2021年广东省广州市中考数学试卷含解析.docx.pdf

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1、20212021 年广东省广州市中考数学试卷一、选择题（本大题共一、选择题（本大题共 1010 题，每小题题，每小题 3 3 分，满分分，满分 3030 分）分）1.（3 分）下列四个选项中，为负整数的是（A.0B.-0.5）C.-A/2D.-22.（3 分）如图，在数轴上，点 A、8 分别表示。、b,且。+。=0,若 AB=6,则点 A 表示的数为（）_1 _I _ABXA.-33.（3 分）方程=B.0的解为（)XC.3D.-6x-3A.工=-6B.工=-2)C.工=2D.x=64.（3 分）下列运算正确的是（A.|-(-2)|=-2B.3+柄=3/C.(。2 人 3)2=。465.（3

2、分）下列命题中，为真命题的是（1）（2）（3）（4）D.(a-2)2=a2-）4对角线互相平分的四边形是平行四边形对角线互相垂直的四边形是菱形对角线相等的平行四边形是菱形有一个角是直角的平行四边形是矩形B.（1）（4）C.（2）（4）D.（3）（4）A.（1）（2）6.（3 分）为了庆祝中国共产党成立 100 周年，某校举办了党史知识竞赛活动，在获得一等奖的学生中，有 3 名女学生，1 名男学生，则从这 4 名学生中随机抽取 2 名学生，恰好抽 到2 名女学生的概率为（）A.23B.A2c.A3D.A67.（3 分）一根钢管放在 V 形架内，其横截面如图所示，钢管的半径是 24cm,若 ZAC

3、B=60,则劣弧 AB 的长是（A.8iicmB.16ncmC.32ircmD.192ircm8.（3 分）抛物线 y=（v?+bx+c 经过点（-1,0）、（3,0）,且与轴交于点（0,-5）,则当 x=2 时，y的值为（）A.-5B.-3C.-1D.59.（3 分）如图，在 RtAABC 中，ZC=90,AC=6,BC=8,将ABC绕点 A逆时针旋转得到AB C,使点 C落在 A3 边上，连结 BB,则 sinZBB C 的值为（A.呈5B.A5C.在5D.2妪510.（3 分）在平面直角坐标系 xOy 中，矩形 OABC 的点 A在函数 y=l（x0）的图象上,X点 C 在函数=-（x

4、B 3,2）是反比例函数=四上的两个点，若 xiX2)为直线,在第二象限的点.(1)求 A、B 两点的坐标；(2)设的面积为 S,求 S 关于 x的函数解析式，并写出 x 的取值范围；(3)作以。的外接圆 OC,延长 FC交 OC 于点 Q,当FOQ 的面积最小时，求 OC 的半径.(1)(2)当所=0 时，请判断点(2,4)是否在该抛物线上；该抛物线的顶点随着的变化而移动，当顶点移动到最高处时，求该抛物线的顶点坐标；(3)已知点 E(-1,-1)、F(3,7),若该抛物线与线段 EF 只有一个交点，求该抛物 线顶点横坐标的取值范围.25.(12 分)如图，在菱形 ABCQ中，ZDAB60,A

5、B=2,点 E 为边 A3上一个动点,延长 BA 到点 F,使 AF=AE,且 CF、。矿相交于点 G.(1)(2)(3)备用图备用图当点 E 运动到 A3中点时，证明：四边形 DFEC 是平行四边形；当 CG=2 时，求 AE的长；当点 E 从点 A开始向右运动到点 B 时，求点 G 运动路径的长度.20212021 年广东省广州市中考数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（本大题共一、选择题（本大题共 1010 题，每小题题，每小题 3 3 分，满分分，满分 3030 分）分）1.（3 分）下列四个选项中，为负整数的是（A.0B.-0.5）C.-A/2D.-2【分析】根据整数的概念可以解答本

