2015年温州中学自主招生考试数学试卷(含答案).pdf

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1、20152015 年温州中学自主招生素质测试数学试题年温州中学自主招生素质测试数学试题（本试卷满分（本试卷满分 150150 分，考试时间分，考试时间 120120 分钟）分钟）一、选择题：本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分在每小题给出的的四个选项中，只有一项是符合题目要求的请将你认为正确的答案填在答题卷的相应位置1关于反比例函数y 的图象，下列说法正确的是（）A必经过点（1，1）B两个分支分布在第二、四象限C两个分支关于x轴成轴对称D 两个分支关于原点成中心对称2已知x 2axby 7是二元一次方程组的解，则ab的值为（）y 1axby 1A A4xA1B1C2D33 已知平面

2、上的n个点，任三个点都能构成直角三MM角形，则n的最大值为（）A3B4C5D64 如图 1，AC、BC为半径为1的O的弦，D为BCB BO ON ND DC C图 1上动点，M、N分别为AD、BD的中点，则sinACB的值可表示为（）ADNBDMCMNDCD5 已知甲盒中有若干个白球，乙盒中有若干个白球和黑球，白球和黑球的数量均多于3个 从乙盒中随机抽取ii 1,2个球放入甲盒中放入i个球后，从甲盒中取1个球是白球的概率记为pii 1,2，则（）Ap1 p2，Bp1 p2，Cp1 p2，D以上均有可能6已知5个实数a1,a2,a3,a4,a5满足0 a1 a2 a3 a4 a5，且对任意的正整

3、数i,j1i j 5，均存在kk 1,2,3,4,5，使得akajaia1 0；a5 4a2；a32 a2a4；当1 i 有9个则上述论断正确的有（）个F FA Aj 5时，ai aj的可能值共A1B2C3D47 二元方程x3 y3 x2y2的正整数解的组数为A A1 1E E（）A1B2C3D4B B1 1B BD DC C1 1C C图 28如图 2，点D,E,F分别是ABC三边上点，且满足CD 4DB，若AAE 4EC，BF 4FA，AD、BE、CF两两分别交于A1、B1、C1，B C的面积为1，则A1B1C1的面积为（）AB173316CD16317二、填空题：本大题共 7 小题，每小

4、题 6 分，共 42 分请将答案填在答题卷的相应位置9设20153的小数部分为a，20153的小数部分为b，则a1b2的值为10若实数a,b满足a2b21，则a b maxa,b的最大值为（其中maxa,b表示a,b中的较大者）116名儿童分坐两排，每排3人要求面对面而坐，但其中两个儿童不可相邻，也不可面对面，有种排法12如图 3，已知正方体ABCD A1B1C1D1的棱长为1，M为棱C1D1的中点，点P为平面A1BCD1上的动点，则MP B1P的最小值为13若正实数a,b,c满足14如图 4 是一个残缺的乘法竖式，在每个方框中填入一个不是2的数字，可使其成为正确的算式，那么所得的乘积是A A

5、1 1D D1 1MMC C1 11a1b1c2015(a b)(bc)(c a)，则的值为a bcabc1115对于任意的0 x B B，有axb 1，则对于任意的0 x，bxa1 1P P22的最大值为A AD DB BC C22图 3图 420152015 年温州中学自主招生素质测试数学试题年温州中学自主招生素质测试数学试题答题卷答题卷一、选择题：本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分题号答案12345678二、填空题：本大题共 7 小题，每小题 6 分，共 42 分9；10；11；12；13；14；15；三、解答题：（本大题共 5 小题，16 题 8 分，17、18、19、2

6、0 题各15 分，共 68 分解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）16在函数y 4x26x中，求自变量x的取值范围17如图 5，M,A,B,C为抛物线y ax2上不同的四点，M2,1，线段MA,MB,MC与y轴的交点分别为E,F,G，且y yEF FG 1，C C（1）若F的坐标为0,t，求点B的坐标（用t表示）；（2）若AMB的面积是BMC面积的，求直线MB的解析式.18 如图 6，在ABC中，BAC的平分线交BC12MMG GF FE EO OA AB Bx x图 5A AI、于点M，点D、E分别为ABC的内切圆在边AB、AC上的切点，点1I2分别为ABM与ACM的内心求证：DI12

