高考数学三角函数典型例题(供参考).pdf

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1、文档来源为:从网络收集整理.word 版本可编辑.欢迎下载支持.三角函数典型例题三角函数典型例题1 设锐角ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c,a 2bsin A.()求B的大小;()求cosAsinC的取值范围.【解析】:()由a 2bsin A,根据正弦定理得sin A 2sin Bsin A,所以sin B 1,2由ABC为锐角三角形得B.6 A()cos AsinC cos Asin3sinA.32 在ABC中,角 A BC 的对边分别为 a、b、c,且满足(2a-c)cosB=bcos C()求角 B 的大小;()设m sin A,cos2A,n 4k,1k 1,且mn的最大

2、值是 5,求 k 的值.【解析】:(I)(2a-c)cosB=bcosC,(2sinA-sinC)cosB=sinBcos C即 2sinAcosB=sinBcosC+sinCcosB=sin(B+C)A+B+C=,2sinAcosB=sinA0A,sinA0.cosB=1.20B1,t=1 时,mn取最大值.依题意得,-2+4k+1=5,k=2)33.2A BCsin2.223 在ABC中,角A,B,C所对的边分别为a，b，c,sinI.试判断ABC的形状;II.若ABC的周长为 16,求面积的最大值.1文档来源为:从网络收集整理.word 版本可编辑.文档来源为:从网络收集整理.word

3、版本可编辑.欢迎下载支持.【解析】:I.sinC2sinCCCC cossin2sin()22224C即C,所以此三角形为直角三角形.24222II.16 a ba2b2 2 ab 2ab,ab 64(22)当且仅当a b时取等号,此时面积的最大值为326 4 2.4 在ABC中,a、b、c 分别是角 A BC 的对边,C=2A,cosA 34,(1)求cosC,cosB的值;(2)若BABC 272,求边 AC 的长【解析】:(1)cosC cos2A 2cos2A1 2916118(2)BABC 272,accosB 272,ac 24又asin Ac3sinC,C 2A,c 2acos

4、A 2a由解得 a=4,c=6b 5,即 AC 边的长为 5.5 已知在ABC中,A B,且tan A与tanB是方程x25x 6 0的两个根.()求tan(A B)的值;()若 AB5,求 BC 的长.【解析】:()由所给条件,方程x25x 6 0的两根tan A 3,tan B 2.tan(A B)tan Atan B1tan Atan B23123 1()A B C 180,C 180(A B).由()知,tanC tan(A B)1,C为三角形的内角,sinC 22tan A3,A为三角形的内角,sin A 310,由正弦定理得:ABsinCBCsin ABC 52310 3 5.26

5、在ABC中,已 知 内 角A B C所 对 的 边 分 别 为2文档来源为:从网络收集整理.word 版本可编辑.a、b、c,向 量文档来源为:从网络收集整理.word 版本可编辑.欢迎下载支持.Bm 2sin B,3,n cos2B,2cos21,且m/n2(I)求锐角 B 的大小;(II)如果b 2,求ABC的面积SABC的最大值【解析】:(1)m/n2sinB(2cos22-1)=-3cos2BB2sinBcosB=-3cos2Btan2B=-3202B,2B=,锐角 B=335(2)由 tan2B=-3B=或36当 B=时,已知 b=2,由余弦定理,得:34=a2+c2-ac2ac-a

6、c=ac(当且仅当 a=c=2 时等号成立)13ABC 的面积 S ABC=acsinB=ac 324ABC 的面积最大值为 35当 B=时,已知 b=2,由余弦定理,得:64=a2+c2+3ac2ac+3ac=(2+3)ac(当且仅当 a=c=6-2时等号成立)ac4(2-3)11ABC 的面积 SABC=acsinB=ac 2-324ABC 的面积最大值为 2-37 在ABC中,角 A BC 所对的边分别是 a,b,c,且a c b 2221ac.2(1)求sin2AC cos2B的值;214(2)若 b=2,求 ABC 面积的最大值.【解析】:(1)由余弦定理:cosB=sin2AC1+