6、题.【解答】解：A、0 是整数，但。既不是负数也不是正数，故此选项不符合题意；3、-0.5 是负分数，不是整数，故此选项不符合题意；C、-桓是负无理数，不是整数，故此选项不符合题意；D,-2 是负整数，故此选项符合题意.故选：D.【点评】本题主要考查了实数的分类.明确大于 0 的整数是正整数，小于 0 的整数是负 整数是解题的关键.2.（3 分）如图，在数轴上，点 A、8 分别表示 b,且。+人=0,若 AB=6f则点 A表示的数为（）-1 1-h h-AB xA.-3B.0C.3D.-6【分析】根据相反数的性质，由。+。=0,AB=6 得QVO,。0,/?=-a,故 AB=b+（-a）6.进

7、而推断出 a-3.【解答】解：.。+人=0,即。与人互为相反数.又.仙=6,.b-：.2b=6.:b=3.。=-3,即点 A表示的数为-3.故选：A.【点评】本题主要考查相反数的性质，熟练掌握相反数的性质是解决本题的关键.3.(3 分)方程-J-=2 的解为(x3 x)C x=2D.x-6A.x-6B.-2【分析】求解分式方程，根据方程的解得结论.【解答】解：去分母，得 x=2x-6,.x=6.经检验，x=6 是原方程的解.故选：D.【点评】本题考查了解分式方程，掌握解分式方程的一般步骤是解决本题的关键.4.(3 分)下列运算正确的是(A.|-(-2)|=-2C.(决/)=/?246)B.3+

8、旧=3厄D.(a-2)2=cr-4【分析】根据绝对值的定义、二次根式的运算法则、幕的乘方和积的乘方的运算法则，完全平方公式等知识进行计算即可.【解答】解：A、|-(-2)|=2,原计算错误，故本选项不符合题意；B、3 与店不是同类二次根式，不能合并，原计算错误，故本选项不符合题意；C(a2i3)2=a4Z6,原计算正确，故本选项符合题意；)、(a-2)2=a2-4a+4,原计算错误，故本选项不符合题意.故选：C.【点评】本题考查绝对值、二次根式、藉的乘方和积的乘方、完全平方公式，熟练掌握 运算法则和公式是解题的关键.5.(3 分)下列命题中，为真命题的是(1)(2)(3)(4)对角线互相平分的

9、四边形是平行四边形对角线互相垂直的四边形是菱形对角线相等的平行四边形是菱形有一个角是直角的平行四边形是矩形B.(1)(4)C.(2)(4)D.(3)(4)A.(1)(2)【分析】利用平行四边形、矩形及菱形的判定方法分别判断后即可确定正确的选项.【解答】解：(1)对角线互相平分的四边形是平行四边形，正确，为真命题，符合题意;(2)对角线互相垂直的平行四边形是菱形，故原命题错误，是假命题，不符合题意；（3）（4）对角线相等的平行四边形是矩形，故原命题错误，为假命题，不符合题意；有一个角是直角的平行四边形是矩形，正确，是真命题，符合题意，真命题为（1）（4）,故选：B.【点评】考查了命题与定理的知识

10、，解题的关键是了解平行四边形、矩形及菱形的判定方法，难度不大.6.（3 分）为了庆祝中国共产党成立 100 周年，某校举办了党史知识竞赛活动，在获得一等奖的学生中，有 3 名女学生，1 名男学生，则从这 4 名学生中随机抽取 2 名学生，恰好抽 到 2名女学生的概率为（A.2B.A）C.AD.A3236【分析】画树状图，共有 12 种等可能的结果，恰好抽到 2 名女学生的结果有 6 种，再由 概率公式求解即可.【解答】解：画树状图如图：ZN/N/N女女女女女女女女女女女女共有 12 种等可能的结果，恰好抽到 2 名女学生的结果有 6 种,女女 女女 女女女女男安女男女女男安女男女殳男女殳男/1

