2019-2020学年江西省宜春市上高县京英中学八年级下学期第一次段考数学试卷 (含解析).pdf

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1、2019-20202019-2020 学年江西省宜春市上高县京英中学八年级第二学期第学年江西省宜春市上高县京英中学八年级第二学期第一次段考数学试卷一次段考数学试卷一、选择题（共一、选择题（共 6 6 小题）小题）.1 1（3 3 分）若代数式分）若代数式A Ax x3 3在实数范围内有意义，则在实数范围内有意义，则 x x 的取值范围是（的取值范围是（）B Bx x3 3C Cx x3 3D Dx x3 32 2（3 3 分）分）如图，如图，在四边形在四边形 ABCDABCD 中，中，对角线对角线 ACAC 与与 BDBD 相交于点相交于点 O O，不能判断四边形不能判断四边形 ABCDABC

2、D是平行四边形的是（是平行四边形的是（）A AABABDCDC，ADADBCBCC CABABDCDC，ADADBCBCB BABABDCDC，ADADBCBCD DOAOAOCOC，OBOBODOD3 3（3 3 分）下列各曲线中表示分）下列各曲线中表示 y y 是是 x x 的函数的是（的函数的是（）A AB BC CD D4 4（3 3 分）如图，菱形分）如图，菱形 ABCDABCD 中，中，ACAC8 8，BDBD6 6，则菱形的周长是（，则菱形的周长是（）A A2020B B2424C C2828D D40405 5（3 3 分）如图，所有三角形都是直角三角形，所有四边形都是正方形，

3、已知分）如图，所有三角形都是直角三角形，所有四边形都是正方形，已知 S S1 14 4，S S2 29 9，S S3 38 8，S S4 41010，则，则 S S（）1A A2525B B3131C C3232D D40406 6（3 3 分）如图，在周长为分）如图，在周长为1212 的菱形的菱形 ABCDABCD 中，中，AEAE1 1，AFAF2 2，若，若 P P 为对角线为对角线 BDBD 上一上一动点，则动点，则 EPEP+FPFP 的最小值为（的最小值为（）A A1 1B B2 2C C3 3D D4 4二、填空题（每题二、填空题（每题 3 3 分，共分，共 1818 分）分）7

4、 7（3 3 分）计算：分）计算：8 8（3 3 分）如图，在分）如图，在 ABCDABCD 中，中，ACAC，BDBD 相交于点相交于点 O O，ABAB1010cmcm，ADAD8 8cmcm，ACACBCBC，则则 OBOBcmcm9 9（3 3 分）一只蚂蚁沿棱长为分）一只蚂蚁沿棱长为 2 2 的正方体表面从顶点的正方体表面从顶点 A A 爬到顶点爬到顶点 B B，则它走过的最短路程，则它走过的最短路程为为1010（3 3 分）已知分）已知ABCABC 的三边长为的三边长为 a a、b b、c c，满足，满足 a a+b b1010，abab1818，c c8 8，则此三角形，则此三角

5、形为为三角形三角形1111（3 3 分）已知正比例函数分）已知正比例函数y ykxkx（k k 是常数，是常数，k k0 0），当），当3 3x x1 1 时，对应的时，对应的y y 的取值的取值范围是范围是1 1y y，且，且 y y 随随 x x 的减小而减小，则的减小而减小，则 k k 的值为的值为21212（3 3 分）如图，在分）如图，在ABCABC 中，中，ABCABC9090，BDBD 为为 ACAC 的中线，过点的中线，过点C C 作作 CECEBDBD 于于点点 E E，过点过点 A A 作作 BDBD 的平行线，的平行线，交交 CECE 的延长线于点的延长线于点 F F，在

