 5,CZB xZ|x 2,则有()A.A BB.B AC.A BD.以上都不对8