【高分秘笈】中考数学-解题方法及提分突破训练：换元法专题.pdf

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1、-解题方法及提分突破训练：换元法专题解题方法及提分突破训练：换元法专题一真题链接一真题链接1.(2011恩施州)解方程(1)25（-1）4=时,我们可以将 x-1 看成一个整体，设1y,则原方程可化为 y2-5y40，解得 y1=1,y=.当 y=1 时，即 x11,解得 x=2；当 y=4 时,即 x1=4,解得5，所以原方程的解为:x1=2,x25则利用这种方法求得方程（2x+5)2-4（2+5)+3=的解为(）Ax1=1，23B.1=-，x2=Cx1=-3,x2=x11，=-22.（005温州)用换元法解方程(x2+）2(x）=时，如果设 x+x=y，那么原方程可变形为()A.y2y-=

2、0 B.y2-6=C.y2-y+6=D.y+y6=03.（05兰州）已知实数满足的值是（）A1 或-2 B-1 或 2 C-24已知（x2+y2）(x2y2)1=0，则（x2)的值是(）二名词释义二名词释义概念概念:换元法是数学中一个非常重要而且应用十分广泛的解题方法。我们通常把未知数或变数称为元,所谓换元法，就是在一个比较复杂的数学式子中,用新的变元去代替原式的一个部分或改造原来的式子,使它简化,使问题易于解决。经验：经验：换元法,可以运用于因式分解、解方程或方程组等方面。换元法是数学中重要的解题方法,对于一些较繁较难的数学问题，若能根据问题的特点，进行巧妙的换元,则可以收到事半功倍的效果,

3、现举例说明.详解：详解：换元法主要有双换元、整体换元、均值换元,倒数换元几种形式。下面结合例题一一讲解。三典题事例三典题事例.整体换元整体换元22例 1分解因式：(a 3a 2)(a 3a 4)16.2解:设a 3a 2 m，则2222 m(m 6)16 m 6m 16 (m 8)(m 2)(a 3a 6)(a 3a 4)(a 3a 6)(a 4)(a 1).原式222评注：此题还可以设a 3a m，或a 3a 4 m，或a 3a 1 m。运用换元法分解因式,是将原多项式中的某一部分巧用一个字母进行代换,从而使原多项式的结构简化,进而便于分解因式2.2.双换元双换元2(b c)4(c a)(a

4、 b).例 2分解因式:解：设c a p,a b q,两式相加，则b c (p q).2222原式(p q)4pq (p q)(c a)(a b)(b c 2a).x yx y610 3,x yx y 1.610例 3 解方程组x yx y m n解:设6,10.-m n 3,m 1,mn 1.n 2.原方程组可化为解得x y61,x yx y 6,x 13,2.y 7.x y 20.10即解得x 13,y 7.原方程组的解为而所谓双换元法，就是根据多项式的特征用两个字母(元）分别代换原多项式中的代数式,3 3均值换元均值换元2x 3y 12,(1)7x 17y 97.(2)例 4解方程组解:

5、由可设2x 66t,3y 66t,即x 33t,y 22t，代入，得7(33t)17(2 2t)97.t 2.x 332 9,y 2 22 2.x 9,y 2.原方程组的解为说明:本题若按常规设法,可设2x 6t,3y 6t,此时x 3tty 22，3由于出现了分数，给运算带来麻烦,因此设2x 66t,3y 66t，此时x 33t，y 22t,没有出现分类,使运算变得简捷换元的作用:降次、化分式方程为整式方程、化繁为简。4.4.系数对称方程换元系数对称方程换元例 5解方程:分析：方程的系数相等，上面方程的系数是对称的,可以通过变形后,换元：变形:，,设，得,可解出方程。5.5.倒数换元倒数换元

6、432例分解因式a 7a14a 7a 1.-71 a2a2 7a 14 2aa解:原式1 1 a2a22 7a 14aa 1 a2(m2 2)7m 14设a ma22 a(m 7m 12)a2(m 3)(m 4)11 a2a 3a 4aa22(a 3a 1)(a 4a 1).四巩固强化四巩固强化:1.分解因式:(a 1)(a 3)(a 5)(a 7)15.2.分解因式:(m n)2(1 m n)1.3.解方程：2x 22277x 2 0;xx2.解方程：3(x 2)22 x24x 7 1 05.解方程：(x 1)(x 2)(x 3)(x 4)3.x y 18,6.解方程组:x 3 y 2 3.