11、恰好抽到 2 名女学生的概率为-=1,12 2故选：B.【点评】此题考查的是用列表法或树状图法求概率.列表法可以不重复不遗漏的列出所 有可能的结果，适合于两步完成的事件；树状图法适合两步或两步以上完成的事件.用 到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比.7.（3 分）一根钢管放在 V 形架内，其横截面如图所示，钢管的半径是 24cm,若 ZACB=60,则劣弧 AB 的长是（A.8ircm）B.16ircmC.32ncmD.192ircm【分析】首先利用相切的定义得到 ZOAC=ZOBC=90,然后根据 ZACB=60求得 ZAOB=no,从而利用孤长公式求得答案即可.【解答】解：由题意得

12、：CA 和 C3 分别与分别相切于点 A和点：.OALCA,OBLCB,：.ZOAC=ZOBC=90,V ZACB=6Q,A ZAOB=120,120KX24=16TI（G180故选：B.【点评】考查了弧长公式和切线的性质，解题时，熟记弧长公式和圆周角定理即可解答,属于基础题.8.（3 分）抛物线 y=ax1+bx+c 经过点（-1,0）、（3,0）,且与轴交于点（0,-5）,则 当 x=2时，y的值为（A.-5B.-3）C.-1D.5【分析】根据抛物线于 x周两交点，及于 y 轴交点可画出大致图象，根据抛物线的对称 性可求 y=-5.【解答】解：如图抛物线 y=aj?+bx+c 经过点（-1

13、,0）、（3,0）,且与轴交于点（0,-5）,.I 可画出上图，.抛物线对称轴坦=1,2.点(0,-5)的对称点是(2,-5),.当 x=2 时，的值为-5.故选：A.【点评】本题考查了抛物线的图象与性质、二次函数图象上点的坐标特征等知识，画出图象利用对称性是解题的关键.9.(3 分)如图，在 RtAABC 中，ZC=90,AC=6,BC=8,将 AABC 绕点 A逆时针旋转得到眼访C,使点 C落在边上，连结 BB,则 smZBB C 的值为(A.旦5B.A5C.在5D.2 妪5【分析】在 RtAABC 中，利用勾股定理可求 AB,由旋转的性质可得 AC=AC=6,BC=3C=8,ZC=ZAC

14、B=90,在 RtABBC 中，由勾股定理可求 BB的长，即可求解.【解答】解:VZC=90,AC=6,BC=8,A3=寸肮 2+BC?=.36+64=10，.将 AABC绕点 A逆时针旋转得到AB C,:.AC=AC=6,BC=BC=8,ZC=ZACB=90,ABC=4,BB=2+BC，=V16+64=4/5,.sin/BB C=l-,BB V5 5故选：C.【点评】本题考查了旋转的性质，勾股定理，锐角三角函数等知识，利用勾股定理求出33,长是解题的关键.10.(3 分)在平面直角坐标系 xOy 中，矩形 OABC 的点 A 在函数 y=l(x0)的图象上,X点 C 在函数 y=-(x0),

15、贝 lj C(-2,2m),AD OD OA 1m m由 OE=0-(-2)=2 得到(-1)=2,解分式方程即可求得 A 的坐标.mm 2 m【解答】解：如图，作 ADx 轴于 D,CEK 轴于 E,).四边形 OABC 是矩形，.NAOC=90,A ZAOD-ZCOE=90,V ZAOD+ZOAD=90,:.ZCOE=ZOAD,：ZCEO=ZODAf:.ACOE/XOAD,.SACOE _AOD OA AD OD OA(0C)2；OE=CE=0CVSACOE=X|-4|=2,SAOD=x 1=【，221 2.OE/E*AD OD OA二匹=2,T:.OE=2AD,CE=2OD,设 A S,

16、A)(m0),m/.C(-,m2m),A OE=0-(-2)=2,m m.点B的横坐标为-二，2.m _(_7)=22 m整理得 2m2+7m-4=0,:mi=-4(舍去)，2.A(A,2),2故选：A.【点评】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，反比例函数的性质，矩形的性质，比例函数系数 k 的几何意义，表示出点的坐标是解题的关键.二、填空题（本大题共二、填空题（本大题共 6 6 小题，每小题小题，每小题 3 3 分，满分分，满分 1818 分）分）反11.（3 分）代数式在实数范围内有意义时，x 应满足的条件是 Q6.【分析】二次根式中被开方数的取值范围为被开方数是非负数.【解答】解：