6、在 AFAF 的延长线上截取的延长线上截取 FGFGBDBD，连接连接 BGBG、DFDF若若 AGAG1313，CFCF6 6，则四边形，则四边形 BDFGBDFG 的周长为的周长为三、解答题（本大题共三、解答题（本大题共 5 5 小题，每小题小题，每小题 6 6 分，共分，共 3030 分）分）1313（6 6 分）（分）（1 1）（2 2）+2+2（）1414（6 6 分）如图，分）如图，RtRtABCABC 中，中，ACBACB9090，CDCDABAB，ACAC8 8，BCBC6 6，则线段，则线段 ADAD的长度是多少？的长度是多少？1515（6 6 分）如图，在四边形分）如图，在

7、四边形 ABCDABCD 中，中，ADADBCBC，E E，F F，G G，H H 分别是分别是 ABAB，CDCD，ACAC，EFEF 的中点，求证：的中点，求证：GHGHEFEF1616（6 6 分）如图，四边形分）如图，四边形 ABCDABCD 中，中，ACAC，BDBD 相交于点相交于点 O O，O O 是是 ACAC 的中点，的中点，ADADBCBC，ACAC8 8，BDBD6 6（1 1）求证：四边形）求证：四边形 ABCDABCD 是平行四边形；是平行四边形；（2 2）若）若 ACACBDBD，求，求 ABCDABCD 的面积的面积1717（6 6 分）已知分）已知 y y（k

8、k3 3）x x是关于是关于 x x 的正比例函数，的正比例函数，3（1 1）写出）写出 y y 与与 x x 之间的函数解析式：之间的函数解析式：（2 2）求当）求当 x x4 4 时，时，y y 的值的值四、（本大题共四、（本大题共 4 4 小题，小题，1818 小题小题 7 7 分，分，1919 小题小题 8 8 分，分，2020 小题小题 9 9 分，分，2121 小题小题 1010 分，共分，共 3434分）分）1818（7 7 分）如图，将长方形分）如图，将长方形ABCDABCD 沿着对角线沿着对角线 BDBD 折叠，使点折叠，使点C C 落在落在 C C处，处，BCBC交交 AD

9、AD于点于点 E E（1 1）试判断）试判断BDEBDE 的形状，并说明理由；的形状，并说明理由；（2 2）若）若 ABAB4 4，ADAD8 8，求，求BDEBDE 的面积的面积1919（8 8 分）如图分）如图 1 1，在矩形，在矩形 ABCDABCD 中，中，ABAB1212cmcm，BCBC6 6cmcm，点，点 P P 从从 A A 点出发，沿点出发，沿 A AB BC CD D 路线运动，到路线运动，到D D 点停止；点点停止；点Q Q 从从 D D 点出发，沿点出发，沿D DC CB BA A 运动，到运动，到A A 点停点停止若点止若点 P P、点、点 Q Q 同时出发，点同时

10、出发，点 P P 的速度为每秒的速度为每秒 1 1cmcm，点，点 Q Q 的速度为每秒的速度为每秒 2 2cmcm，a a 秒时秒时点点 P P、点点 Q Q 同时改变速度，同时改变速度，点点 P P 的速度变为每秒的速度变为每秒 b b（cmcm），点点 Q Q 的速度变为每秒的速度变为每秒 c c（cmcm）如如图图 2 2 是点是点 P P 出发出发 x x 秒后秒后APDAPD 的面积的面积 S S1 1（cmcm2 2）与）与 x x（秒）的函数关系图象；图（秒）的函数关系图象；图 3 3 是点是点Q Q 出发出发 x x 秒后秒后AQDAQD 的面积的面积 S S2 2（cmcm

11、2 2）与）与 x x（秒）的函数关系图象根据图象：（秒）的函数关系图象根据图象：（1 1）求）求 a a、b b、c c 的值；的值；（2 2）设点）设点 P P 离开点离开点 A A 的路程为的路程为 y y1 1（cmcm），点），点 Q Q 到点到点 A A 还需要走的路程为还需要走的路程为 y y2 2（cmcm），），请分别写出改变速度后请分别写出改变速度后 y y1 1、y y2 2与出发后的运动时间与出发后的运动时间 x x（秒）的函数关系式，并求出（秒）的函数关系式，并求出 P P 与与Q Q 相遇时相遇时 x x 的值的值42020（9 9 分）阅读材料：分）阅读材料：小明