7、计算：111111111111()(1)(1)()232006232005232006232005x 1y 234 0,(1)8解方程组x 3y 31.(2)312 4x yx y610 3,解方程组x yx y 1.10643103x2y2x5y10.解方程组5213x2y2x5y-1.解方程组2x 3y 12,(1)7x 17y 97.(2)1.解方程。13 解方程。代入,求方程的解，并检验。五参考答案五参考答案真题链接答案：真题链接答案：1解:(x5）24(2x+5）3=0,设 y2x5,方程可以变为2-y=0,y1=1，y2=3,当 y=1 时,即 2x+=,解得 x=-2；当 y3

8、时，即 2x+=3,解得 x=-,所以原方程的解为：x1=-2,x2-1故选解:把 x2+x 整体代换为 y,y2y=6,即 y2+y-6.故选 A.3.解：设 x+y2=t.则由原方程,得 t2-120,(t+3)(t-）0，t+3或 t-，解得,t=-3 或 t=;又t0，t=4.故选 B.巩固强化答案：巩固强化答案：221.解:原式(a 1)(a 7)(a 3)(a 5)15 (a 8a 7)(a 8a 15)15.1m(a28a 7)(a28a 15)a28a 11.2取“均值”,设-22(m 4)(m 4)15 m16 15 m1(m 1)(m 1)原式222(a 8a 12)(a

9、8a 10)(a 2)(a 6)(a 8a 10).2.解:设m n y,则原式y 2(1 y)1=y 2 2y 1=y 2y 3 =(y 3)(y 1)=(m n 3)(m n 1).3解:原方程可化为:2(x)27(x)2 0.xx设x 22221211 y,则方程化为:x2y 7y 6 0.解方程,得y1 2,y23.2当y1 2时，x 1 2x2.解得,x 1当y2x 3时,213.x21或x 2.2解得,x 12,x212,x3，x4 2都是原方程的解21所以，原方程的解为x112,x212,x3，x4 2.2经检验，知x114.解：原方程可化为：3(x24x 7)2 x24x 7

10、8 0.设x24x 7 y，则方程化为:-3y 2y 8 0.解方程,得y1 2,y2 当y1 2时,24.3x24x7 2.解得,x11,x2 34时,342x 4x 7 .3当y2 此方程无解.经检验,知x11,x2 3都是原方程的解.所以,原方程的解为x11,x2 3.5.解：原方程可化为:(x 1)(x 4)(x 2)(x 3)3.即(x 5x 4)(x 5x 6)3.设x 5x 5 y,则方程化为:(y 1)(y 1)3解得,y 2.当y 2时，x 5x 5 2.解方程,得x 22225 132当y 2时,x 5x 5 2.0,方程无实数根.2-因此,原方程的根为x15 135 13

11、,x2226.解：设x3 u,y 2 v,则原方程组可化为:u2v217,(1)(2)u v 3.由（2)得，u 3v(3)将（3）代入(1),得(3 v)v 17解得,v11,v2 4(u22y 2不能为负，舍去).4.x 3 4,得y 2 1.解得，x 19,y 1.x 19经检验,知是原方程组的解.y 1所以,原方程组的解为7.解:设1x 19.y 1111 x,则23200611原式(x 1)(x)x(x 1)20062006x1x2 =x x x2 x 2006200620061 =.2006x 1y 28.解：由,得.34x 1y 2 k,则x 3k 1,y 4k 2，设343k

12、134k 231代入,得.4312k 1.x 31 2，y 4 2 2.x 2,原方程组的解是y 2.-x yx y m，n.610m n 3,m 1,原方程组可化为mn 1.解得n 2.x y61,x y 6,x 13,即解得x y 20.x yy 7.2.10 x 13,原方程组的解为y 7.11b 10.解：设a 2x5y3x2ya 14a3b 10原方程组可化为解得b 25a2b 143x2y 1x,1，解得112x5y 1y.2229.解:设1.解：由可设2x 66t，3y 66t，即x 33t,y 22t，代入，得7(33t)17(2 2t)97.t 2.x 332 9,y 2 22 2.x 9,原方程组的解为y 2.12解：方程的分母都含有故可设，然后整理可得，解得中，求出方程的解，并检验。13.解：方程变形为,即，方程可通过互为倒数关系换元:设,然后整理得,可解得,-