17、代数式在实数范围内有意义时，X-6N0,解得 xN6,.X 应满足的条件是 xN6.故答案为：xN6.【点评】本题主要考查了二次根式有意义的条件，如果一个式子中含有多个二次根式，那么它们有意义的条件是：各个二次根式中的被开方数都必须是非负数.12.（3 分）方程JT-4X=。的实数解是 xi=O,圮=4.【分析】方程利用因式分解法求出解即可.【解答】解：方程 x2-4x=0,分解因式得：X（X-4）=0,可得 x=0 或 x-4=0,解得：xi=0,*2=4.故答案为：xi=0,松=4.【点评】此题考查了解一元二次方程-因式分解法，熟练掌握因式分解的方法是解本题 的关键.13.（3 分）如图，

18、在 RtAABC 中，ZC=90,ZA=30,线段 AB 的垂直平分线分别交 AC、AB 于点 E,连接 8D.若 CD=,则 AQ的长为 2.B【分析】由线段垂直平分线的性质可得 AD=BD,利用含 30角的直角三角形的性质可 求解的长，进而求解.【解答】解:DE 垂直平分 A3,:.AD=BD,:.ZA=ZABD,V ZA=30 ,./ABD=30,A ZBDC=ZA+ZABD=30+30=60,VZC=90,:.ZCBD=30,.CD=1,:BD=2CD=2,:.AD=2.故答案为 2.【点评】本题主要考查线段的垂直平分线，含 30角的直角三角形的性质，求得 AQ=BQ 是解题的关键.1

19、4.（3 分）一元二次方程?-4x+m=0 有两个相等的实数根，点 A（xi,yi）、B（眨，/）是反比例函数=四上的两个点，若 XlX2 y2（填“V”或“”或=x【分析】由一元二次方程根的情况，求得 m 的值，确定反比例函数 y=a图象经过的象x限，然后根据反比例函数的性质即可求得结论.【解答】解：.一元二次方程 X2-4x+m=0 有两个相等的实数根，=16-4 初=0,解得 m=4,Vm0,反比例函数 y=-5*图象在一三象限，在每个象限 y随 x 的增大而减少,VxiX2y2,故答案为.【点评】本题考查了一元二次方程根的情况，反比例函数图象上点的坐标特征，熟练掌 握反比例函数的性质是

20、解题的关键.15.（3 分）如图，在ABC中，AC=BC,ZB=38,点 D 是边 AB 上一点，点 B 关于直线 CD 的对称点为B,当B D/AC 时，贝ZBCD 的度数为 33.【分析】先根据等腰三角形的性质得到 ZA=ZB=38,再利用平行线的性质得 ZADB=4=38,接着根据轴对称的性质得到 ZCDB=/CDB,则可出 ZCDB 的度数，然后利用三角形内角和计算出 ZBCD 的度数.【解答】解：:AC=BC,:.ZA=ZB=38,:B D/AC,:.ZADB=4=38,:点B 关于直线 CD 的对称点为 B,:.ZCDB=ZCDB=（38+180）=109,2A ZBCD=180-

21、ZB-ZCDB=180-38-109=33.故答案为 33.【点评】本题考查了轴对称的性质：轴对称的两个图形全等.也考查了平行线的性质和 等腰三角形的性质.16.（3 分）如图，正方形 ABCD 的边长为 4,点 E 是边 BC 上一点，且 BE=3,以点 A 为 圆心，3为半径的圆分别交 AB、AD 于点 F、G,DF与AE交于点H.并与交于点 K,连结 HG、CH.给出下列四个结论.其中正确的结论有有 正确结论的序号).(1)H 是 FK 的中点(2)HGD*HEC(3)SAAHG：SADHC=9：16（1）（3）（4）（填写所【分析】(1)先证明 ABE竺DAF,得 ZAFD+ZBAE=