7、cos2B=42115,得sin B.b=2,44(2)由cosB a215811+c2=ac+42ac,得 ac,S ABC=acsinB(a=c 时取等号)2233153故 S ABC的最大值为3文档来源为:从网络收集整理.word 版本可编辑.文档来源为:从网络收集整理.word 版本可编辑.欢迎下载支持.sin(8 已知tan42)tan2的值)a,(a 1),求sin(【解析】2a;1a3sin5coscos29 已知f3sincostan322(I)化简f31,求f的值25(II)若是第三象限角,且cos【解析】10已知函数 f(x)=sin2x+3sinxcosx+2cos2x,

8、xR.(1)求函数 f(x)的最小正周期和单调增区间;(2)函数 f(x)的图象可以由函数 y=sin2x(xR)的图象经过怎样的变换得到?【解析】:(1)f(x)1cos2x3sin2x(1cos2x)22 f(x)的最小正周期T 由题意得2k2.22 2x6 2k2,k Z,即k3 x k6,k Z.f(x)的单调增区间为k,k,k Z.36(2)先把y sin 2x图象上所有点向左平移得到y sin(2x个单位长度,123)的图象,再把所得图象上所有的点向上平移个单位长度,623就得到y sin(2x)的图象6211已知a33xx,b (sin,cos),f(x)ab,2244(1)求f

9、(x)的单调递减区间(2)若函数y g(x)与y f(x)关于直线x 1对称,求当x0,时,y g(x)的最大值434文档来源为:从网络收集整理.word 版本可编辑.文档来源为:从网络收集整理.word 版本可编辑.欢迎下载支持.【解析】:(1)f(x)3x3xxsincos3sin()242443当x4321022解得:x8k,8k时,f(x)单调递减33 2k,3 2k时,f(x)单调递减2(2)函数y g(x)与y f(x)关于直线x 1对称g(x)f(2 x)(2 x)3sin43x0,43x41 12x,cos,3332 24332x 0时,gmax(x)12已知cos 2sin,

10、求下列各式的值;2sincos(1);sin3cos(2)sin22sincos1cos 2sin,tan 2【解析】:1212sincos2tan12 4(1)1sin3costan3532sin22sincos(2)sin2sincossin2cos2213设向量a (sin x,cos x),b (cosx,cos x),xR,函数f(x)a(ab)(I)求函数f(x)的最大值与最小正周期;(II)求使不等式f(x)【解析】14已知向量m (cos3成立的x的取值集合22,1),n (sin,1),m与n为共线向量,且,032()求sin cos的值;()求sin2的值.sincos5文

11、档来源为:从网络收集整理.word 版本可编辑.文档来源为:从网络收集整理.word 版本可编辑.欢迎下载支持.【解析】:()m与n为共线向量,(cos2)1(1)sin 0,3即sin cos232()1 sin2(sin cos)27,sin2 99(sin cos)2(sin cos)2 2,4,0,sincos 0,sincos 23sin27因此,sincos12又15如图,A,B,C,D 都在同一个与水平面垂直的平面内,B,D 为两岛上的两座灯塔的塔顶测量船于水面A处测得B点和D点的仰角分别为75,30,于水面C处测得B点和D点的仰角均为60,AC=0.1km试探究图中B,D间距离

12、与另外哪两点距离相等,然后求 B,D 的距离(计算结果精确到0.01km,21.414,62.449)【解析】:在ACD中,DAC=30,ADC=60-DAC=30,000所以 CD=AC=0.1又BCD=180-60-60=60,故 CB 是CAD底边 AD 的中垂线,所以 BD=BA在ABC中,ABAC,sinBCAsinABC即 AB=ACsin603 2 6sin15203 2 6 0.33km20因此,BD 故 BD 的距离约为 0.33km16已知函数f(x)Asin(x),xR(其中A 0,0,0 2)的图象与 x 轴的交点中,相邻两个交点之间的距离为2,2).,且图象上一个最低

13、点为M(32()求f(x)的解析式;()当x,求f(x)的值域.12 22,2)得 A=2.【解析】：(1)由最低点为M(36文档来源为:从网络收集整理.word 版本可编辑.文档来源为:从网络收集整理.word 版本可编辑.欢迎下载支持.22T得=,即T,2T222224由点M(,2)在图像上的2sin(2)2,即sin()1333411故 2k,kZ 2k326又(0,),故f(x)2sin(2x)266 7(2)x,2x,12 26367当2x=,即x 时,f(x)取得最大值 2;当2x62666即x 时,f(x)取得最小值-1,故f(x)的值域为-1,22由 x 轴上相邻的两个交点之间