12、在学习二次根式后，小明在学习二次根式后，发现一些含根号的式子可以写成另一个式子的平方，发现一些含根号的式子可以写成另一个式子的平方，如如 3+3+（1+1+设设 a a+b b）2 2善于思考的小明进行了以下探索：善于思考的小明进行了以下探索：（m m+n n）2 2（其中（其中 a a、b b、m m、n n 均为整数）均为整数），则有则有 a a+b bm m2 2+2+2n n2 2+2+2mnmnb b2 2mnmna am m2 2+2+2n n2 2，这样小明就找到了一种把类似这样小明就找到了一种把类似 a a+b b请你仿照小明的方法探索并解决下列问题：请你仿照小明的方法探索并解

13、决下列问题：（1 1）当）当a a、b b、m m、n n 均为正整数时，若均为正整数时，若a a+b b示示 a a、b b，得：，得：a a，b b；的式子化为平方式的方法的式子化为平方式的方法，用含，用含m m、n n 的式子分别表的式子分别表b b、m m、n n 填空：填空：（2 2）利用所探索的结论，利用所探索的结论，找一组正整数找一组正整数 a a、+）2 2；（3 3）若）若 a a+4+4，且，且 a a、m m、n n 均为正整数，求均为正整数，求 a a 的值？的值？（+2121（1010 分）如图，四边形分）如图，四边形 ABCDABCD 是正方形，是正方形，ABEAB

14、E 是等边三角形，是等边三角形，MM 为对角线为对角线 BDBD（不（不含含 B B 点）上任意一点，将点）上任意一点，将 BMBM 绕点绕点 B B 逆时针旋转逆时针旋转 6060得到得到 BNBN，连接，连接 ENEN、AMAM、CMCM（1 1）求证：）求证：AMBAMBENBENB；（2 2）当当 MM 点在何处时，点在何处时，AMAM+CMCM 的值最小；的值最小；当当 MM 点在何处时，点在何处时，AMAM+BMBM+CMCM 的值最小，并说明理由；的值最小，并说明理由；（3 3）当）当 AMAM+BMBM+CMCM 的最小值为的最小值为时，求正方形的边长时，求正方形的边长5参考答

15、案参考答案一、选择题（每题一、选择题（每题 3 3 分，共分，共 1818 分）分）1 1（3 3 分）若代数式分）若代数式A Ax x3 3解：代数式解：代数式x x3 30 0，解得解得 x x3 3故选：故选：C C2 2（3 3 分）分）如图，如图，在四边形在四边形 ABCDABCD 中，中，对角线对角线 ACAC 与与 BDBD 相交于点相交于点 O O，不能判断四边形不能判断四边形 ABCDABCD是平行四边形的是（是平行四边形的是（）在实数范围内有意义，则在实数范围内有意义，则 x x 的取值范围是（的取值范围是（）B Bx x3 3在实数范围内有意义，在实数范围内有意义，C C

16、x x3 3D Dx x3 3A AABABDCDC，ADADBCBCC CABABDCDC，ADADBCBCB BABABDCDC，ADADBCBCD DOAOAOCOC，OBOBODOD解：解：A A、根据“两组对边分别相等的四边形是平行四边形”可判定四边形、根据“两组对边分别相等的四边形是平行四边形”可判定四边形 ABCDABCD 为平行为平行四边形，故此选项不符合题意；四边形，故此选项不符合题意；B B、根据“两组对边分别平行的四边形是平行四边形”可判定四边形、根据“两组对边分别平行的四边形是平行四边形”可判定四边形 ABCDABCD 为平行四边为平行四边形，故此选项不符合题意；形，故