22、ZAEB+ZBAE=90,AHFK,由垂径定理，得：FH=HK,即 H 是 FK 的中点；(2)只要证明题干任意一组对应边不相等即可；(3)分别过 H 分别作于肱，HN上BC于N,由余弦三角函数和勾股定理算出了HM,HT,再算面积，即得SAAHG：SAD/C=9：16；(4)余弦三角函数和勾股定理算出了 FK 即可得K.【解答】解：(1)在ABE 与DAF 中，rAD=AB=HC=7HM2+MD2,/HN2-K:N2,:.HCHD,:.HGD竺HEC 是错误的，故(2)不正确;由知，:.DM=:MN/CD,:.MD=HT=,25AW=VAH2-HM2=|F,25 25旦，n 4-AG-HM.圣

23、些=-=旦，故(3)正确；SAHCDWDHT 16FK=2HF=S，b:.DK=DF-FK=1-,故(4)正确.【点评】本题是圆的综合题，考查了全等的性质和垂径定理，勾股定理和三角函数解直 角三角形，熟练应用三角函数快速计算是本题关键.三、解答题（本大题共三、解答题（本大题共 9 9 小题，满分小题，满分 7272 分）分）17.（4 分）解方程组将代入得，x+(x-4)=6,x+y=6【分析】用代入消元法解二元一次方程组即可.【解答】解:.x=5,将 x=5 代入得，y=1方程组的解为y=x-4Ox+y=6 x=5y=l【点评】本题考查二元一次方程组的解，熟练掌握代入消元法、加减消元法解二元

24、一次 方程组是解题的关键.18.（4 分）如图，点 E、F 在线段 3。上，AB/CD,ZA=ZD,BE=CF,证明：AE=DF.E【分析】欲证 AE=DF,可证 ABE2DCF.由 AB/CD,得 ZB=ZC.又因为ZA=ZD,BE=CF,所以 ABE/DCF.【解答】证明：:AB/CD,:./B=ZC.在 ABE 和DCF 中，ZA=ZD,ZB=ZC,BE=CF,：.4ABE#mCF(.AAS:.AEDF.【点评】本题主要考查平行线的性质以及全等三角形的性质与判定，熟练掌握全等三角 形的性质与判定是解决本题的关键.19.(6 分)已知 A=(买-丑)笠刊 1.n m mn(1)(2)化简

25、A；若 m+n-2-/3=0,求 A 的值.【分析】(1)根据分式的减法和除法可以化简 A；(2)根据-273=0,可以得到 m+n=2旧,然后代入(1)中化简后的 A,即可求 得 A 的值.【解答】解：(1)A=(四-旦).通 E n m m-n_ m1 2-n2V3inn inn m-n=(m+n)(m-n)扼 inn-mn m-n=A/3(HI+H)；(2)：m+n-2(3=0,m+n=2,当 m+n=22 时，A=V3X2/3=6.【点评】本题主要考查了分式的化简求值，熟练运用分式运算法则化简是解题的关键，注意代入计算要仔细，属于常考题型.20.(6 分)某中学为了解初三学生参加志愿者

26、活动的次数，随机调查了该年级 20 名学生，统计得到该 20 名学生参加志愿者活动的次数如下：3,5,3,6,3,4,4,5,2,4,5,6,1,3,5,5,4,4,2,4根据以上数据，得到如下不完整的频数分布表：次数人数11223a465b62志愿者活动的次数为 4 次的人数.【分析】（1）由题中的数据即可求解；（2）根据中位数、众数的定义，即可解答；12表格中的 a=4,b=5；在这次调查中，参加志愿者活动的次数的众数为 4,中位数为 4(3)若该校初三年级共有 300 名学生，根据调查统计结果，估计该校初三年级学生参加（3）根据样本估计总体，即可解答.【解答】解：（1）由该 20 名学生