14、的距离为17 如 图,为 了 解 某 海 域 海 底 构 造,在 海 平 面 内 一 条 直 线 上 的 A,B,C 三 点 进 行 测 量,已 知AB 50m,BC 120m,于 A 处测得水深AD 80m,于 B 处测得水深BE 200m,于 C 处测得水深CF 110m,求DEF 的余弦值【解析】:作DM/AC交 BE 于 N,交 CF 于 M.DF MF2DM2302170210 198,DE DN2 EN25021202130,在DEF中,由余弦定理,18已知sin cos1，(,)，523求（1）sincos（2）sin【解析】：（1）sincos3（3）sin4cos479133

15、7cos(2)sin3cos3(3)sin4cos4512562519已知函数y Asin(x)（A 0，0，|）的一段图象如图所示，（1）求函数的解析式；（2）求这个函数的单调递增区间。【解析】：（1）由图象可知：T 232 2；8T8A 22 227文档来源为:从网络收集整理.word 版本可编辑.文档来源为:从网络收集整理.word 版本可编辑.欢迎下载支持.，2为“五点画法”中的第二点8332所求函数解析式为：y 2sin2x2448y 2sin2x，又（2）当2x3 2k，2kk Z时，fx单调递增422552x 2k，2k x k，kkZ448820已知ABC的内角 A BC 所对

16、边分别为 a、b、c，设向量m (1cos(A B),cos5A B9n (,cos)，且m n.828（）求tan AtanB的值；absinC（）求2的最大值.22a b c9592A B【解析】（）由mn，得1cos(A B)cos882851 cos(A B)9即1cos(A B)828也即4cos(A B)5cos(A B)4cos AcosB 4sin AsinB 5cos AcosB 5sin AsinB9sin AsinB cos AcosBtan Atan B 21已知函数A B)，219f(x)(1 tan x)12sin(2x 4)，求：（1）函数f(x)的定义域和值域；

17、（2）写出函数f(x)的单调递增区间。【解析】:f(x)1sin x 12sin2xcos2cos2xsincosx44（）函数的定义域x|x R,x k函数f(x)的值域为2,2,k Z2（）令2k 2x 2k,(k Z)得k函数f(x)的单调递增区间是k2 x k(k Z),k(k Z)222如图为一个观览车示意图该观览车圆半径为4.8m，圆上最低点与地面距离为 0.8m，60 秒转动一圈途中OA与地面垂直以OA为始边，逆时针转动角到OB设B点与地面距离为h（1）求h与的函数解析式；（2）设从OA开始转动，经过 80 秒到达OB，求h.【解析】：（1）8文档来源为:从网络收集整理.word

18、 版本可编辑.文档来源为:从网络收集整理.word 版本可编辑.欢迎下载支持.h 0.8OA BC 0.8 4.8OBsin5.6 4.8sin(90)，h 5.64.8cos(0)（2）882，h 5.6 4.8cost，80 8(m)，603030303323设函数f(x)a ab b,其中向量a a (2cos x,1),b b (cos x,3sin 2x m).（1）求函数f(x)的最小正周期和在0,上的单调递增区间；（2）当x0,6时,4 f(x)4恒成立,求实数m的取值范围。2【解析】：（1）f(x)2cos x 3sin2x m 2sin(2x 6)m 1，（2）当x0,6时,

19、f(x)递增,当x 26时,f(x)max m 3，24已知函数f(x)2sin x3cos2x，x，44 2（1）求f(x)的最大值和最小值；（2）f(x)m 2在x，上恒成立，求实数m的取值范围4 2【解析】（）f(x)1cos 2x3cos2x 1sin2x3cos2x212sin2x3又x，2x，6334 2即212sin2x 23，3 f(x)max 3，f(x)min 2（）f(x)m 2 f(x)2 m f(x)2，x，4 2 m f(x)max2且m f(x)min2，4)1 m 4，即m的取值范围是(125在锐角ABC 中,角 A BC 的对边分别为 a、b、c,已知(b c