17、此选项不符合题意；C C、“一组对边平行，另一组对边相等”是四边形也可能是等腰梯形，故本选项符合题、“一组对边平行，另一组对边相等”是四边形也可能是等腰梯形，故本选项符合题意；意；D D、根据“对角线互相平分的四边形是平行四边形”可判定四边形、根据“对角线互相平分的四边形是平行四边形”可判定四边形ABCDABCD 为平行四边形，为平行四边形，故此选项不符合题意；故此选项不符合题意；故选：故选：C C3 3（3 3 分）下列各曲线中表示分）下列各曲线中表示 y y 是是 x x 的函数的是（的函数的是（）6A AB BC CD D解：根据函数的意义可知：对于自变量解：根据函数的意义可知：对于自变

18、量 x x 的任何值，的任何值，y y 都有唯一的值与之相对应，故都有唯一的值与之相对应，故 D D正确正确故选：故选：D D4 4（3 3 分）如图，菱形分）如图，菱形 ABCDABCD 中，中，ACAC8 8，BDBD6 6，则菱形的周长是（，则菱形的周长是（）A A2020B B2424C C2828D D4040解：菱形对角线互相垂直平分，解：菱形对角线互相垂直平分，BOBOODOD3 3，AOAOOCOC4 4，ABAB5 5，故菱形的周长为故菱形的周长为 2020故选：故选：A A5 5（3 3 分）如图，所有三角形都是直角三角形，所有四边形都是正方形，已知分）如图，所有三角形都是

19、直角三角形，所有四边形都是正方形，已知 S S1 14 4，S S2 29 9，S S3 38 8，S S4 41010，则，则 S S（）7A A2525B B3131C C3232D D4040解：如图，由题意得：解：如图，由题意得：ABAB2 2S S1 1+S S2 21313，ACAC2 2S S3 3+S S4 41818，BCBC2 2ABAB2 2+ACAC2 23131，S SBCBC2 23131，故选：故选：B B6 6（3 3 分）如图，在周长为分）如图，在周长为1212 的菱形的菱形 ABCDABCD 中，中，AEAE1 1，AFAF2 2，若，若 P P 为对角线为

20、对角线 BDBD 上一上一动点，则动点，则 EPEP+FPFP 的最小值为（的最小值为（）A A1 1B B2 2C C3 3D D4 4解：作解：作 F F 点关于点关于 BDBD 的对称点的对称点 F F，连接，连接 EFEF交交 BDBD 于点于点 P P，则，则 PFPFPFPFEPEP+FPFPEPEP+F FP PP P、F F在一条直线上时，在一条直线上时，EPEP+FPFP 的值最小，的值最小，由两点之间线段最短可知：由两点之间线段最短可知：当当 E E、此时此时 EPEP+FPFPEPEP+F FP PEFEF8四边形四边形 ABCDABCD 为菱形，周长为为菱形，周长为 1

21、212，ABABBCBCCDCDDADA3 3，ABABCDCD，AFAF2 2，AEAE1 1，DFDFDFDFAEAE1 1，四边形四边形 AEFAEFD D 是平行四边形，是平行四边形，EFEFADAD3 3EPEP+FPFP 的最小值为的最小值为 3 3故选：故选：C C二、填空题（每题二、填空题（每题 3 3 分，共分，共 1818 分）分）7 7（3 3 分）计算：分）计算：解：解：故答案为故答案为2 28 8（3 3 分）如图，在分）如图，在 ABCDABCD 中，中，ACAC，BDBD 相交于点相交于点 O O，ABAB1010cmcm，ADAD8 8cmcm，ACACBCBC

22、，则则 OBOBcmcm解：四边形解：四边形 ABCDABCD 是平行四边形，是平行四边形，BCBCADAD8 8cmcm，OAOAOCOCACAC，ACACBCBC，ACBACB9090，ACACOCOC3 3，OBOB故答案为：故答案为：6 6，；99 9（3 3 分）一只蚂蚁沿棱长为分）一只蚂蚁沿棱长为 2 2 的正方体表面从顶点的正方体表面从顶点 A A 爬到顶点爬到顶点 B B，则它走过的最短路程，则它走过的最短路程为为2 2解：将正方体展开，连接解：将正方体展开，连接 A A、B B，根据两点之间线段最短，根据两点之间线段最短，ABAB故答案为：故答案为：2 22 21010（3