27、参加志愿者活动的次数得：a=4,b=5,故答案为：4,5；（2）该 20 名学生参加志愿者活动的次数从小到大排列如下：1,2,2,3,3,3,3,4,4,4,4,4,4,5,5,5,5,5,6,6,.4出现的最多，有 6 次，众数为 4,中位数为第 10,第 11 个数的平均数电=4,2故答案为：4,4；（3）300X_L=90（人）.20答：估计该校初三年级学生参加志愿者活动的次数为 4 次的人数有 90 人.【点评】此题考查了频数分布表，众数、中位数，样本估计总体，掌握众数、中位数的定义是本题的关键，中位数是将一组数据从小到大（或从大到小）重新排列后，最中间 的那个数（最中间两个数的平均数

28、），众数是一组数据中出现次数最多的数.21.（8 分）民生无小事，枝叶总关情，广东在“我为群众办实事”实践活动中推出“粤菜 师傅”、“广东技工”、“南粤家政”三项培训工程，今年计划新增加培训共 100 万人次.（1）若“广东技工”今年计划新增加培训 31 万人次，“粤菜师傅”今年计划新增加培训 人次是“南粤家政”的 2 倍，求“南粤家政”今年计划新增加的培训人次；（2）“粤菜师傅”工程开展以来，巳累计带动33.6 万人次创业就业，据报道，经过“粤 菜师傅”项目培训的人员工资稳定提升，己知李某去年的年工资收入为 9.6 万元，预计李 某今年的年工资收入不低于 12.48 万元，则李某的年工资收入

29、增长率至少要达到多少？【分析】（1）设“南粤家政”今年计划新增加培训 x 万人次，则“粤菜师傅”今年计划 新增加培训 2x万人次，根据今年计划新增加培训共 100万人次，即可得出关于 x的一元 一次方程，解之即可得出结论；（2）设李某的年工资收入增长率为利用李某今年的年工资收入=李某去年的年工资收入 X（1+增长率），结合预计李某今年的年工资收入不低于 12.48 万元，即可得出关于 m 的一元一次不等式，解之即可得出，的取值范围，再取其中的最小值即可得出结论.【解答】解：（1）设“南粤家政”今年计划新增加培训 X 万人次，则“粤菜师傅”今年计划新增加培训 2x 万人次，依题意得：31+2x+

30、x=100,解得：x=23.答：南粤家政”今年计划新增加培训 23 万人次.（2）设李某的年工资收入增长率为m,依题意得：9.6（1+m）N12.48,解得：泊 0.3=30%.答：李某的年工资收入增长率至少要达到 30%.【点评】本题考查了一元一次方程的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出一元一次方程；（2）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式.22.（10 分）如图，在四边形 ABCD 中，ZABC=90，点 E 是 AC 的中点，且 AC=AD.（1）尺规作图：作 ZCAD 的平分线 AF,交CD于尺F,连结 EF、（保留作图痕迹，不写作法）；

31、（2）在（1）所作的图中，若 ZBAD=45,且 ZCAD=2ZBAC,证明：时为等边 三角形.【分析】（1）根据要求作出图形即可.（2）想办法证明 EB=EF,ZBEF=60,可得结论.【解答】（1）解：如图，图形如图所示.A(2)证明：9：AC=AD,AF 平分 ACAD,:.ZCAF=ZDAF,AFLCD,*：ZCAD=2ZBAC,ZBAC=45,ZBAE=ZEAF=ZFAD=15,V ZABC=ZAFC=90,AE=EC,.：BE=AE=EC,EF=AE=EC,.EB=EF,ZEAB=ZEBA=15,ZEAF=ZEFA=5,ZBEC=ZEAB+ZEBA=30,ZCEF=/EAF+/EF