7、EI22 I1I22D DE E19试求出所有的正整数k，使得对一切奇数n 10，数16n5n均可被k整除B BI I1 1I I2 220 如图 7，在A B C中，AD为边BC上的高，DE AB于点E，DF AC图 6MMC C于点F，EF与AD交于G点，BEG与CFG的外心分别为O1和O2，求证：O1O2/BCA A温州中学温州中学 20142014 年自主招生综合年自主招生综合素质测试笔试素质测试笔试E EB BO O1 1D DG GF FC CO O2 2图 7数学试题答题卷数学试题答题卷二、选择题：本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分题号答案12345678DABCA

8、CAC二、填空题：本大题共 7 小题，每小题 6 分，共 42 分92；105；11384；12；132014；1430096；154三、解答题：（本大题共 5 小题，16 题 8 分，17、18、19、20 题各15 分，共 68 分解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）16在函数y 4x26x中，求自变量x的取值范围解：2,0 6,817如图，M,A,B,C为抛物线y ax2上不同的四点，M2,1，线段MA,MB,MC与y轴的交点分别为E,F,G，且32EF FG 1，（1）若F的坐标为0,t，求点B的坐标（用t表示）；（2）若AMB的面积是BMC面积的，求直线MB的解析式.12解：（1

9、）F0,t，可设直线MB的解析式为y kxt，由点M2,1在抛物线y ax2上得a，y x2由点M2,1在直线MB上得1 2k t将y kxt代入y x2整理得：x24kx4t 0 xMxB 4t即2xB 4t，xB 2t，从而得yB t2故所求点B的坐标为2t,t2（2）（解法一）F0,t，E0,t 1，G0,t 1由（1）同理可得点A2(t 1),(t 1)2，C2(t 1),(t 1)2SAMB t2t，SCMB t23t 2141414AMB的面积是BMC面积的，t23t 2 2(t2t)，解得t 2或t 1（舍去）k 所求直线MB的解析式为y x2，（解法二）过点A作y轴的平行线分别

10、交MB,MC于L,H，121212由EF FG得HL AL，SAMB SHMB，又SCMB 2SAMBSHBC SHMB点H为MC的中点，2xA 2xH xM xC即4(t 1)22(t 1)解得t 2从而k 所求直线MB的解析式为y x218如图，在ABC中，BAC的平分线交BC于点M，点D、E分别为ABC的内切圆在边AB、AC上的切点，点I1、I2分别为与ABM与A A1212ACM的内心求证：DI1 EI2 I1I2222D DE EI I1 1I I2 2解：设ABC的内切圆在边BC上的切点为F，I1,I2在边BC上的射影分别为P,Q连接I1P，I2Q，I1M，I2M，I1F，I2F由

11、内心性质知所以PM QF易知I1M I2M，从而I1PMMQI2所以I1PI1PPMFQ，从而I1PFFQI2PFMQI2QI2Q从而易得I1F I2F，又I1F I1D，I2F I2E所以I1I22 DI12 EI2219试求出所有的正整数k，使得对一切奇数n 10，数16n5n均可被k整除解：16n5n16516n116n155n1 2116n116n155n1故有2116n5n，故k 1,3,7,21均满足条件；下证，对于其他的正整数k均不满足条件。若k 1,3,7,21，但是有k 16n5n，则k 1611511，k 1613513，故有k 16216115111613513，即k 2

12、31511。显然，k不能整除 5，故只有k 231。2311173考虑k 11，16n5n 25n 0mod11。故只有k 1,3,7,21。20如图，在ABC中，AD为边BC上的高，DE AB于点E，DF ACA AO1和O2，求于点F，EF与AD交于G点，BEG与CFG的外心分别为证：O1O2/BCF FG GE EB BD DC C证明：延长AD交ABC的外接圆于H，连接BH,CH易知A,E,D,F四点共圆所以AEF A D FA C D A H B故E,G,H,B四点共圆同理，F,G,H,C四点共圆所以GH为圆O1,O2的公共弦故O1O2 GH又GH BC所以O1O2/BC.A AF FG GE EB BD DC CO O1 1O O2 2H H