23、3 分）已知分）已知ABCABC 的三边长为的三边长为 a a、b b、c c，满足，满足 a a+b b1010，abab1818，c c8 8，则此三角形，则此三角形为为直角直角三角形三角形解：解：a a+b b1010，abab1818，c c8 8，（a a+b b）2 22 2abab10010036366464，c c2 26464，a a2 2+b b2 2c c2 2，此三角形是直角三角形此三角形是直角三角形故答案为：直角故答案为：直角1111（3 3 分）已知正比例函数分）已知正比例函数y ykxkx（k k 是常数，是常数，k k0 0），当），当3 3x x1 1 时，对

24、应的时，对应的y y 的取值的取值范围是范围是1 1y y，且，且 y y 随随 x x 的减小而减小，则的减小而减小，则 k k 的值为的值为解：由题意解：由题意 k k0 0 时，时，y y 随随 x x 的减少而减少，的减少而减少，当当 x x3 3 时，时，y y1 1，代入正比例函数，代入正比例函数 y ykxkx 得：得：1 13 3k k解得解得 k k，故答案为：故答案为：1212（3 3 分）如图，在分）如图，在ABCABC 中，中，ABCABC9090，BDBD 为为 ACAC 的中线，过点的中线，过点C C 作作 CECEBDBD 于于点点 E E，过点过点 A A 作作

25、 BDBD 的平行线，的平行线，交交 CECE 的延长线于点的延长线于点 F F，在在 AFAF 的延长线上截取的延长线上截取 FGFGBDBD，10连接连接 BGBG、DFDF若若 AGAG1313，CFCF6 6，则四边形，则四边形 BDFGBDFG 的周长为的周长为2020解：解：AGAGBDBD，BDBDFGFG，四边形四边形 BGFDBGFD 是平行四边形，是平行四边形，CFCFBDBD，CFCFAGAG，又点又点 D D 是是 ACAC 中点，中点，BDBDDFDFACAC，四边形四边形 BGFDBGFD 是菱形，是菱形，设设 GFGFx x，则，则 AFAF1313x x，ACA

26、C2 2x x，在在 RtRtACFACF 中，中，CFACFA9090，AFAF2 2+CFCF2 2ACAC2 2，即（，即（1313x x）2 2+6+62 2（2 2x x）2 2，解得：解得：x x5 5，故四边形故四边形 BDFGBDFG 的周长的周长4 4GFGF2020故答案为：故答案为：2020三、解答题（本大题共三、解答题（本大题共 5 5 小题，每小题小题，每小题 6 6 分，共分，共 3030 分）分）1313（6 6 分）（分）（1 1）（2 2）+2+2（）解：（解：（1 1）原式）原式；+2+2（2 2）原式）原式2 23 33 3+1414（6 6 分）如图，分

27、）如图，RtRtABCABC 中，中，ACBACB9090，CDCDABAB，ACAC8 8，BCBC6 6，则线段，则线段 ADAD的长度是多少？的长度是多少？11解：解：RtRtABCABC 中，中，ACBACB9090，ACAC8 8，BCBC6 6，由勾股定理得：由勾股定理得：ABAB又又CDCDABABS SABCABCACACBCBCABABCDCD8 86 61010CDCDCDCD4.84.8在在 RtRtADCADC 中，由勾股定理得：中，由勾股定理得：ADAD6.46.41010答：线段答：线段 ADAD 的长度是的长度是 6.46.41515（6 6 分）如图，在四边形分