32、A=3Q,A ZBEF=60,.BEF 是等边三角形.【点评】本题考查作图-基本作图，等边三角形的判定，直角三角形斜边中线的性质等 知识，解题的关键是证明 EB=EF,ZBEF=6Q.23.(10 分)如图，在平面直角坐标系 xQy 中，直线/：y=L+4 分别与工辄 y轴相交于 A、2B 两点，点 F(x,y)为直线/在第二象限的点.(1)求 A、B 两点的坐标；(2)设E4O 的面积为 S,求 S 关于 x的函数解析式，并写出 x的取值范围；(3)作31。的外接圆 OC,延长 PC 交于点 Q,当POQ 的面积最小时，求 OC 的半径.令 y=0,贝!工=-8,即得 A,B 的坐标；【分析

33、】(1)根据直线尸 L+4 分别与工轴，y轴相交于 A、B两点,令工=0,贝 ijy=4；2(2)设 F(x,土 x+4)，根据三角形面积公式，表示出$关于 x的函数解析式，根据 F在线段 A3上得出 x 的取值范围；(3)将SPOQ表示为 OP2,从而当八?。的面积最小时，此时 OP 最小，而 OPLAB 时，OF 最小，借助三角函数求出此时的直径即可解决问题.【解答】解：(1).直线 y=L+4 分别与 x辄 y轴相交于 A、B 两点，2.当 工=0 时，y=4；当 y=0时，工=-8,AA(-8,0),B(0,4)；(2).点 F(x,y)为直线/在第二象限的点，P(工，x+4)，.SM

34、PO=OAX(X+4)=4XX+4)=2I+16(-8x0)；.S=2x+16(-8x0)；(3)VA(-8,0),B(0,4),：.OA=S,03=4,在 RtAAOB 中，由勾股定理得：AB=VOA2-HJB2=782+42=4/5,在 OC 中，.FQ 是直径,/.ZPQO=90,*ZBAO=ZQ,.tanQtan ZB AO,PO 1.,OQ 2OQ=2OP,.SApoe=-px 0Q=-|当 SPOQ 最小，则 OP 最小时，.点 F 在线段仙上运动，.当 OP_LAB 时，OP 最小，ISAAOB=x 0A X 0B胡X AB X 0P，_ 0AXQB 8X4 855 AB=蛎=5

35、，sinQ=sin NB4O,OP OB.-二-，PQ AB8A/54.-，PQ W5:.PQ=8,.OC半径为 4.【点评】本题主要考查了一次函数图象上点的坐标的特征、圆的性质、以及三角函数的知识，将&FOQ 表小为 QP2是解决问题的关键.24.(12 分)己知抛物线=?-(771+1)X+2/71+3.(1)(2)当 m=0时，请判断点(2,4)是否在该抛物线上；该抛物线的顶点随着所的变化而移动，当顶点移动到最高处时，求该抛物线的顶点坐标；(3)已知点 E(-1,-1)、F(3,7),若该抛物线与线段 EF 只有一个交点，求该抛物 线顶点横坐标的取值范围.【分析】(1)当 m=0 时，抛

36、物线为 y=x2-x+3,将 x=2 代入得=5,故点(2,4)不在抛物线上；22(2)抛物线-(m+1)x+2m+3 的顶点为(四辿，f+6m+ll),而-m+6m+ll2为：(2,5)；44=-A hn-3)2+5,即得 m=3 时，纵坐标最大，此时顶点移动到了最高处，顶点坐标4+1(3)求出直线 时的解析式为 y=2x+l,由得直线 y2x+1 与抛y=x-(m+1)x+2m+3物线-(m+1)x+2m+3 的交点为：(2,5)和(m+1,2m+3),因(2,5)在线段 EF上,由已知可得(秫+1,2m+3)不在线段 EF 上，即是 m+l3,或(2,5)与(m+1,2m+3)重合，可得