20、 a)tan A 2223bc.(I)求角 A;9文档来源为:从网络收集整理.word 版本可编辑.文档来源为:从网络收集整理.word 版本可编辑.欢迎下载支持.(II)若 a=2,求 ABC 面积 S 的最大值b2 c2 a2sin A33 sin A【解析】:(I)由已知得2bccos A22又在锐角 ABC 中,所以 A=60,不说明是锐角 ABC 中,扣 1 分(II)因为 a=2,A=60所以b c bc 4,S 222213bcsin A bc24而b c 2bc bc 4 2bc bc 4又S 133bcsin A bc 4 3244所以 ABC 面积 S 的最大值等于326甲

21、船由 A 岛出发向北偏东 45的方向作匀速直线航行,速度为152浬/小时,在甲船从 A 岛出发的同时,乙船从 A 岛正南 40浬处的 B 岛出发,朝北偏东(arctg1)的方向作匀速直线航2行,速度为 105浬/小时.(如图所示)()求出发后 3 小时两船相距多少浬?()求两船出发后多长时间相距最近?最近距离为多少浬?【解析】:以 A 为原点,BA 所在直线为 y 轴建立如图所示的平面直角坐标系.设在 t 时刻甲、乙两船分别在P(x1,y1)Q(x2,y2).(I)令t 3,P、Q 两点的坐标分别为(45,45),(30,20)|PQ|(4530)2(45 20)2850 5 34.即两船出发

22、后 3 小时时,相距5 34锂(II)由(I)的解法过程易知:当且仅当 t=4 时,|PQ|的最小值为 20即两船出发 4 小时时,相距 2022海里为两船最近距离.(tanAtanB)1tanAtan B27在锐角ABC中，已知内角A BC 所对的边分别为 a、b、c，且(1)若 a2abc2b2，求 A BC 的大小；(2)已知向量m(sinA，cosA)，n(cosB，sinB)，求3m2n的取值范围【解析】28如图，某住宅小区的平面图呈扇形AO C小区的两个出入口设置在点A及点 C 处，小区里有两条笔直的小路AD，DC，且拐弯处的转角为C C120已知某人从C沿CD走到D用了 10 分

23、钟，从D沿DA走到A用了 6 分钟若此人步行的速度为每分钟50 米，求该扇形的半径OA的长A A120 0DO O10文档来源为:从网络收集整理.word 版本可编辑.文档来源为:从网络收集整理.word 版本可编辑.欢迎下载支持.（精确到 1 米）【解析】解法一：设该扇形的半径为 r 米.由题意，得CD=500（米），DA=300（米），CDO=600在CDO中，CD2OD22CDODcos600 OC2,即5002r 30022500r 30012 r2,解得r 490011 445（米）解法二：连接 AC，作 OHAC，交 AC 于 H由题意，得 CD=500（米），AD=300（米），

24、CDA 1200 AC=700（米）在直角HAO中,AH 350（米）,cos HA0 1114,OA AHcosHAO490011 445（米）29已知角的顶点在原点,始边与x轴的正半轴重合,终边经过点P(3,3).(1)求tan 的值;(2)定义行列式运算a bsintanc dad bc,求行列式1cos的值;(3)若函数f(x)cos(x)sinsin(x)cos(xR R),求函数y 3f(22x)2f2(x)的最大值,并指出取到最大值时x 的值【解析】:(1)角终边经过点P(3,3),tan 33.(2)sin12,cos 32.sintan1cossincos tan 34333

25、12.(3)f(x)cos(x)cossin(x)sin cosx(xR R),函数y 3cos(222x)2cos x3sin 2x 1cos2x 2sin(2x6)1(xR R),ymax 3,此时x k6(kZ Z).30已知函数f(x)(sin x cosx)2+cos2 x.11文档来源为:从网络收集整理.word 版本可编辑.C CH HA A1200O O文档来源为:从网络收集整理.word 版本可编辑.欢迎下载支持.()求函数fx的最小正周期;()当x0,时,求函数fx的最大值,并写出 x 相应的取值.2【解析】:()因为f(x)(sin x cosx)2+cos2 x sin2x 2sin xcosx cos2x cos2 x1sin2xcos2x()=1+2sin(2x)4所以,T 2,即函数f(x)的最小正周期为2()因为0 x 2,得4 2x 425,所以有 sin(2x)124412sin(2x)2,即012sin(2x)1244所以,函数fx的最大值为12此时,因为4 2x 45,所以,2x,即x 442812文档来源为:从网络收集整理.word 版本可编辑.