28、）如图，在四边形 ABCDABCD 中，中，ADADBCBC，E E，F F，G G，H H 分别是分别是 ABAB，CDCD，ACAC，EFEF 的中点，求证：的中点，求证：GHGHEFEF【解答】证明：【解答】证明：E E，F F，G G 分别是分别是 ABAB，CDCD，ACAC 的中点，的中点，FGFGADAD，EGEGBCBC，ADADBCBC，FGFGGEGE，H H 是是 EFEF 的中点，的中点，GHGHEFEF1616（6 6 分）如图，四边形分）如图，四边形 ABCDABCD 中，中，ACAC，BDBD 相交于点相交于点 O O，O O 是是 ACAC 的中点，的中点，AD

29、ADBCBC，ACAC8 8，BDBD6 6（1 1）求证：四边形）求证：四边形 ABCDABCD 是平行四边形；是平行四边形；（2 2）若）若 ACACBDBD，求，求 ABCDABCD 的面积的面积12解：解：（1 1）O O 是是 ACAC 的中点，的中点，OAOAOCOC，ADADBCBC，ADOADOCBOCBO，在在AODAOD 和和COBCOB 中，中，AODAODCOBCOB，ODODOBOB，四边形四边形 ABCDABCD 是平行四边形；是平行四边形；（2 2）四边形）四边形 ABCDABCD 是平行四边形，是平行四边形，ACACBDBD，四边形四边形 ABCDABCD 是菱

30、形，是菱形，ABCDABCD 的面积的面积ACACBDBD24241717（6 6 分）已知分）已知 y y（k k3 3）x x是关于是关于 x x 的正比例函数，的正比例函数，（1 1）写出）写出 y y 与与 x x 之间的函数解析式：之间的函数解析式：（2 2）求当）求当 x x4 4 时，时，y y 的值的值解：（解：（1 1）当）当 k k2 28 81 1，且，且 k k3 30 0 时，时，y y 是是 x x 的正比例函数，的正比例函数，故故 k k3 3 时，时，y y 是是 x x 的正比例函数，的正比例函数，y y6 6x x；（2 2）当）当 x x4 4 时，时，y

31、 y6 6（4 4）2424四、（本大题共四、（本大题共 4 4 小题，小题，1818 小题小题 7 7 分，分，1919 小题小题 8 8 分，分，2020 小题小题 9 9 分，分，2121 小题小题 1010 分，共分，共 3434分）分）1818（7 7 分）如图，将长方形分）如图，将长方形ABCDABCD 沿着对角线沿着对角线 BDBD 折叠，使点折叠，使点C C 落在落在 C C处，处，BCBC交交 ADAD于点于点 E E（1 1）试判断）试判断BDEBDE 的形状，并说明理由；的形状，并说明理由；（2 2）若）若 ABAB4 4，ADAD8 8，求，求BDEBDE 的面积的面积

32、13解：（解：（1 1）BDEBDE 是等腰三角形是等腰三角形由折叠可知，由折叠可知，CBDCBDEBDEBD，ADADBCBC，CBDCBDEDBEDB，EBDEBDEDBEDB，BEBEDEDE，即即BDEBDE 是等腰三角形；是等腰三角形；（2 2）设）设 DEDEx x，则，则 BEBEx x，AEAE8 8x x，在在 RtRtABEABE 中，由勾股定理得：中，由勾股定理得：ABAB2 2+AEAE2 2BEBE2 2即即 4 42 2+（8 8x x）2 2x x2 2，解得：解得：x x5 5，所以所以 S SBDEBDEDEDEABAB5 54 410101919（8 8 分

33、）如图分）如图 1 1，在矩形，在矩形 ABCDABCD 中，中，ABAB1212cmcm，BCBC6 6cmcm，点，点 P P 从从 A A 点出发，沿点出发，沿 A AB BC CD D 路线运动，到路线运动，到D D 点停止；点点停止；点Q Q 从从 D D 点出发，沿点出发，沿D DC CB BA A 运动，到运动，到A A 点停点停止若点止若点 P P、点、点 Q Q 同时出发，点同时出发，点 P P 的速度为每秒的速度为每秒 1 1cmcm，点，点 Q Q 的速度为每秒的速度为每秒 2 2cmcm，a a 秒时秒时点点 P P、点点 Q Q 同时改变速度，同时改变速度，点点 P