37、抛物线顶点横坐标工顶点或工顶点=虻 1旦2或 x 顶点=1.【解答】解：(1)当 m=0时，抛物线为 yx2-x+3,将 x2 代入得 y=4-2+3=5,.点(2,4)不在抛物线上；(2)抛物线 y=?-S+l)x+2m+3 的顶点为(疝，4(2m+3)-2 化简得(史 tl,f+6m+ll),2 42222(m+1),24顶点移动到最高处，即是顶点纵坐标最大，2而-m+6m+ll=-1(?-3)2+5,44.,777=3 时，纵坐标最大，即是顶点移动到了最高处，此时顶点坐标为：(2,5)；(3)设直线 EF 解析式为y=kx+b,将 E(-1,-1)、F(3,7)代入得：(T=-k+b,解

38、得(k=2,l7=3k+b I b=l直线 EF 的解析式为 y=2x+l,由尸*得Jx=2或 gl,【y=5 Iy=2m+3y=x-(m+1)x+2m+3.l 直线 y=2x+1 与抛物线 y=?-S+l)x+2m+3 的交点为：(2,5)和(m+1,2m+3),而(2,5)在线段 EF 上，若该抛物线与线段 EF 只有一个交点，则(m+1,2m+3)不在线段段上，或(2,5)与(m+1,2m+3)重合，-1 或 m+1 3 或 m+1=2(此时 2m+3=5),此时抛物线顶点横坐标扑点=疝-1 或 X 顶点=疝旦或 X 顶点=疝=空=1.222222【点评】本题考查二次函数的综合应用，涉及

39、图象上点坐标特征，顶点坐标，抛物线与 线段交点等知识，解题的关键是用 m 的代数式表示抛物线与直线交点的坐标.25.(12 分)如图，在菱形 ABCD 中，ZDAB=6Q,AB=2,点 E 为边 AB 1.一个动点，延长 BA 到点F,使 AF=AE,且 CF、DE 相交于点 G.(1)当点 E 运动到 AB 中点时，证明：四边形 QFEC 是平行四边形;(2)当 CG=2 时，求 AE的长;备用图备用图(3)当点 E 从点 A开始向右运动到点 B 时，求点 G 运动路径的长度.【分析】(1)利用平行四边形的判定定理：两边平行且相等的四边形是平行四边形,(2)利用三角形相似，求出此时 FG 的

40、长，再借助直角三角形勾股定理求解,(3)利用图形法，判断 G 点轨迹为一条线段，在对应点处求解.【解答】解：(1)连接 DF,CE,如图所示:.AE=AF=AB,2:.EF=AB,.四边形 ABCQ 是菱形,:.EF/AB,:.四边形 DFEC 是平行四边形.(2)作 CHBH,设 AE=FA=m,如图所示,.四边形 ABCZ）是菱形，:.CD/EF,:./CDGsFEG,.CD EF,布节，:.FG=2m,在 RtACBH 中，/CBH=60,BC=2,sin60=旦 1,CH=BCBCcos60=理，BC=,在 RtACFH 中，CF=2+2/77,CH=FH=3+m,CF2=CH2+FH

41、2,即（2+2 所）2=（V3）2+（3+m）2,整理得：3m2+2m-8=0,解得：mi=A,m2=-2（舍去），3 AEWo（3）因 E 点沿线段 AB 直线运动，F 点沿线段的延长线直线运动，并且 CDAB,线段 ED 与线段 CF的交点 G 点运动轨迹为线段 AG,运动刚开始时，A、F、H、G 四点 重合，当 E 点运动到B 点时，G 点运动到极限位置，所以 G 点轨迹为线段 AG,如图所示，作 GHAB,4.四边形 ABCD 为菱形，ZDAB=60,AB=2,:.CD/BF,BD=2,/.ACDGAFBG,.冬 L芟宜，即 BG=2DG,BF BG,:BG+DG=BD=2,-.BG=A,3在 Rt/XGHB 中，BG=A,ZDBA=603_GHBG3cos60_BHBH=2L,-,BG3在RtAAHG中，A/=2-2=A,GH=?扼,3 33AG2=(A)2+(2 扼)2=竺，sin60:-,GH=H,33_39:.AG=?B.3.G点路径长度为冬互.【点评】本题主要考查平行四边形的判定，菱形的性质，解题关键是借助锐角三角比和 勾股定理求解.