34、P 的速度变为每秒的速度变为每秒 b b（cmcm），点点 Q Q 的速度变为每秒的速度变为每秒 c c（cmcm）如如图图 2 2 是点是点 P P 出发出发 x x 秒后秒后APDAPD 的面积的面积 S S1 1（cmcm2 2）与）与 x x（秒）的函数关系图象；图（秒）的函数关系图象；图 3 3 是点是点Q Q 出发出发 x x 秒后秒后AQDAQD 的面积的面积 S S2 2（cmcm2 2）与）与 x x（秒）的函数关系图象根据图象：（秒）的函数关系图象根据图象：（1 1）求）求 a a、b b、c c 的值；的值；（2 2）设点）设点 P P 离开点离开点 A A 的路程为的路

35、程为 y y1 1（cmcm），点），点 Q Q 到点到点 A A 还需要走的路程为还需要走的路程为 y y2 2（cmcm），），请分别写出改变速度后请分别写出改变速度后 y y1 1、y y2 2与出发后的运动时间与出发后的运动时间 x x（秒）的函数关系式，并求出（秒）的函数关系式，并求出 P P 与与Q Q 相遇时相遇时 x x 的值的值14解：（解：（1 1）观察图象得，）观察图象得，S SAPQAPQPAPAADAD（1 1a a）6 62424，解得解得 a a8 8（秒）（秒）b b2 2（厘米（厘米/秒）秒）（22228 8）c c（12122+62+6）2 28 8解得解得

36、 c c1 1（厘米（厘米/秒）秒）（2 2）依题意得：）依题意得：y y1 11 18+28+2（x x8 8），），即：即：y y1 12 2x x8 8（x x8 8），），y y2 2（30302 28 8）1 1（x x8 8）2222x x（x x8 8）又据题意，当又据题意，当 y y1 1y y2 2，P P 与与 Q Q 相遇，即相遇，即即即 2 2x x8 8（2222x x），），解得解得 x x1010故出发故出发 1010s s 时时 P P、Q Q 相遇相遇2020（9 9 分）阅读材料：分）阅读材料：小明在学习二次根式后，小明在学习二次根式后，发现一些含根号的式子

37、可以写成另一个式子的平方，发现一些含根号的式子可以写成另一个式子的平方，如如 3+3+（1+1+设设 a a+b b）2 2善于思考的小明进行了以下探索：善于思考的小明进行了以下探索：（m m+n n）2 2（其中（其中 a a、b b、m m、n n 均为整数）均为整数），则有则有 a a+b bm m2 2+2+2n n2 2+2+2mnmn15b b2 2mnmna am m2 2+2+2n n2 2，这样小明就找到了一种把类似这样小明就找到了一种把类似 a a+b b请你仿照小明的方法探索并解决下列问题：请你仿照小明的方法探索并解决下列问题：（1 1）当）当a a、b b、m m、n

38、n 均为正整数时，若均为正整数时，若a a+b b的式子化为平方式的方法的式子化为平方式的方法，用含，用含m m、n n 的式子分别表的式子分别表示示 a a、b b，得：，得：a am m2 2+3+3n n2 2，b b2 2mnmn；（2 2）利用所探索的结论，找一组正整数）利用所探索的结论，找一组正整数a a、b b、m m、n n 填空：填空：4 4+2 21 1）2 2；，且，且 a a、m m、n n 均为正整数，求均为正整数，求 a a 的值？的值？，（1 1+（3 3）若）若 a a+4+4解：（解：（1 1）a a+b ba a+b bm m2 2+3+3n n2 2+2+

39、2mnmna am m2 2+3+3n n2 2，b b2 2mnmn故答案为：故答案为：m m2 2+3+3n n2 2，2 2mnmn（2 2）令）令 m m1 1，n n1 1，a am m2 2+3+3n n2 24 4，b b2 2mnmn2 2故答案为故答案为 4 4、2 2、1 1、1 1（3 3）由（）由（1 1）可知：）可知：a am m2 2+3+3n n2 2，b b2 2mnmnb b4 42 2mnmn，且，且 m m、n n 为正整数，为正整数，m m2 2，n n1 1 或者或者 m m1 1，n n2 2，a a2 22 2+3+31 12 27 7，或，或 a

40、 a1 12 2+3+32 22 21313a a7 7 或或 13132121（1010 分）如图，四边形分）如图，四边形 ABCDABCD 是正方形，是正方形，ABEABE 是等边三角形，是等边三角形，MM 为对角线为对角线 BDBD（不（不含含 B B 点）上任意一点，将点）上任意一点，将 BMBM 绕点绕点 B B 逆时针旋转逆时针旋转 6060得到得到 BNBN，连接，连接 ENEN、AMAM、CMCM（1 1）求证：）求证：AMBAMBENBENB；（2 2）当当 MM 点在何处时，点在何处时，AMAM+CMCM 的值最小；的值最小；当当 MM 点在何处时，点在何处时，AMAM+B

41、MBM+CMCM 的值最小，并说明理由；的值最小，并说明理由；（3 3）当）当 AMAM+BMBM+CMCM 的最小值为的最小值为时，求正方形的边长时，求正方形的边长16【解答】（【解答】（1 1）证明：）证明：ABEABE 是等边三角形，是等边三角形，BABABEBE，ABEABE6060MBNMBN6060，MBNMBNABNABNABEABEABNABN即即MBAMBANBENBE又又MBMBNBNB，AMBAMBENBENB（SASSAS）（2 2）解：）解：当当 MM 点落在点落在 BDBD 的中点时，的中点时，A A、MM、C C 三点共线，三点共线，AMAM+CMCM 的值最小的

42、值最小如如图，连接图，连接 CECE，当，当 MM 点位于点位于 BDBD 与与 CECE 的交点处时，的交点处时，AMAM+BMBM+CMCM 的值最小的值最小理由如下：连接理由如下：连接 MNMN，由（，由（1 1）知，）知，AMBAMBENBENB，AMAMENEN，MBNMBN6060，MBMBNBNB，BMNBMN 是等边三角形是等边三角形BMBMMNMNAMAM+BMBM+CMCMENEN+MNMN+CMCM根据“两点之间线段最短”可知，若根据“两点之间线段最短”可知，若E E、N N、MM、C C 在同一条直线上时，在同一条直线上时，ENEN+MNMN+CMCM 取取得最小值，最

43、小值为得最小值，最小值为 ECEC在在ABMABM 和和CBMCBM 中，中，17ABMABMCBMCBM，BAMBAMBCMBCM，BCMBCMBENBEN，EBEBCBCB，若连接若连接 ECEC，则，则BECBECBCEBCE，BCMBCMBCEBCE，BENBENBECBEC，MM、N N 可以同时在直线可以同时在直线 ECEC 上上当当 MM 点位于点位于 BDBD 与与 CECE 的交点处时，的交点处时，AMAM+BMBM+CMCM 的值最小，即等于的值最小，即等于 ECEC 的长的长（3 3）解：过）解：过 E E 点作点作 EFEFBCBC 交交 CBCB 的延长线于的延长线于 F F，EBFEBFABFABFABEABE909060603030设正方形的边长为设正方形的边长为 x x，则，则 BFBFx x，EFEF在在 RtRtEFCEFC 中，中，EFEF2 2+FCFC2 2ECEC2 2，（）2 2+（x x+x x）2 2解得解得 x x1 1，x x2 2（舍去负值）（舍去负值）正方形的边长为正方形的边长为18